段考詳解範圍：實數與絕對值、指數與算幾不等式、常用對數、多項式的除法原理

興大附中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 113 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 113 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 2 題不能對兩個括號各用一次算幾不等式，兩個等號無法同時成立，要先展開；多選第 8 題選項 (4) 要真的算出中間的數是七分之九十五，它比二分之二十七大；多選第 10 題選項 (5) 與選填 E 題（本頁第 15 題）都要檢查餘式的次數低於除式，不夠低要再除一次；選填 F 題（本頁第 16 題）要先把餘式移項，再找兩個三次式的公因式。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 7 題（35 分）、多選題 3 題（24 分）、選填題 6 題（30 分）、計算題 1 題 3 小題（11 分）。卷首給參考值 √2≈1.414、√3≈1.732、log 2≈0.3010、log 3≈0.4771、log 5≈0.6990、log 7≈0.8451。答案已與學校公布的答案逐題核對

參考值：√2≈1.414，√3≈1.732；log 2≈0.3010，log 3≈0.4771，log 5≈0.6990，log 7≈0.8451（即 10 的 0.3010 次方≈2，10 的 0.4771 次方≈3，10 的 0.6990 次方≈5，10 的 0.8451 次方≈7）｜一、單選題（占 35 分）｜說明：第 1 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

P

為數線上的一整數點，已知點

P

與點

173

的距離小於

6

，且與點

57

的距離大於

4

，則滿足條件的點

P

共有幾個？

(1) $5$ 個
(2) $6$ 個
(3) $7$ 個
(4) $8$ 個
(5) $9$ 個

設

a

、

b

皆為非零的正實數，試求

(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}) \times (\frac{3}{a} + \frac{2}{b})

的最小值等於多少？

(1) $\frac{13}{3}$
(2) $\frac{51}{12}$
(3) $\frac{25}{6}$
(4) $\frac{49}{12}$
(5) $4$

設

x

、

y

、

z

皆為有理數，且滿足

3^{3 x} = 9^{y} = (\frac{1}{81})^{z}

，若

x + y + z = 14

，則

z

值等於多少？

(1) $- 6$
(2) $- 2$
(3) $4$
(4) $8$
(5) $12$

要計算常用對數值，可利用具有「

lo g

」功能鍵（取常用對數值）的計算器，以

lo g 3

為例：依序鍵入「

3

」，「

lo g

」，即可得

0.477121254

，如下圖所示，也就是說，

lo g 3 \approx 0.477121254

。那麼若在某種超大型的計算器中鍵入一個正整數

N

，接著連續按鍵「

lo g

」兩次，視窗顯示得到的答案等於

3

。試問這個正整數

N

是一個幾位數？

(1) $900$
(2) $901$
(3) $1000$
(4) $1001$
(5) 以上皆非

載入中...

已知

a = 0. \overline{3} + 0. \overline{7}

，

b = 0. \overline{9}

，

c = (1.2)^{2} - 2 \times 1.2 \times 0.2 + (0.2)^{2}

，

d = (0.9)^{3} + 0.3 \times (0.9)^{2} + 2.7 \times (0.1)^{2} + (0.1)^{3}

，則此四個實數

a, b, c, d

的大小順序，滿足下列哪一個選項？

(1) $a > d > c > b$
(2) $a = c = d > b$
(3) $a > b = c = d$
(4) $a > c = d > b$
(5) $a = b = c = d$

設

f (x)

為實係數三次多項式函數，滿足

(x - 1) f (x)

除以

x^{3} - 2

的餘式為

2 x + 1

。若

f (0) = 7

，則

f (4)

的值

=

？

(1) $1$
(2) $3$
(3) $6$
(4) $9$
(5) 以上皆非

設實係數多項式

f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + a x + b

，已知

(x^{2} - 2 x + 5)

整除

f (x)

