段考詳解範圍：對數與對數律、指數函數與對數函數的圖形、指數與對數的應用、平面向量

興大附中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 114 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 8 題：選項 (4)(5) 要先由圖上的刻度看出 a 與 b 都大於 1，只看曲線的上下順序判斷不出來。多選第 7 題：B、C 兩家只是前後半年的利率對調，本利和相同；A 與 B 要比較 1.008 的平方和 1.004 乘 1.012。選填 B（本頁第 11 題）：方向相反要寫成負 3 倍，不是正 3 倍。選填 E（本頁第 14 題）：題目用的是向量 OC，不是圖上畫出箭頭的向量 CD。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

單選題 5 題（標題印每題 6 分、共 30 分，說明文字印答對得 5 分）、多選題 4 題（每題 10 分）、選填題 A～E 共 5 題（每題 6 分），以單選每題 6 分計合計 100 分；本頁第 10～14 題依序為卷面選填 A～E。卷頭印有參考數值：log2≈0.3010，log3≈0.4771，log5≈0.6990，log7≈0.8451。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單一選擇題(每題6分，共30分)(第1題至第5題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得5分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算)

設

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，則下列哪個選項可以表示

lo g_{12} 24

？（單選）

(1) $\frac{4 a + b}{2 a + b}$
(2) $\frac{2 a + b}{3 a + b}$
(3) $\frac{a + 2 b}{2 a + b}$
(4) $\frac{3 a + b}{2 a + b}$
(5) $\frac{4 a + b}{2 a + 3 b}$

生物學家透過觀察 DNA 甲基化的速度，得到柴犬的年齡

x

（歲）所對應的人類年齡

y

（歲）會滿足

y = 40 lo g x + 35

，其中

x

必須大於或等於

1

。根據上述法則，則

15

歲的柴犬相當於人類多少歲？（四捨五入至整數位）

(1) $80$
(2) $82$
(3) $84$
(4) $86$
(5) $88$

放射性物質的半衰期

T

定義為每經過時間

T

，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質

A

，

B

，開始記錄時容器中物質

A

的質量為物質

B

的

8

倍，而

90

小時後兩種物質的質量相同。已知物質

A

的半衰期為

10

小時，請問物質

B

的半衰期最接近幾小時？

(1) $11$ 小時
(2) $12$ 小時
(3) $13$ 小時
(4) $14$ 小時
(5) $15$ 小時

已知坐標平面上有一向量

v = (- 5, 7)

及兩點

A

、

B

，且點

A

的

x

坐標和

y

坐標、點

B

的

x

坐標和

y

坐標都落在區間

[0, 1]

內，試問

v + A B

的最大值為下列哪一個選項？

(1) $74$
(2) $45$
(3) $5$
(4) $74 + 2$
(5) $10$

試問有多少個整數

x

滿足

9^{20} < 3^{x} < 1 0^{20}

？

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $0$ 個

二、多重選擇題(每題10分，共40分)　說明：第6題至第9題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得10分；答錯1個選項者，得6分；答錯2個選項者，得2分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

已知點

(a, b)

是指數函數

y = f (x) = 3^{x}

圖形上的任一點，則下列哪些選項中的點也會在此

f (x)

的圖形上？

(1) $(a + 2, ab)$
(2) $(2 a, b^{2})$
(3) $(\frac{a}{2}, b)$
(4) $(a - 1, \frac{b}{3})$
(5) $(a^{2}, b^{2})$

小英於今年初，在 A、B、C 三家銀行各存入十萬元，存滿一年後取出。已知該年各銀行皆按下表列之月利率按月以複利計息。

1 \sim 6 月 7 \sim 12 月 A 銀行 0.8% 0.8% B 銀行 0.4% 1.2% C 銀行 1.2% 0.4%

假設存滿一年，小英在 A、B、C 三家銀行存款的本利和分別為

a

、

b

、

c

元，請問下列哪些式子為真？

(1) $a > b$
(2) $a > c$
(3) $b > c$
(4) $a = b = c$
(5) $a > b = c$

對數函數

y = a lo g x

、

y = b lo g x

與

y = c lo g x

的圖形如下圖，試問下列哪些選項是正確的？

(1) $a > 0$
(2) $c > 0$
(3) $a > b$
(4) $lo g_{a} b < 0$
(5) $lo g_{a} b < 1$

載入中...

