段考詳解範圍：函數、數列的極限與無窮等比級數、函數的極限與連續、多項式函數的微分（導數、切線、邊際）

興大附中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 2 題：極限看圖形往哪個高度走，不是看實心點；原點是尖角，導數不存在。多選第 4 題：題目給的 3 是極限值不是函數值，函數值是 0，分母換成平方之後極限不存在。選填 H（本頁第 13 題）：一個三角形的面積每層變四分之一，但個數變兩倍，總和的公比是二分之一。混合題：B 點不在圖形上，要先設切點，不能把 B 的橫坐標直接代進導函數。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

多重選擇題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、選填題 A～I 共 11 格（每格 5 分，共 55 分）、混合題 3 小題（每小題 5 分，共 15 分），合計 100 分。本頁第 6～14 題依序為原卷選填 A～I 題，第 15～17 題為原卷混合題的 (1)(2)(3)；原卷 H 題有三格。答案已與學校公布的答案逐題核對，17 題全部一致。

壹、多重選擇題: 30分　說明：第1題至第5題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得6分；答錯1個選項者，得3.6分；答錯2個選項者，得1.2分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 1 ，當 - 1 \leq x < 1 x^{2} + 1 ，當 1 \leq x < 2 - 2 x + 9 ，當 2 \leq x < 3

且

f (x) = f (x - 4)

，選出正確的選項。

(1) $f (\frac{10}{3}) = 9$
(2) $f (2) = 3$
(3) $f (10) = 310 - 13$
(4) $f (5) = 2$
(5) $f (20) = 1$

若函數

y = f (x)

在

- 1 \leq x \leq 3

的定義如圖，則下列敘述何者為真？

(1) $x \to 1^{-} lim f (x) = 1$
(2) $x \to 2 lim f (x) = 2$
(3) $x \to 0 lim f (x) = 0$
(4) $f^{'} (- \frac{1}{2}) < 0$
(5) $f^{'} (0) = 0$

載入中...

已知函數

f (x) = 5 x^{4} + 3

，

g (x) = sin x

，

h (x) = x^{3} + 2

，選出所有正確的選項。

(1) $f (x)$ 為偶函數
(2) $f (x)$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(3) $g (x)$ 的圖形對稱於原點
(4) $h (x)$ 為偶函數
(5) $h (x)$ 為奇函數

已知

f (x)

為多項式函數且滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 3

，選出正確的選項。

(1) $f (1) = 3$
(2) $x \to 1 lim (\frac{f ( x )}{x - 1} + \frac{x - 3}{x}) = 1$
(3) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{3 x - 3} = 1$
(4) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}} = 3$
(5) $x \to 1 lim (x \times f (x)) = 0$

已知某款平板賣出

x

台的利潤函數為

P (x) = 0.02 x^{3} + 500 x

（元），選出正確的選項。

(1) $P^{'} (x) = 0.06 x^{2} + 500$
(2) $P^{'} (50) = 650$
(3) $P (51) - P (50)$ 近似於 $650$
(4) 賣出第 $51$ 台所增加的利潤約為 $650$ 元
(5) 賣出第 $100$ 台有最大的邊際利潤

貳、選填題:55分　說明：1. 第A至I題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（6–31）　2. 第A至I題：共11格，每格完全答對給 5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。　3. 若答案為分數，必須化為最簡分數；若為根式，必須化為最簡根式。並注意分子、分母的列號順序。

（原卷選填 A）設

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b

，

a

、

b \in R

，若

y = f (x)

之圖形通過點

(1, 4)

且在此點之切線的斜率為

- 1

，則

(a, b) =

____。

（原卷選填 B）已知

x \to 4 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2} = 4

，則數對

(a, b) =

____。

（原卷選填 C）已知函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k x ^{2} + x - 4 k - 2}{x - 2} ，當 x \neq = 2 45 ，當 x = 2

在

x = 2

連續，求實數

k =

____。

（原卷選填 D）求極限

n \to \infty lim \frac{1 + 3 + 3 ^{2} + 3 ^{3} + \dots + 3 ^{n - 1}}{3 ^{n}} =

____。

（原卷選填 E）求極限

x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣}{x} + x \to 0^{-} lim \frac{∣ x ∣}{x} =

____。

（原卷選填 F）已知

(\frac{a}{3} + \frac{b}{3 ^{2}}) + (\frac{a}{3 ^{3}} + \frac{b}{3 ^{4}}) + \dots + (\frac{a}{3 ^{2 n - 1}} + \frac{b}{3 ^{2 n}}) + \dots = 4

求

3 a + b =

____。

（原卷選填 G）若

f (x)

為實係數三次多項式，且

x \to - 2 lim \frac{f ( x )}{x + 2} = 15

，

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 3

，則

f (2) =

____。

（原卷選填 H）如圖所示，第一層的正方形中有

1

個黑色等腰直角三角形，第二層的

2

個全等正方形中各有一個黑色等腰直角三角形，第三層的

4

個全等正方形中各有一個黑色等腰直角三角形，……，以此類推，可得到無窮多個黑色等腰直角三角形。設第一層的正方形邊長為

1

，並令

a_{n}

代表第

n

層的一個黑色三角形的面積。 (1) 求

a_{2} =

____，

a_{3} =

____。 (2) 求所有黑色三角形面積的總和 ____。

載入中...

