段考詳解範圍：高一、高二內容複習（數列與級數、數據分析、三角比、正弦函數的圖形、排列組合與機率、條件機率、單利與複利）

興大附中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 7 題：已知兩邊和一個對角，正弦值與外接圓半徑可以確定，但角 C 有銳角與鈍角兩種，餘弦值和三角形都不能確定。多選第 8 題：圖上相鄰的最高點與最低點只隔半個週期，週期是 6 不是 3；最後一個選項要把所有與 x 軸的交點寫出來。填充 A（本頁第 10 題）：要連 0 與負的解一起數，共 7 個。多選第 3 題：斜率是負的，變成一半之後反而比較大。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

本頁是數學乙 B 卷（卷頭印「高三人社組數乙 B 試題」）。單一選擇題 2 題（每題 6 分，共 12 分）、多重選擇題 7 題（每題 7 分，共 49 分）、填充題 6 題（每題 5 分，共 30 分）、混合題 2 小題（4 分與 5 分，共 9 分），合計 100 分。原卷卷首附平均數、標準差、相關係數與迴歸直線的參考公式，本頁未列出。答案已與學校公布的答案逐題核對，17 題全部一致。

一、單一選擇題（每題 6 分）

下列各組資料，何者的標準差最大？ (甲)

1

，

2

，

3

，

4

，

5

(乙)

2021

，

2022

，

2023

，

2024

，

2025

(丙)

1

，

3

，

5

，

7

，

9

(丁)

- 10

，

- 20

，

- 30

，

- 40

，

- 50

(戊)

- 501

，

- 502

，

- 503

，

- 504

，

- 505

(1) 甲
(2) 乙
(3) 丙
(4) 丁
(5) 戊

等差數列

⟨ a_{n} ⟩

，

a_{71} = 70

且前

101

項的和為

0

，則下列何者正確？

(1) $a_{1} > 0$
(2) $a_{51} > 0$
(3) $a_{1} + a_{101} > 0$
(4) $a_{2} + a_{100} < 0$
(5) $a_{3} + a_{99} = 0$

二、多重選擇題（每題 7 分，每題至少有一個選項是正確的，錯一個選項得 4.2 分，錯二個選項得 1.4 分，錯三個選項以上得 0 分）

有兩組實驗數據，如下表，若實驗(一)所得的相關係數為

r_{1}

，且迴歸直線方程式的斜率為

m_{1}

；實驗(二)所得的相關係數為

r_{2}

，且迴歸直線方程式的斜率為

m_{2}

，請選出正確的選項。

x y 1927364251

實驗(一)

x y 2124106985104

實驗(二)

(1) $2 r_{1} = r_{2}$
(2) $r_{1} = r_{2}$
(3) $m_{1} = m_{2}$
(4) $2 m_{1} = m_{2}$
(5) $m_{1} < m_{2}$

已知

△ A B C

的三邊長

\overline{A B} = 5

，

\overline{A C} = 4

，

\overline{B C} = 7

，請選出正確的選項。

(1) $△ A B C$ 為銳角三角形
(2) $△ A B C$ 的面積為 $26$
(3) $sin A = \frac{2 6}{5}$
(4) 外接圓半徑為 $\frac{35}{2 6}$
(5) 過點 $B$ 作 $\overline{A C}$ 邊上的高，其長為 $26$

有

100

支籤，其中

20

支有獎：特獎

2000

元一支，二獎

500

元二支，三獎

100

元

17

支。今甲、乙二人依序各抽取一支籤（甲先抽），取後不放回，下列選項何者正確？

(1) 甲抽得二獎的機率為 $0.02$
(2) 乙抽得特獎的機率為 $0.01$
(3) 甲抽得三獎的機率與乙抽得三獎的機率相等
(4) 甲的期望值為 $47$ 元
(5) 甲的期望值大於乙的期望值

已知

P (A) = 0.5

，

P (B) = 0.3

，

P (A \cap B) = 0.2

，則下列選項何者正確？

(1) $P (A \cup B) = 0.7$
(2) $P (A ∣ B) = \frac{2}{3}$
(3) $P (A^{'} \cap B) = 0.3$
(4) $P (A ∣ B^{'}) = \frac{3}{7}$
(5) $P (B ∣ A) = \frac{2}{5}$

