段考詳解範圍：對數與對數律、指數函數與對數函數的圖形、指數與對數的應用

興大附中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 5 分）、多重選擇題 5 題（每題 6 分）、填充題 A～I 共 9 題（每題 5 分）、計算題 1 題組 3 小題（2 分、2 分、6 分），合計 100 分；本頁第 9～17 題依序為卷面填充 A～I，第 18～20 題為卷面計算題的 (1)(2)(3)。卷頭印有參考數值：log2≈0.3010，log3≈0.4771，log7≈0.8451。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題(每題5分)

設

a = lo g_{2} 3

，

b = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

，

c = lo g_{4} 7

，則下列敘述何者正確？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $c > a > b$

設

a

、

b

皆為正數且滿足

lo g a + lo g b = 2

，求

a + b

的最小值為?

(1) $2$
(2) $10$
(3) $20$
(4) $100$
(5) $200$

投擲一顆公正骰子(每一面出現的機率均等)，則需連續投擲幾次，才能使至少出現一次 5 點的機率不低於

0.7

？

(1) $6$
(2) $7$
(3) $8$
(4) $9$
(5) $10$

二、多重選擇題(每題6分，每題至少有一個選項是正確的，錯一個選項得3.6分，錯二個選項得1.2分，錯三個選項以上得0分)

下列哪些選項正確？

(1) $lo g_{2} 1 = 0$
(2) $lo g_{0.01} 100 = - 2$
(3) $lo g_{9} 33 = \frac{3}{4}$
(4) $lo g_{8} 32 = 4$
(5) $3^{2 l o g_{3} 4} = 4$

若

5^{x} = 6

，

1 2^{y} = 6

，則下列哪些選項的值和

\frac{x}{y}

相等？

(1) $lo g_{5} 12$
(2) $lo g_{12} 5$
(3) $lo g_{5} 3 + lo g_{5} 4$
(4) $\frac{lo g 12}{lo g 5}$
(5) $\frac{lo g 5}{lo g 12}$

下列敘述哪些正確？

(1) 函數 $y = lo g_{5} x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{5}} x$ 對稱於 $y$ 軸
(2) 函數 $y = lo g_{5} x$ 與 $y = - lo g_{5} x$ 對稱於 $x$ 軸
(3) 函數 $y = 5^{x}$ 與 $y = - (\frac{1}{5})^{x}$ 對稱於 $x$ 軸
(4) 函數 $y = 5^{x}$ 與 $y = lo g_{5} x$ 對稱於 $y = x$
(5) 函數 $y = 5^{- x}$ 與 $y = - lo g_{5} x$ 對稱於 $y = x$ 。

a = \frac{3}{2}

，

b = lo g_{3} 5

，

c = lo g_{5} 12

，

d = lo g_{2} 3

，

e = lo g_{6} \frac{1}{2}

，下列哪些選項正確？

(1) $a > c > b$
(2) $b > c > d$
(3) $c > a > d$
(4) $b > d > e$
(5) $e$ 的值最小

在同一個坐標平面上，下列哪些選項的圖形可以由

y = lo g x

的圖形利用平移得來？

(1) $y = lo g (x - 2)$
(2) $y = lo g 10 x$
(3) $y = lo g \frac{1}{x}$
(4) $y = lo g \frac{x}{2}$
(5) $y = lo g (2 x + 10)$

三、填充題(每題5分)

已知

x = lo g_{3} 2

，求

9^{x} + 3^{- x}

的值為 ____。(化為最簡分數)

方程式

lo g (x + 1) + lo g (2 x - 1) = 1 + lo g (x - 1)

的整數解為 ____。

化學上的 pH 值用來表示溶液的氫離子濃度，溶液的氫離子濃度若為

x

（莫耳／升），則定義

- lo g x

為溶液的 pH 值。可樂的 pH 值為

3.5

，咖啡的 pH 值為

5

，試問可樂的氫離子濃度為咖啡氫離子濃度的 ____ 倍。(化為最簡根式)

若

∣ lo g k - 2 ∣ < lo g 4

，試問這樣的整數

k

共有 ____ 個。

求

(lo g_{2} 5) \times (lo g_{5} 8 + lo g_{25} 16)

的值為 ____。

一曲線

y = (\frac{1}{3})^{x}

分別與兩直線

L_{1}

：

y = 4

，

L_{2}

：

y = 36

交於

P

、

Q

兩點，則直線

P Q

的斜率為 ____。

不等式

lo g_{2} (lo g_{2} x) < \frac{1}{lo g _{3} 6} + \frac{1}{lo g _{12} 6}

的解為 ____

< x <

____。

已知一奈米為

1 0^{- 9}

米，若某種病毒的直徑為

x

米，且

lo g x = - 7.2219

，試求此病毒的直徑約為 ____ 奈米。

聲音的強度

I

（瓦特／平方公尺）和所測得的分貝

D

（dB）的關係是

D = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

，其中

I_{0}

是一個固定強度，則 60 支 60 分貝的汽笛聲音強度是 100 支 50 分貝的汽笛聲音強度的 ____ 倍。

四、計算題(10分)　說明：本部分共有1題組，每一子題配分標於題末。限在答案卷作答。請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

計算題（第 18～20 題）　某公司為了響應節能減碳政策，決定每年依固定的比率

4%

逐年減少二氧化碳排放量。試回答下列各問題：

(1)求

lo g 8

的近似值到小數點後第 4 位。(2 分)