（原卷選填 I）若

f (x)

為二次函數，且

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 8

，

f (1) = - 5

，則

f (3) =

____。

參、混合題:15分　請用黑色之墨水筆於「答案卷」上詳列算式過程，未於作答卷上作答者，以零分計算，占15分

混合題（第 15～17 題）　已知

B (0, - 3)

為函數

f (x) = x^{3} - 1

圖形外一點，直線

L

是通過

B

點且與函數

f (x)

的圖形相切，設

A

是切點，求

（原卷混合題 (1)）切點

A

坐標 ____。（5 分）

（原卷混合題 (2)）切線

L

的方程式 ____。（5 分）

（原卷混合題 (3)）函數

f (x)

的圖形與切線

L

的另一交點

C

坐標 ____。（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(3)(4)

第 2 題(3)(4)

第 3 題(1)(3)

第 4 題(2)(3)(5)

第 5 題(1)(2)(3)(4)

第 6 題

(- 2, 5)

第 7 題

(- 7, 12)

第 8 題

11

第 9 題

\frac{1}{2}

第 10 題

0

第 11 題

32

第 12 題

12

第 13 題(1)

a_{2} = \frac{1}{16}

，

a_{3} = \frac{1}{64}

；(2)

\frac{1}{2}

第 14 題

11

第 15 題

A (1, 0)

第 16 題

y = 3 x - 3

第 17 題

C (- 2, - 9)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1、3：函數求值與奇偶性

第 1 題式子只定義在

- 1 \leq x < 3

，長度剛好是

4

；條件

f (x) = f (x - 4)

表示自變數加減

4

的整數倍，函數值不變。每個選項先把自變數搬回

- 1 \leq x < 3

，再看落在哪一段。 (1) 錯誤。

\frac{10}{3} - 4 = - \frac{2}{3}

，落在第一段，

f (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (- \frac{2}{3}) - 1 = - 3

。 (2) 正確。

2 \approx 1.41

落在第二段，

f (2) = (2)^{2} + 1 = 3

。 (3) 正確。

10 \approx 3.16

，減

4

得

10 - 4 \approx - 0.84

，落在第一段，

f (10) = 3 (10 - 4) - 1 = 310 - 13

。 (4) 正確。

5 - 4 = 1

，落在第二段（第二段含

x = 1

），

f (5) = 1^{2} + 1 = 2

。 (5) 錯誤。

20 - 4 \times 5 = 0

，落在第一段，

f (20) = 3 \cdot 0 - 1 = - 1

。選 (2)(3)(4)。

(1) 的

9

是把

\frac{10}{3}

直接代進第一段

3 x - 1

得到的，但

\frac{10}{3} > 3

，不在任何一段的範圍內，要先減

4

。

第 3 題偶函數是

f (- x) = f (x)

，圖形對稱於

y

軸；奇函數是

f (- x) = - f (x)

，圖形對稱於原點。 (1) 正確。

f (- x) = 5 (- x)^{4} + 3 = 5 x^{4} + 3 = f (x)

。 (2) 錯誤。 偶函數的圖形對稱於

y

軸，不是

x

軸。

f (x) \geq 3

，圖形整個在

x

軸上方，不可能對稱於

x

軸。 (3) 正確。

g (- x) = sin (- x) = - sin x = - g (x)

，是奇函數，圖形對稱於原點。 (4) 錯誤。

h (1) = 3

，

h (- 1) = 1

，

h (- 1) \neq = h (1)

。 (5) 錯誤。

- h (1) = - 3

，

h (- 1) = 1

，

h (- 1) \neq = - h (1)

。

h (x)

既不是奇函數也不是偶函數。選 (1)(3)。

x^{3}

是奇函數，但加上常數

2

之後圖形往上移，對稱中心變成

(0, 2)

，不再對稱於原點。

週期函數求值先搬回有式子的那一段；判斷奇偶就把 x 換成負 x 代進去看。

02多選 2、4：函數的極限

第 2 題極限看的是

x

靠近那一點時圖形往哪個高度走，和那一點本身的函數值無關。 (1) 錯誤。

x

從左邊靠近

1

時，圖形沿著曲線往上走向空心點

(1, 2)

，左極限是

2

。

1

是

f (1)

的值，也是右極限。 (2) 錯誤。

x

從左右兩邊靠近

2

時，圖形都在高度

1

的水平線段上，極限是

1

。

2

是實心點

(2, 2)

的高度，也就是

f (2)

。 (3) 正確。 從左邊、右邊靠近

0

，圖形都走向原點，左極限與右極限都是

0

。 (4) 正確。 在

- 1 < x < 0

圖形是一條平滑、由左上往右下降的曲線，

x = - \frac{1}{2}

處的切線由左上往右下傾斜，斜率是負的。 (5) 錯誤。 圖形在原點是一個尖角：左邊的曲線以向右下傾斜的方向進入原點，右邊的曲線從原點往右上升，兩邊的切線方向不同，

f^{'} (0)