已知點

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上的任一點，則下列哪些選項中的點也會在此

y = lo g x

的圖形上？

(1) $(10 a, b + 1)$
(2) $(a^{2}, b + 1)$
(3) $(a, \frac{b}{2})$
(4) $(a + 1, 2 b)$
(5) $(\frac{a}{100}, \frac{b}{2})$

二、選填題（每題6分，共30分）　說明：1. A至E題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（10–24）。2.每題完全答對給6分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

（卷面 A）若

x

，

y

為兩正實數，且滿足

x^{- \frac{1}{2}} y^{3} = 1

及

3 lo g y = 1

，則

x - y^{3} =

____。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

（卷面 B）坐標平面上有四點

A (2, 1)

、

B (7, x)

、

C (y, 3)

、

D (2, 9)

。若

A B = 3 C D

，且

A B

和

C D

方向相反，則

x + y

的值為 ____。（原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯ ◯}{◯}

）

（卷面 C）有兩個正實數

a

、

b

，已知

a b^{3} = 1 0^{4}

，

a^{2} b = 1 0^{2}

，則

lo g b =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯}

）

（卷面 D）如下圖所示，

x y

坐標平面上有一曲線為函數

y = lo g_{3} x

的部分圖形（圖中實線部分），直線

A B

與其交於

A

、

B

兩點，

A

、

B

兩點在

x

軸上的垂足分別是

2

、

18

（即為

A

、

B

兩點坐標的

x

分量），則

\overline{A B}

的長度為為 ____。（化成最簡根式）（原卷的答案格式為

◯ ◯ ◯

）

載入中...

（卷面 E）圖中的四邊形均為平行四邊形。已知

O A = a

、

O B = b

，若

R S = x O C + y P Q

，則

(x, y) =

____。（原卷的答案格式為

(\frac{◯ ◯}{10}, \frac{◯ ◯}{10})

）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)

第 3 題(5)

第 4 題(5)

第 5 題(1)

第 6 題(2)(3)(4)

第 7 題(1)(2)(5)

第 8 題(1)(3)(5)

第 9 題(1)(3)

第 10 題

90

第 11 題

- \frac{40}{3}

第 12 題

\frac{6}{5}

第 13 題

265

第 14 題

(- \frac{9}{10}, \frac{13}{10})

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：換底公式、對數模型代值、半衰期

第 1 題答案 (4)。由換底公式，

lo g_{12} 24 = \frac{lo g 24}{lo g 12}

。

24 = 2^{3} \times 3

，

lo g 24 = 3 lo g 2 + lo g 3 = 3 a + b

；

12 = 2^{2} \times 3

，

lo g 12 = 2 lo g 2 + lo g 3 = 2 a + b

。所以

lo g_{12} 24 = \frac{3 a + b}{2 a + b}

。

用卷頭數值檢查：

\frac{3 ( 0.3010 ) + 0.4771}{2 ( 0.3010 ) + 0.4771} = \frac{1.3801}{1.0791} \approx 1.279

，而

1 2^{1.279} \approx 24

。

第 2 題答案 (2)。

x = 15

代入：

lo g 15 = lo g 3 + lo g 5 \approx 0.4771 + 0.6990 = 1.1761

。

y = 40 \times 1.1761 + 35 = 47.044 + 35 = 82.044

，四捨五入為

82

歲。

也可以寫成

lo g 15 = lo g \frac{30}{2} = 1 + lo g 3 - lo g 2

，結果相同。

第 3 題答案 (5)。設開始時物質

B

的質量為

m

，則物質

A

為

8 m

。物質

A

的半衰期

10

小時，

90

小時經過

9

個半衰期，剩下

8 m \times (\frac{1}{2})^{9} = \frac{8 m}{512} = \frac{m}{64}

。設物質

B

的半衰期為

T

小時，

90

小時後剩下

m \times (\frac{1}{2})^{\frac{90}{T}}

。兩者相同：

(\frac{1}{2})^{\frac{90}{T}} = \frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^{6}

，比較指數得

\frac{90}{T} = 6

，

T = 15

。

驗算：

B

經過

90 \div 15 = 6

個半衰期剩

\frac{m}{64}

，與

A

相同。

半衰期問題：經過時間

t

剩下原來的

(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}

，兩邊化成同底數比較指數。

02單選第 4、5 題：向量和的長度最大值、取對數求整數個數

第 4 題答案 (5)。設

A B = (s, t)

，

s

是

B

與

A

的

x

坐標之差、

t

是

y

坐標之差；兩點的坐標都在

[0, 1]

內，所以

- 1 \leq s \leq 1

，

- 1 \leq t \leq 1

，而且

s = - 1

、

t = 1

取得到（

A (1, 0)

、

B (0, 1)

）。

v + A B = (- 5 + s, 7 + t)

，長度平方為

(s - 5)^{2} + (t + 7)^{2}

。

s

越小

(s - 5)^{2}

越大，最大是

s = - 1

時的

36

；

t

越大

(t + 7)^{2}

越大，最大是

t = 1

時的

64

。所以長度的最大值是

36 + 64 = 10

。

此時

v + A B = (- 6, 8)

