段考詳解範圍：多項式的除法原理、一次二次與三次函數、多項式不等式、直線方程式

興大附中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

這一章有整理好的單元冊：《直線與圓》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 4 題（24 分）、多選題 3 題（24 分）、選填題 7 題（42 分）、非選擇題 1 題 2 小題（10 分），合計 100 分。本頁第 8～14 題依序為原卷選填 A～G 題，第 15、16 題依序為原卷非選擇題的第 1、2 小題。答案已與學校公布的答案逐題核對，其中第 15 題本站另有補充（見詳解）。

第壹部分：選擇題（占 48 分）｜一、單選題（占 24 分）｜說明：第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

設

f (x)

為一多項式，其奇數項係數和為

2

，偶數項係數和為

6

，求

f (x)

除以

x^{2} - 1

的餘式。

(1) $x + 7$
(2) $2 x - 8$
(3) $2 x + 6$
(4) $- 3 x + 1$
(5) $- x + 3$

下列哪一個選項是

202 4^{5} - 8 \cdot 202 4^{4} - 79 \cdot 202 4^{2} - 17 \cdot 2024 - 10

除以

2015

的餘數？

(1) $- 2014$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $2014$

在邊長為

4

的正方形

A B C D

的三邊

\overline{A B}

、

\overline{B C}

、

\overline{C D}

上各取一點

P

、

Q

、

R

，使

\overline{A P} = \overline{B Q} = 2 \overline{C R}

，求

△ P QR

的最小面積。

(1) $\frac{4}{3}$
(2) $\frac{8}{3}$
(3) $\frac{10}{3}$
(4) $\frac{14}{3}$
(5) $\frac{16}{3}$

已知

f (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} + 2

與

g (x) = - 2 (x - 1)^{3} + π (x - 1) + 2

有三個交點，交點之

x

座標分別為

α, β, γ

，求

g (α) + g (β) + g (γ)

。

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $π$
(5) $6$

二、多選題（占 24 分）｜說明：第 5 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

假設三條直線

L_{1} : x - 2 y + 3 = 0

，

L_{2} : 2 x + 3 y = 0

，

L_{3} : a x - y - 1 = 0

，若

L_{1}, L_{2}, L_{3}

不能圍成三角形，試求

a

之值。

(1) $\frac{1}{2}$
(2) $- \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{2}{3}$
(4) $- \frac{13}{9}$
(5) $\frac{7}{4}$ 。

設

k

為實數，若二次函數

y = k^{2} x^{2} + 3 x - 5 k

的圖形在

y = 4 x^{2} + 3 x - 1

的圖形下方且不相交，試求下列哪些

k

值可滿足此條件。

(1) $- 2$
(2) $- \frac{7}{10}$
(3) $\frac{4}{3}$
(4) $2$
(5) $7$

若三次函數

y = f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 2 = a (x + 1)^{3} + b (x + 1)^{2} + c (x + 1) + d

，其中

a, b, c, d

為實數，則下列哪些選項為真？

(1) $a + b + c + d = - 3$
(2) $(- 1, d)$ 為 $y = f (x)$ 的對稱中心
(3) $f (- 0.99) = 3.94$
(4) $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 附近之近似直線為 $y = - 6 x - 2$
(5) 當 $∣ x ∣$ 值很大時， $y = f (x)$ 近似於 $y = x^{3}$ 。

第貳部分：選填題（42 分）｜說明：1. 第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（8-25）。2. 每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。3. 若答案為分數，皆須化為最簡分數；若答案內有根號，皆須化為最簡根式。

滿足不等式

(x - 2)^{3} (x - 3)^{4} (x + 3)^{5} (x^{2} + 2 x + 5) \leq 0

共有 ____ 個整數。

某次高一期中考（不是這次）全班沒人及格，出題老師便以開根號乘以

10

再加

15

分來當作最後成績。Bao 高興地說：「我一定是加分前後分數差距最多的人。」請問 Bao 的原始分數是 ____ 分。

△ A B C

中，

A (- 1, 2)

，

B (- 1, 5)

，

C (2, 3)

，已知三角形的垂心即為三高的交點，則

△ A B C

之垂心座標為 ____。

設

f (x)

是一個四次多項式，已知

f (x)

除以

(x - 1)^{3}

的餘式為

2

，

f (x)

除以

(x + 1)

的餘式

- 8

，

f (x)

除以

(x - 2)

的餘式為

8

，則

f (0) =

____。

在平面上有兩點

A (6, 5)

，

B (3, 8)

以及直線

L : y = m x - 9 m - 2

，已知

L

和

\overline{A B}

可相交的

m

範圍為

a \leq m \leq b

，則

a \times b =

____。

若

a

為整數，且

y = - 5 x^{2} + a x + \frac{2}{7}

的圖形與

x

軸的兩個交點都介於

x = - 1

與

x = 2

之間，則滿足這樣條件的

a

有 ____ 個。

設

x

為任意實數，

f (x) = 2024 x^{2} + 113 x + 520

，若

p \neq = q

且

f (p) = f (q)

，求

f (p + q) =

____。

第參部分：非選擇題（10 分）｜說明：限使用黑色或藍色原子筆在標示題號手寫卷內作答。請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分，只寫答案不予計分。

非選擇題（第 15～16 題）　若直線

L : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

通過

(- 3, 2)

且和兩坐標軸所圍的三角形面積為

\frac{3}{2}

。

a \times b

可能為哪些可能值？（2 分）

2. 試求所有滿足敘述之直線

L

，並寫出該直線的

x

截距與

y

截距。（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(2)

第 4 題(5)

第 5 題(1)(3)(4)

第 6 題(3)(4)

第 7 題(4)(5)

第 8 題

7

第 9 題

25

第 10 題

(- \frac{1}{3}, 3)