在

△ A B C

中，已知

∠ A = 3 0^{\circ}

、

\overline{A B} = 5

、

\overline{B C} = 4

，請選出正確的選項。

(1) 可以確定 $∠ B$ 的餘弦值
(2) 可以確定 $∠ C$ 的正弦值
(3) 可以確定 $∠ C$ 的餘弦值
(4) 可以確定 $△ A B C$ 的形狀與大小
(5) 可以確定 $△ A B C$ 的外接圓半徑

右圖是函數

y = f (x) = a sin b (x + θ) + k

的部分圖形，其中

a

，

b

，

θ

都是正數，已知

y = f (x)

的圖形有通過點

(0, 3)

與

(3, - 1)

，則下列選項何者正確？

(1) $a = 2$
(2) $b = \frac{2 π}{3}$
(3) $k = 1$
(4) $θ$ 值可能為 $\frac{1}{2}$
(5) 若實數 $α$ 使 $f (α) = 0$ ，則 $α$ 必為偶數

載入中...

假設

X

為某高一全體學生第

1

次月考數學成績。已知

X

平均分數

μ_{X} = 43

分，標準差

σ_{X} = 10

分。該校數學老師認為成績普遍不佳，因而作以下分數調整：新成績

Y = 8 \cdot \frac{X - μ _{X}}{σ _{X}} + 64

，請問下列敘述哪些正確？

(1) 新成績的平均分數 $μ_{Y} = 64$ 分
(2) 新成績的標準差 $σ_{Y} = 9$ 分
(3) 原始成績為 $38$ 分的同學，經調整分數即可達到及格分數 $60$ 分
(4) $Y$ 與 $X$ 的相關係數為 $1$
(5) 新成績 $Y$ 較原成績 $X$ 更為集中

三、填充題（每題 5 分）（本頁第 10～15 題依序為原卷的 A～F 題）

方程式

12 sin x = x

，共有 ____ 個實數解。

已知一等比數列公比為

2

，且

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{15} = 700

，則

a_{1} + a_{4} + a_{7} + a_{10} + a_{13} =

____。

某高中社團男、女生共有

25

人，且女生人數多於男生人數。某次活動中，社團指導老師分配任務，要任選兩人擔任公關，他發現選出的兩人為同性的機率與選出兩人為異性的機率恰好相等，則女生比男生多 ____ 人。

將

1

，

2

，

3

，……，

9

共九個數字任意填入圖中九個空格且數字不重複，則至少有一行的三數由上而下為遞增的機率為 ____。（化為最簡分數）

載入中...

如右圖，在一條海防警戒線上有

A

、

B

、

C

三個聲納接收點，

B

到

A

的距離是

20

浬，

C

到

A

的距離是

50

浬。今在某時刻

B

收到來自靜止目標

P

的一個信號，

8

秒後

A

、

C

同時接收到該信號。已知聲波信號在水中的傳播速度是每秒

1.5

浬，試求

P

到海防警戒線

\overline{A C}

的距離為 ____ 浬。（化為最簡根式）

載入中...

如右圖，已知長方形

A B C D

中，

\overline{A B} = 6

，

\overline{A D} = 4

，

\overline{B F}

垂直

\overline{A E}

於

F

點，若

∠ D A E = θ

，且

△ B E F

的面積為

8

，則

sin θ cos θ =

____。（化為最簡分數）

載入中...