(2)求

lo g 96

的近似值到小數點後第 4 位。(2 分)

(3) 至少要多少年（取整數年數），該公司的二氧化碳排放量才會低於目前排放量的

80%

？(6 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(1)(3)

第 5 題(1)(3)(4)

第 6 題(2)(4)(5)

第 7 題(3)(4)(5)

第 8 題(1)(2)(4)(5)

第 9 題

\frac{9}{2}

第 10 題

3

第 11 題

1010

第 12 題

374

第 13 題

5

第 14 題

- 16

第 15 題

1 < x < 16

第 16 題

60

第 17 題

6

第 18 題

0.9030

第 19 題

1.9821

第 20 題

6

年

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：對數比大小、和的最小值、機率取對數

第 1 題答案 (3)。

b = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = lo g_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{2} = 2

。

a = lo g_{2} 3

：因為

2 < 3 < 4

，所以

1 < a < 2

。

c = lo g_{4} 7 = \frac{lo g _{2} 7}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} 7 = lo g_{2} 7

。真數比大小：

7 < 9 = 3

，而

y = lo g_{2} x

遞增，所以

c < a

。合起來

b > a > c

。

用卷頭的參考數值估算：

a = \frac{0.4771}{0.3010} \approx 1.585

，

c = \frac{0.8451}{0.6020} \approx 1.404

。

第 2 題答案 (3)。由對數律，

lo g a + lo g b = lo g (ab) = 2

，所以

ab = 100

。由乘法公式

(a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4 ab \geq 4 ab = 400

，又

a + b > 0

，所以

a + b \geq 20

，等號在

a = b = 10

時成立。最小值是

20

。

也就是算幾不等式：

\frac{a + b}{2} \geq ab = 10

。

第 3 題答案 (2)。投擲

n

次都沒有出現 5 點的機率是

(\frac{5}{6})^{n}

，所以「至少出現一次 5 點」的機率是

1 - (\frac{5}{6})^{n}

。要

1 - (\frac{5}{6})^{n} \geq 0.7

，即

(\frac{5}{6})^{n} \leq 0.3

。兩邊取常用對數：

n (lo g 5 - lo g 6) \leq lo g 3 - 1

。

lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990

，

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781

，所以

lo g 5 - lo g 6 \approx - 0.0791

；

lo g 3 - 1 \approx - 0.5229

。兩邊除以負數

- 0.0791

，不等號反向：

n \geq \frac{0.5229}{0.0791} \approx 6.61

。所以至少要投擲

7

次。

驗算：

(\frac{5}{6})^{6} \approx 0.335 > 0.3

，

(\frac{5}{6})^{7} \approx 0.279 \leq 0.3

，所以 6 次不夠、7 次才夠。

「至少一次」先轉成「一次都沒有」的補集；取對數後若除以負的對數值，不等號要反向。

02多選第 4、5 題：對數的基本值、換底公式

第 4 題答案 (1)(3)。(1) 正確。 任何合法底數的

lo g 1

都是

0

，因為

(2)^{0} = 1

。(2) 錯誤。

0.01 = 1 0^{- 2}

，

100 = 1 0^{2} = (1 0^{- 2})^{- 1}

，所以

lo g_{0.01} 100 = - 1

。(3) 正確。

33 = 3^{\frac{3}{2}}

，

9 = 3^{2}

，所以

lo g_{9} 33 = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}

。(4) 錯誤。

8 = 2^{3}

，

32 = 2^{5}

，

lo g_{8} 32 = \frac{5}{3}

。(5) 錯誤。

2 lo g_{3} 4 = lo g_{3} 16

，所以

3^{2 l o g_{3} 4} = 3^{l o g_{3} 16} = 16

。

(5) 也可以寫成

3^{2 l o g_{3} 4} = (3^{l o g_{3} 4})^{2} = 4^{2} = 16

。

第 5 題答案 (1)(3)(4)。由定義

x = lo g_{5} 6

，

y = lo g_{12} 6

。換底成常用對數：

\frac{x}{y} = \frac{lo g 6}{lo g 5} \div \frac{lo g 6}{lo g 12} = \frac{lo g 12}{lo g 5} = lo g_{5} 12

。(1) 正確。 就是

lo g_{5} 12

。(2) 錯誤。

lo g_{12} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 12}

，是

\frac{x}{y}

的倒數；

lo g_{5} 12 > 1

而

lo g_{12} 5 < 1

，兩者不相等。(3) 正確。

lo g_{5} 3 + lo g_{5} 4 = lo g_{5} (3 \times 4) = lo g_{5} 12

。(4) 正確。 換底公式

\frac{lo g 12}{lo g 5} = lo g_{5} 12

。(5) 錯誤。 與 (2) 相同，是倒數。

x = lo g_{5} 6

來自

5^{x} = 6

；

y = lo g_{12} 6

來自

1 2^{y} = 6

。

lo g_{a} b

換成常用對數就是

\frac{lo g b}{lo g a}

；兩個對數相除時，相同的真數可以約掉。

03多選第 6～8 題：圖形的對稱、五個數比大小、圖形的平移

第 6 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯誤。 由換底公式

lo g_{\frac{1}{5}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{5}} = \frac{lo g x}{- lo g 5} = - lo g_{5} x