不存在。選 (3)(4)。

(5) 是由圖判讀：原卷的圖在原點明顯是尖的，左邊那一段到原點時仍然很陡。函數在一點有極限、甚至連續，都不代表在那一點可以微分。

第 4 題分母

x - 1

趨近

0

而極限存在，分子也必須趨近

0

：

x \to 1 lim f (x) = x \to 1 lim (\frac{f ( x )}{x - 1} \cdot (x - 1)) = 3 \cdot 0 = 0

多項式函數是連續的，所以

f (1) = 0

，由因式定理可設

f (x) = (x - 1) g (x)

，

g (x)

是多項式，再由原來的極限得

g (1) = 3

。 (1) 錯誤。

f (1) = 0

，不是

3

。 (2) 正確。 兩個極限都存在，可以分開算，第一個是

3

，第二個代入得

\frac{1 - 3}{1} = - 2

，和為

1

。 (3) 正確。 分母是原來的

3

倍，極限是

\frac{3}{3} = 1

。 (4) 錯誤。 原式約分後是

\frac{g ( x )}{x - 1}

，分子趨近

3

、分母趨近

0

，極限不存在。 (5) 正確。

x

趨近

1

，

f (x)

趨近

0

，乘積趨近

1 \cdot 0 = 0

。選 (2)(3)(5)。

題目給的

3

其實就是

f^{'} (1)

：因為

f (1) = 0

，

\frac{f ( x )}{x - 1} = \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}

。它是切線斜率，不是函數值。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定也趨近 0；多項式就可以提出那個一次因式。

03多選 5、選填 A：導函數的意義與計算

第 5 題(1) 正確。 逐項微分，

P^{'} (x) = 0.02 \cdot 3 x^{2} + 500 = 0.06 x^{2} + 500

。 (2) 正確。

P^{'} (50) = 0.06 \times 2500 + 500 = 150 + 500 = 650

。 (3) 正確。 直接算：

5 1^{3} - 5 0^{3} = 132651 - 125000 = 7651

，所以

P (51) - P (50) = 0.02 \times 7651 + 500 = 653.02

和

650

只差

3.02

。 (4) 正確。 賣出第

51

台所增加的利潤就是

P (51) - P (50)

，同 (3)，約為

650

元。這也是邊際利潤

P^{'} (50)

的意義：多賣一台大約多賺多少。 (5) 錯誤。 邊際利潤是

P^{'} (x) = 0.06 x^{2} + 500

，

x

愈大它愈大，例如

P^{'} (100) = 1100

，

P^{'} (101) = 1112.06

更大，在

x = 100

沒有最大值。選 (1)(2)(3)(4)。

P (51) - P (50)

是平均變化率

\frac{P ( 51 ) - P ( 50 )}{51 - 50}

，

P^{'} (50)

是瞬時變化率；台數只差

1

而原本已有

50

台，兩者很接近。

第 6 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x

。切線斜率

f^{'} (1) = 3 + 2 a = - 1

，得

a = - 2

。圖形通過

(1, 4)

：

f (1) = 1 + a + b = 4

，代入

a = - 2

得

b = 5

。答：

(a, b) = (- 2, 5)

。

導數是瞬時變化率；多一單位的變化量可以用導數來估計。

04選填 B、C、E：極限存在與連續

第 7 題分母

x - 2

在

x \to 4

時趨近

0

，極限存在，所以分子也趨近

0

：

16 + 4 a + b = 0

，即

b = - 16 - 4 a

。這時

x^{2} + a x + b = x^{2} - 16 + a (x - 4) = (x - 4) (x + 4 + a)

又

x - 4 = (x - 2) (x + 2)

，約去

x - 2

：

x \to 4 lim (x + 2) (x + 4 + a) = 4 (8 + a) = 4

得

a = - 7

，

b = - 16 + 28 = 12

。答：

(a, b) = (- 7, 12)

。

檢查：

x^{2} - 7 x + 12 = (x - 3) (x - 4)

，原式約分後是

(x - 3) (x + 2)

，

x \to 4

時為

1 \cdot 4 = 4

。

第 8 題在

x = 2

連續，就是

x \to 2 lim f (x) = f (2) = 45

。分子按

k

整理：

k x^{2} + x - 4 k - 2 = k (x^{2} - 4) + (x - 2) = (x - 2) (k (x + 2) + 1)

所以

x \neq = 2

時

f (x) = k (x + 2) + 1

，極限是

4 k + 1

。令

4 k + 1 = 45

，得

k = 11

。

第 10 題

x > 0

時

∣ x ∣ = x

，

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，右極限是

1

。

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

，左極限是

- 1

。兩者相加，

1 + (- 1) = 0

。

左極限與右極限不相等，所以

x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}

不存在；本題問的是兩個單邊極限的和，各自都存在。

連續就是極限值等於函數值；分子分母同時趨近 0 時先找出公因式約掉。

05選填 D、F、H：等比級數與無窮等比級數

第 9 題分子是首項

1

、公比

3

的等比級數，共

n

項，和為

\frac{3 ^{n} - 1}{3 - 1} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}

。所以

n \to \infty lim \frac{3 ^{n} - 1}{2 \cdot 3 ^{n}} = n \to \infty lim \frac{1}{2} (1 - (\frac{1}{3})^{n}) = \frac{1}{2}