第 11 題

- \frac{5}{6}

第 12 題

\frac{35}{9}

第 13 題

14

第 14 題

520

第 15 題

ab = 3

或

ab = - 3

（照學校公布的答案；再用過

(- 3, 2)

的條件，只有

ab = 3

成立，見詳解）

第 16 題

x + 3 y = 3

（

x

截距

3

，

y

截距

1

）；

4 x + 3 y = - 6

（

x

截距

- \frac{3}{2}

，

y

截距

- 2

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：餘式定理、除法原理、二次函數極值與三次函數的對稱中心

第 1 題答案 (3)。

f (1)

是所有係數的和：

f (1) = 2 + 6 = 8

。

f (- 1)

時奇數次項變號、偶數次項不變：

f (- 1) = 6 - 2 = 4

。除式

x^{2} - 1

是二次，餘式設為

p x + q

：

f (x) = (x^{2} - 1) Q (x) + p x + q

。代

x = 1

：

p + q = 8

；代

x = - 1

：

- p + q = 4

。解得

p = 2

，

q = 6

，餘式是

2 x + 6

。

「奇數項」指

x

的奇數次方的項，「偶數項」指偶數次方的項（含常數項）。

第 2 題答案 (5)。

2024 = 2015 + 9

。令

f (x) = x^{5} - 8 x^{4} - 79 x^{2} - 17 x - 10

，由除法原理

f (x) = (x - 9) Q (x) + f (9)

，而除式

x - 9

的首項係數是

1

，所以商式

Q (x)

的係數都是整數。

f (9) = 59049 - 52488 - 6399 - 153 - 10 = - 1

。代

x = 2024

：所求的數

= 2015 \cdot Q (2024) - 1 = 2015 \cdot [Q (2024) - 1] + 2014

。整數除法的餘數必須在

0

與

2014

之間，所以餘數是

2014

。

- 1

不能當餘數：被除數是正整數，餘數要大於或等於

0

且小於除數

2015

。

f (9)

也可以用綜合除法算。

第 3 題答案 (2)。設

\overline{A P} = \overline{B Q} = t

，則

\overline{C R} = \frac{t}{2}

，其中

0 \leq t \leq 4

。

△ P QR

的面積

=

正方形減去三塊：梯形

A P R D

的面積是

\frac{( t + 4 - \frac{t}{2} ) \times 4}{2} = 8 + t

；

△ P B Q

是

\frac{( 4 - t ) t}{2}

；

△ QC R

是

\frac{1}{2} (4 - t) \cdot \frac{t}{2} = \frac{( 4 - t ) t}{4}

。所以面積

= 16 - (8 + t) - \frac{3 t ( 4 - t )}{4} = \frac{3}{4} t^{2} - 4 t + 8 = \frac{3}{4} (t - \frac{8}{3})^{2} + \frac{8}{3}

。

t = \frac{8}{3}

在範圍內，所以最小面積是

\frac{8}{3}

。

梯形

A P R D

的兩底是

\overline{A P} = t

與

\overline{D R} = 4 - \frac{t}{2}

，高是

\overline{A D} = 4

。

第 4 題答案 (5)。令

u = x - 1

，則

f (x) - 2 = \frac{u}{2}

，

g (x) - 2 = - 2 u^{3} + π u

，兩個圖形都對稱於點

(1, 2)

（

g

的對稱中心是

(1, 2)

，

f

是過

(1, 2)

的直線）。交點滿足

\frac{u}{2} = - 2 u^{3} + π u

，即

u (2 u^{2} - π + \frac{1}{2}) = 0

，三個解是

u = 0

與

u = \pm s

（

s

為正數），三個

u

的和是

0

。在交點上

g

的值等於

f

的值，所以

g (α) + g (β) + g (γ) = f (α) + f (β) + f (γ) = \frac{0}{2} + 3 \times 2 = 6

。

三個交點對稱於

(1, 2)

，它們的

y

坐標平均起來就是

2

。

求餘式先寫「被除式＝除式×商式＋餘式」，再代入讓除式為

0

的數；求面積的極值，先把面積寫成二次函數再配方。

02多選 5～7：三直線的位置、兩條拋物線的上下關係與三次函數的局部特徵

第 5 題答案 (1)(3)(4)。

L_{1}

的斜率是

\frac{1}{2}

，

L_{2}

的斜率是

- \frac{2}{3}

，

L_{3}

的斜率是

a

。

L_{1}

與

L_{2}

斜率不同，交於一點：由

2 x + 3 y = 0

得

x = - \frac{3}{2} y

，代入

L_{1}

得

- \frac{7}{2} y = - 3

，交點是

(- \frac{9}{7}, \frac{6}{7})

。三線不能圍成三角形有三種情形：

L_{3} ∥ L_{1}

，

a = \frac{1}{2}

；

L_{3} ∥ L_{2}

，

a = - \frac{2}{3}

；

L_{3}

通過

L_{1}

與

L_{2}

的交點，

- \frac{9}{7} a - \frac{6}{7} - 1 = 0

，

a = - \frac{13}{9}

。(1) 正確。 (2) 錯誤。

a = - \frac{1}{2}

時三線兩兩相交於不同的三點，圍成三角形。(3) 正確。 (4) 正確。 (5) 錯誤。

a = \frac{7}{4}

同樣圍成三角形。

第 6 題答案 (3)(4)。「在下方且不相交」就是對每個實數

x

都有

k^{2} x^{2} + 3 x - 5 k < 4 x^{2} + 3 x - 1

，即

(4 - k^{2}) x^{2} + (5 k - 1) > 0

對所有

x

成立。若

4 - k^{2} < 0

，

x

很大時左邊是負的，不行；若

4 - k^{2} > 0

，左邊最小值在

x = 0

，要

5 k - 1 > 0

，得

\frac{1}{5} < k < 2

；若

4 - k^{2} = 0

，即

k = \pm 2

，左邊是常數

5 k - 1

，

k = 2

時是

9 > 0

可以，

k = - 2

時是

- 11

不行。所以

\frac{1}{5} < k \leq 2

。(1) 錯誤。

- 2

是負的。(2) 錯誤。

- \frac{7}{10}

是負的。(3) 正確。

\frac{1}{5} < \frac{4}{3} < 2

。(4) 正確。

k = 2

時兩個圖形上下相差

9

，永遠不相交。(5) 錯誤。

7 > 2

。

k = 2

時兩條拋物線形狀相同，是上下平移的關係，最容易被漏掉。

第 7 題答案 (4)(5)。用綜合除法把

f (x)