，則實數

a + b

之值

=

？

(1) $- 47$
(2) $- 46$
(3) $- 45$
(4) $- 44$
(5) $- 43$

二、多選題（占 24 分）｜說明：第 8 題至第 10 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列選項中，選出正確的選項。

(1) 設實數 $a$ ， $b$ 滿足 $0 < a < 1$ ， $0 < b < 1$ ，則 $0 < \frac{a}{b} < 1$ 。
(2) 設 $a$ 、 $b$ 均為非負有理數，且 $x$ 、 $y$ 均為無理數，若 $a + x = b + y$ ，則 $a = b$ 且 $x = y$ 。
(3) 無理數 $43 - 27$ 介於整數 $6$ 與整數 $7$ 之間。
(4) $13 < \frac{3 169 + 4 196}{7} < \frac{27}{2}$ 。
(5) $(3 - 2)^{3} + \frac{1}{( 3 - 2 ) ^{3}} = 183$ 。

下列選項中，選出正確的選項。

(1) 每一個正數都可以表示（寫成）為 $10$ 的某次方。
(2) $(\frac{125}{8})^{\frac{2}{3}} \times (0.25)^{- 2} = 100$ 。
(3) 若 $a = lo g 2$ ， $b = lo g 50$ ，則 $a + b$ 的值 $= 100$ 。
(4) 若 $lo g x = 1.7$ ， $lo g y = 1.3$ ，則 $x y$ 的值 $= 100$ 。
(5) 若 $lo g m = 2.3$ ， $lo g n = 4.3$ ，則 $n$ 是 $m$ 的 $100$ 倍。

設多項式

f (x)

除以

x^{3} - 1

的商式為

x (x - 1)

，餘式為

2 x^{2} - 2 x + 3

，請選出正確的選項。

(1) $f (1) = 3$ 。
(2) 多項式 $f (x)$ 除以 $3 x - 3$ 所得的餘式為 $9$ 。
(3) 多項式 $f (x)$ 除以 $x (x - 1)$ 所得的餘式為 $3$ 。
(4) 多項式 $f (x)$ 除以 $x (x - 1)^{2}$ 所得的商式為 $x^{2} + x + 1$ 。
(5) 多項式 $f (x)$ 除以 $(x - 1)^{2}$ 所得的商式為 $x^{3} + x^{2} + x$ 。

三、選填題（占 30 分）｜說明：1. 第 A 至 F 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（11–23）。2. 第 A 至 F 題：每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。3. 若答案為分數，必須化為最簡分數；若為根式，必須化為最簡根式。並注意分子、分母的列號順序。（本頁第 11～16 題依序為原卷的 A～F 題）

若不等式

∣2 x - 1∣ - 3∣ x - 2∣ \leq - 2

之解為

x \leq α

或

x \geq β

，則實數對

(α, β) =

____。

若

x

，

y

為兩正實數，且滿足

x^{- 3} y^{\frac{3}{2}} = 1

及

\frac{1}{2} lo g y = 1

，則

\frac{x - y}{10}

之值

=

____。

設室溫

30

℃ 下，剛出爐的麵包溫度為

x

℃，經過

t

分鐘後的溫度

H

℃，將符合牛頓提出的冷卻定律公式

H = 25 + (x - 30) \times 1.2 5^{- t}

。設

3

分鐘後測量麵包的溫度為

50.6

℃，求該麵包出爐時的溫度為 ____ ℃。（四捨五入到整數位）

聲壓是用每平方公尺多少牛頓（N／m

^{2}

）來衡量聲音的強度，若以

x

表示聲壓，以 dB（分貝）表示聲壓所產生的噪音分貝數，則

x

與 dB 的關係式為

dB = 10 \times lo g (\frac{x}{x _{0}})^{2}

，其中

x_{0} = 2 \times 1 0^{- 5}

（N／m

^{2}

）為國際公認之參考聲壓（即一個人能感覺聲音的最小強度）。試求當噪音分貝數為

60

時，它的噪音聲壓為 ____（N／m

^{2}

）。（最簡分數）

設實係數多項式

f (x)

