段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律、指數函數與對數函數的圖形、對數律與換底公式、指數對數方程式與不等式、常用對數與應用）

興大附中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 4 分）、多選題 4 題（每題 8 分）、選填題 A～H 共 8 題（A～C 每題 6 分，D～H 每題 5 分）、計算題 1 題 2 小題（3 分、6 分），合計 100 分。本頁第 9～16 題依序為卷面選填 A～H，第 17、18 題為卷面計算題的第 (1)、(2) 小題。卷頭印有參考數值：log2≈0.3010，log3≈0.4771，log7≈0.8451。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（占16分）說明：第1題至第4題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得4分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

函數

5^{x^{2} + 4 x + 2}

的最小值為下列何者？

(1) $\frac{1}{25}$
(2) $\frac{1}{5}$
(3) $5$
(4) $55$
(5) $25$

設

a

，

b

為正實數，且

lo g_{11} a = 11

，

lo g_{11} b = 12

，則

lo g_{\frac{1}{11}} (b - a)

最接近下列哪一個整數？

(1) $- 23$
(2) $- 12$
(3) $- 11$
(4) $12$
(5) $23$

已知滿足

n^{31}

為

35

位數的正整數

n

恰只有一個，選出

n

的值為下列何者？

(1) $12$
(2) $13$
(3) $14$
(4) $15$
(5) $16$

化簡

2 x + 2 lo g (2 + 1 0^{- x}) - lo g (\frac{1}{4} + 1 0^{x} + 1 0^{2 x})

之值為下列何者？

(1) $2 \times 1 0^{x}$
(2) $2 + 1 0^{x}$
(3) $1$
(4) $2 lo g 2$
(5) $2 x + 1 0^{2 x}$

二、多選題（占32分）說明：第5題至第8題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

請選出正確的選項。

(1) $lo g_{3} (- 9)^{2} = 2 lo g_{3} (- 9)$
(2) $lo g_{3} 2 = - lo g_{2} 3$
(3) $lo g_{8} 17 - lo g_{8} 13 = \frac{lo g _{8} 17}{lo g _{8} 13}$
(4) $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$
(5) $lo g_{2} 1 = 0$

設

lo g_{2} (lo g_{2} (lo g_{2} x)) = 3

，若求得

x

為

m

位數，且

x

的個位數字是

α

，

x

的最高位數字是

β

，則下列何者正確？

(1) $x = 2^{2^{3}}$
(2) $m = 77$
(3) $α = 6$
(4) $β = 1$
(5) $m + α + β = 84$

設

a

、

b

皆為非

1

的正數，

f_{1} (x) = a^{x}

、

f_{2} (x) = b^{x}

、

f_{3} (x) = lo g_{a} x

、

f_{4} (x) = lo g_{b} x

，請選出正確的選項。

(1) 若 $a > 1$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，則 $f_{1} (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) > \frac{1}{2} (f_{1} (x_{1}) + f_{1} (x_{2}))$
(2) 若 $a > b > 1$ 且 $f_{1} (x_{1}) = f_{2} (x_{2}) = π$ ，則 $x_{1} > x_{2}$
(3) 若 $0 < a < 1$ ， $0 < x_{1} < x_{2}$ ，則 $f_{3} (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) < \frac{1}{2} (f_{3} (x_{1}) + f_{3} (x_{2}))$
(4) 若 $0 < a < b < 1$ ，則 $f_{3} (\frac{1}{π}) < f_{4} (\frac{1}{π})$
(5) 當 $a > 1$ 時， $y = f_{1} (x)$ 的圖形與 $y = f_{3} (x)$ 的圖形沒有交點

設

x

、

y

、

z

、

k

皆為正數並滿足

3 + lo g_{2} x = 6 + lo g_{4} y = 9 + lo g_{8} z = k

，且

x < y < z

，請問下列選項何者是可能的

k

值。

(1) $lo g_{2} 4096$
(2) $18 sin (18 π)$
(3) $π^{π}$
(4) $(\frac{1}{3})^{- 3}$
(5) $17 + 272$

三、選填題（占43分）說明：1.第A至H，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（9–26）。2.第A至C題完全答對給6分，第D至H完全答對給5分答錯不倒扣，未完全答對不給分。3.若答案為分數，必須化為最簡分數，並注意分子、分母的列號順序。

化簡

2 lo g_{4} \frac{6}{7} + lo g_{4} \frac{14}{3} + lo g_{4} \frac{28}{15} - lo g_{4} \frac{1}{10}