連續除以

x + 1

：係數

1, 6, 3, 2

，第一次得商

1, 5, - 2

、餘數

d = 4

；第二次得商

1, 4

、餘數

c = - 6

；第三次得商

1

、餘數

b = 3

；

a = 1

。所以

f (x) = (x + 1)^{3} + 3 (x + 1)^{2} - 6 (x + 1) + 4

。(1) 錯誤。

a + b + c + d = 1 + 3 - 6 + 4 = 2

（就是

f (0)

）。(2) 錯誤。 三次函數

p x^{3} + q x^{2} + r x + s

的對稱中心在

x = - \frac{q}{3 p}

；這裡是

x = - \frac{6}{3} = - 2

。也可以改寫：

f (x) = (x + 2)^{3} - 9 (x + 2) + 12

，對稱中心是

(- 2, 12)

，不是

(- 1, 4)

。(3) 錯誤。

x = - 0.99

時

x + 1 = 0.01

，

f (- 0.99) = 0.000001 + 0.0003 - 0.06 + 4 = 3.940301

，近似

3.94

但不等於

3.94

。(4) 正確。 在

x = - 1

附近，

(x + 1)^{3}

與

(x + 1)^{2}

很小，

f (x) \approx - 6 (x + 1) + 4 = - 6 x - 2

。(5) 正確。

∣ x ∣

很大時，

x^{3}

遠大於其他各項，圖形近似

y = x^{3}

。

選項 (2) 的

(- 1, d)

只是「以

x = - 1

為中心展開」的點；只有展開式沒有平方項時，那一點才是對稱中心。

三次函數改寫成

(x - h)

的多項式後：常數項是

f (h)

，一次部分是

x = h

附近的近似直線；平方項為

0

時，

(h, f (h))

才是對稱中心。

03選填 A～G（第 8～14 題）：不等式、配方、垂心、餘式、斜率範圍與二次函數的根

第 8 題

x^{2} + 2 x + 5 = (x + 1)^{2} + 4 > 0

，

(x - 3)^{4} \geq 0

且只在

x = 3

時為

0

。所以原式

\leq 0

等於：

x = 3

，或

(x - 2)^{3} (x + 3)^{5} \leq 0

。後者與

(x - 2) (x + 3) \leq 0

同號，解為

- 3 \leq x \leq 2

。整數有

- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2

共

6

個，再加上

x = 3

，共

7

個。

偶次方的因式

(x - 3)^{4}

不影響正負，但它讓

x = 3

使整個式子等於

0

，這一個整數不能漏。

第 9 題設原始分數為

x

分（

0 \leq x < 60

），調整後是

10 x + 15

分。加分前後的差距

= 10 x + 15 - x

。令

s = x

，差距

= - s^{2} + 10 s + 15 = - (s - 5)^{2} + 40

，在

s = 5

時最大，即

x = 25

。差距最多的人原始分數是

25

分（加分

40

分，變成

65

分）。

把

x

看成新的變數，差距就是一個開口向下的二次函數，配方找頂點。

第 10 題

A

、

B

的

x

坐標都是

- 1

，

\overline{A B}

是鉛直線，所以從

C

出發的高是水平線

y = 3

。

\overline{B C}

的斜率是

\frac{3 - 5}{2 - ( - 1 )} = - \frac{2}{3}

，從

A

出發的高垂直於

\overline{B C}

，斜率是

\frac{3}{2}

：

y - 2 = \frac{3}{2} (x + 1)

。與

y = 3

聯立：

x + 1 = \frac{2}{3}

，

x = - \frac{1}{3}

。垂心是

(- \frac{1}{3}, 3)

。

檢查第三條高：

\overline{A C}

的斜率是

\frac{1}{3}

，從

B

出發的高斜率

- 3

：

y - 5 = - 3 (x + 1)

，代

x = - \frac{1}{3}

得

y = 3

，三高確實交於同一點。

第 11 題

f (x)

是四次式，除以

(x - 1)^{3}

的商式是一次式，設

f (x) = (x - 1)^{3} (p x + q) + 2

。由餘式定理，

f (- 1) = - 8

：

(- 8) (- p + q) + 2 = - 8

，所以

- p + q = \frac{5}{4}

。

f (2) = 8

：

1 \cdot (2 p + q) + 2 = 8

，所以

2 p + q = 6

。兩式相減：

3 p = \frac{19}{4}

，

p = \frac{19}{12}

，

q = \frac{5}{4} + \frac{19}{12} = \frac{17}{6}

。

f (0) = (- 1)^{3} \cdot q + 2 = 2 - \frac{17}{6} = - \frac{5}{6}

。

p \neq = 0

，

f (x)

確實是四次式。

第 12 題

L : y = m (x - 9) - 2

，不論

m

為多少都通過定點

P (9, - 2)