。

第 5 題答案 (1)。左邊：

9^{20} = (3^{2})^{20} = 3^{40}

，

3^{40} < 3^{x}

，底數

3 > 1

，所以

x > 40

。右邊：

3^{x} < 1 0^{20}

，兩邊取常用對數：

x lo g 3 < 20

，

x < \frac{20}{0.4771} \approx 41.92

。整數

x

只有

41

，共

1

個。

檢查：

lo g 3^{41} = 41 \times 0.4771 \approx 19.56 < 20

，

lo g 3^{42} = 42 \times 0.4771 \approx 20.04 > 20

。

把不等式兩端化成同底數或取對數，夾出整數範圍。

03多選第 6、7 題：指數函數圖形上的點、按月複利

第 6 題答案 (2)(3)(4)。點

(a, b)

在圖形上，表示

b = 3^{a}

（所以

b > 0

）。(1) 錯誤。

3^{a + 2} = 9 \cdot 3^{a} = 9 b

，要等於

ab

必須

a = 9

，不是任一點都成立；例如

(0, 1)

在圖形上，但

(2, 0)

不在（

3^{2} = 9

）。(2) 正確。

3^{2 a} = (3^{a})^{2} = b^{2}

。(3) 正確。

3^{\frac{a}{2}} = (3^{a})^{\frac{1}{2}} = b

。(4) 正確。

3^{a - 1} = \frac{3 ^{a}}{3} = \frac{b}{3}

。(5) 錯誤。 要

3^{a^{2}} = b^{2} = 3^{2 a}

，必須

a^{2} = 2 a

；例如

(1, 3)

在圖形上，但

3^{1} = 3 \neq = 9

，

(1, 9)

不在。

判斷方法：把新點的

x

坐標代入

3^{x}

，用指數律化成

b

的式子，看是否恰好等於新點的

y

坐標。

第 7 題答案 (1)(2)(5)。按月複利，本利和是本金乘上每個月的「

1 +

月利率」：

a = 1 0^{5} \times 1.00 8^{12}

，

b = 1 0^{5} \times 1.00 4^{6} \times 1.01 2^{6}

，

c = 1 0^{5} \times 1.01 2^{6} \times 1.00 4^{6}

。乘法可以交換次序，所以

b = c

。比較

a

與

b

：

a = 1 0^{5} \times (1.00 8^{2})^{6}

，

b = 1 0^{5} \times (1.004 \times 1.012)^{6}

，而

1.00 8^{2} = 1.016064

，

1.004 \times 1.012 = 1.016048

，前者較大，正數的

6

次方保持大小順序，所以

a > b

。因此

a > b = c

。(1) 正確。 (2) 正確。

a > b = c

。(3) 錯誤。

b = c

。(4) 錯誤。

a \neq = b

。(5) 正確。

另一種看法：

1.004 \times 1.012 = (1.008 - 0.004) (1.008 + 0.004) = 1.00 8^{2} - 0.00 4^{2} < 1.00 8^{2}

。

前後兩段利率對調，本利和不變；平均利率相同時，利率平均分配的本利和比較大。

04多選第 8、9 題：由圖形判斷係數、對數函數圖形上的點

第 8 題答案 (1)(3)(5)。

y = k lo g x

的圖形都通過

(1, 0)

。當

x > 1

時

lo g x > 0

，

y

的正負與

k

相同，而且

k

越大圖形越高。由圖：

x > 1

時，

y = a lo g x

與

y = b lo g x

在

x

軸上方，

y = a lo g x

在

y = b lo g x

上方，

y = c lo g x

在

x

軸下方，所以

a > b > 0 > c

。(1) 正確。 (2) 錯誤。

c < 0

。(3) 正確。 (4)(5) 要知道

a

、

b

與

1

的大小。圖上標了

(0, 1)

與

(1, 0)

，兩軸的單位長相同。在

x = 10

處（距原點

10

個單位），

y = a lo g x

的值是

a lo g 10 = a

，

y = b lo g x

的值是

b

；圖上這兩條曲線在

x = 10

處的高度都明顯超過

1

個單位，所以

a > b > 1

。(4) 錯誤。

a > 1

且

b > 1

，

lo g_{a} b > 0

。(5) 正確。

a > 1

時

y = lo g_{a} x

遞增，

b < a

，所以

lo g_{a} b < lo g_{a} a = 1

。

(4)(5) 只能由圖上的刻度判斷。若不看刻度、只用曲線的上下順序（

a > b > 0

），(5) 不一定成立：例如

a = \frac{1}{2}

、

b = \frac{1}{4}

也有

a > b > 0 > c

的上下順序，此時

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2 > 1

。也可以用換底公式看：

lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a}

，

a > b > 1

時分子分母都是正的而且分子較小。

第 9 題答案 (1)(3)。點

(a, b)