第 11 題第

n

個括號通分：

\frac{a}{3 ^{2 n - 1}} + \frac{b}{3 ^{2 n}} = \frac{3 a + b}{3 ^{2 n}} = \frac{3 a + b}{9 ^{n}}

所以整個級數是首項

\frac{3 a + b}{9}

、公比

\frac{1}{9}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{3 a + b}{9}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3 a + b}{8} = 4

得

3 a + b = 32

。

本題只能求出

3 a + b

，

a

與

b

各自的值無法確定。

第 13 題每個正方形被兩條對角線分成四個全等的等腰直角三角形，黑色三角形是其中一個，面積是所在正方形的

\frac{1}{4}

。第

n

層有

2^{n - 1}

個正方形並排，總寬仍是

1

，所以每個正方形的邊長是

\frac{1}{2 ^{n - 1}}

，面積是

\frac{1}{4 ^{n - 1}}

，於是

a_{n} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 ^{n - 1}} = \frac{1}{4 ^{n}}

(1)

a_{2} = \frac{1}{16}

，

a_{3} = \frac{1}{64}

。 (2) 第

n

層的黑色面積合計是

2^{n - 1} \cdot \frac{1}{4 ^{n}} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}

，是首項

\frac{1}{4}

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，總和為

\frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

每往下一層，一個三角形的面積變成

\frac{1}{4}

，但個數變成

2

倍，所以各層合計的公比是

\frac{1}{2}

，不是

\frac{1}{4}

。

無窮等比級數先認出首項與公比；圖形題要分清一個的面積與一層的面積。

06選填 G、I：由極限條件決定多項式

第 12 題兩個極限的分母都趨近

0

而極限存在，所以

f (- 2) = 0

、

f (1) = 0

，

f (x)

有因式

(x + 2) (x - 1)

。

f (x)

是三次，設

f (x) = (x + 2) (x - 1) (p x + q)

。

x \to - 2

：約去

x + 2

，

(- 2 - 1) (- 2 p + q) = 15

，即

- 2 p + q = - 5

。

x \to 1

：約去

x - 1

，

(1 + 2) (p + q) = 3

，即

p + q = 1

。兩式相減得

3 p = 6

，

p = 2

，

q = - 1

。所以

f (x) = (x + 2) (x - 1) (2 x - 1)

，

f (2) = 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12

。

第 14 題分母趨近

0

而極限存在，所以

f (2) = 0

；

f (x)

是二次，設

f (x) = (x - 2) (p x + q)

。約去

x - 2

：

x \to 2 lim (p x + q) = 2 p + q = 8

。

f (1) = (1 - 2) (p + q) = - 5

，即

p + q = 5

。兩式相減得

p = 3

，

q = 2

。所以

f (x) = (x - 2) (3 x + 2)

，

f (3) = 1 \cdot 11 = 11

。

每一個「分母趨近 0 而極限存在」的條件，都給多項式一個一次因式。

07混合題：過圖形外一點的切線

第 15 題

B (0, - 3)

不在圖形上（

f (0) = - 1 \neq = - 3

），不能直接把

x = 0

代進導函數。設切點

A (a, a^{3} - 1)

。

f^{'} (x) = 3 x^{2}

，所以切線

L

的斜率是

f^{'} (a) = 3 a^{2}

。另一方面，

L

通過

A (a, a^{3} - 1)

與

B (0, - 3)

。若

a = 0

，切線是水平線

y = - 1

，不通過

B

，所以

a \neq = 0

，斜率可寫成

\frac{( a ^{3} - 1 ) - ( - 3 )}{a - 0} = \frac{a ^{3} + 2}{a}

兩個斜率相等：

\frac{a ^{3} + 2}{a} = 3 a^{2}

，即

a^{3} + 2 = 3 a^{3}

，

a^{3} = 1

，實數解只有

a = 1

。

f (1) = 0

，切點

A (1, 0)

。

第 16 題切線斜率

f^{'} (1) = 3

，通過

A (1, 0)

：

y - 0 = 3 (x - 1)

，即

y = 3 x - 3

。檢查：

x = 0

時

y = - 3

，確實通過

B (0, - 3)

。

第 17 題解聯立

y = x^{3} - 1

與

y = 3 x - 3

。兩式相減：

x^{3} - 3 x + 2 = 0

L

在

x = 1

與圖形相切，所以

x = 1

是重根，左式有因式

(x - 1)^{2}

：

x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)

得

x = 1

（切點）或

x = - 2

。

x = - 2

時

y = 3 \cdot (- 2) - 3 = - 9

，另一交點

C (- 2, - 9)