的值為 ____。

不等式

2 5^{x} - 5^{x + 1} > 500

的解為 ____。

已知

x > 0

，

y > 0

，

x + 3 y = 10

，求

3^{x} + 2 7^{y}

的最小值為 ____。

若

α

、

β

為方程式

a^{2∣ x ∣} = - 2 x^{2} + 1

異於

0

之兩根，其中

a > 0

，且

α - β = \frac{1}{2}

，求

a

之值為 ____。

設實數

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{9}

是公差為

4

的等差數列，其中

a_{1} \neq = 0

且

a_{3} > 0

。若

lo g_{2} a_{3}, lo g_{2} b, lo g_{2} a_{9}

三數依序也成等差數列，其中

b

為

a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}, a_{8}

其中一數，則

a_{9} =

____。

設

m

、

n

為正整數，且

m > n

，又

lo g_{2} (1 + \frac{1}{m}) + lo g_{2} (1 + \frac{1}{m + 1}) + lo g_{2} (1 + \frac{1}{m + 2}) + \dots + lo g_{2} (1 + \frac{1}{m + n + 1}) = lo g_{2} n

，則

5 m - n =

____。

如下圖，已知實數

a > 1

，正方形

A B C D

的面積為

36

，其中

\overline{A B}

與

x

軸平行，且

A

、

B

、

C

依序分別為函數

y = lo g_{a} x

，

y = 2 lo g_{a} x

，

y = 3 lo g_{a} x

圖形上的點，試求

a^{30} =

____。

載入中...

假設

a

、

b

、

c

為三個相異且都大於

1

的實數，若

20 (lo g_{a} c + lo g_{b} c) = 81 \times lo g_{ab} c

，試問

lo g_{a} b

的最小值為 ____。

四、計算題(9分：第1小題3分，第2小題6分。請用黑色墨水筆於「答案卷」上詳列算式過程，未於作答卷上作答者，以零分計算)

計算題（第 17～18 題）　2023年6月，綠色和平攝影師 Roie Galitz 在北極發現一隻年幼的北極熊，像在玩玩具一般地啃咬一支被丟棄的塑膠瓶。這個天真可愛的畫面，卻讓人看得不安，猶如全球塑膠污染的縮影，塑膠正侵害野生動物棲地。所幸，這隻小北極熊沒有吞下那個塑膠瓶。不過，這也敲響生態危機的警鐘，人跡罕至的北極正同時受到氣候變遷與塑膠氾濫的衝擊，亟需您我加速行動。綠色和平主張，2040年前減產至少75%的塑膠量，是守住全球控制升溫於攝氏1.5度內的必要行動，否則全球極端氣候的狀況會快速加劇。（本站補註：上文出自綠色和平組織官網；原卷另附一張北極熊的圖片，本頁未收錄。）若某國家以2025年的塑膠使用量為基準，試求

(1)若接下來連續三年，每一年的塑膠使用量固定減少10%，則三年後的2028年的塑膠量減少幾%？

(2)若接下來每一年的塑膠使用量固定減少

r %

，直到15年後的2040年達到減少75%以上的目標，求

r

的最小值為何？（無條件進位至個位數）（

lo g 9.11 \approx 0.9595

、

lo g 9.12 \approx 0.9600

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(2)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(4)(5)

第 6 題(3)(4)

第 7 題(3)(4)

第 8 題(1)(3)(4)

第 9 題

3

第 10 題

x > 2

（學校簡答印

2

，即

x > 2

）

第 11 題

486

第 12 題

\frac{49}{64}

第 13 題

25

第 14 題

18

第 15 題

243

第 16 題

\frac{4}{5}

第 17 題減少

27.1%

第 18 題

9

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：指數函數的最小值、換底估計、位數、配方後合併對數

第 1 題答案 (1)。底數

5 > 1

，

5^{t}

隨

t

增加而增加，所以指數最小時函數值最小。配方：

x^{2} + 4 x + 2 = (x + 2)^{2} - 2 \geq - 2

，在

x = - 2

時指數有最小值

- 2

。所以函數的最小值為

5^{- 2} = \frac{1}{25}

。

若底數介於

0

與

1

之間，指數最小時函數值反而最大，要先看底數。

第 2 題答案 (2)。

a = 1 1^{11}

，

b = 1 1^{12}

，所以

b - a = 1 1^{11} (11 - 1) = 10 \times 1 1^{11}

。

lo g_{\frac{1}{11}} (b - a) = - lo g_{11} (b - a) = - (11 + lo g_{11} 10)