在圖形上，表示

a > 0

且

b = lo g a

。(1) 正確。

lo g (10 a) = lo g 10 + lo g a = 1 + b

。(2) 錯誤。

lo g a^{2} = 2 b

，要等於

b + 1

必須

b = 1

；例如

(1, 0)

在圖形上，但

lo g 1^{2} = 0 \neq = 1

。(3) 正確。

lo g a = \frac{1}{2} lo g a = \frac{b}{2}

。(4) 錯誤。 例如

(1, 0)

：

lo g (1 + 1) = lo g 2 \neq = 0

。(5) 錯誤。

lo g \frac{a}{100} = b - 2

，要等於

\frac{b}{2}

必須

b = 4

；例如

(1, 0)

：

lo g \frac{1}{100} = - 2 \neq = 0

。

與第 6 題同一個方法：把新點的

x

坐標代入

lo g x

，用對數律化成

b

的式子再比較。

判斷

y = k lo g x

的係數：看

x > 1

那一段的高低；要和

1

比，就看

x = 10

處的函數值。

05選填第 10～12 題（卷面 A～C）：分數指數、方向相反的向量、取對數解聯立

第 10 題由

3 lo g y = 1

得

lo g y^{3} = 1

，

y^{3} = 10

。代入第一式：

x^{- \frac{1}{2}} \times 10 = 1

，

x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{10}

，即

\frac{1}{x} = \frac{1}{10}

，

x = 10

，

x = 100

。所以

x - y^{3} = 100 - 10 = 90

。

不必求出

y

本身，題目要的是

y^{3}

。

第 11 題

A B = (7 - 2, x - 1) = (5, x - 1)

，

C D = (2 - y, 9 - 3) = (2 - y, 6)

。兩向量方向相反、長度是

3

倍，所以

A B = - 3 C D

。比較分量：

5 = - 3 (2 - y) = 3 y - 6

，得

y = \frac{11}{3}

；

x - 1 = - 18

，得

x = - 17

。所以

x + y = - 17 + \frac{11}{3} = - \frac{40}{3}

。

驗算：

C D = (- \frac{5}{3}, 6)

，

- 3 C D = (5, - 18) = A B

。若誤寫成

+ 3

倍，會得到

x = 19

、

y = \frac{1}{3}

。

第 12 題兩式都取常用對數，令

A = lo g a

、

B = lo g b

：由

a b^{3} = 1 0^{4}

得

A + 3 B = 4

；由

a^{2} b = 1 0^{2}

得

2 A + B = 2

。第一式乘

2

再減第二式：

5 B = 6

，

B = \frac{6}{5}

。所以

lo g b = \frac{6}{5}

。

順便可得

A = 4 - 3 B = \frac{2}{5}

，代回

2 A + B = \frac{4}{5} + \frac{6}{5} = 2

，相符。

乘積與冪次的聯立方程式，兩邊取對數變成一次聯立方程式。

06選填第 13、14 題（卷面 D、E）：對數圖形上兩點的距離、格子圖上的線性組合

第 13 題

A

、

B

在

y = lo g_{3} x

上，

x

坐標分別是

2

、

18

，所以

A (2, lo g_{3} 2)

、

B (18, lo g_{3} 18)

。兩點

x

坐標差

18 - 2 = 16

；

y

坐標差

lo g_{3} 18 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} \frac{18}{2} = lo g_{3} 9 = 2

。

\overline{A B} = 1 6^{2} + 2^{2} = 260 = 265

。

不必分別算出

lo g_{3} 2

、

lo g_{3} 18

，相減後用對數律合併。

第 14 題以

a

、

b

表示各點：從圖上數格子，

C

在

O

沿

a

方向

1

格、沿

b

方向

5

格處，所以

O C = a + 5 b

。同樣

P = 3 a + b

、

Q = 6 a + 6 b

，

P Q = 3 a + 5 b

；

R = 4 a

、

S = 7 a + 2 b

，

R S = 3 a + 2 b

。由

R S = x O C + y P Q

：

3 a + 2 b = (x + 3 y) a + (5 x + 5 y) b

。

a

、

b

不平行，係數相等：

x + 3 y = 3

，

5 x + 5 y = 2

。由第二式

x + y = \frac{2}{5}

，與第一式相減：

2 y = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}

，

y = \frac{13}{10}

，

x = \frac{2}{5} - \frac{13}{10} = - \frac{9}{10}

。所以

(x, y) = (- \frac{9}{10}, \frac{13}{10})

。

題目用的是

O C

，圖上畫出的箭頭

C D

用不到。驗算：

- \frac{9}{10} (a + 5 b) + \frac{13}{10} (3 a + 5 b) = \frac{30}{10} a + \frac{20}{10} b = 3 a + 2 b