，所以

y = lo g_{\frac{1}{5}} x

與

y = lo g_{5} x

對稱於

x

軸，不是

y

軸；而且兩者的定義域都是

x > 0

，圖形都在

y

軸右側，不可能對稱於

y

軸。(2) 正確。 同一個

x

，兩者的

y

值互為相反數，對稱於

x

軸。(3) 錯誤。

y = 5^{x}

對

x

軸的對稱圖形是

y = - 5^{x}

；但

- (\frac{1}{5})^{x} = - 5^{- x}

。例如

x = 1

：

- 5^{1} = - 5

，而

- (\frac{1}{5})^{1} = - \frac{1}{5}

，不相等。（

y = - 5^{- x}

與

y = 5^{x}

是對稱於原點。）(4) 正確。

y = 5^{x}

與

y = lo g_{5} x

互為反函數，圖形對稱於直線

y = x

。(5) 正確。

y = 5^{- x} = (\frac{1}{5})^{x}

與

y = lo g_{\frac{1}{5}} x

互為反函數，而

lo g_{\frac{1}{5}} x = - lo g_{5} x

，所以

y = 5^{- x}

與

y = - lo g_{5} x

對稱於

y = x

。

(5) 也可以直接驗：點

(p, q)

在

y = 5^{- x}

上，即

q = 5^{- p}

，則

- p = lo g_{5} q

，

p = - lo g_{5} q

，所以點

(q, p)

在

y = - lo g_{5} x

上。

第 7 題答案 (3)(4)(5)。先拿

a = \frac{3}{2}

當分界。

b

：

3^{\frac{3}{2}} = 27 > 25 = 5

，所以

b = lo g_{3} 5 < \frac{3}{2}

；又

5 > 3

，

b > 1

。

c

：

5^{\frac{3}{2}} = 125 < 144 = 12

，所以

c = lo g_{5} 12 > \frac{3}{2}

。

d = lo g_{2} 3

：

1 < 3 < 2

，所以

0 < d < 1

。

e = lo g_{6} \frac{1}{2}

：真數小於

1

、底數大於

1

，所以

e < 0

。合起來

c > a > b > d > e

。(1) 錯誤。

c > a

。(2) 錯誤。

c > b

。(3) 正確。 (4) 正確。 (5) 正確。

用卷頭的參考數值估算：

b = \frac{0.6990}{0.4771} \approx 1.465

，

c = \frac{1.0791}{0.6990} \approx 1.544

，

d = \frac{0.4771}{2 \times 0.3010} \approx 0.793

，

e = \frac{- 0.3010}{0.7781} \approx - 0.387

。

第 8 題答案 (1)(2)(4)(5)。(1) 正確。

y = lo g (x - 2)

是

y = lo g x

的圖形向右平移

2

。(2) 正確。

lo g 10 x = lo g 10 + lo g x = 1 + lo g x

，是向上平移

1

。(3) 錯誤。

lo g \frac{1}{x} = - lo g x

，是對

x

軸翻轉，圖形由左往右下降；平移不會改變遞增的方向，所以無法由平移得到。(4) 正確。

lo g \frac{x}{2} = lo g x - lo g 2

，是向下平移

lo g 2

。(5) 正確。

lo g (2 x + 10) = lo g (2 (x + 5)) = lo g 2 + lo g (x + 5)

，是向左平移

5

、再向上平移

lo g 2

。

用對數律把真數裡的乘除拆成加減，就看得出是上下平移。

lo g_{\frac{1}{a}} x = - lo g_{a} x

；真數裡的常數倍經對數律變成上下平移，取倒數則是對

x

軸翻轉。

04填充第 9～13 題（卷面 A～E）：求值、對數方程式、pH 值、絕對值不等式、換底

第 9 題

x = lo g_{3} 2

即

3^{x} = 2

。

9^{x} = (3^{x})^{2} = 4

，

3^{- x} = \frac{1}{3 ^{x}} = \frac{1}{2}

。所以

9^{x} + 3^{- x} = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}

。

把

9^{x}

、

3^{- x}

都寫成

3^{x}

的式子，就不必算出

x

的值。

第 10 題真數要為正：

x + 1 > 0

、

2 x - 1 > 0

、

x - 1 > 0

，合起來

x > 1

。

1 = lo g 10

，由對數律，原式即

lo g ((x + 1) (2 x - 1)) = lo g (10 (x - 1))

，所以

(x + 1) (2 x - 1) = 10 (x - 1)

，

2 x^{2} + x - 1 = 10 x - 10

，

2 x^{2} - 9 x + 9 = 0

，

(2 x - 3) (x - 3) = 0

，

x = \frac{3}{2}

或

x = 3

。兩個都滿足

x > 1

，其中整數解是

3

。

驗算：

x = 3

時左邊

lo g 4 + lo g 5 = lo g 20

，右邊

1 + lo g 2 = lo g 20

。

第 11 題可樂：

- lo g x_{1} = 3.5

，

x_{1} = 1 0^{- 3.5}

；咖啡：

- lo g x_{2} = 5

，

x_{2} = 1 0^{- 5}

。倍數

\frac{x _{1}}{x _{2}} = 1 0^{- 3.5 - (- 5)} = 1 0^{1.5} = 10 \times 1 0^{0.5} = 1010