四、混合題（共 9 分）　說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在答案卷作答。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。（本頁第 16、17 題依序為原卷混合題的第 1、2 題）

混合題（第 16～17 題）　金融學的

70

法則如下：若年利率為

r %

且以複利計算，則本利和達到原來本金

2

倍所需時間大約為

\frac{70}{r}

年。在低利率時使用

70

法則的誤差較小。某人將一筆本金存入銀行，年利率為

r %

，每年計息一次，利用以上資訊回答下列二個問題。

（原卷混合題第 1 題）經過

n

年後，以單利計算的本利和為

a_{n}

，以複利計算的本利和為

b_{n}

，請問下列哪個選項正確？（單選題，4 分）

(1) $⟨ a_{n} ⟩$ 與 $⟨ b_{n} ⟩$ 皆為等差數列
(2) $⟨ a_{n} ⟩$ 與 $⟨ b_{n} ⟩$ 皆為等比數列
(3) $⟨ a_{n} ⟩$ 為等差數列， $⟨ b_{n} ⟩$ 為等比數列
(4) $⟨ a_{n} ⟩$ 為等比數列， $⟨ b_{n} ⟩$ 為等差數列
(5) $⟨ a_{n} ⟩$ 與 $⟨ b_{n} ⟩$ 皆不為等差數列，亦皆不為等比數列

（原卷混合題第 2 題）在年利率為

3 %

的情況下，單利計算與複利計算兩者分別使得本利和達到原來本金

2

倍所需的時間約相差多少年？（小數點後第一位四捨五入至整數位）（非選擇題，5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(5)

第 3 題(2)(5)

第 4 題(3)(5)

第 5 題(1)(2)(3)(4)

第 6 題(2)(4)(5)

第 7 題(2)(5)

第 8 題(1)(3)(5)

第 9 題(1)(3)(4)(5)

第 10 題

7

第 11 題

100

第 12 題

5

第 13 題

\frac{91}{216}

第 14 題

421

第 15 題

\frac{2}{9}

第 16 題(3)

第 17 題約

10

年

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：標準差的比較、等差數列

第 1 題每筆數據都加上同一個數，標準差不變；每筆都乘以

c

，標準差變成

∣ c ∣

倍。甲：平均數

3

，標準差

= \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = 2

。乙是甲的每一筆加

2020

，標準差仍是

2

。丙是甲的每一筆乘以

2

再減

1

，標準差是

22

。丁是甲的每一筆乘以

- 10

，標準差是

102

。戊是甲的每一筆乘以

- 1

再減

500

，標準差是

2

。最大的是丁，選 (4)。

標準差看的是數據彼此分散的程度，和數字本身大不大無關；乙、戊的數字很大，但相鄰只差

1

。

第 2 題等差數列前

101

項的和

= \frac{101 ( a _{1} + a _{101} )}{2} = 101 a_{51}

（

a_{51}

是正中間那一項），所以

a_{51} = 0

。公差

d = \frac{a _{71} - a _{51}}{71 - 51} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2}

，

a_{1} = a_{51} - 50 d = - 175

。(1)

a_{1} = - 175 < 0

，錯。(2)

a_{51} = 0

，不是大於

0

，錯。(3)(4)(5) 足碼相加都是

102

：

a_{1} + a_{101} = a_{2} + a_{100} = a_{3} + a_{99} = 2 a_{51} = 0

，所以 (3)、(4) 錯，(5) 正確。選 (5)。

項數是奇數的等差數列，總和等於項數乘以正中間那一項。

02多選 3、9：數據的線性變換

第 3 題先算實驗(一)：

μ_{x} = 3

，

μ_{y} = 5

。

x

的離均差是

- 2, - 1, 0, 1, 2

，

y

的離均差是

4, 2, 1, - 3, - 4

。離均差乘積的和

= - 8 - 2 + 0 - 3 - 8 = - 21

，

x

離均差的平方和

= 10

，

y

離均差的平方和

= 16 + 4 + 1 + 9 + 16 = 46

。所以

r_{1} = \frac{- 21}{10 \cdot 46} = \frac{- 21}{460}

，

m_{1} = \frac{- 21}{10} = - 2.1

。實驗(二)的每一筆恰好是實驗(一)的

x

乘以

2

、

y

加

3

（

12 = 9 + 3

，

10 = 7 + 3

，

9 = 6 + 3

，

5 = 2 + 3

，

4 = 1 + 3

）。這時

x

的離均差變成

2

倍、

y

的離均差不變，所以離均差乘積的和

= - 42

，

x

離均差的平方和

= 40

：

r_{2} = \frac{- 42}{40 \cdot 46} = \frac{- 42}{2 460} = r_{1}

，

m_{2} = \frac{- 42}{40} = - 1.05 = \frac{1}{2} m_{1}

。(1)

r_{1} \neq = 0

，

2 r_{1} \neq = r_{2}

，錯。(2) 正確。(3) 錯。(4) 實際是

m_{1} = 2 m_{2}

，

2 m_{1} = - 4.2 \neq = - 1.05

，錯。(5)