除以

x^{2} - 2 x + 2

的餘式為

6 x - 7

，若

(x + 1) \cdot f (x)

除以

x^{2} - 2 x + 2

的餘式為

m x + n

，則實數

m + n

之值

=

____。

給定二次多項式

f (x) = x^{2} + a x + b

，已知多項式

x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2

除以

f (x)

其餘式為

3 x + 2

，多項式

x^{3} + x^{2} - x - 1

除以

f (x)

其餘式為

4 x + 1

，則實數對

(a, b) =

____。

四、計算題（請用黑色之墨水筆於「答案卷」上詳列算式過程，未於作答卷上作答者，以零分計算，占 11 分）（本頁第 17～19 題依序為原卷計算題第 1 題的 (1)、(2)、(3)）

計算題第 1 題（第 17～19 題）　設多項式

f (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 6

，試回答下列問題。

(1) 若

f (x) = a (x - 3)^{4} + b (x - 3)^{3} + c (x - 3)^{2} + d (x - 3) + e

，請使用綜合除法，求實數

a, b, c, d, e

之值。（5 分）

(2) 求

f (2.99)

的近似值（四捨五入至小數點後第二位）。（3 分）

(3) 若

f (3 + 2) = m + n 2

，求有理數對

(m, n)

。（3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(3)

第 3 題(1)

第 4 題(4)

第 5 題(3)

第 6 題(2)

第 7 題(5)

第 8 題(3)(5)

第 9 題(1)(2)(5)

第 10 題(1)(3)(4)

第 11 題

(1, 7)

第 12 題

- 9

第 13 題

80

第 14 題

\frac{1}{50}

第 15 題

- 8

第 16 題

(3, 1)

第 17 題

a = 1

，

b = 7

，

c = 13

，

d = 2

，

e = 3

第 18 題

2.98

第 19 題

(33, 16)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～7：絕對值、算幾不等式、指數、常用對數與多項式的除法

第 1 題答案 (4)。

1 3^{2} = 169 < 173 < 196 = 1 4^{2}

，所以

13 < 173 < 14

；

7^{2} = 49 < 57 < 64 = 8^{2}

，所以

7 < 57 < 8

。與

173

的距離小於

6

：

173 - 6 < P < 173 + 6

，左端在

7

與

8

之間、右端在

19

與

20

之間，整數

P = 8, 9, \dots, 19

。與

57

的距離大於

4

：

P > 57 + 4

（在

11

與

12

之間）或

P < 57 - 4

（在

3

與

4

之間），整數

P \geq 12

或

P \leq 3

。兩個條件都要成立：

P = 12, 13, \dots, 19

，共

8

個。

不必算出根號的小數，只要知道它夾在哪兩個相鄰整數之間，就能決定整數點的範圍。

第 2 題答案 (3)。展開：

(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}) (\frac{3}{a} + \frac{2}{b}) = \frac{3}{2} + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{2}{3} = \frac{13}{6} + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