。

pH 值小

1.5

，氫離子濃度就是

1 0^{1.5}

倍。

第 12 題

∣ lo g k - 2 ∣ < lo g 4

即

2 - lo g 4 < lo g k < 2 + lo g 4

。

2 - lo g 4 = lo g 100 - lo g 4 = lo g 25

，

2 + lo g 4 = lo g 400

。

y = lo g x

遞增，所以

25 < k < 400

。整數

k = 26, 27, \dots, 399

，共

399 - 26 + 1 = 374

個。

端點

25

與

400

會使式子相等，不合「小於」，不算在內。

第 13 題

lo g_{5} 8 = 3 lo g_{5} 2

；

lo g_{25} 16 = \frac{lo g 16}{lo g 25} = \frac{4 lo g 2}{2 lo g 5} = 2 lo g_{5} 2

。所以括號內

= 5 lo g_{5} 2

。原式

= lo g_{2} 5 \times 5 lo g_{5} 2 = 5 \times (lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2) = 5 \times 1 = 5

。

lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = \frac{lo g 5}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 5} = 1

。

對數方程式先寫出真數條件；底數與真數是同一個數的次方時，先換成同一個底再合併。

05填充第 14～17 題（卷面 F～I）：圖形上兩點的斜率、兩層對數不等式、奈米、分貝

第 14 題設

P (p, 4)

、

Q (q, 36)

，則

(\frac{1}{3})^{p} = 4

，

(\frac{1}{3})^{q} = 36

，即

3^{- p} = 4

，

3^{- q} = 36

。兩式相除：

3^{p - q} = \frac{36}{4} = 9 = 3^{2}

，所以

p - q = 2

，

q - p = - 2

。斜率

= \frac{36 - 4}{q - p} = \frac{32}{- 2} = - 16

。

y = (\frac{1}{3})^{x}

遞減，

y

較大的

Q

在左邊，斜率是負的，符合。

第 15 題右邊：

\frac{1}{lo g _{3} 6} = lo g_{6} 3

，

\frac{1}{lo g _{12} 6} = lo g_{6} 12

，相加

= lo g_{6} (3 \times 12) = lo g_{6} 36 = 2

。所以

lo g_{2} (lo g_{2} x) < 2 = lo g_{2} 4

。底數

2 > 1

，而且真數要為正，得

0 < lo g_{2} x < 4

，即

lo g_{2} 1 < lo g_{2} x < lo g_{2} 16

，所以

1 < x < 16

。

lo g_{2} x > 0

這個條件來自外層對數的真數要為正，漏掉會寫成

0 < x < 16

。

第 16 題

x = 1 0^{- 7.2219}

米。換成奈米要除以

1 0^{- 9}

：

\frac{1 0 ^{- 7.2219}}{1 0 ^{- 9}} = 1 0^{1.7781} = 10 \times 1 0^{0.7781}

。而

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.3010 + 0.4771 = 0.7781

，所以

1 0^{0.7781} \approx 6

，直徑約為

60

奈米。

- 7.2219 = - 9 + 1.7781

，小數部分

0.7781

恰是

lo g 6

的近似值。

第 17 題

D = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

得

I = I_{0} \cdot 1 0^{\frac{D}{10}}

。一支 60 分貝的汽笛強度是

1 0^{6} I_{0}

，60 支共

60 \times 1 0^{6} I_{0} = 6 \times 1 0^{7} I_{0}

；一支 50 分貝的汽笛強度是

1 0^{5} I_{0}

，100 支共

100 \times 1 0^{5} I_{0} = 1 0^{7} I_{0}

。倍數

= \frac{6 \times 1 0 ^{7} I _{0}}{1 0 ^{7} I _{0}} = 6

。

題意是把各支汽笛的強度相加（強度可相加，分貝不能直接相加）。

對數模型求兩個量的倍數，先把對數式改寫成指數式，再相除。

06計算題第 18～20 題（卷面計算題 (1)(2)(3)）：逐年減少 4%

第 18 題

lo g 8 = lo g 2^{3} = 3 lo g 2 \approx 3 \times 0.3010 = 0.9030

。

用卷頭的參考數值

lo g 2 \approx 0.3010

。

第 19 題

96 = 32 \times 3 = 2^{5} \times 3

，所以

lo g 96 = 5 lo g 2 + lo g 3 \approx 5 \times 0.3010 + 0.4771 = 1.5050 + 0.4771 = 1.9821

。

這一小題是為 (3) 準備的：

lo g 0.96 = lo g 96 - 2

。

第 20 題每年減少

4%

，

n

年後的排放量是目前的

0.9 6^{n}

倍。要

0.9 6^{n} < 0.8

。兩邊取常用對數：

n lo g 0.96 < lo g 0.8

。由 (2)，

lo g 0.96 = lo g 96 - 2 \approx - 0.0179

；由 (1)，

lo g 0.8 = lo g 8 - 1 \approx - 0.0970

。所以

- 0.0179 n < - 0.0970

，兩邊除以負數不等號反向：

n > \frac{0.0970}{0.0179} \approx 5.42

。取整數，至少要

6

年。

驗算：

0.9 6^{5} \approx 0.815

，仍高於

0.8

；

0.9 6^{6} \approx 0.783

，低於

0.8

。

固定比率逐年遞減，

n

年後是

(1 - r)^{n}

倍；取對數解不等式時，

lo g

小於

1

的數是負的，除過去要變號。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

興大附中 112 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題：機率不低於 0.7 要改寫成都沒出現 5 點的機率不超過 0.3，取對數時除以負數不等號要反向。第 6 題選項 (3)：負號加上底數變倒數，兩個圖形是對稱於原點，不是對稱於 x 軸。第 7 題：五個數要一一比較，可以用 1.5 這個分界與 0、1 來夾。填充 G（本頁第 15 題）：右邊先用換底化成 2，再拆成兩層不等式，別漏掉 log2 x 要大於 0。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 112 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：對數與對數律、指數函數與對數函數的圖形、指數與對數的應用

興大附中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題(每題5分)

設

a = lo g_{2} 3

，

b = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

，

c = lo g_{4} 7

，則下列敘述何者正確？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $c > a > b$

設

a

、

b

皆為正數且滿足

lo g a + lo g b = 2

，求

a + b

的最小值為?