- 2.1 < - 1.05

，正確。選 (2)(5)。

x

乘以正數、

y

加常數，相關係數不變；斜率是「

y

的變化量除以

x

的變化量」，

x

的單位放大成

2

倍，斜率就變成一半。斜率是負的，變成一半反而比較大。

第 9 題代入

μ_{X} = 43

、

σ_{X} = 10

：

Y = 8 \cdot \frac{X - 43}{10} + 64 = 0.8 X + 29.6

。(1)

μ_{Y} = 0.8 \times 43 + 29.6 = 64

，正確。(2)

σ_{Y} = 0.8 \times 10 = 8

，不是

9

，錯。(3)

X = 38

時

Y = 0.8 \times 38 + 29.6 = 60

，正確。(4)

Y = 0.8 X + 29.6

是斜率為正的一次式，所有的點

(X, Y)

都在同一條斜率為正的直線上，相關係數為

1

，正確。(5) 標準差由

10

變成

8

，新成績比較集中，正確。選 (1)(3)(4)(5)。

\frac{X - μ _{X}}{σ _{X}}

是標準化，平均數

0

、標準差

1

；再乘以

8

、加

64

，平均數就是

64

、標準差就是

8

，不必展開也看得出來。

Y 等於 aX 加 b 時，平均數照式子代，標準差只乘以 a 的絕對值。

03多選 4、7：三角形的邊角關係

第 4 題最大邊是

\overline{B C} = 7

，對角是

∠ A

。餘弦定理：

cos A = \frac{5 ^{2} + 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{- 8}{40} = - \frac{1}{5} < 0