。

\frac{a}{b}

、

\frac{b}{a}

都是正數，由算幾不等式

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 2

，等號在

\frac{a}{b} = \frac{b}{a}

，即

a = b

時成立。所以最小值是

\frac{13}{6} + 2 = \frac{25}{6}

。

若對兩個括號各自用算幾不等式再相乘，得到的是

2 \frac{ab}{6} \times 2 \frac{6}{ab} = 4

，但兩個等號要

\frac{a}{2} = \frac{b}{3}

和

\frac{3}{a} = \frac{2}{b}

同時成立，化簡後是

3 a = 2 b

和

3 b = 2 a

，正數

a

、

b

做不到，所以

4

到不了。

第 3 題答案 (1)。全部化成以

3

為底：

9^{y} = 3^{2 y}

，

(\frac{1}{81})^{z} = (3^{- 4})^{z} = 3^{- 4 z}

。所以

3 x = 2 y = - 4 z

。設這個共同的值是

k

，則

x = \frac{k}{3}

，

y = \frac{k}{2}

，

z = - \frac{k}{4}

。代入

x + y + z = 14

：

\frac{k}{3} + \frac{k}{2} - \frac{k}{4} = \frac{7 k}{12} = 14

，

k = 24

。所以

z = - 6

（此時

x = 8

，

y = 12

）。

原卷這一句印成「設

a

、

b

、

c

皆為有理數」，但式子與所求用的是

x

、

y

、

z

，本頁題幹寫成

x

、

y

、

z

。

第 4 題答案 (4)。按一次「

lo g

」得到

lo g N

，再按一次得到

lo g (lo g N) = 3

。由常用對數的定義，

lo g N = 1 0^{3} = 1000

，再用一次定義，

N = 1 0^{1000}

。

1 0^{1000}

是

1

後面接

1000

個

0

，共

1001

位數。

1 0^{n}

（

n

為正整數）是

n + 1

位數，例如

1 0^{2} = 100

是三位數。

第 5 題答案 (3)。

a = \frac{3}{9} + \frac{7}{9} = \frac{10}{9}

。

b = 0. \overline{9} = \frac{9}{9} = 1

。

c

的根號裡是

(1.2 - 0.2)^{2} = 1

，所以

c = 1

。

d

的根號裡：

0.3 \times (0.9)^{2} = 3 \times (0.9)^{2} \times 0.1

，

2.7 \times (0.1)^{2} = 3 \times 0.9 \times (0.1)^{2}

，所以是

(0.9 + 0.1)^{3} = 1

，

d = 1

。因此

a > b = c = d

。

用到

(p + q)^{3} = p^{3} + 3 p^{2} q + 3 p q^{2} + q^{3}

，取

p = 0.9

、

q = 0.1

。

第 6 題答案 (2)。

(x - 1) f (x)

是四次式，除以三次式

x^{3} - 2

，商式是一次式，設為

p x + q

：

(x - 1) f (x) = (x^{3} - 2) (p x + q) + 2 x + 1

。代

x = 1

：

0 = - (p + q) + 3

，所以

p + q = 3

。代

x = 0

：

- f (0) = - 2 q + 1

，即

- 7 = - 2 q + 1

，

q = 4

，所以

p = - 1

。代

x = 4

：

3 f (4) = (64 - 2) (- 4 + 4) + 9 = 9

，所以

f (4) = 3

。

p = - 1 \neq = 0

，商式確實是一次式，

f (x)

是三次式，與題意相符。

第 7 題答案 (5)。設商式為

x^{2} + p x + q

：

(x^{2} - 2 x + 5) (x^{2} + p x + q) = x^{4} + (p - 2) x^{3} + (q - 2 p + 5) x^{2} + (5 p - 2 q) x + 5 q