因為

1 1^{\frac{1}{2}} = 11 < 10 < 11

，所以

\frac{1}{2} < lo g_{11} 10 < 1

，於是

lo g_{\frac{1}{11}} (b - a)

介於

- 12

與

- 11.5

之間，最接近

- 12

。

更精確地，

lo g_{11} 10 = \frac{1}{lo g 11} \approx \frac{1}{1.0414} \approx 0.960

，所求約為

- 11.96

。

第 3 題答案 (2)。

n^{31}

是

35

位數，等價於

34 \leq 31 lo g n < 35

。用卷頭數值檢查選項：

lo g 12 = 2 lo g 2 + lo g 3 \approx 1.0791

，

31 lo g 12 \approx 33.45 < 34

，

1 2^{31}

只有

34

位；

lo g 14 = lo g 2 + lo g 7 \approx 1.1461

，

31 lo g 14 \approx 35.53 \geq 35

，

1 4^{31}

已有

36

位。

n^{31}

隨

n

增加而增加，所以

14

、

15

、

16

都太大，

12

太小，只剩

n = 13

。

驗算：

lo g 13 \approx 1.1139

，

31 lo g 13 \approx 34.53

，介於

34

與

35

之間，

1 3^{31}

確實是

35

位數。題目說這樣的

n

恰只有一個，也可以由

\frac{34}{31} \leq lo g n < \frac{35}{31}

得到

12.49 \dots \leq n < 13.46 \dots

。

第 4 題答案 (4)。真數配方：

\frac{1}{4} + 1 0^{x} + 1 0^{2 x} = (1 0^{x} + \frac{1}{2})^{2}

。又

2 + 1 0^{- x} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{x} + 1}{1 0 ^{x}}

，所以

2 lo g (2 + 1 0^{- x}) = 2 lo g (2 \cdot 1 0^{x} + 1) - 2 x

代回原式：

2 x + 2 lo g (2 \cdot 1 0^{x} + 1) - 2 x - 2 lo g (1 0^{x} + \frac{1}{2}) = 2 lo g \frac{2 \cdot 1 0 ^{x} + 1}{1 0 ^{x} + \frac{1}{2}} = 2 lo g 2

代

x = 0

檢查：

0 + 2 lo g 3 - lo g \frac{9}{4} = lo g \frac{9}{9/4} = lo g 4 = 2 lo g 2

。

對數式化簡先看真數能不能配成完全平方或提出公因數，再用對數律合併。

02多選 5～8：對數律的正誤、位數與數字、指數對數函數的性質、共同值比大小

第 5 題答案 (4)(5)。(1) 錯誤。 真數必須是正數，

lo g_{3} (- 9)

沒有意義；左邊

lo g_{3} (- 9)^{2} = lo g_{3} 81 = 4

有意義，但右邊沒有。(2) 錯誤。

lo g_{3} 2 = \frac{1}{lo g _{2} 3}

，是正數，而

- lo g_{2} 3

是負數。(3) 錯誤。 左邊

= lo g_{8} \frac{17}{13} \approx 0.129

，右邊

= lo g_{13} 17 \approx 1.105

，兩者不相等；對數律是「相減等於真數相除」，不是「對數相除」。(4) 正確。

lo g_{4} 9 = lo g_{2^{2}} 3^{2} = lo g_{2} 3

；

lo g_{2} 3 = lo g_{2^{\frac{1}{2}}} 3^{\frac{1}{2}} = lo g_{2} 3

。(5) 正確。

(2)^{0} = 1

，所以

lo g_{2} 1 = 0

。

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

，底數與真數同時開方或平方，值不變。

第 6 題答案 (3)(4)。由外往內拆：

lo g_{2} (lo g_{2} x) = 2^{3} = 8

，

lo g_{2} x = 2^{8} = 256

，

x = 2^{256}

。(1) 錯誤。

2^{2^{3}} = 2^{8}

，不是

2^{256}

。(2) 錯誤。

lo g x = 256 lo g 2 \approx 256 \times 0.3010 = 77.056

，首數是

77

，所以

x

是

78

位數，

m = 78

。(3) 正確。

2

的次方的個位數字依

2, 4, 8, 6

循環，

256

是

4

的倍數，個位數字是

6

。(4) 正確。 尾數約

0.056

，介於

lo g 1 = 0

與

lo g 2 \approx 0.3010

之間，所以最高位數字是

1

。(5) 錯誤。

m + α + β = 78 + 6 + 1 = 85

。

用真值驗算：

256 lo g 2 \approx 77.06

，

1 0^{0.06} \approx 1.16

，

2^{256} \approx 1.16 \times 1 0^{77}

。

第 7 題答案 (3)(4)。(1) 錯誤。

a^{x_{1}}

、

a^{x_{2}}

是兩個相異正數，由算幾不等式

\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2} > a^{x_{1}} a^{x_{2}} = a^{\frac{x _{1} + x _{2}}{2}}