，

∠ A

是鈍角，(1) 錯。

sin A = 1 - \frac{1}{25} = \frac{2 6}{5}

，(3) 正確。面積

= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{2 6}{5} = 46

，(2) 錯。正弦定理：

2 R = \frac{B C}{sin A} = \frac{7}{\frac{2 6}{5}} = \frac{35}{2 6}

，所以

R = \frac{35}{4 6}

；選項寫的

\frac{35}{2 6}

是直徑，(4) 錯。

\overline{A C}

邊上的高

h

滿足

\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h = 46

，

h = 26

，(5) 正確。選 (3)(5)。

因為

∠ A

是鈍角，從

B

作的高會落在

\overline{C A}

的延長線上，但長度一樣用面積算。

第 7 題已知的是兩邊與其中一邊的對角。正弦定理：

\frac{B C}{sin A} = \frac{A B}{sin C} = 2 R

，即

\frac{4}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{5}{sin C} = 2 R

。所以

2 R = 8

，

R = 4

，(5) 正確；

sin C = \frac{5}{8}

，(2) 正確。但

sin C = \frac{5}{8}

時

∠ C

可以是銳角（約

38. 7^{\circ}

），也可以是鈍角（約

141. 3^{\circ}

，這時

∠ A + ∠ C < 18 0^{\circ}

，三角形存在），所以

cos C = \frac{39}{8}

或

- \frac{39}{8}

，不能確定，(3) 錯。兩種情形的

∠ B

分別約為

111. 3^{\circ}

與

8. 7^{\circ}

，餘弦值不同，(1) 錯；三角形有兩種，形狀與大小不能確定，(4) 錯。選 (2)(5)。

也可以用餘弦定理看：設

\overline{A C} = x

，

4^{2} = 5^{2} + x^{2} - 2 \cdot 5 \cdot x cos 3 0^{\circ}

，即

x^{2} - 53 x + 9 = 0

，

x = \frac{5 3 \pm 39}{2}

，兩個根都是正的，所以三角形有兩個。

已知兩邊和其中一邊的對角，先用正弦定理；正弦值相同的角有銳角與鈍角兩種，要逐一檢查能不能成立。

04多選 5～6：抽籤與條件機率

第 5 題抽籤不放回時，每個人抽到任何一支籤的機會都一樣，和先後順序無關。(1) 二獎有

2

支，甲抽得二獎的機率

= \frac{2}{100} = 0.02

，正確。(2) 乙抽得特獎：甲沒抽到特獎且乙抽到，

\frac{99}{100} \times \frac{1}{99} = \frac{1}{100} = 0.01

，正確。(3) 甲抽得三獎的機率是

\frac{17}{100}

；乙抽得三獎的機率

= \frac{17}{100} \times \frac{16}{99} + \frac{83}{100} \times \frac{17}{99} = \frac{17 \times 99}{100 \times 99} = \frac{17}{100}

，相等，正確。(4) 甲的期望值

= 2000 \times \frac{1}{100} + 500 \times \frac{2}{100} + 100 \times \frac{17}{100} = 20 + 10 + 17 = 47

元，正確。(5) 乙抽到各獎的機率都和甲相同，期望值也是

47

元，兩人相等，錯。選 (1)(2)(3)(4)。

第 6 題(1)

P (A \cup B) = 0.5 + 0.3 - 0.2 = 0.6

，錯。(2)

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}

，正確。(3)

P (A^{'} \cap B) = P (B) - P (A \cap B) = 0.1

，錯。(4)

P (B^{'}) = 0.7

，

P (A \cap B^{'}) = P (A) - P (A \cap B) = 0.3

，所以

P (A ∣ B^{'}) = \frac{0.3}{0.7} = \frac{3}{7}

，正確。(5)