(1) $2$
(2) $10$
(3) $20$
(4) $100$
(5) $200$

投擲一顆公正骰子(每一面出現的機率均等)，則需連續投擲幾次，才能使至少出現一次 5 點的機率不低於

0.7

？

(1) $6$
(2) $7$
(3) $8$
(4) $9$
(5) $10$

二、多重選擇題(每題6分，每題至少有一個選項是正確的，錯一個選項得3.6分，錯二個選項得1.2分，錯三個選項以上得0分)

下列哪些選項正確？

(1) $lo g_{2} 1 = 0$
(2) $lo g_{0.01} 100 = - 2$
(3) $lo g_{9} 33 = \frac{3}{4}$
(4) $lo g_{8} 32 = 4$
(5) $3^{2 l o g_{3} 4} = 4$

若

5^{x} = 6

，

1 2^{y} = 6

，則下列哪些選項的值和

\frac{x}{y}

相等？

(1) $lo g_{5} 12$
(2) $lo g_{12} 5$
(3) $lo g_{5} 3 + lo g_{5} 4$
(4) $\frac{lo g 12}{lo g 5}$
(5) $\frac{lo g 5}{lo g 12}$

下列敘述哪些正確？

(1) 函數 $y = lo g_{5} x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{5}} x$ 對稱於 $y$ 軸
(2) 函數 $y = lo g_{5} x$ 與 $y = - lo g_{5} x$ 對稱於 $x$ 軸
(3) 函數 $y = 5^{x}$ 與 $y = - (\frac{1}{5})^{x}$ 對稱於 $x$ 軸
(4) 函數 $y = 5^{x}$ 與 $y = lo g_{5} x$ 對稱於 $y = x$
(5) 函數 $y = 5^{- x}$ 與 $y = - lo g_{5} x$ 對稱於 $y = x$ 。

a = \frac{3}{2}

，

b = lo g_{3} 5

，

c = lo g_{5} 12

，

d = lo g_{2} 3

，

e = lo g_{6} \frac{1}{2}

，下列哪些選項正確？

(1) $a > c > b$
(2) $b > c > d$
(3) $c > a > d$
(4) $b > d > e$
(5) $e$ 的值最小

在同一個坐標平面上，下列哪些選項的圖形可以由

y = lo g x

的圖形利用平移得來？

(1) $y = lo g (x - 2)$
(2) $y = lo g 10 x$
(3) $y = lo g \frac{1}{x}$
(4) $y = lo g \frac{x}{2}$
(5) $y = lo g (2 x + 10)$

三、填充題(每題5分)

已知

x = lo g_{3} 2

，求

9^{x} + 3^{- x}

的值為 ____。(化為最簡分數)

方程式

lo g (x + 1) + lo g (2 x - 1) = 1 + lo g (x - 1)

的整數解為 ____。

化學上的 pH 值用來表示溶液的氫離子濃度，溶液的氫離子濃度若為

x

（莫耳／升），則定義

- lo g x

為溶液的 pH 值。可樂的 pH 值為

3.5

，咖啡的 pH 值為

5

，試問可樂的氫離子濃度為咖啡氫離子濃度的 ____ 倍。(化為最簡根式)

若

∣ lo g k - 2 ∣ < lo g 4

，試問這樣的整數

k

共有 ____ 個。

求

(lo g_{2} 5) \times (lo g_{5} 8 + lo g_{25} 16)

的值為 ____。

一曲線

y = (\frac{1}{3})^{x}

分別與兩直線

L_{1}

：

y = 4

，

L_{2}

：

y = 36

交於

P

、

Q

兩點，則直線

P Q

的斜率為 ____。

不等式

lo g_{2} (lo g_{2} x) < \frac{1}{lo g _{3} 6} + \frac{1}{lo g _{12} 6}

的解為 ____

< x <

____。

已知一奈米為

1 0^{- 9}

米，若某種病毒的直徑為

x

米，且

lo g x = - 7.2219

，試求此病毒的直徑約為 ____ 奈米。

聲音的強度

I

（瓦特／平方公尺）和所測得的分貝

D

（dB）的關係是

D = 10 \cdot lo g \frac{I}{I _{0}}

，其中

I_{0}

是一個固定強度，則 60 支 60 分貝的汽笛聲音強度是 100 支 50 分貝的汽笛聲音強度的 ____ 倍。

計算題（第 18～20 題）　某公司為了響應節能減碳政策，決定每年依固定的比率

4%

逐年減少二氧化碳排放量。試回答下列各問題：

(1)求

lo g 8

的近似值到小數點後第 4 位。(2 分)