，所以

f_{1} (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) < \frac{1}{2} (f_{1} (x_{1}) + f_{1} (x_{2}))

，不等號方向相反（這個結論對任何非

1

的正數

a

都成立）。(2) 錯誤。

x_{1} = lo g_{a} π = \frac{lo g π}{lo g a}

，

x_{2} = lo g_{b} π = \frac{lo g π}{lo g b}

。

a > b > 1

時

lo g a > lo g b > 0

，而

lo g π > 0

，所以

x_{1} < x_{2}

。(3) 正確。 由算幾不等式

\frac{x _{1} + x _{2}}{2} > x_{1} x_{2}

；

0 < a < 1

時

lo g_{a} x

遞減，所以

lo g_{a} \frac{x _{1} + x _{2}}{2} < lo g_{a} x_{1} x_{2} = \frac{1}{2} (lo g_{a} x_{1} + lo g_{a} x_{2})

。(4) 正確。

f_{3} (\frac{1}{π}) = - lo g_{a} π = - \frac{lo g π}{lo g a}

，

f_{4} (\frac{1}{π}) = - \frac{lo g π}{lo g b}

。

0 < a < b < 1

時

lo g a < lo g b < 0

，所以

\frac{1}{lo g a} > \frac{1}{lo g b}

，乘上

- lo g π < 0

後不等號反向，得

f_{3} (\frac{1}{π}) < f_{4} (\frac{1}{π})

。(5) 錯誤。 反例：

a = 2

，

x = 2

時

(2)^{2} = 2

，

lo g_{2} 2 = 2

，兩圖形交於點

(2, 2)

。

(4) 也可以代數字檢查：

a = \frac{1}{4}

、

b = \frac{1}{2}

時，

lo g_{\frac{1}{4}} \frac{1}{π} \approx 0.83

，

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{π} \approx 1.65

。(5) 底數

a

大於

1

但很接近

1

時，兩圖形會相交；底數夠大（例如

a = 10

）時才沒有交點。

第 8 題答案 (1)(3)(4)。由

3 + lo g_{2} x = k

得

x = 2^{k - 3}

；由

6 + lo g_{4} y = k

得

y = 4^{k - 6} = 2^{2 k - 12}

；由

9 + lo g_{8} z = k

得

z = 8^{k - 9} = 2^{3 k - 27}

。底數

2 > 1

，比大小就是比指數：

x < y

要

k - 3 < 2 k - 12

，即

k > 9

；

y < z

要

2 k - 12 < 3 k - 27

，即

k > 15

。所以

k > 15

。(1) 正確。

4096 = 2^{12} = (2)^{24}

，

lo g_{2} 4096 = 24 > 15

。(2) 錯誤。

sin (18 π) = 0

，值為

0

。(3) 正確。

π > 3

，

π^{π} > 3^{3} = 27 > 15

。(4) 正確。

(\frac{1}{3})^{- 3} = 27 > 15

。(5) 錯誤。

17 + 272 = (9 + 8)^{2}

，所以

17 + 272 = 3 + 22 \approx 5.83 < 15

。

π^{π} \approx 36.46

。

多個對數式相等時，先設成共同值 k，把每個變數寫成同一個底數的指數，比大小就變成比指數。

03選填 9～12（卷面 A～D）：對數律、換元解不等式、算幾不等式、根成對出現

第 9 題合併成一個對數：

lo g_{4} (\frac{36}{49} \times \frac{14}{3} \times \frac{28}{15} \times 10) = lo g_{4} \frac{36 \times 14 \times 28 \times 10}{49 \times 3 \times 15} = lo g_{4} 64 = 3