。檢查：

f (- 2) = - 8 - 1 = - 9

，

C

確實在圖形上。

三次函數圖形的切線通常會和圖形再交於另一點；相切處是重根，用它先提出

(x - 1)^{2}

，剩下的一次因式就是另一個交點。

點不在圖形上時先設切點，用「導數」與「兩點斜率」各寫一次切線斜率再相等。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

興大附中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 2 題：極限看圖形往哪個高度走，不是看實心點；原點是尖角，導數不存在。多選第 4 題：題目給的 3 是極限值不是函數值，函數值是 0，分母換成平方之後極限不存在。選填 H（本頁第 13 題）：一個三角形的面積每層變四分之一，但個數變兩倍，總和的公比是二分之一。混合題：B 點不在圖形上，要先設切點，不能把 B 的橫坐標直接代進導函數。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 114 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：函數、數列的極限與無窮等比級數、函數的極限與連續、多項式函數的微分（導數、切線、邊際）

興大附中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 1 ，當 - 1 \leq x < 1 x^{2} + 1 ，當 1 \leq x < 2 - 2 x + 9 ，當 2 \leq x < 3

且

f (x) = f (x - 4)

，選出正確的選項。

(1) $f (\frac{10}{3}) = 9$
(2) $f (2) = 3$
(3) $f (10) = 310 - 13$
(4) $f (5) = 2$
(5) $f (20) = 1$

若函數

y = f (x)

在

- 1 \leq x \leq 3

的定義如圖，則下列敘述何者為真？

(1) $x \to 1^{-} lim f (x) = 1$
(2) $x \to 2 lim f (x) = 2$
(3) $x \to 0 lim f (x) = 0$
(4) $f^{'} (- \frac{1}{2}) < 0$
(5) $f^{'} (0) = 0$

載入中...

已知函數

f (x) = 5 x^{4} + 3

，

g (x) = sin x

，

h (x) = x^{3} + 2

，選出所有正確的選項。

(1) $f (x)$ 為偶函數
(2) $f (x)$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(3) $g (x)$ 的圖形對稱於原點
(4) $h (x)$ 為偶函數
(5) $h (x)$ 為奇函數

已知

f (x)

為多項式函數且滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 3

，選出正確的選項。

(1) $f (1) = 3$
(2) $x \to 1 lim (\frac{f ( x )}{x - 1} + \frac{x - 3}{x}) = 1$
(3) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{3 x - 3} = 1$
(4) $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}} = 3$
(5) $x \to 1 lim (x \times f (x)) = 0$

已知某款平板賣出

x

台的利潤函數為

P (x) = 0.02 x^{3} + 500 x

（元），選出正確的選項。

(1) $P^{'} (x) = 0.06 x^{2} + 500$
(2) $P^{'} (50) = 650$
(3) $P (51) - P (50)$ 近似於 $650$
(4) 賣出第 $51$ 台所增加的利潤約為 $650$ 元
(5) 賣出第 $100$ 台有最大的邊際利潤

（原卷選填 A）設

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b

，

a

、

b \in R

，若

y = f (x)

之圖形通過點

(1, 4)

且在此點之切線的斜率為

- 1

，則

(a, b) =

____。

（原卷選填 B）已知

x \to 4 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2} = 4

，則數對

(a, b) =

____。

（原卷選填 C）已知函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k x ^{2} + x - 4 k - 2}{x - 2} ，當 x \neq = 2 45 ，當 x = 2

在

x = 2

連續，求實數

k =

____。

（原卷選填 D）求極限

n \to \infty lim \frac{1 + 3 + 3 ^{2} + 3 ^{3} + \dots + 3 ^{n - 1}}{3 ^{n}} =

____。

（原卷選填 E）求極限

x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣}{x} + x \to 0^{-} lim \frac{∣ x ∣}{x} =

____。

（原卷選填 F）已知

(\frac{a}{3} + \frac{b}{3 ^{2}}) + (\frac{a}{3 ^{3}} + \frac{b}{3 ^{4}}) + \dots + (\frac{a}{3 ^{2 n - 1}} + \frac{b}{3 ^{2 n}}) + \dots = 4

求

3 a + b =

____。

（原卷選填 G）若

f (x)

為實係數三次多項式，且

x \to - 2 lim \frac{f ( x )}{x + 2} = 15

，

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 3

，則

f (2) =

____。

（原卷選填 H）如圖所示，第一層的正方形中有

1

個黑色等腰直角三角形，第二層的

2

個全等正方形中各有一個黑色等腰直角三角形，第三層的

4

個全等正方形中各有一個黑色等腰直角三角形，……，以此類推，可得到無窮多個黑色等腰直角三角形。設第一層的正方形邊長為

1

，並令

a_{n}

代表第

n

層的一個黑色三角形的面積。 (1) 求

a_{2} =

____，

a_{3} =

____。 (2) 求所有黑色三角形面積的總和 ____。

載入中...