。比較係數：

p - 2 = - 4

，

p = - 2

；

q - 2 p + 5 = - 2

，

q = - 11

。所以

a = 5 p - 2 q = - 10 + 22 = 12

，

b = 5 q = - 55

，

a + b = - 43

。

除法原理的題目先寫出「被除式＝除式×商式＋餘式」，再代入讓式子變簡單的數，或比較係數。

02多選 8～10：實數的性質、常用對數與除法原理

第 8 題答案 (3)(5)。(1) × 取

a = \frac{1}{2}

、

b = \frac{1}{4}

，則

\frac{a}{b} = 2 > 1

。(2) × 取

a = 1

、

x = 2

、

b = 0

、

y = 1 + 2

，則

a + x = b + y

，但

a \neq = b

。(3) ○

5 < 27 < 6

，所以

37 < 43 - 27 < 38

，而

36 < 37

、

38 < 49

，開根號後介於

6

與

7

之間。(4) ×

169 = 13

，

196 = 14

，中間的數是

\frac{39 + 56}{7} = \frac{95}{7}

；

\frac{95}{7} - \frac{27}{2} = \frac{190 - 189}{14} = \frac{1}{14} > 0

，它比

\frac{27}{2}

大，右邊的不等式不成立。(5) ○

\frac{1}{3 - 2} = 3 + 2

，所以原式

= (3 - 2)^{3} + (3 + 2)^{3}

。展開後含

2

的奇次項互相消去，剩下

2 [(3)^{3} + 3 \cdot 3 \cdot (2)^{2}] = 2 (33 + 63) = 183

。

(2) 兩個無理數可以相差一個有理數，所以只說

x

、

y

是無理數，推不出

a = b

。(4) 的

\frac{95}{7}

是數線上

13

與

14

之間、把線段分成

4 : 3

的分點，比中點

\frac{27}{2}

靠近

14

。

第 9 題答案 (1)(2)(5)。(1) ○ 對任何正數

a

，

lo g a

就是滿足

1 0^{t} = a

的那個實數

t

，所以

a = 1 0^{l o g a}

。(2) ○

(\frac{125}{8})^{\frac{2}{3}} = [(\frac{5}{2})^{3}]^{\frac{2}{3}} = (\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}

；

(0.25)^{- 2} = (\frac{1}{4})^{- 2} = 16

；相乘得

100

。(3) ×

1 0^{a} = 2

，

1 0^{b} = 50

，所以

1 0^{a + b} = 100 = 1 0^{2}

，

a + b = 2

，不是

100

。(4) ×

x = 1 0^{1.7}

，

y = 1 0^{1.3}

，

x y = 1 0^{3} = 1000

。(5) ○

\frac{n}{m} = \frac{1 0 ^{4.3}}{1 0 ^{2.3}} = 1 0^{2} = 100

。

(3) 和 (4) 都是把「對數值」與「真數」弄混：對數相加等於

2

，真數相乘才是

100

。

第 10 題答案 (1)(3)(4)。由題意

f (x) = (x^{3} - 1) x (x - 1) + 2 x^{2} - 2 x + 3

，其中

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

。(1) ○

f (1) = 0 + 2 - 2 + 3 = 3

。(2) ×

3 x - 3 = 3 (x - 1)

，除以它的餘式是常數，代

x = 1

得餘式

f (1) = 3

，不是

9

（除式變成

3

倍時，商式變成原來的三分之一，餘式不變）。(3) ○

2 x^{2} - 2 x + 3 = 2 x (x - 1) + 3

，所以

f (x) = x (x - 1) [(x^{3} - 1) + 2] + 3

，餘式

3

是常數，次數低於除式。(4) ○

f (x) = x (x - 1)^{2} (x^{2} + x + 1) + (2 x^{2} - 2 x + 3)

，餘式是二次、除式是三次，符合除法原理，商式是

x^{2} + x + 1

。(5) ×

f (x) = (x - 1)^{2} (x^{3} + x^{2} + x) + (2 x^{2} - 2 x + 3)

，但除式

(x - 1)^{2}

是二次，餘式必須低於二次；

2 x^{2} - 2 x + 3 = 2 (x - 1)^{2} + (2 x + 1)

，所以商式是

x^{3} + x^{2} + x + 2

，餘式是

2 x + 1

。

換一個除式時，先把原式整理成「新除式×某式＋剩下的」，再檢查剩下的那一塊次數是否低於新除式；不夠低就還要再除一次。

判斷「恆成立」的敘述，舉得出一個反例就是錯的；判斷商式與餘式，一定要檢查餘式的次數低於除式。

03選填 A～F（第 11～16 題）：絕對值不等式、指數與對數模型、多項式的餘式

第 11 題兩個絕對值在

x = \frac{1}{2}

與

x = 2

變號，分三段。

x < \frac{1}{2}

：

(1 - 2 x) - 3 (2 - x) = x - 5 \leq - 2

，

x \leq 3

，這一段全部符合，得

x < \frac{1}{2}

。

\frac{1}{2} \leq x < 2

：

(2 x - 1) - 3 (2 - x) = 5 x - 7 \leq - 2

，

x \leq 1

，得

\frac{1}{2} \leq x \leq 1

。

x \geq 2

：

(2 x - 1) - 3 (x - 2) = - x + 5 \leq - 2

，

x \geq 7

。合起來是

x \leq 1

或

x \geq 7

，所以

(α, β) = (1, 7)