，

m

是

L

的斜率。

\overline{P A}

的斜率是

\frac{5 - ( - 2 )}{6 - 9} = - \frac{7}{3}

，

\overline{P B}

的斜率是

\frac{8 - ( - 2 )}{3 - 9} = - \frac{5}{3}

。

A

、

B

都在鉛直線

x = 9

的左側，

L

繞

P

從

\overline{P A}

轉到

\overline{P B}

的過程中不會經過鉛直的位置，斜率從

- \frac{7}{3}

連續變到

- \frac{5}{3}

。所以

- \frac{7}{3} \leq m \leq - \frac{5}{3}

，

a \times b = (- \frac{7}{3}) (- \frac{5}{3}) = \frac{35}{9}

。

若線段

\overline{A B}

跨過

x = 9

，斜率範圍就會變成「

m \leq

某數或

m \geq

某數」，要先看清楚兩點在定點的哪一側。

第 13 題兩邊乘以

- 1

，看

h (x) = 5 x^{2} - a x - \frac{2}{7}

與

x

軸的交點（交點相同）。

h

的圖形開口向上，且

h (0) = - \frac{2}{7} < 0

，所以圖形一定與

x

軸交於兩點，一個在

0

的左邊、一個在

0

的右邊。左邊的交點在

- 1

的右邊，等於

h (- 1) > 0

：

5 + a - \frac{2}{7} > 0

，

a > - \frac{33}{7}

。右邊的交點在

2

的左邊，等於

h (2) > 0

：

20 - 2 a - \frac{2}{7} > 0

，

a < \frac{69}{7}

。

- \frac{33}{7}

在

- 5

與

- 4

之間，

\frac{69}{7}

在

9

與

10

之間，所以整數

a = - 4, - 3, \dots, 9

，共

14

個。

開口向上的拋物線，在兩個交點之外函數值為正、之間為負；所以

h (- 1) > 0

且

- 1 < 0

，就表示

- 1

落在左交點的左邊。

第 14 題

f (p) = f (q)

且

p \neq = q

，表示

p

、

q

對稱於拋物線的對稱軸

x = h

，其中

h = - \frac{113}{2 \times 2024}

，所以

p + q = 2 h

。而

x = 2 h

與

x = 0

也對稱於

x = h

，所以

f (p + q) = f (2 h) = f (0) = 520

。

也可以直接代：

p + q = - \frac{113}{2024}

，

f (p + q) = 2024 \cdot \frac{11 3 ^{2}}{202 4 ^{2}} - \frac{11 3 ^{2}}{2024} + 520 = 520

。

二次函數的題目先抓對稱軸與開口方向；過定點的直線求斜率範圍，先看兩個端點在定點的哪一側。

04非選擇題（第 15、16 題）：截距式與三角形面積

第 15 題

L

與

x

軸交於

(a, 0)

，與

y

軸交於

(0, b)

，所圍三角形面積

\frac{1}{2} ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ = \frac{3}{2}

，所以

∣ ab ∣ = 3

，

ab = 3

或

ab = - 3

，這是學校公布的答案（每個答案各 1 分）。本站補充：再加上

L

過

(- 3, 2)

，由

- \frac{3}{a} + \frac{2}{b} = 1

同乘

ab

得

2 a - 3 b = ab

。若

ab = - 3

，代

b = - \frac{3}{a}

得

2 a^{2} + 3 a + 9 = 0

，判別式

9 - 72 < 0

，沒有實數解；所以真正可能的值只有

ab = 3

（第 16 題學校自己的評分標準也算出這一點）。

這一小題的配分是 2 分，學校評分標準只用面積得到

ab = \pm 3

；嚴格來說題目同時給了「通過

(- 3, 2)

」，

ab = - 3

的情形不存在。

第 16 題

L

過

(- 3, 2)

：

- \frac{3}{a} + \frac{2}{b} = 1

，同乘

ab

得

2 a - 3 b = ab

。情形一

ab = 3

：

b = \frac{3}{a}

代入得

2 a - \frac{9}{a} = 3

，即

2 a^{2} - 3 a - 9 = 0

，

(2 a + 3) (a - 3) = 0

，

a = - \frac{3}{2}

或

a = 3

。

a = - \frac{3}{2}

時

b = - 2

，

L : \frac{x}{- \frac{3}{2}} + \frac{y}{- 2} = 1

，整理成

4 x + 3 y = - 6

，

x

截距

- \frac{3}{2}

，

y

截距

- 2

。

a = 3

時

b = 1

，

L : \frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1

，整理成

x + 3 y = 3

，

x

截距

3

，

y

截距

1

。情形二

ab = - 3

：

b = - \frac{3}{a}

代入得

2 a + \frac{9}{a} = - 3

，即

2 a^{2} + 3 a + 9 = 0

，判別式

3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9 < 0

，無實數解。所以滿足條件的直線有

x + 3 y = 3

與

4 x + 3 y = - 6

兩條。

驗算：

x + 3 y = 3

過

(- 3, 2)

，截距

3

、

1

，面積

\frac{3}{2}

；

4 x + 3 y = - 6

過

(- 3, 2)

，截距

- \frac{3}{2}

、

- 2

，面積

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 = \frac{3}{2}

。學校評分標準：列出過點的式子 1 分，整理出

a

的二次方程式 1 分、解出

a

1 分，兩條直線各 1 分、截距各 0.5 分，說明

ab = - 3

無實數解 1 分。

截距式

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

的面積條件會帶出絕對值，正負兩種情形都要討論，再用其他條件逐一檢查。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《直線與圓》單元冊 02・高一上

同一次段考的其他學校

同樣是高一第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

興大附中 113 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 113 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 2 題算出 f(9) 等於負 1 後，要記得整數除法的餘數不可以是負的；多選第 6 題容易漏掉 k 等於 2 時兩條拋物線上下平移、永遠不相交；多選第 7 題選項 (2) 的對稱中心要由二次項與三次項的係數去找，不是展開所用的中心；選填 A 題（本頁第 8 題）偶次方因式讓 x 等於 3 也成立，這一個整數最常被漏掉。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 113 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：多項式的除法原理、一次二次與三次函數、多項式不等式、直線方程式