（原卷選填 I）若

f (x)

為二次函數，且

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 8

，

f (1) = - 5

，則

f (3) =

____。

參、混合題:15分　請用黑色之墨水筆於「答案卷」上詳列算式過程，未於作答卷上作答者，以零分計算，占15分

混合題（第 15～17 題）　已知

B (0, - 3)

為函數

f (x) = x^{3} - 1

圖形外一點，直線

L

是通過

B

點且與函數

f (x)

的圖形相切，設

A

是切點，求

（原卷混合題 (1)）切點

A

坐標 ____。（5 分）

（原卷混合題 (2)）切線

L

的方程式 ____。（5 分）

（原卷混合題 (3)）函數

f (x)

的圖形與切線

L

的另一交點

C

坐標 ____。（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)(3)(4)

第 2 題(3)(4)

第 3 題(1)(3)

第 4 題(2)(3)(5)

第 5 題(1)(2)(3)(4)

第 6 題

(- 2, 5)

第 7 題

(- 7, 12)

第 8 題

11

第 9 題

\frac{1}{2}

第 10 題

0

第 11 題

32

第 12 題

12

第 13 題(1)

a_{2} = \frac{1}{16}

，

a_{3} = \frac{1}{64}

；(2)

\frac{1}{2}

第 14 題

11

第 15 題

A (1, 0)

第 16 題

y = 3 x - 3

第 17 題

C (- 2, - 9)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1、3：函數求值與奇偶性

第 1 題式子只定義在

- 1 \leq x < 3

，長度剛好是

4

；條件

f (x) = f (x - 4)

表示自變數加減

4

的整數倍，函數值不變。每個選項先把自變數搬回

- 1 \leq x < 3

，再看落在哪一段。 (1) 錯誤。

\frac{10}{3} - 4 = - \frac{2}{3}

，落在第一段，

f (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (- \frac{2}{3}) - 1 = - 3

。 (2) 正確。

2 \approx 1.41

落在第二段，

f (2) = (2)^{2} + 1 = 3

。 (3) 正確。

10 \approx 3.16

，減

4

得

10 - 4 \approx - 0.84

，落在第一段，

f (10) = 3 (10 - 4) - 1 = 310 - 13

。 (4) 正確。

5 - 4 = 1

，落在第二段（第二段含

x = 1

），

f (5) = 1^{2} + 1 = 2

。 (5) 錯誤。

20 - 4 \times 5 = 0

，落在第一段，

f (20) = 3 \cdot 0 - 1 = - 1

。選 (2)(3)(4)。

(1) 的

9

是把

\frac{10}{3}

直接代進第一段

3 x - 1

得到的，但

\frac{10}{3} > 3

，不在任何一段的範圍內，要先減

4

。

第 3 題偶函數是

f (- x) = f (x)

，圖形對稱於

y

軸；奇函數是

f (- x) = - f (x)

，圖形對稱於原點。 (1) 正確。

f (- x) = 5 (- x)^{4} + 3 = 5 x^{4} + 3 = f (x)

。 (2) 錯誤。 偶函數的圖形對稱於

y

軸，不是

x

軸。

f (x) \geq 3

，圖形整個在

x

軸上方，不可能對稱於

x

軸。 (3) 正確。

g (- x) = sin (- x) = - sin x = - g (x)

，是奇函數，圖形對稱於原點。 (4) 錯誤。

h (1) = 3

，

h (- 1) = 1

，

h (- 1) \neq = h (1)

。 (5) 錯誤。

- h (1) = - 3

，

h (- 1) = 1

，

h (- 1) \neq = - h (1)

。

h (x)

既不是奇函數也不是偶函數。選 (1)(3)。

x^{3}

是奇函數，但加上常數

2

之後圖形往上移，對稱中心變成

(0, 2)

，不再對稱於原點。

週期函數求值先搬回有式子的那一段；判斷奇偶就把 x 換成負 x 代進去看。

02多選 2、4：函數的極限

第 2 題極限看的是

x

靠近那一點時圖形往哪個高度走，和那一點本身的函數值無關。 (1) 錯誤。

x

從左邊靠近

1

時，圖形沿著曲線往上走向空心點

(1, 2)

，左極限是

2

。

1

是

f (1)

的值，也是右極限。 (2) 錯誤。

x

從左右兩邊靠近

2

時，圖形都在高度

1

的水平線段上，極限是

1

。

2

是實心點

(2, 2)

的高度，也就是

f (2)

。 (3) 正確。 從左邊、右邊靠近

0

，圖形都走向原點，左極限與右極限都是

0

。 (4) 正確。 在

- 1 < x < 0

圖形是一條平滑、由左上往右下降的曲線，

x = - \frac{1}{2}

f^{'} (0)

不存在。選 (3)(4)。

(5) 是由圖判讀：原卷的圖在原點明顯是尖的，左邊那一段到原點時仍然很陡。函數在一點有極限、甚至連續，都不代表在那一點可以微分。

第 4 題分母

x - 1

趨近

0

而極限存在，分子也必須趨近

0

：

x \to 1 lim f (x) = x \to 1 lim (\frac{f ( x )}{x - 1} \cdot (x - 1)) = 3 \cdot 0 = 0