。

格子圖上的向量，先數格子寫成

a

、

b

的組合，再比較係數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

興大附中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 14 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 8 題：選項 (4)(5) 要先由圖上的刻度看出 a 與 b 都大於 1，只看曲線的上下順序判斷不出來。多選第 7 題：B、C 兩家只是前後半年的利率對調，本利和相同；A 與 B 要比較 1.008 的平方和 1.004 乘 1.012。選填 B（本頁第 11 題）：方向相反要寫成負 3 倍，不是正 3 倍。選填 E（本頁第 14 題）：題目用的是向量 OC，不是圖上畫出箭頭的向量 CD。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：對數與對數律、指數函數與對數函數的圖形、指數與對數的應用、平面向量

興大附中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 14 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 14 題，照原卷順序

設

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，則下列哪個選項可以表示

lo g_{12} 24

？（單選）

(1) $\frac{4 a + b}{2 a + b}$
(2) $\frac{2 a + b}{3 a + b}$
(3) $\frac{a + 2 b}{2 a + b}$
(4) $\frac{3 a + b}{2 a + b}$
(5) $\frac{4 a + b}{2 a + 3 b}$

生物學家透過觀察 DNA 甲基化的速度，得到柴犬的年齡

x

（歲）所對應的人類年齡

y

（歲）會滿足

y = 40 lo g x + 35

，其中

x

必須大於或等於

1

。根據上述法則，則

15

歲的柴犬相當於人類多少歲？（四捨五入至整數位）

(1) $80$
(2) $82$
(3) $84$
(4) $86$
(5) $88$

放射性物質的半衰期

T

定義為每經過時間

T

，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質

A

，

B

，開始記錄時容器中物質

A

的質量為物質

B

的

8

倍，而

90

小時後兩種物質的質量相同。已知物質

A

的半衰期為

10

小時，請問物質

B

的半衰期最接近幾小時？

(1) $11$ 小時
(2) $12$ 小時
(3) $13$ 小時
(4) $14$ 小時
(5) $15$ 小時

已知坐標平面上有一向量

v = (- 5, 7)

及兩點

A

、

B

，且點

A

的

x

坐標和

y

坐標、點

B

的

x

坐標和

y

坐標都落在區間

[0, 1]

內，試問

v + A B

的最大值為下列哪一個選項？

(1) $74$
(2) $45$
(3) $5$
(4) $74 + 2$
(5) $10$

試問有多少個整數

x

滿足

9^{20} < 3^{x} < 1 0^{20}

？

(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $0$ 個

已知點

(a, b)

是指數函數

y = f (x) = 3^{x}

圖形上的任一點，則下列哪些選項中的點也會在此

f (x)

的圖形上？

(1) $(a + 2, ab)$
(2) $(2 a, b^{2})$
(3) $(\frac{a}{2}, b)$
(4) $(a - 1, \frac{b}{3})$
(5) $(a^{2}, b^{2})$

小英於今年初，在 A、B、C 三家銀行各存入十萬元，存滿一年後取出。已知該年各銀行皆按下表列之月利率按月以複利計息。

1 \sim 6 月 7 \sim 12 月 A 銀行 0.8% 0.8% B 銀行 0.4% 1.2% C 銀行 1.2% 0.4%

假設存滿一年，小英在 A、B、C 三家銀行存款的本利和分別為

a

、

b

、

c

元，請問下列哪些式子為真？

(1) $a > b$
(2) $a > c$
(3) $b > c$
(4) $a = b = c$
(5) $a > b = c$

對數函數

y = a lo g x

、

y = b lo g x

與

y = c lo g x

的圖形如下圖，試問下列哪些選項是正確的？

(1) $a > 0$
(2) $c > 0$
(3) $a > b$
(4) $lo g_{a} b < 0$
(5) $lo g_{a} b < 1$

載入中...

已知點

(a, b)

是對數函數

y = lo g x

圖形上的任一點，則下列哪些選項中的點也會在此

y = lo g x

的圖形上？

(1) $(10 a, b + 1)$
(2) $(a^{2}, b + 1)$
(3) $(a, \frac{b}{2})$
(4) $(a + 1, 2 b)$
(5) $(\frac{a}{100}, \frac{b}{2})$

（卷面 A）若

x

，

y

為兩正實數，且滿足

x^{- \frac{1}{2}} y^{3} = 1

及

3 lo g y = 1

，則

x - y^{3} =

____。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

（卷面 B）坐標平面上有四點

A (2, 1)

、

B (7, x)

、

C (y, 3)

、

D (2, 9)

。若

A B = 3 C D

，且

A B

和

C D

方向相反，則

x + y

的值為 ____。（原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯ ◯}{◯}

）

（卷面 C）有兩個正實數

a

、

b

，已知

a b^{3} = 1 0^{4}

，

a^{2} b = 1 0^{2}

，則

lo g b =

____。（原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯}

）

（卷面 D）如下圖所示，

x y

坐標平面上有一曲線為函數

y = lo g_{3} x

的部分圖形（圖中實線部分），直線

A B

與其交於

A

、

B

兩點，

A

、

B

兩點在

x

軸上的垂足分別是

2

、

18

（即為

A

、

B

兩點坐標的

x

分量），則

\overline{A B}

的長度為為 ____。（化成最簡根式）（原卷的答案格式為

◯ ◯ ◯

）

載入中...