興大附中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

這一章有整理好的單元冊：《直線與圓》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

設

f (x)

為一多項式，其奇數項係數和為

2

，偶數項係數和為

6

，求

f (x)

除以

x^{2} - 1

的餘式。

(1) $x + 7$
(2) $2 x - 8$
(3) $2 x + 6$
(4) $- 3 x + 1$
(5) $- x + 3$

下列哪一個選項是

202 4^{5} - 8 \cdot 202 4^{4} - 79 \cdot 202 4^{2} - 17 \cdot 2024 - 10

除以

2015

的餘數？

(1) $- 2014$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $1$
(5) $2014$

在邊長為

4

的正方形

A B C D

的三邊

\overline{A B}

、

\overline{B C}

、

\overline{C D}

上各取一點

P

、

Q

、

R

，使

\overline{A P} = \overline{B Q} = 2 \overline{C R}

，求

△ P QR

的最小面積。

(1) $\frac{4}{3}$
(2) $\frac{8}{3}$
(3) $\frac{10}{3}$
(4) $\frac{14}{3}$
(5) $\frac{16}{3}$

已知

f (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} + 2

與

g (x) = - 2 (x - 1)^{3} + π (x - 1) + 2

有三個交點，交點之

x

座標分別為

α, β, γ

，求

g (α) + g (β) + g (γ)

。

(1) $1$
(2) $2$
(3) $3$
(4) $π$
(5) $6$

假設三條直線

L_{1} : x - 2 y + 3 = 0

，

L_{2} : 2 x + 3 y = 0

，

L_{3} : a x - y - 1 = 0

，若

L_{1}, L_{2}, L_{3}

不能圍成三角形，試求

a

之值。

(1) $\frac{1}{2}$
(2) $- \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{2}{3}$
(4) $- \frac{13}{9}$
(5) $\frac{7}{4}$ 。

設

k

為實數，若二次函數

y = k^{2} x^{2} + 3 x - 5 k

的圖形在

y = 4 x^{2} + 3 x - 1

的圖形下方且不相交，試求下列哪些

k

值可滿足此條件。

(1) $- 2$
(2) $- \frac{7}{10}$
(3) $\frac{4}{3}$
(4) $2$
(5) $7$

若三次函數

y = f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 2 = a (x + 1)^{3} + b (x + 1)^{2} + c (x + 1) + d

，其中

a, b, c, d

為實數，則下列哪些選項為真？

(1) $a + b + c + d = - 3$
(2) $(- 1, d)$ 為 $y = f (x)$ 的對稱中心
(3) $f (- 0.99) = 3.94$
(4) $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 附近之近似直線為 $y = - 6 x - 2$
(5) 當 $∣ x ∣$ 值很大時， $y = f (x)$ 近似於 $y = x^{3}$ 。

滿足不等式

(x - 2)^{3} (x - 3)^{4} (x + 3)^{5} (x^{2} + 2 x + 5) \leq 0

共有 ____ 個整數。

某次高一期中考（不是這次）全班沒人及格，出題老師便以開根號乘以

10

再加

15

分來當作最後成績。Bao 高興地說：「我一定是加分前後分數差距最多的人。」請問 Bao 的原始分數是 ____ 分。

△ A B C

中，

A (- 1, 2)

，

B (- 1, 5)

，

C (2, 3)

，已知三角形的垂心即為三高的交點，則

△ A B C

之垂心座標為 ____。

設

f (x)

是一個四次多項式，已知

f (x)

除以

(x - 1)^{3}

的餘式為

2

，

f (x)

除以

(x + 1)

的餘式

- 8

，

f (x)

除以

(x - 2)

的餘式為

8

，則

f (0) =

____。

在平面上有兩點

A (6, 5)

，

B (3, 8)

以及直線

L : y = m x - 9 m - 2

，已知

L

和

\overline{A B}

可相交的

m

範圍為

a \leq m \leq b

，則

a \times b =

____。

若

a

為整數，且

y = - 5 x^{2} + a x + \frac{2}{7}

的圖形與

x

軸的兩個交點都介於

x = - 1

與

x = 2

之間，則滿足這樣條件的

a

有 ____ 個。

設

x

為任意實數，

f (x) = 2024 x^{2} + 113 x + 520

，若

p \neq = q

且

f (p) = f (q)

，求

f (p + q) =

____。

非選擇題（第 15～16 題）　若直線

L : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

通過

(- 3, 2)

且和兩坐標軸所圍的三角形面積為

\frac{3}{2}

。

a \times b

可能為哪些可能值？（2 分）

2. 試求所有滿足敘述之直線

L

，並寫出該直線的

x

截距與

y

截距。（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(2)

第 4 題(5)

第 5 題(1)(3)(4)

第 6 題(3)(4)

第 7 題(4)(5)

第 8 題

7

第 9 題

25

第 10 題

(- \frac{1}{3}, 3)

第 11 題

- \frac{5}{6}

第 12 題

\frac{35}{9}

第 13 題

14

第 14 題

520

第 15 題

ab = 3

或

ab = - 3

（照學校公布的答案；再用過

(- 3, 2)

的條件，只有

ab = 3

成立，見詳解）

第 16 題

x + 3 y = 3

（

x

截距

3

，

y

截距

1

）；

4 x + 3 y = - 6

（

x

截距

- \frac{3}{2}

，

y

截距

- 2

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：餘式定理、除法原理、二次函數極值與三次函數的對稱中心

第 1 題答案 (3)。

f (1)

是所有係數的和：

f (1) = 2 + 6 = 8

。

f (- 1)