P (B ∣ A) = \frac{0.2}{0.5} = \frac{2}{5}

，正確。選 (2)(4)(5)。

把

A

、

B

分成四塊最清楚：只有

A

是

0.3

，

A

、

B

都有是

0.2

，只有

B

是

0.1

，都沒有是

0.4

。

條件機率的分母是「已知發生」的那個事件的機率，先把四塊的機率分清楚再代。

05多選 8、填充 A（本頁第 10 題）：正弦函數的圖形

第 8 題由圖，最大值是

3

、最小值是

- 1

。因為

a > 0

，

a = \frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

，

k = \frac{3 + ( - 1 )}{2} = 1

，(1)、(3) 正確。最高點在

x = 0

，下一個最低點在

x = 3

，相隔半個週期，所以週期是

6

；

b > 0

時週期

= \frac{2 π}{b} = 6

，

b = \frac{π}{3}

，(2) 錯。

f (0) = 2 sin \frac{π θ}{3} + 1 = 3

，得

sin \frac{π θ}{3} = 1

，

\frac{π θ}{3} = \frac{π}{2} + 2 nπ

，

θ = \frac{3}{2} + 6 n

（

n

為整數，且

θ > 0

），可能的值是

\frac{3}{2}, \frac{15}{2}, \dots

，不可能是

\frac{1}{2}

，(4) 錯。取

θ = \frac{3}{2}

，

f (α) = 0

即

sin \frac{π}{3} (α + \frac{3}{2}) = - \frac{1}{2}

，所以

\frac{π}{3} (α + \frac{3}{2}) = \frac{7 π}{6} + 2 nπ

或

\frac{11 π}{6} + 2 nπ

，解得

α = 2 + 6 n

或

α = 4 + 6 n

（

n

為整數），都是偶數，(5) 正確。選 (1)(3)(5)。

(5) 也可以直接從圖看：一個週期（長度

6

）內與

x

軸的交點是

x = 2

與

x = 4

，其他交點都是這兩個數加減

6

的整數倍，仍是偶數。

θ

換成

\frac{3}{2} + 6 n

是同一個函數，不影響結果。

第 10 題方程式即

sin x = \frac{x}{12}

，實數解的個數就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{12}

的交點個數。

x = 0

是一個解。兩個圖形都對稱於原點，所以正的解與負的解一樣多，只要數

x > 0

的部分。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只可能在

0 < x \leq 12

，而

3 π \approx 9.42 < 12 < 4 π \approx 12.57

。在

0 < x < π

：靠近

0

時正弦曲線在直線上方（例如

x = \frac{π}{2}

時

1 > \frac{π}{24}

），到

x = π

時

sin π = 0 < \frac{π}{12}

；這一段正弦曲線是向下彎的拱形，和直線最多交兩點，其中一個是原點，所以在這一段恰有

1

個交點。在

π \leq x \leq 2 π

：

sin x \leq 0 < \frac{x}{12}

，沒有交點。在

2 π < x < 3 π

：兩端

sin x = 0

在直線下方，中間

x = \frac{5 π}{2}

時

sin x = 1 > \frac{5 π}{24} \approx 0.65

，曲線先穿到直線上方再穿回下方；這一段同樣是向下彎的拱形，和直線最多交兩點，所以恰有

2

個交點。在

3 π \leq x \leq 12

：

sin x \leq 0

，沒有交點。所以正的解有

3

個，負的解也有

3

個，連同

x = 0

共

7

個。

數 sin x 等於一次式的解，把直線畫到 y 等於正負 1 為止，再一個拱一個拱地數交點。

06填充 B～D（本頁第 11～13 題）：等比數列、機率

第 11 題設

S = a_{1} + a_{4} + a_{7} + a_{10} + a_{13}

。公比是

2

，所以

a_{2} + a_{5} + a_{8} + a_{11} + a_{14}

的每一項都是

S

中對應項的

2

倍，和為

2 S

；

a_{3} + a_{6} + a_{9} + a_{12} + a_{15}

的和為

4 S

。三組合起來就是前

15

項的和：

S + 2 S + 4 S = 7 S = 700

，

S = 100

。

第 12 題設男生

x

人、女生

25 - x

人。選出的兩人不是同性就是異性，兩個機率相等，所以各是

\frac{1}{2}

。任選兩人有

C_{2}^{25} = 300

種，異性有

x (25 - x)