(2)求

lo g 96

的近似值到小數點後第 4 位。(2 分)

(3) 至少要多少年（取整數年數），該公司的二氧化碳排放量才會低於目前排放量的

80%

？(6 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(1)(3)

第 5 題(1)(3)(4)

第 6 題(2)(4)(5)

第 7 題(3)(4)(5)

第 8 題(1)(2)(4)(5)

第 9 題

\frac{9}{2}

第 10 題

3

第 11 題

1010

第 12 題

374

第 13 題

5

第 14 題

- 16

第 15 題

1 < x < 16

第 16 題

60

第 17 題

6

第 18 題

0.9030

第 19 題

1.9821

第 20 題

6

年

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：對數比大小、和的最小值、機率取對數

第 1 題答案 (3)。

b = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = lo g_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{2} = 2

。

a = lo g_{2} 3

：因為

2 < 3 < 4

，所以

1 < a < 2

。

c = lo g_{4} 7 = \frac{lo g _{2} 7}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} 7 = lo g_{2} 7

。真數比大小：

7 < 9 = 3

，而

y = lo g_{2} x

遞增，所以

c < a

。合起來

b > a > c

。

用卷頭的參考數值估算：

a = \frac{0.4771}{0.3010} \approx 1.585

，

c = \frac{0.8451}{0.6020} \approx 1.404

。

第 2 題答案 (3)。由對數律，

lo g a + lo g b = lo g (ab) = 2

，所以

ab = 100

。由乘法公式

(a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4 ab \geq 4 ab = 400

，又

a + b > 0

，所以

a + b \geq 20

，等號在

a = b = 10

時成立。最小值是

20

。

也就是算幾不等式：

\frac{a + b}{2} \geq ab = 10

。

第 3 題答案 (2)。投擲

n

次都沒有出現 5 點的機率是

(\frac{5}{6})^{n}

，所以「至少出現一次 5 點」的機率是

1 - (\frac{5}{6})^{n}

。要

1 - (\frac{5}{6})^{n} \geq 0.7

，即

(\frac{5}{6})^{n} \leq 0.3

。兩邊取常用對數：

n (lo g 5 - lo g 6) \leq lo g 3 - 1

。

lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990

，

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781

，所以

lo g 5 - lo g 6 \approx - 0.0791

；

lo g 3 - 1 \approx - 0.5229

。兩邊除以負數

- 0.0791

，不等號反向：

n \geq \frac{0.5229}{0.0791} \approx 6.61

。所以至少要投擲

7

次。

驗算：

(\frac{5}{6})^{6} \approx 0.335 > 0.3

，

(\frac{5}{6})^{7} \approx 0.279 \leq 0.3

，所以 6 次不夠、7 次才夠。

「至少一次」先轉成「一次都沒有」的補集；取對數後若除以負的對數值，不等號要反向。

02多選第 4、5 題：對數的基本值、換底公式

第 4 題答案 (1)(3)。(1) 正確。 任何合法底數的

lo g 1

都是

0

，因為

(2)^{0} = 1

。(2) 錯誤。

0.01 = 1 0^{- 2}

，

100 = 1 0^{2} = (1 0^{- 2})^{- 1}

，所以

lo g_{0.01} 100 = - 1

。(3) 正確。

33 = 3^{\frac{3}{2}}

，

9 = 3^{2}

，所以

lo g_{9} 33 = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}

。(4) 錯誤。

8 = 2^{3}

，

32 = 2^{5}

，

lo g_{8} 32 = \frac{5}{3}

。(5) 錯誤。

2 lo g_{3} 4 = lo g_{3} 16

，所以

3^{2 l o g_{3} 4} = 3^{l o g_{3} 16} = 16

。

(5) 也可以寫成

3^{2 l o g_{3} 4} = (3^{l o g_{3} 4})^{2} = 4^{2} = 16

。

第 5 題答案 (1)(3)(4)。由定義

x = lo g_{5} 6

，

y = lo g_{12} 6

。換底成常用對數：

\frac{x}{y} = \frac{lo g 6}{lo g 5} \div \frac{lo g 6}{lo g 12} = \frac{lo g 12}{lo g 5} = lo g_{5} 12

。(1) 正確。 就是

lo g_{5} 12

。(2) 錯誤。

lo g_{12} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 12}

，是

\frac{x}{y}

的倒數；

lo g_{5} 12 > 1

而

lo g_{12} 5 < 1

，兩者不相等。(3) 正確。

lo g_{5} 3 + lo g_{5} 4 = lo g_{5} (3 \times 4) = lo g_{5} 12

。(4) 正確。 換底公式

\frac{lo g 12}{lo g 5} = lo g_{5} 12

。(5) 錯誤。 與 (2) 相同，是倒數。

x = lo g_{5} 6

來自

5^{x} = 6

；

y = lo g_{12} 6

來自

1 2^{y} = 6

。

lo g_{a} b

換成常用對數就是

\frac{lo g b}{lo g a}

；兩個對數相除時，相同的真數可以約掉。

03多選第 6～8 題：圖形的對稱、五個數比大小、圖形的平移

第 6 題答案 (2)(4)(5)。(1) 錯誤。 由換底公式

lo g_{\frac{1}{5}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{5}} = \frac{lo g x}{- lo g 5} = - lo g_{5} x