（卷面 E）圖中的四邊形均為平行四邊形。已知

O A = a

、

O B = b

，若

R S = x O C + y P Q

，則

(x, y) =

____。（原卷的答案格式為

(\frac{◯ ◯}{10}, \frac{◯ ◯}{10})

）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(2)

第 3 題(5)

第 4 題(5)

第 5 題(1)

第 6 題(2)(3)(4)

第 7 題(1)(2)(5)

第 8 題(1)(3)(5)

第 9 題(1)(3)

第 10 題

90

第 11 題

- \frac{40}{3}

第 12 題

\frac{6}{5}

第 13 題

265

第 14 題

(- \frac{9}{10}, \frac{13}{10})

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：換底公式、對數模型代值、半衰期

第 1 題答案 (4)。由換底公式，

lo g_{12} 24 = \frac{lo g 24}{lo g 12}

。

24 = 2^{3} \times 3

，

lo g 24 = 3 lo g 2 + lo g 3 = 3 a + b

；

12 = 2^{2} \times 3

，

lo g 12 = 2 lo g 2 + lo g 3 = 2 a + b

。所以

lo g_{12} 24 = \frac{3 a + b}{2 a + b}

。

用卷頭數值檢查：

\frac{3 ( 0.3010 ) + 0.4771}{2 ( 0.3010 ) + 0.4771} = \frac{1.3801}{1.0791} \approx 1.279

，而

1 2^{1.279} \approx 24

。

第 2 題答案 (2)。

x = 15

代入：

lo g 15 = lo g 3 + lo g 5 \approx 0.4771 + 0.6990 = 1.1761

。

y = 40 \times 1.1761 + 35 = 47.044 + 35 = 82.044

，四捨五入為

82

歲。

也可以寫成

lo g 15 = lo g \frac{30}{2} = 1 + lo g 3 - lo g 2

，結果相同。

第 3 題答案 (5)。設開始時物質

B

的質量為

m

，則物質

A

為

8 m

。物質

A

的半衰期

10

小時，

90

小時經過

9

個半衰期，剩下

8 m \times (\frac{1}{2})^{9} = \frac{8 m}{512} = \frac{m}{64}

。設物質

B

的半衰期為

T

小時，

90

小時後剩下

m \times (\frac{1}{2})^{\frac{90}{T}}

。兩者相同：

(\frac{1}{2})^{\frac{90}{T}} = \frac{1}{64} = (\frac{1}{2})^{6}

，比較指數得

\frac{90}{T} = 6

，

T = 15

。

驗算：

B

經過

90 \div 15 = 6

個半衰期剩

\frac{m}{64}

，與

A

相同。

半衰期問題：經過時間

t

剩下原來的

(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}

，兩邊化成同底數比較指數。

02單選第 4、5 題：向量和的長度最大值、取對數求整數個數

第 4 題答案 (5)。設

A B = (s, t)

，

s

是

B

與

A

的

x

坐標之差、

t

是

y

坐標之差；兩點的坐標都在

[0, 1]

內，所以

- 1 \leq s \leq 1

，

- 1 \leq t \leq 1

，而且

s = - 1

、

t = 1

取得到（

A (1, 0)

、

B (0, 1)

）。

v + A B = (- 5 + s, 7 + t)

，長度平方為

(s - 5)^{2} + (t + 7)^{2}

。

s

越小

(s - 5)^{2}

越大，最大是

s = - 1

時的

36

；

t

越大

(t + 7)^{2}

越大，最大是

t = 1

時的

64

。所以長度的最大值是

36 + 64 = 10

。

此時

v + A B = (- 6, 8)

。

第 5 題答案 (1)。左邊：

9^{20} = (3^{2})^{20} = 3^{40}

，

3^{40} < 3^{x}

，底數

3 > 1

，所以

x > 40

。右邊：

3^{x} < 1 0^{20}

，兩邊取常用對數：

x lo g 3 < 20

，

x < \frac{20}{0.4771} \approx 41.92

。整數

x

只有

41

，共

1

個。

檢查：

lo g 3^{41} = 41 \times 0.4771 \approx 19.56 < 20

，

lo g 3^{42} = 42 \times 0.4771 \approx 20.04 > 20

。

把不等式兩端化成同底數或取對數，夾出整數範圍。

03多選第 6、7 題：指數函數圖形上的點、按月複利

第 6 題答案 (2)(3)(4)。點

(a, b)