時奇數次項變號、偶數次項不變：

f (- 1) = 6 - 2 = 4

。除式

x^{2} - 1

是二次，餘式設為

p x + q

：

f (x) = (x^{2} - 1) Q (x) + p x + q

。代

x = 1

：

p + q = 8

；代

x = - 1

：

- p + q = 4

。解得

p = 2

，

q = 6

，餘式是

2 x + 6

。

「奇數項」指

x

的奇數次方的項，「偶數項」指偶數次方的項（含常數項）。

第 2 題答案 (5)。

2024 = 2015 + 9

。令

f (x) = x^{5} - 8 x^{4} - 79 x^{2} - 17 x - 10

，由除法原理

f (x) = (x - 9) Q (x) + f (9)

，而除式

x - 9

的首項係數是

1

，所以商式

Q (x)

的係數都是整數。

f (9) = 59049 - 52488 - 6399 - 153 - 10 = - 1

。代

x = 2024

：所求的數

= 2015 \cdot Q (2024) - 1 = 2015 \cdot [Q (2024) - 1] + 2014

。整數除法的餘數必須在

0

與

2014

之間，所以餘數是

2014

。

- 1

不能當餘數：被除數是正整數，餘數要大於或等於

0

且小於除數

2015

。

f (9)

也可以用綜合除法算。

第 3 題答案 (2)。設

\overline{A P} = \overline{B Q} = t

，則

\overline{C R} = \frac{t}{2}

，其中

0 \leq t \leq 4

。

△ P QR

的面積

=

正方形減去三塊：梯形

A P R D

的面積是

\frac{( t + 4 - \frac{t}{2} ) \times 4}{2} = 8 + t

；

△ P B Q

是

\frac{( 4 - t ) t}{2}

；

△ QC R

是

\frac{1}{2} (4 - t) \cdot \frac{t}{2} = \frac{( 4 - t ) t}{4}

。所以面積

= 16 - (8 + t) - \frac{3 t ( 4 - t )}{4} = \frac{3}{4} t^{2} - 4 t + 8 = \frac{3}{4} (t - \frac{8}{3})^{2} + \frac{8}{3}

。

t = \frac{8}{3}

在範圍內，所以最小面積是

\frac{8}{3}

。

梯形

A P R D

的兩底是

\overline{A P} = t

與

\overline{D R} = 4 - \frac{t}{2}

，高是

\overline{A D} = 4

。

第 4 題答案 (5)。令

u = x - 1

，則

f (x) - 2 = \frac{u}{2}

，

g (x) - 2 = - 2 u^{3} + π u

，兩個圖形都對稱於點

(1, 2)

（

g

的對稱中心是

(1, 2)

，

f

是過

(1, 2)

的直線）。交點滿足

\frac{u}{2} = - 2 u^{3} + π u

，即

u (2 u^{2} - π + \frac{1}{2}) = 0

，三個解是

u = 0

與

u = \pm s

（

s

為正數），三個

u

的和是

0

。在交點上

g

的值等於

f

的值，所以

g (α) + g (β) + g (γ) = f (α) + f (β) + f (γ) = \frac{0}{2} + 3 \times 2 = 6

。

三個交點對稱於

(1, 2)

，它們的

y

坐標平均起來就是

2

。

求餘式先寫「被除式＝除式×商式＋餘式」，再代入讓除式為

0

的數；求面積的極值，先把面積寫成二次函數再配方。

02多選 5～7：三直線的位置、兩條拋物線的上下關係與三次函數的局部特徵

第 5 題答案 (1)(3)(4)。

L_{1}

的斜率是

\frac{1}{2}

，

L_{2}

的斜率是

- \frac{2}{3}

，

L_{3}

的斜率是

a

。

L_{1}

與

L_{2}

斜率不同，交於一點：由

2 x + 3 y = 0

得

x = - \frac{3}{2} y

，代入

L_{1}

得

- \frac{7}{2} y = - 3

，交點是

(- \frac{9}{7}, \frac{6}{7})

。三線不能圍成三角形有三種情形：

L_{3} ∥ L_{1}

，

a = \frac{1}{2}

；

L_{3} ∥ L_{2}

，

a = - \frac{2}{3}

；

L_{3}

通過

L_{1}

與

L_{2}

的交點，

- \frac{9}{7} a - \frac{6}{7} - 1 = 0

，

a = - \frac{13}{9}

。(1) 正確。 (2) 錯誤。

a = - \frac{1}{2}

時三線兩兩相交於不同的三點，圍成三角形。(3) 正確。 (4) 正確。 (5) 錯誤。

a = \frac{7}{4}

同樣圍成三角形。

第 6 題答案 (3)(4)。「在下方且不相交」就是對每個實數

x

都有

k^{2} x^{2} + 3 x - 5 k < 4 x^{2} + 3 x - 1

，即

(4 - k^{2}) x^{2} + (5 k - 1) > 0

對所有

x

成立。若

4 - k^{2} < 0

，

x

很大時左邊是負的，不行；若

4 - k^{2} > 0

，左邊最小值在

x = 0

，要

5 k - 1 > 0

，得

\frac{1}{5} < k < 2

；若

4 - k^{2} = 0

，即

k = \pm 2

，左邊是常數

5 k - 1

，

k = 2

時是

9 > 0

可以，

k = - 2

時是

- 11

不行。所以

\frac{1}{5} < k \leq 2

。(1) 錯誤。

- 2

是負的。(2) 錯誤。

- \frac{7}{10}

是負的。(3) 正確。

\frac{1}{5} < \frac{4}{3} < 2

。(4) 正確。

k = 2

時兩個圖形上下相差

9

，永遠不相交。(5) 錯誤。

7 > 2

。

k = 2

時兩條拋物線形狀相同，是上下平移的關係，最容易被漏掉。

第 7 題答案 (4)(5)。用綜合除法把

f (x)