，所以

y = lo g_{\frac{1}{5}} x

與

y = lo g_{5} x

對稱於

x

軸，不是

y

軸；而且兩者的定義域都是

x > 0

，圖形都在

y

軸右側，不可能對稱於

y

軸。(2) 正確。 同一個

x

，兩者的

y

值互為相反數，對稱於

x

軸。(3) 錯誤。

y = 5^{x}

對

x

軸的對稱圖形是

y = - 5^{x}

；但

- (\frac{1}{5})^{x} = - 5^{- x}

。例如

x = 1

：

- 5^{1} = - 5

，而

- (\frac{1}{5})^{1} = - \frac{1}{5}

，不相等。（

y = - 5^{- x}

與

y = 5^{x}

是對稱於原點。）(4) 正確。

y = 5^{x}

與

y = lo g_{5} x

互為反函數，圖形對稱於直線

y = x

。(5) 正確。

y = 5^{- x} = (\frac{1}{5})^{x}

與

y = lo g_{\frac{1}{5}} x

互為反函數，而

lo g_{\frac{1}{5}} x = - lo g_{5} x

，所以

y = 5^{- x}

與

y = - lo g_{5} x

對稱於

y = x

。

(5) 也可以直接驗：點

(p, q)

在

y = 5^{- x}

上，即

q = 5^{- p}

，則

- p = lo g_{5} q

，

p = - lo g_{5} q

，所以點

(q, p)

在

y = - lo g_{5} x

上。

第 7 題答案 (3)(4)(5)。先拿

a = \frac{3}{2}

當分界。

b

：

3^{\frac{3}{2}} = 27 > 25 = 5

，所以

b = lo g_{3} 5 < \frac{3}{2}

；又

5 > 3

，

b > 1

。

c

：

5^{\frac{3}{2}} = 125 < 144 = 12

，所以

c = lo g_{5} 12 > \frac{3}{2}

。

d = lo g_{2} 3

：

1 < 3 < 2

，所以

0 < d < 1

。

e = lo g_{6} \frac{1}{2}

：真數小於

1

、底數大於

1

，所以

e < 0

。合起來

c > a > b > d > e

。(1) 錯誤。

c > a

。(2) 錯誤。

c > b

。(3) 正確。 (4) 正確。 (5) 正確。

用卷頭的參考數值估算：

b = \frac{0.6990}{0.4771} \approx 1.465

，

c = \frac{1.0791}{0.6990} \approx 1.544

，

d = \frac{0.4771}{2 \times 0.3010} \approx 0.793

，

e = \frac{- 0.3010}{0.7781} \approx - 0.387

。

第 8 題答案 (1)(2)(4)(5)。(1) 正確。

y = lo g (x - 2)

是

y = lo g x

的圖形向右平移

2

。(2) 正確。

lo g 10 x = lo g 10 + lo g x = 1 + lo g x

，是向上平移

1

。(3) 錯誤。

lo g \frac{1}{x} = - lo g x

，是對

x

軸翻轉，圖形由左往右下降；平移不會改變遞增的方向，所以無法由平移得到。(4) 正確。

lo g \frac{x}{2} = lo g x - lo g 2

，是向下平移

lo g 2

。(5) 正確。

lo g (2 x + 10) = lo g (2 (x + 5)) = lo g 2 + lo g (x + 5)

，是向左平移

5

、再向上平移

lo g 2

。

用對數律把真數裡的乘除拆成加減，就看得出是上下平移。

lo g_{\frac{1}{a}} x = - lo g_{a} x

；真數裡的常數倍經對數律變成上下平移，取倒數則是對

x

軸翻轉。

04填充第 9～13 題（卷面 A～E）：求值、對數方程式、pH 值、絕對值不等式、換底

第 9 題

x = lo g_{3} 2

即

3^{x} = 2

。

9^{x} = (3^{x})^{2} = 4

，

3^{- x} = \frac{1}{3 ^{x}} = \frac{1}{2}

。所以

9^{x} + 3^{- x} = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}

。

把

9^{x}

、

3^{- x}

都寫成

3^{x}

的式子，就不必算出

x

的值。

第 10 題真數要為正：

x + 1 > 0

、

2 x - 1 > 0

、

x - 1 > 0

，合起來

x > 1

。

1 = lo g 10

，由對數律，原式即

lo g ((x + 1) (2 x - 1)) = lo g (10 (x - 1))

，所以

(x + 1) (2 x - 1) = 10 (x - 1)

，

2 x^{2} + x - 1 = 10 x - 10

，

2 x^{2} - 9 x + 9 = 0

，

(2 x - 3) (x - 3) = 0

，

x = \frac{3}{2}

或

x = 3

。兩個都滿足

x > 1

，其中整數解是

3

。

驗算：

x = 3

時左邊

lo g 4 + lo g 5 = lo g 20

，右邊

1 + lo g 2 = lo g 20

。

第 11 題可樂：

- lo g x_{1} = 3.5

，

x_{1} = 1 0^{- 3.5}

；咖啡：

- lo g x_{2} = 5

，

x_{2} = 1 0^{- 5}

。倍數

\frac{x _{1}}{x _{2}} = 1 0^{- 3.5 - (- 5)} = 1 0^{1.5} = 10 \times 1 0^{0.5} = 1010