種，所以

x (25 - x) = 150

，

x^{2} - 25 x + 150 = 0

，

(x - 10) (x - 15) = 0

。女生較多，所以男生

10

人、女生

15

人，女生比男生多

5

人。

驗算：同性有

C_{2}^{10} + C_{2}^{15} = 45 + 105 = 150

種，確實也是一半。

第 13 題「行」是直的，由上而下三格。先看餘事件「三行都不是由上而下遞增」。不論哪三個數被分到同一行，這三個數在該行由上而下的排法有

3! = 6

種，其中只有

1

種是遞增，

5

種不是。把九個數分給三行的方法有

C_{3}^{9} C_{3}^{6} C_{3}^{3}

種，每一種分法之下，三行各自排列共

6 \times 6 \times 6

種，其中三行都不遞增的有

5 \times 5 \times 5

種。所以三行都不遞增的機率

= \frac{5 ^{3}}{6 ^{3}} = \frac{125}{216}

，至少有一行遞增的機率

= 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}

。

每一行遞增的機率是

\frac{1}{6}

，三行互不影響，所以也可以直接寫

1 - (\frac{5}{6})^{3}

。

看到「至少有一個」，先算一個都沒有的機率，再用 1 去減。

07填充 E～F（本頁第 14～15 題）：三角形中的長度與面積

第 14 題

A

、

C

同時收到信號，所以

\overline{P A} = \overline{P C}

；

A

、

C

比

B

晚

8

秒，所以

\overline{P A} = \overline{P B} + 8 \times 1.5 = \overline{P B} + 12

。設

\overline{P B} = x

，則

\overline{P A} = \overline{P C} = x + 12

。作

\overline{P H}

垂直

\overline{A C}

於

H

，因為

\overline{P A} = \overline{P C}

，

H

是

\overline{A C}

的中點，

\overline{A H} = 25

，

\overline{B H} = 25 - 20 = 5

。設

\overline{P H} = h

，由畢氏定理：

h^{2} = (x + 12)^{2} - 2 5^{2}

，

h^{2} = x^{2} - 5^{2}

。兩式相減：

(x + 12)^{2} - x^{2} = 625 - 25

，

24 x + 144 = 600

，

x = 19

。所以

h^{2} = 1 9^{2} - 25 = 336

，

h = 336 = 421

浬。

附圖是示意圖，

P

的高度沒有照實際比例畫。驗算：

\overline{P A} = 336 + 625 = 31 = 19 + 12

。

第 15 題

∠ D A B = 9 0^{\circ}

，所以

∠ B A F = 9 0^{\circ} - θ

。直角三角形

A B F

中（

∠ A F B = 9 0^{\circ}

，斜邊

\overline{A B} = 6

）：

\overline{A F} = 6 cos (9 0^{\circ} - θ) = 6 sin θ

，

\overline{B F} = 6 sin (9 0^{\circ} - θ) = 6 cos θ

。直角三角形

A D E

中（

∠ D = 9 0^{\circ}

，

\overline{A D} = 4

）：

\overline{A E} = \frac{4}{cos θ}

。所以

\overline{E F} = \overline{A E} - \overline{A F} = \frac{4}{cos θ} - 6 sin θ

。

\overline{B F}

垂直

\overline{E F}

，

△ B E F

的面積

= \frac{1}{2} \cdot \overline{E F} \cdot \overline{B F} = \frac{1}{2} (\frac{4}{cos θ} - 6 sin θ) \cdot 6 cos θ = 12 - 18 sin θ cos θ

。令它等於

8

，得

sin θ cos θ = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}

。

也可以用面積相減：

△ A B E

的底

\overline{A B} = 6

、高

4

，面積是

12

；

△ A B F

的面積是

\frac{1}{2} \cdot 6 sin θ \cdot 6 cos θ = 18 sin θ cos θ

；兩者相減就是

△ B E F

。附圖是示意圖，

E

的位置沒有照實際比例畫。

圖形裡有直角就找直角三角形，把要用的邊都用同一個角的正弦、餘弦表示。

08混合題（本頁第 16～17 題）：單利與複利

第 16 題設本金為

P

。單利每年的利息都是本金的

r %

，所以

a_{n} = P (1 + \frac{n r}{100})

，後一項減前一項固定是

\frac{P r}{100}

，是等差數列。複利每年把利息併入本金，本利和每年變成前一年的

(1 + \frac{r}{100})

倍，所以

b_{n} = P (1 + \frac{r}{100})^{n}

，後一項除以前一項固定是

1 + \frac{r}{100}

，是等比數列。選 (3)。

第 17 題設本金為

P

，年利率

3 %

。單利：

n

年後本利和為

P (1 + 0.03 n)

，令

P (1 + 0.03 n) = 2 P

，得

0.03 n = 1

，

n = \frac{100}{3} \approx 33.3

年。複利：由

70

法則，本利和達到

2

倍約需

\frac{70}{3} \approx 23.3

年。兩者相差

\frac{100}{3} - \frac{70}{3} = \frac{30}{3} = 10

年。答：約

10

年。

不用

70

法則，直接解

(1.03)^{n} = 2

，

n = \frac{lo g 2}{lo g 1.03} \approx 23.4

，相差約

9.9

年，四捨五入同樣是

10

年。

單利每年加固定的錢，是等差；複利每年乘固定的倍數，是等比。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

興大附中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 7 題：已知兩邊和一個對角，正弦值與外接圓半徑可以確定，但角 C 有銳角與鈍角兩種，餘弦值和三角形都不能確定。多選第 8 題：圖上相鄰的最高點與最低點只隔半個週期，週期是 6 不是 3；最後一個選項要把所有與 x 軸的交點寫出來。填充 A（本頁第 10 題）：要連 0 與負的解一起數，共 7 個。多選第 3 題：斜率是負的，變成一半之後反而比較大。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 112 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～2：標準差的比較、等差數列

02多選 3、9：數據的線性變換

03多選 4、7：三角形的邊角關係

04多選 5～6：抽籤與條件機率

05多選 8、填充 A（本頁第 10 題）：正弦函數的圖形

06填充 B～D（本頁第 11～13 題）：等比數列、機率

07填充 E～F（本頁第 14～15 題）：三角形中的長度與面積

08混合題（本頁第 16～17 題）：單利與複利

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興大附中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

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興大附中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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