多項式函數是連續的，所以

f (1) = 0

，由因式定理可設

f (x) = (x - 1) g (x)

，

g (x)

是多項式，再由原來的極限得

g (1) = 3

。 (1) 錯誤。

f (1) = 0

，不是

3

。 (2) 正確。 兩個極限都存在，可以分開算，第一個是

3

，第二個代入得

\frac{1 - 3}{1} = - 2

，和為

1

。 (3) 正確。 分母是原來的

3

倍，極限是

\frac{3}{3} = 1

。 (4) 錯誤。 原式約分後是

\frac{g ( x )}{x - 1}

，分子趨近

3

、分母趨近

0

，極限不存在。 (5) 正確。

x

趨近

1

，

f (x)

趨近

0

，乘積趨近

1 \cdot 0 = 0

。選 (2)(3)(5)。

題目給的

3

其實就是

f^{'} (1)

：因為

f (1) = 0

，

\frac{f ( x )}{x - 1} = \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}

。它是切線斜率，不是函數值。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定也趨近 0；多項式就可以提出那個一次因式。

03多選 5、選填 A：導函數的意義與計算

第 5 題(1) 正確。 逐項微分，

P^{'} (x) = 0.02 \cdot 3 x^{2} + 500 = 0.06 x^{2} + 500

。 (2) 正確。

P^{'} (50) = 0.06 \times 2500 + 500 = 150 + 500 = 650

。 (3) 正確。 直接算：

5 1^{3} - 5 0^{3} = 132651 - 125000 = 7651

，所以

P (51) - P (50) = 0.02 \times 7651 + 500 = 653.02

和

650

只差

3.02

。 (4) 正確。 賣出第

51

台所增加的利潤就是

P (51) - P (50)

，同 (3)，約為

650

元。這也是邊際利潤

P^{'} (50)

的意義：多賣一台大約多賺多少。 (5) 錯誤。 邊際利潤是

P^{'} (x) = 0.06 x^{2} + 500

，

x

愈大它愈大，例如

P^{'} (100) = 1100

，

P^{'} (101) = 1112.06

更大，在

x = 100

沒有最大值。選 (1)(2)(3)(4)。

P (51) - P (50)

是平均變化率

\frac{P ( 51 ) - P ( 50 )}{51 - 50}

，

P^{'} (50)

是瞬時變化率；台數只差

1

而原本已有

50

台，兩者很接近。

第 6 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x

。切線斜率

f^{'} (1) = 3 + 2 a = - 1

，得

a = - 2

。圖形通過

(1, 4)

：

f (1) = 1 + a + b = 4

，代入

a = - 2

得

b = 5

。答：

(a, b) = (- 2, 5)

。

導數是瞬時變化率；多一單位的變化量可以用導數來估計。

04選填 B、C、E：極限存在與連續

第 7 題分母

x - 2

在

x \to 4

時趨近

0

，極限存在，所以分子也趨近

0

：

16 + 4 a + b = 0

，即

b = - 16 - 4 a

。這時

x^{2} + a x + b = x^{2} - 16 + a (x - 4) = (x - 4) (x + 4 + a)

又

x - 4 = (x - 2) (x + 2)

，約去

x - 2

：

x \to 4 lim (x + 2) (x + 4 + a) = 4 (8 + a) = 4

得

a = - 7

，

b = - 16 + 28 = 12

。答：

(a, b) = (- 7, 12)

。

檢查：

x^{2} - 7 x + 12 = (x - 3) (x - 4)

，原式約分後是

(x - 3) (x + 2)

，

x \to 4

時為

1 \cdot 4 = 4

。

第 8 題在

x = 2

連續，就是

x \to 2 lim f (x) = f (2) = 45

。分子按

k

整理：

k x^{2} + x - 4 k - 2 = k (x^{2} - 4) + (x - 2) = (x - 2) (k (x + 2) + 1)

所以

x \neq = 2

時

f (x) = k (x + 2) + 1

，極限是

4 k + 1

。令

4 k + 1 = 45

，得

k = 11

。

第 10 題

x > 0

時

∣ x ∣ = x

，

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，右極限是

1

。

x < 0

時

∣ x ∣ = - x

，

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

，左極限是

- 1

。兩者相加，

1 + (- 1) = 0

。

左極限與右極限不相等，所以

x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}

不存在；本題問的是兩個單邊極限的和，各自都存在。

連續就是極限值等於函數值；分子分母同時趨近 0 時先找出公因式約掉。

05選填 D、F、H：等比級數與無窮等比級數

第 9 題分子是首項

1

、公比

3

的等比級數，共

n

項，和為

\frac{3 ^{n} - 1}{3 - 1} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}

。所以

n \to \infty lim \frac{3 ^{n} - 1}{2 \cdot 3 ^{n}} = n \to \infty lim \frac{1}{2} (1 - (\frac{1}{3})^{n}) = \frac{1}{2}

第 11 題第

n

個括號通分：

\frac{a}{3 ^{2 n - 1}} + \frac{b}{3 ^{2 n}} = \frac{3 a + b}{3 ^{2 n}} = \frac{3 a + b}{9 ^{n}}