連續除以

x + 1

：係數

1, 6, 3, 2

，第一次得商

1, 5, - 2

、餘數

d = 4

；第二次得商

1, 4

、餘數

c = - 6

；第三次得商

1

、餘數

b = 3

；

a = 1

。所以

f (x) = (x + 1)^{3} + 3 (x + 1)^{2} - 6 (x + 1) + 4

。(1) 錯誤。

a + b + c + d = 1 + 3 - 6 + 4 = 2

（就是

f (0)

）。(2) 錯誤。 三次函數

p x^{3} + q x^{2} + r x + s

的對稱中心在

x = - \frac{q}{3 p}

；這裡是

x = - \frac{6}{3} = - 2

。也可以改寫：

f (x) = (x + 2)^{3} - 9 (x + 2) + 12

，對稱中心是

(- 2, 12)

，不是

(- 1, 4)

。(3) 錯誤。

x = - 0.99

時

x + 1 = 0.01

，

f (- 0.99) = 0.000001 + 0.0003 - 0.06 + 4 = 3.940301

，近似

3.94

但不等於

3.94

。(4) 正確。 在

x = - 1

附近，

(x + 1)^{3}

與

(x + 1)^{2}

很小，

f (x) \approx - 6 (x + 1) + 4 = - 6 x - 2

。(5) 正確。

∣ x ∣

很大時，

x^{3}

遠大於其他各項，圖形近似

y = x^{3}

。

選項 (2) 的

(- 1, d)

只是「以

x = - 1

為中心展開」的點；只有展開式沒有平方項時，那一點才是對稱中心。

三次函數改寫成

(x - h)

的多項式後：常數項是

f (h)

，一次部分是

x = h

附近的近似直線；平方項為

0

時，

(h, f (h))

才是對稱中心。

03選填 A～G（第 8～14 題）：不等式、配方、垂心、餘式、斜率範圍與二次函數的根

第 8 題

x^{2} + 2 x + 5 = (x + 1)^{2} + 4 > 0

，

(x - 3)^{4} \geq 0

且只在

x = 3

時為

0

。所以原式

\leq 0

等於：

x = 3

，或

(x - 2)^{3} (x + 3)^{5} \leq 0

。後者與

(x - 2) (x + 3) \leq 0

同號，解為

- 3 \leq x \leq 2

。整數有

- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2

共

6

個，再加上

x = 3

，共

7

個。

偶次方的因式

(x - 3)^{4}

不影響正負，但它讓

x = 3

使整個式子等於

0

，這一個整數不能漏。

第 9 題設原始分數為

x

分（

0 \leq x < 60

），調整後是

10 x + 15

分。加分前後的差距

= 10 x + 15 - x

。令

s = x

，差距

= - s^{2} + 10 s + 15 = - (s - 5)^{2} + 40

，在

s = 5

時最大，即

x = 25

。差距最多的人原始分數是

25

分（加分

40

分，變成

65

分）。

把

x

看成新的變數，差距就是一個開口向下的二次函數，配方找頂點。

第 10 題

A

、

B

的

x

坐標都是

- 1

，

\overline{A B}

是鉛直線，所以從

C

出發的高是水平線

y = 3

。

\overline{B C}

的斜率是

\frac{3 - 5}{2 - ( - 1 )} = - \frac{2}{3}

，從

A

出發的高垂直於

\overline{B C}

，斜率是

\frac{3}{2}

：

y - 2 = \frac{3}{2} (x + 1)

。與

y = 3

聯立：

x + 1 = \frac{2}{3}

，

x = - \frac{1}{3}

。垂心是

(- \frac{1}{3}, 3)

。

檢查第三條高：

\overline{A C}

的斜率是

\frac{1}{3}

，從

B

出發的高斜率

- 3

：

y - 5 = - 3 (x + 1)

，代

x = - \frac{1}{3}

得

y = 3

，三高確實交於同一點。

第 11 題

f (x)

是四次式，除以

(x - 1)^{3}

的商式是一次式，設

f (x) = (x - 1)^{3} (p x + q) + 2

。由餘式定理，

f (- 1) = - 8

：

(- 8) (- p + q) + 2 = - 8

，所以

- p + q = \frac{5}{4}

。

f (2) = 8

：

1 \cdot (2 p + q) + 2 = 8

，所以

2 p + q = 6

。兩式相減：

3 p = \frac{19}{4}

，

p = \frac{19}{12}

，

q = \frac{5}{4} + \frac{19}{12} = \frac{17}{6}

。

f (0) = (- 1)^{3} \cdot q + 2 = 2 - \frac{17}{6} = - \frac{5}{6}

。

p \neq = 0

，

f (x)

確實是四次式。

第 12 題

L : y = m (x - 9) - 2

，不論

m

為多少都通過定點

P (9, - 2)

，

m

是

L

的斜率。

\overline{P A}

的斜率是

\frac{5 - ( - 2 )}{6 - 9} = - \frac{7}{3}

，

\overline{P B}

的斜率是

\frac{8 - ( - 2 )}{3 - 9} = - \frac{5}{3}

。

A

、

B

都在鉛直線

x = 9

的左側，

L

繞

P

從

\overline{P A}

轉到

\overline{P B}

的過程中不會經過鉛直的位置，斜率從

- \frac{7}{3}

連續變到

- \frac{5}{3}

。所以

- \frac{7}{3} \leq m \leq - \frac{5}{3}

，

a \times b = (- \frac{7}{3}) (- \frac{5}{3}) = \frac{35}{9}

。

若線段

\overline{A B}

跨過

x = 9

，斜率範圍就會變成「

m \leq

某數或

m \geq

某數」，要先看清楚兩點在定點的哪一側。

第 13 題兩邊乘以

- 1

，看

h (x) = 5 x^{2} - a x - \frac{2}{7}

與

x

軸的交點（交點相同）。

h

的圖形開口向上，且

h (0) = - \frac{2}{7} < 0

，所以圖形一定與

x

軸交於兩點，一個在

0

的左邊、一個在

0

的右邊。左邊的交點在

- 1

的右邊，等於

h (- 1) > 0

：

5 + a - \frac{2}{7} > 0

，

a > - \frac{33}{7}

。右邊的交點在

2

的左邊，等於

h (2) > 0

：

20 - 2 a - \frac{2}{7} > 0

，

a < \frac{69}{7}

。

- \frac{33}{7}

在

- 5

與

- 4

之間，

\frac{69}{7}

在

9

與

10

之間，所以整數

a = - 4, - 3, \dots, 9

，共

14

個。

開口向上的拋物線，在兩個交點之外函數值為正、之間為負；所以

h (- 1) > 0

且

- 1 < 0

，就表示

- 1

落在左交點的左邊。

第 14 題

f (p) = f (q)