。

pH 值小

1.5

，氫離子濃度就是

1 0^{1.5}

倍。

第 12 題

∣ lo g k - 2 ∣ < lo g 4

即

2 - lo g 4 < lo g k < 2 + lo g 4

。

2 - lo g 4 = lo g 100 - lo g 4 = lo g 25

，

2 + lo g 4 = lo g 400

。

y = lo g x

遞增，所以

25 < k < 400

。整數

k = 26, 27, \dots, 399

，共

399 - 26 + 1 = 374

個。

端點

25

與

400

會使式子相等，不合「小於」，不算在內。

第 13 題

lo g_{5} 8 = 3 lo g_{5} 2

；

lo g_{25} 16 = \frac{lo g 16}{lo g 25} = \frac{4 lo g 2}{2 lo g 5} = 2 lo g_{5} 2

。所以括號內

= 5 lo g_{5} 2

。原式

= lo g_{2} 5 \times 5 lo g_{5} 2 = 5 \times (lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2) = 5 \times 1 = 5

。

lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = \frac{lo g 5}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 5} = 1

。

對數方程式先寫出真數條件；底數與真數是同一個數的次方時，先換成同一個底再合併。

05填充第 14～17 題（卷面 F～I）：圖形上兩點的斜率、兩層對數不等式、奈米、分貝

第 14 題設

P (p, 4)

、

Q (q, 36)

，則

(\frac{1}{3})^{p} = 4

，

(\frac{1}{3})^{q} = 36

，即

3^{- p} = 4

，

3^{- q} = 36

。兩式相除：

3^{p - q} = \frac{36}{4} = 9 = 3^{2}

，所以

p - q = 2

，

q - p = - 2

。斜率

= \frac{36 - 4}{q - p} = \frac{32}{- 2} = - 16

。

y = (\frac{1}{3})^{x}

遞減，

y

較大的

Q

在左邊，斜率是負的，符合。

第 15 題右邊：

\frac{1}{lo g _{3} 6} = lo g_{6} 3

，

\frac{1}{lo g _{12} 6} = lo g_{6} 12

，相加

= lo g_{6} (3 \times 12) = lo g_{6} 36 = 2

。所以

lo g_{2} (lo g_{2} x) < 2 = lo g_{2} 4

。底數

2 > 1

，而且真數要為正，得

0 < lo g_{2} x < 4

，即

lo g_{2} 1 < lo g_{2} x < lo g_{2} 16

，所以

1 < x < 16

。

lo g_{2} x > 0

這個條件來自外層對數的真數要為正，漏掉會寫成

0 < x < 16

。

第 16 題

x = 1 0^{- 7.2219}

米。換成奈米要除以

1 0^{- 9}

：

\frac{1 0 ^{- 7.2219}}{1 0 ^{- 9}} = 1 0^{1.7781} = 10 \times 1 0^{0.7781}

。而

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.3010 + 0.4771 = 0.7781

，所以

1 0^{0.7781} \approx 6

，直徑約為

60

奈米。

- 7.2219 = - 9 + 1.7781

，小數部分

0.7781

恰是

lo g 6

的近似值。

第 17 題

D = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

得

I = I_{0} \cdot 1 0^{\frac{D}{10}}

。一支 60 分貝的汽笛強度是

1 0^{6} I_{0}

，60 支共

60 \times 1 0^{6} I_{0} = 6 \times 1 0^{7} I_{0}

；一支 50 分貝的汽笛強度是

1 0^{5} I_{0}

，100 支共

100 \times 1 0^{5} I_{0} = 1 0^{7} I_{0}

。倍數

= \frac{6 \times 1 0 ^{7} I _{0}}{1 0 ^{7} I _{0}} = 6

。

題意是把各支汽笛的強度相加（強度可相加，分貝不能直接相加）。

對數模型求兩個量的倍數，先把對數式改寫成指數式，再相除。

06計算題第 18～20 題（卷面計算題 (1)(2)(3)）：逐年減少 4%

第 18 題

lo g 8 = lo g 2^{3} = 3 lo g 2 \approx 3 \times 0.3010 = 0.9030

。

用卷頭的參考數值

lo g 2 \approx 0.3010

。

第 19 題

96 = 32 \times 3 = 2^{5} \times 3

，所以

lo g 96 = 5 lo g 2 + lo g 3 \approx 5 \times 0.3010 + 0.4771 = 1.5050 + 0.4771 = 1.9821

。

這一小題是為 (3) 準備的：

lo g 0.96 = lo g 96 - 2

。

第 20 題每年減少

4%

，

n

年後的排放量是目前的

0.9 6^{n}

倍。要

0.9 6^{n} < 0.8

。兩邊取常用對數：

n lo g 0.96 < lo g 0.8

。由 (2)，

lo g 0.96 = lo g 96 - 2 \approx - 0.0179

；由 (1)，

lo g 0.8 = lo g 8 - 1 \approx - 0.0970

。所以

- 0.0179 n < - 0.0970

，兩邊除以負數不等號反向：

n > \frac{0.0970}{0.0179} \approx 5.42

。取整數，至少要

6

年。

驗算：

0.9 6^{5} \approx 0.815

，仍高於

0.8

；

0.9 6^{6} \approx 0.783

，低於

0.8

。

固定比率逐年遞減，

n

年後是

(1 - r)^{n}

倍；取對數解不等式時，

lo g

小於

1

的數是負的，除過去要變號。

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04填充第 9～13 題（卷面 A～E）：求值、對數方程式、pH 值、絕對值不等式、換底

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高二第二次段考
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