所以整個級數是首項

\frac{3 a + b}{9}

、公比

\frac{1}{9}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{3 a + b}{9}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3 a + b}{8} = 4

得

3 a + b = 32

。

本題只能求出

3 a + b

，

a

與

b

各自的值無法確定。

第 13 題每個正方形被兩條對角線分成四個全等的等腰直角三角形，黑色三角形是其中一個，面積是所在正方形的

\frac{1}{4}

。第

n

層有

2^{n - 1}

個正方形並排，總寬仍是

1

，所以每個正方形的邊長是

\frac{1}{2 ^{n - 1}}

，面積是

\frac{1}{4 ^{n - 1}}

，於是

a_{n} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4 ^{n - 1}} = \frac{1}{4 ^{n}}

(1)

a_{2} = \frac{1}{16}

，

a_{3} = \frac{1}{64}

。 (2) 第

n

層的黑色面積合計是

2^{n - 1} \cdot \frac{1}{4 ^{n}} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}

，是首項

\frac{1}{4}

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，總和為

\frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

每往下一層，一個三角形的面積變成

\frac{1}{4}

，但個數變成

2

倍，所以各層合計的公比是

\frac{1}{2}

，不是

\frac{1}{4}

。

無窮等比級數先認出首項與公比；圖形題要分清一個的面積與一層的面積。

06選填 G、I：由極限條件決定多項式

第 12 題兩個極限的分母都趨近

0

而極限存在，所以

f (- 2) = 0

、

f (1) = 0

，

f (x)

有因式

(x + 2) (x - 1)

。

f (x)

是三次，設

f (x) = (x + 2) (x - 1) (p x + q)

。

x \to - 2

：約去

x + 2

，

(- 2 - 1) (- 2 p + q) = 15

，即

- 2 p + q = - 5

。

x \to 1

：約去

x - 1

，

(1 + 2) (p + q) = 3

，即

p + q = 1

。兩式相減得

3 p = 6

，

p = 2

，

q = - 1

。所以

f (x) = (x + 2) (x - 1) (2 x - 1)

，

f (2) = 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12

。

第 14 題分母趨近

0

而極限存在，所以

f (2) = 0

；

f (x)

是二次，設

f (x) = (x - 2) (p x + q)

。約去

x - 2

：

x \to 2 lim (p x + q) = 2 p + q = 8

。

f (1) = (1 - 2) (p + q) = - 5

，即

p + q = 5

。兩式相減得

p = 3

，

q = 2

。所以

f (x) = (x - 2) (3 x + 2)

，

f (3) = 1 \cdot 11 = 11

。

每一個「分母趨近 0 而極限存在」的條件，都給多項式一個一次因式。

07混合題：過圖形外一點的切線

第 15 題

B (0, - 3)

不在圖形上（

f (0) = - 1 \neq = - 3

），不能直接把

x = 0

代進導函數。設切點

A (a, a^{3} - 1)

。

f^{'} (x) = 3 x^{2}

，所以切線

L

的斜率是

f^{'} (a) = 3 a^{2}

。另一方面，

L

通過

A (a, a^{3} - 1)

與

B (0, - 3)

。若

a = 0

，切線是水平線

y = - 1

，不通過

B

，所以

a \neq = 0

，斜率可寫成

\frac{( a ^{3} - 1 ) - ( - 3 )}{a - 0} = \frac{a ^{3} + 2}{a}

兩個斜率相等：

\frac{a ^{3} + 2}{a} = 3 a^{2}

，即

a^{3} + 2 = 3 a^{3}

，

a^{3} = 1

，實數解只有

a = 1

。

f (1) = 0

，切點

A (1, 0)

。

第 16 題切線斜率

f^{'} (1) = 3

，通過

A (1, 0)

：

y - 0 = 3 (x - 1)

，即

y = 3 x - 3

。檢查：

x = 0

時

y = - 3

，確實通過

B (0, - 3)

。

第 17 題解聯立

y = x^{3} - 1

與

y = 3 x - 3

。兩式相減：

x^{3} - 3 x + 2 = 0

L

在

x = 1

與圖形相切，所以

x = 1

是重根，左式有因式

(x - 1)^{2}

：

x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)

得

x = 1

（切點）或

x = - 2

。

x = - 2

時

y = 3 \cdot (- 2) - 3 = - 9

，另一交點

C (- 2, - 9)

。檢查：

f (- 2) = - 8 - 1 = - 9

，

C

確實在圖形上。

三次函數圖形的切線通常會和圖形再交於另一點；相切處是重根，用它先提出

(x - 1)^{2}

，剩下的一次因式就是另一個交點。

點不在圖形上時先設切點，用「導數」與「兩點斜率」各寫一次切線斜率再相等。

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02多選 2、4：函數的極限

03多選 5、選填 A：導函數的意義與計算

04選填 B、C、E：極限存在與連續

05選填 D、F、H：等比級數與無窮等比級數

06選填 G、I：由極限條件決定多項式

07混合題：過圖形外一點的切線

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興大附中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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