在圖形上，表示

b = 3^{a}

（所以

b > 0

）。(1) 錯誤。

3^{a + 2} = 9 \cdot 3^{a} = 9 b

，要等於

ab

必須

a = 9

，不是任一點都成立；例如

(0, 1)

在圖形上，但

(2, 0)

不在（

3^{2} = 9

）。(2) 正確。

3^{2 a} = (3^{a})^{2} = b^{2}

。(3) 正確。

3^{\frac{a}{2}} = (3^{a})^{\frac{1}{2}} = b

。(4) 正確。

3^{a - 1} = \frac{3 ^{a}}{3} = \frac{b}{3}

。(5) 錯誤。 要

3^{a^{2}} = b^{2} = 3^{2 a}

，必須

a^{2} = 2 a

；例如

(1, 3)

在圖形上，但

3^{1} = 3 \neq = 9

，

(1, 9)

不在。

判斷方法：把新點的

x

坐標代入

3^{x}

，用指數律化成

b

的式子，看是否恰好等於新點的

y

坐標。

第 7 題答案 (1)(2)(5)。按月複利，本利和是本金乘上每個月的「

1 +

月利率」：

a = 1 0^{5} \times 1.00 8^{12}

，

b = 1 0^{5} \times 1.00 4^{6} \times 1.01 2^{6}

，

c = 1 0^{5} \times 1.01 2^{6} \times 1.00 4^{6}

。乘法可以交換次序，所以

b = c

。比較

a

與

b

：

a = 1 0^{5} \times (1.00 8^{2})^{6}

，

b = 1 0^{5} \times (1.004 \times 1.012)^{6}

，而

1.00 8^{2} = 1.016064

，

1.004 \times 1.012 = 1.016048

，前者較大，正數的

6

次方保持大小順序，所以

a > b

。因此

a > b = c

。(1) 正確。 (2) 正確。

a > b = c

。(3) 錯誤。

b = c

。(4) 錯誤。

a \neq = b

。(5) 正確。

另一種看法：

1.004 \times 1.012 = (1.008 - 0.004) (1.008 + 0.004) = 1.00 8^{2} - 0.00 4^{2} < 1.00 8^{2}

。

前後兩段利率對調，本利和不變；平均利率相同時，利率平均分配的本利和比較大。

04多選第 8、9 題：由圖形判斷係數、對數函數圖形上的點

第 8 題答案 (1)(3)(5)。

y = k lo g x

的圖形都通過

(1, 0)

。當

x > 1

時

lo g x > 0

，

y

的正負與

k

相同，而且

k

越大圖形越高。由圖：

x > 1

時，

y = a lo g x

與

y = b lo g x

在

x

軸上方，

y = a lo g x

在

y = b lo g x

上方，

y = c lo g x

在

x

軸下方，所以

a > b > 0 > c

。(1) 正確。 (2) 錯誤。

c < 0

。(3) 正確。 (4)(5) 要知道

a

、

b

與

1

的大小。圖上標了

(0, 1)

與

(1, 0)

，兩軸的單位長相同。在

x = 10

處（距原點

10

個單位），

y = a lo g x

的值是

a lo g 10 = a

，

y = b lo g x

的值是

b

；圖上這兩條曲線在

x = 10

處的高度都明顯超過

1

個單位，所以

a > b > 1

。(4) 錯誤。

a > 1

且

b > 1

，

lo g_{a} b > 0

。(5) 正確。

a > 1

時

y = lo g_{a} x

遞增，

b < a

，所以

lo g_{a} b < lo g_{a} a = 1

。

(4)(5) 只能由圖上的刻度判斷。若不看刻度、只用曲線的上下順序（

a > b > 0

），(5) 不一定成立：例如

a = \frac{1}{2}

、

b = \frac{1}{4}

也有

a > b > 0 > c

的上下順序，此時

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2 > 1

。也可以用換底公式看：

lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a}

，

a > b > 1

時分子分母都是正的而且分子較小。

第 9 題答案 (1)(3)。點

(a, b)

在圖形上，表示

a > 0

且

b = lo g a

。(1) 正確。

lo g (10 a) = lo g 10 + lo g a = 1 + b

。(2) 錯誤。

lo g a^{2} = 2 b

，要等於

b + 1

必須

b = 1

；例如

(1, 0)

在圖形上，但

lo g 1^{2} = 0 \neq = 1

。(3) 正確。

lo g a = \frac{1}{2} lo g a = \frac{b}{2}

。(4) 錯誤。 例如

(1, 0)

：

lo g (1 + 1) = lo g 2 \neq = 0

。(5) 錯誤。

lo g \frac{a}{100} = b - 2

，要等於

\frac{b}{2}

必須

b = 4

；例如

(1, 0)