。

每一段解出來的範圍都要和那一段的前提取交集，最後再把三段合起來。

第 12 題由

\frac{1}{2} lo g y = 1

得

lo g y = 2

，所以

y = 1 0^{2} = 100

。由

x^{- 3} y^{\frac{3}{2}} = 1

得

x^{3} = y^{\frac{3}{2}} = 10 0^{\frac{3}{2}} = (1 0^{2})^{\frac{3}{2}} = 1 0^{3}

，

x

是正實數，所以

x = 10

。

\frac{x - y}{10} = \frac{10 - 100}{10} = - 9

。

第 13 題代入

t = 3

、

H = 50.6

：

50.6 = 25 + (x - 30) \times 1.2 5^{- 3}

，所以

x - 30 = 25.6 \times 1.2 5^{3}

。

1.25 = \frac{5}{4}

，

1.2 5^{3} = \frac{125}{64}

，而

25.6 = \frac{256}{10}

，所以

x - 30 = \frac{256}{10} \times \frac{125}{64} = \frac{4 \times 125}{10} = 50

，

x = 80

。出爐時的溫度是

80

℃。

題幹寫室溫

30

℃，但公式的常數項印的是

25

，兩者不一致；本頁照卷面所印的公式計算，結果正好是整數，與原卷參考答案相同。

第 14 題代入

dB = 60

：

60 = 10 \times lo g (\frac{x}{x _{0}})^{2}

，所以

lo g (\frac{x}{x _{0}})^{2} = 6

。由常用對數的定義，

(\frac{x}{x _{0}})^{2} = 1 0^{6}

；聲壓是正數，所以

\frac{x}{x _{0}} = 1 0^{3}

。

x = 1 0^{3} \times 2 \times 1 0^{- 5} = 2 \times 1 0^{- 2} = \frac{1}{50}

（N／m

^{2}

）。

第 15 題設

f (x) = (x^{2} - 2 x + 2) q (x) + 6 x - 7

。兩邊乘以

x + 1

：

(x + 1) f (x) = (x^{2} - 2 x + 2) (x + 1) q (x) + (x + 1) (6 x - 7)

。後面那一塊

(x + 1) (6 x - 7) = 6 x^{2} - x - 7

是二次，還要再除以

x^{2} - 2 x + 2

：

6 x^{2} - x - 7 = 6 (x^{2} - 2 x + 2) + 11 x - 19

。所以餘式是

11 x - 19

，

m = 11

，

n = - 19

，

m + n = - 8

。

餘式乘上一次式後次數變成二次，不再低於除式，要再除一次。

第 16 題餘式移到左邊後就能被

f (x)

整除：

f (x)

整除

(x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2) - (3 x + 2) = x^{3} + 3 x^{2} + x = x (x^{2} + 3 x + 1)

，也整除

(x^{3} + x^{2} - x - 1) - (4 x + 1) = x^{3} + x^{2} - 5 x - 2

。第二個式子代

x = 2

得

8 + 4 - 10 - 2 = 0

，所以有因式

x - 2

，除出來是

x^{3} + x^{2} - 5 x - 2 = (x - 2) (x^{2} + 3 x + 1)

。

x

不是第二個式子的因式（代

x = 0

得

- 2

），

x - 2

也不是第一個式子的因式（代

x = 2

得

22

），所以兩個三次式的二次公因式只有

x^{2} + 3 x + 1

。因此

f (x) = x^{2} + 3 x + 1

，

(a, b) = (3, 1)

。

驗算：

x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2 = x (x^{2} + 3 x + 1) + (3 x + 2)