約分時把

14 \times 28 = 392 = 8 \times 49

先和

49

約掉，剩

\frac{36 \times 8 \times 10}{45} = 64

。

第 10 題令

t = 5^{x} > 0

，則

2 5^{x} = t^{2}

，

5^{x + 1} = 5 t

。不等式變成

t^{2} - 5 t - 500 > 0

，即

(t - 25) (t + 20) > 0

。因為

t > 0

，

t + 20 > 0

，所以

t > 25

，即

5^{x} > 5^{2}

。底數

5 > 1

，得

x > 2

。

驗算：

x = 2

時

625 - 125 = 500

，恰好不成立；

x

比

2

大時左邊更大。

第 11 題

2 7^{y} = 3^{3 y}

。

3^{x}

與

3^{3 y}

都是正數，由算幾不等式：

3^{x} + 3^{3 y} \geq 2 3^{x} \cdot 3^{3 y} = 2 3^{x + 3 y} = 2 3^{10} = 2 \times 3^{5} = 486

等號成立時

3^{x} = 3^{3 y}

，即

x = 3 y

，配合

x + 3 y = 10

得

x = 5

、

y = \frac{5}{3}

，都是正數。所以最小值為

486

。

驗算：

x = 5

、

y = \frac{5}{3}

時

3^{5} + 2 7^{\frac{5}{3}} = 243 + 243 = 486

。

第 12 題方程式兩邊把

x

換成

- x

都不變，所以若

x = s

是根，

x = - s

也是根，異於

0

的根成對出現。題目說異於

0

的根恰為

α

、

β

兩個，所以

β = - α

；再由

α - β = 2 α = \frac{1}{2}

得

α = \frac{1}{4}

，

β = - \frac{1}{4}

。把

x = \frac{1}{4}

代入：

a^{\frac{1}{2}} = - 2 \cdot \frac{1}{16} + 1 = \frac{7}{8}

，所以

a = (\frac{7}{8})^{2} = \frac{49}{64}

。

x = 0

代入兩邊都是

1

，所以

0

也是根，題目才特別說「異於

0

」。

方程式把 x 換成 −x 不變時，非零的根一正一負成對出現。

04選填 13～16（卷面 E～H）：等差與等比、連乘消去、正方形與對數曲線、換底化比值

第 13 題

lo g_{2} a_{3}, lo g_{2} b, lo g_{2} a_{9}

成等差，表示

2 lo g_{2} b = lo g_{2} a_{3} + lo g_{2} a_{9}

，即

b^{2} = a_{3} a_{9}

（三個真數都要是正數）。設

a_{3} = t > 0

，公差

4

，則

a_{9} = t + 24

；

b

是

a_{4}

～

a_{8}

之一，寫成

b = t + 4 j

，

j = 1, 2, 3, 4, 5

。

(t + 4 j)^{2} = t (t + 24) \Rightarrow 8 j t + 16 j^{2} = 24 t \Rightarrow t (3 - j) = 2 j^{2}

j \geq 3

時左邊不是正數，不合；

j = 2

時

t = 8

，此時

a_{1} = a_{3} - 8 = 0

，與

a_{1} \neq = 0

不合；

j = 1

時

t = 1

，

a_{1} = - 7 \neq = 0

，合。所以

a_{3} = 1

，

a_{9} = 25

。

驗算：

a_{3} = 1

、

b = a_{4} = 5

、

a_{9} = 25

，

lo g_{2} 1

、

lo g_{2} 5

、

lo g_{2} 25

即

0

、

lo g_{2} 5

、

2 lo g_{2} 5

，確實成等差。

第 14 題每一項

1 + \frac{1}{m + k} = \frac{m + k + 1}{m + k}

（

k = 0, 1, \dots, n + 1

），對數相加等於真數相乘，連乘時分子分母依序消去：

\frac{m + 1}{m} \cdot \frac{m + 2}{m + 1} \dots \frac{m + n + 2}{m + n + 1} = \frac{m + n + 2}{m}

所以

\frac{m + n + 2}{m} = n

，

mn - m - n = 2

，

(m - 1) (n - 1) = 3

。

m

、

n

是正整數且

m > n

，所以

m - 1 = 3

、

n - 1 = 1

，

m = 4

、

n = 2

，

5 m - n = 18

。

驗算：

m = 4

、

n = 2

時共

4

項，

\frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7} = 2 = n

。

第 15 題正方形面積

36

，邊長

6

。由圖，

B

在

A

的左邊、

C

在

B

的正上方。設

B (p, 2 lo g_{a} p)

，

p > 1

。

\overline{A B}

與

x

軸平行且

\overline{A B} = 6

，所以

A (p + 6, lo g_{a} (p + 6))