：

lo g \frac{1}{100} = - 2 \neq = 0

。

與第 6 題同一個方法：把新點的

x

坐標代入

lo g x

，用對數律化成

b

的式子再比較。

判斷

y = k lo g x

的係數：看

x > 1

那一段的高低；要和

1

比，就看

x = 10

處的函數值。

05選填第 10～12 題（卷面 A～C）：分數指數、方向相反的向量、取對數解聯立

第 10 題由

3 lo g y = 1

得

lo g y^{3} = 1

，

y^{3} = 10

。代入第一式：

x^{- \frac{1}{2}} \times 10 = 1

，

x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{10}

，即

\frac{1}{x} = \frac{1}{10}

，

x = 10

，

x = 100

。所以

x - y^{3} = 100 - 10 = 90

。

不必求出

y

本身，題目要的是

y^{3}

。

第 11 題

A B = (7 - 2, x - 1) = (5, x - 1)

，

C D = (2 - y, 9 - 3) = (2 - y, 6)

。兩向量方向相反、長度是

3

倍，所以

A B = - 3 C D

。比較分量：

5 = - 3 (2 - y) = 3 y - 6

，得

y = \frac{11}{3}

；

x - 1 = - 18

，得

x = - 17

。所以

x + y = - 17 + \frac{11}{3} = - \frac{40}{3}

。

驗算：

C D = (- \frac{5}{3}, 6)

，

- 3 C D = (5, - 18) = A B

。若誤寫成

+ 3

倍，會得到

x = 19

、

y = \frac{1}{3}

。

第 12 題兩式都取常用對數，令

A = lo g a

、

B = lo g b

：由

a b^{3} = 1 0^{4}

得

A + 3 B = 4

；由

a^{2} b = 1 0^{2}

得

2 A + B = 2

。第一式乘

2

再減第二式：

5 B = 6

，

B = \frac{6}{5}

。所以

lo g b = \frac{6}{5}

。

順便可得

A = 4 - 3 B = \frac{2}{5}

，代回

2 A + B = \frac{4}{5} + \frac{6}{5} = 2

，相符。

乘積與冪次的聯立方程式，兩邊取對數變成一次聯立方程式。

06選填第 13、14 題（卷面 D、E）：對數圖形上兩點的距離、格子圖上的線性組合

第 13 題

A

、

B

在

y = lo g_{3} x

上，

x

坐標分別是

2

、

18

，所以

A (2, lo g_{3} 2)

、

B (18, lo g_{3} 18)

。兩點

x

坐標差

18 - 2 = 16

；

y

坐標差

lo g_{3} 18 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} \frac{18}{2} = lo g_{3} 9 = 2

。

\overline{A B} = 1 6^{2} + 2^{2} = 260 = 265

。

不必分別算出

lo g_{3} 2

、

lo g_{3} 18

，相減後用對數律合併。

第 14 題以

a

、

b

表示各點：從圖上數格子，

C

在

O

沿

a

方向

1

格、沿

b

方向

5

格處，所以

O C = a + 5 b

。同樣

P = 3 a + b

、

Q = 6 a + 6 b

，

P Q = 3 a + 5 b

；

R = 4 a

、

S = 7 a + 2 b

，

R S = 3 a + 2 b

。由

R S = x O C + y P Q

：

3 a + 2 b = (x + 3 y) a + (5 x + 5 y) b

。

a

、

b

不平行，係數相等：

x + 3 y = 3

，

5 x + 5 y = 2

。由第二式

x + y = \frac{2}{5}

，與第一式相減：

2 y = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}

，

y = \frac{13}{10}

，

x = \frac{2}{5} - \frac{13}{10} = - \frac{9}{10}

。所以

(x, y) = (- \frac{9}{10}, \frac{13}{10})

。

題目用的是

O C

，圖上畫出的箭頭

C D

用不到。驗算：

- \frac{9}{10} (a + 5 b) + \frac{13}{10} (3 a + 5 b) = \frac{30}{10} a + \frac{20}{10} b = 3 a + 2 b

。

格子圖上的向量，先數格子寫成

a

、

b

的組合，再比較係數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

興大附中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

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興大附中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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題目取自興大附中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1～3 題：換底公式、對數模型代值、半衰期

02單選第 4、5 題：向量和的長度最大值、取對數求整數個數

03多選第 6、7 題：指數函數圖形上的點、按月複利

04多選第 8、9 題：由圖形判斷係數、對數函數圖形上的點

05選填第 10～12 題（卷面 A～C）：分數指數、方向相反的向量、取對數解聯立

06選填第 13、14 題（卷面 D、E）：對數圖形上兩點的距離、格子圖上的線性組合

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興大附中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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