，

x^{3} + x^{2} - x - 1 = (x - 2) (x^{2} + 3 x + 1) + (4 x + 1)

。

「被除式減去餘式」一定能被除式整除；兩個條件各做一次，除式就是兩個結果的公因式。

04計算題（第 17～19 題）：連續綜合除法與它的兩個用途

第 17 題把

f (x)

連續除以

x - 3

，每次的餘數依序就是

e

、

d

、

c

、

b

，最後剩下的商是

a

。係數是

1, - 5, 4, 5, 6

。第一次：

1

；

- 5 + 3 = - 2

；

4 + (- 2) \times 3 = - 2

；

5 + (- 2) \times 3 = - 1

；

6 + (- 1) \times 3 = 3

。商的係數

1, - 2, - 2, - 1

，餘數

e = 3

。第二次：

1

；

- 2 + 3 = 1

；

- 2 + 1 \times 3 = 1

；

- 1 + 1 \times 3 = 2

。商的係數

1, 1, 1

，餘數

d = 2

。第三次：

1

；

1 + 3 = 4

；

1 + 4 \times 3 = 13

。商的係數

1, 4

，餘數

c = 13

。第四次：

1

；

4 + 3 = 7

。商是

1

，餘數

b = 7

，最後

a = 1

。所以

f (x) = (x - 3)^{4} + 7 (x - 3)^{3} + 13 (x - 3)^{2} + 2 (x - 3) + 3

，即

a = 1

，

b = 7

，

c = 13

，

d = 2

，

e = 3

。

檢查：

e = f (3) = 81 - 135 + 36 + 15 + 6 = 3

。原卷評分標準：

a

～

e

各 1 分，沒有使用綜合除法不給分。

第 18 題用 (1) 的結果，

x = 2.99

時

x - 3 = - 0.01

：

f (2.99) = (- 0.01)^{4} + 7 (- 0.01)^{3} + 13 (- 0.01)^{2} + 2 (- 0.01) + 3

。

(- 0.01)^{4} = 0.00000001

與

7 (- 0.01)^{3} = - 0.000007

都遠小於

0.005

，不影響小數點後第二位；

13 (- 0.01)^{2} = 0.0013

，

2 (- 0.01) = - 0.02

。所以

f (2.99) \approx 0.0013 - 0.02 + 3 = 2.9813

，四捨五入到小數點後第二位是

2.98

。

精確值是

2.98129301

。

第 19 題用 (1) 的結果，

x = 3 + 2

時

x - 3 = 2

：

f (3 + 2) = (2)^{4} + 7 (2)^{3} + 13 (2)^{2} + 22 + 3 = 4 + 142 + 26 + 22 + 3 = 33 + 162

。

m

、

n

是有理數而

2

是無理數，所以

m = 33

，

n = 16

，

(m, n) = (33, 16)

。

(2)^{3} = 22

，

(2)^{4} = 4

。

要算

x

很接近

3

或形如

3 + 2

的函數值時，先把多項式改寫成

(x - 3)

的多項式，代入就只剩很小的數或單純的根式。

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同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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興大附中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 2 題不能對兩個括號各用一次算幾不等式，兩個等號無法同時成立，要先展開；多選第 8 題選項 (4) 要真的算出中間的數是七分之九十五，它比二分之二十七大；多選第 10 題選項 (5) 與選填 E 題（本頁第 15 題）都要檢查餘式的次數低於除式，不夠低要再除一次；選填 F 題（本頁第 16 題）要先把餘式移項，再找兩個三次式的公因式。詳解逐題寫在本頁。

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興大附中 113 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～7：絕對值、算幾不等式、指數、常用對數與多項式的除法

02多選 8～10：實數的性質、常用對數與除法原理

03選填 A～F（第 11～16 題）：絕對值不等式、指數與對數模型、多項式的餘式

04計算題（第 17～19 題）：連續綜合除法與它的兩個用途

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高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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