與

B

同高：

lo g_{a} (p + 6) = 2 lo g_{a} p = lo g_{a} p^{2}

，得

p^{2} = p + 6

，

p = 3

（

p = - 2

不合）。

C

在

B

的正上方

6

單位，且在

y = 3 lo g_{a} x

上：

3 lo g_{a} 3 - 2 lo g_{a} 3 = 6

，

lo g_{a} 3 = 6

，

a^{6} = 3

。所以

a^{30} = (a^{6})^{5} = 3^{5} = 243

。

A

、

B

同高時，兩點的

y

坐標相等，先解出

B

的橫坐標，再用

\overline{B C} = 6

決定底數。圖中正方形的大小是示意。

第 16 題

a

、

b

、

c

都大於

1

，所以

lo g a

、

lo g b

、

lo g c

都是正數。換底：

20 lo g c (\frac{1}{lo g a} + \frac{1}{lo g b}) = \frac{81 lo g c}{lo g a + lo g b}

兩邊除以

lo g c

，令

u = lo g a

、

v = lo g b

，整理得

20 (u + v)^{2} = 81 uv

，即

20 u^{2} - 41 uv + 20 v^{2} = 0

。兩邊除以

u^{2}

，令

t = \frac{v}{u} = lo g_{a} b

：

20 t^{2} - 41 t + 20 = 0

，

(4 t - 5) (5 t - 4) = 0

，

t = \frac{5}{4}

或

\frac{4}{5}

。兩個值都不等於

1

，符合

a \neq = b

，所以

lo g_{a} b

的最小值為

\frac{4}{5}

。

t = \frac{4}{5}

與

t = \frac{5}{4}

互為倒數，對應

a

、

b

的角色對調。

對數相加等於真數相乘，連續的分式相乘常常前後消去只剩頭尾。

05計算題 17～18（卷面計算題 (1)(2)）：固定比例減少與取對數

第 17 題設 2025 年的使用量為

x

。每年減少

10%

，就是每年變成前一年的

0.9

倍，三年後為

x \times 0. 9^{3} = 0.729 x

，即原來的

72.9%

，所以減少

1 - 0.729 = 0.271 = 27.1%

。

三年各減

10%

不是共減

30%

：後一年是從已經減少後的量再減

10%

。

第 18 題設 2025 年的使用量為

x

。15 年後為

x (1 - r %)^{15}

，減少

75%

以上表示剩下不超過

\frac{1}{4}

：

(1 - r %)^{15} \leq \frac{1}{4}

兩邊取常用對數：

15 lo g (1 - r %) \leq - 2 lo g 2 \approx - 0.6020

，

lo g (1 - r %) \leq - \frac{0.6020}{15} \approx - 0.0401 = 0.9599 - 1

因為

lo g 9.11 \approx 0.9595 < 0.9599 < 0.9600 \approx lo g 9.12

，所以

1 0^{0.9599 - 1}

介於

0.911

與

0.912

之間，也就是

1 - r %

的上限介於

0.911

與

0.912

之間，

r %

的下限介於

8.8%

與

8.9%

之間。

r

的最小值介於

8.8

與

8.9

之間，無條件進位至個位數為

9

。

驗算：

0.9 1^{15} \approx 0.243 \leq 0.25

，達到目標；

0.9 2^{15} \approx 0.286 > 0.25

，還不夠，所以每年至少要減少約

9%

。

每年固定比例減少 r%，n 年後是原來的 (1−r%) 的 n 次方倍，取對數後就能解出 r。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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興大附中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

選填 E（本頁第 13 題）：對數成等差要轉成真數成等比，還要用首項不為 0 排除一組解。多選第 7 題：選項 (1)(3) 要用算幾不等式比較函數值與平均，選項 (5) 底數接近 1 時兩圖形會相交。選填 D（本頁第 12 題）：方程式把 x 換成負 x 不變，兩個非零根必定一正一負。計算題第 2 小題（本頁第 18 題）：要用卷上給的兩個對數值夾出真數，再無條件進位。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自興大附中 114 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～4：指數函數的最小值、換底估計、位數、配方後合併對數

02多選 5～8：對數律的正誤、位數與數字、指數對數函數的性質、共同值比大小

03選填 9～12（卷面 A～D）：對數律、換元解不等式、算幾不等式、根成對出現

04選填 13～16（卷面 E～H）：等差與等比、連乘消去、正方形與對數曲線、換底化比值

05計算題 17～18（卷面計算題 (1)(2)）：固定比例減少與取對數

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興大附中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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