且

p \neq = q

，表示

p

、

q

對稱於拋物線的對稱軸

x = h

，其中

h = - \frac{113}{2 \times 2024}

，所以

p + q = 2 h

。而

x = 2 h

與

x = 0

也對稱於

x = h

，所以

f (p + q) = f (2 h) = f (0) = 520

。

也可以直接代：

p + q = - \frac{113}{2024}

，

f (p + q) = 2024 \cdot \frac{11 3 ^{2}}{202 4 ^{2}} - \frac{11 3 ^{2}}{2024} + 520 = 520

。

二次函數的題目先抓對稱軸與開口方向；過定點的直線求斜率範圍，先看兩個端點在定點的哪一側。

04非選擇題（第 15、16 題）：截距式與三角形面積

第 15 題

L

與

x

軸交於

(a, 0)

，與

y

軸交於

(0, b)

，所圍三角形面積

\frac{1}{2} ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ = \frac{3}{2}

，所以

∣ ab ∣ = 3

，

ab = 3

或

ab = - 3

，這是學校公布的答案（每個答案各 1 分）。本站補充：再加上

L

過

(- 3, 2)

，由

- \frac{3}{a} + \frac{2}{b} = 1

同乘

ab

得

2 a - 3 b = ab

。若

ab = - 3

，代

b = - \frac{3}{a}

得

2 a^{2} + 3 a + 9 = 0

，判別式

9 - 72 < 0

，沒有實數解；所以真正可能的值只有

ab = 3

（第 16 題學校自己的評分標準也算出這一點）。

這一小題的配分是 2 分，學校評分標準只用面積得到

ab = \pm 3

；嚴格來說題目同時給了「通過

(- 3, 2)

」，

ab = - 3

的情形不存在。

第 16 題

L

過

(- 3, 2)

：

- \frac{3}{a} + \frac{2}{b} = 1

，同乘

ab

得

2 a - 3 b = ab

。情形一

ab = 3

：

b = \frac{3}{a}

代入得

2 a - \frac{9}{a} = 3

，即

2 a^{2} - 3 a - 9 = 0

，

(2 a + 3) (a - 3) = 0

，

a = - \frac{3}{2}

或

a = 3

。

a = - \frac{3}{2}

時

b = - 2

，

L : \frac{x}{- \frac{3}{2}} + \frac{y}{- 2} = 1

，整理成

4 x + 3 y = - 6

，

x

截距

- \frac{3}{2}

，

y

截距

- 2

。

a = 3

時

b = 1

，

L : \frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1

，整理成

x + 3 y = 3

，

x

截距

3

，

y

截距

1

。情形二

ab = - 3

：

b = - \frac{3}{a}

代入得

2 a + \frac{9}{a} = - 3

，即

2 a^{2} + 3 a + 9 = 0

，判別式

3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9 < 0

，無實數解。所以滿足條件的直線有

x + 3 y = 3

與

4 x + 3 y = - 6

兩條。

驗算：

x + 3 y = 3

過

(- 3, 2)

，截距

3

、

1

，面積

\frac{3}{2}

；

4 x + 3 y = - 6

過

(- 3, 2)

，截距

- \frac{3}{2}

、

- 2

，面積

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 2 = \frac{3}{2}

。學校評分標準：列出過點的式子 1 分，整理出

a

的二次方程式 1 分、解出

a

1 分，兩條直線各 1 分、截距各 0.5 分，說明

ab = - 3

無實數解 1 分。

截距式

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

的面積條件會帶出絕對值，正負兩種情形都要討論，再用其他條件逐一檢查。

這一章的單元冊

每個題型挑各校段考原題當例題（少數改寫會註明），由易到難；每一題都附圖或表，詳解寫到每一步。PDF 電子檔，可以先下載試閱。

《直線與圓》單元冊 02・高一上

同一次段考的其他學校

同樣是高一第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

興大附中 113 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 113 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 113 學年度上學期高一第二次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 113 上高一第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：餘式定理、除法原理、二次函數極值與三次函數的對稱中心

02多選 5～7：三直線的位置、兩條拋物線的上下關係與三次函數的局部特徵

03選填 A～G（第 8～14 題）：不等式、配方、垂心、餘式、斜率範圍與二次函數的根

04非選擇題（第 15、16 題）：截距式與三角形面積

這一章的單元冊

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

興大附中 113 上 高一第二次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 113 上 高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

興大附中 113 上高一第二次段考數學試題、答案與詳解

原卷 16 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：餘式定理、除法原理、二次函數極值與三次函數的對稱中心

02多選 5～7：三直線的位置、兩條拋物線的上下關係與三次函數的局部特徵

03選填 A～G（第 8～14 題）：不等式、配方、垂心、餘式、斜率範圍與二次函數的根

04非選擇題（第 15、16 題）：截距式與三角形面積

這一章的單元冊

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

興大附中 113 上 高一第二次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 113 上 高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

興大附中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

興大附中 113 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 113 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？

興大附中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

興大附中 113 上高一第二次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 113 上高一第二次段考數學哪幾題最容易錯？