段考詳解範圍：三角函數（弧度量、扇形、正弦函數的圖形與週期）、指數函數

興大附中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 112 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 112 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題：有度的記號是度、沒有的是弧度，五個選項要分開判斷，1、2、3、4 弧度各在第幾象限要先估出來。第 6 題選項 (4)：除了 2 與 4 兩個交點，y 軸左邊還有一個，共三個。選填 E（本頁第 11 題）：把兩個式子都寫成同一個指數的式子，變成二次方程式。選填 G（本頁第 13 題）：灰色部分有兩塊，拆成扇形與三角形的加減來算。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題（占 18 分，第 1～3 題，每題 6 分）、多選題（占 15 分，第 4～6 題，每題 5 分）、選填題 A～J（占 60 分，A～E 每題 7 分，F～J 每題 5 分）、計算題（占 7 分，兩小題分別為 3 分與 4 分）。卷面另註明：未在答案卡上正確畫記身分資料而造成讀卡錯誤者，扣總成績 5 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，18 題全部相同。

一、單選題（占 18 分）說明：第 1 題至第 3 題。各題答對者得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

設

θ

與

60

弳為同界角，且

0 < θ < 2 π

，求

θ

的值為下列何者？

(1) $60 - 18 π$ 弳
(2) $60 - 19 π$ 弳
(3) $60 - 20 π$ 弳
(4) $60 - 21 π$ 弳
(5) $60 - 22 π$ 弳

已知在

0 \leq x \leq 4 π

範圍內，方程式

sin x \leq - \frac{3}{2}

（卷面稱「方程式」，式子是不等式）的解為

α \leq x \leq β

或

γ \leq x \leq δ

，求

(β - α) + (δ - γ)

之值為下列何者？

(1) $\frac{π}{3}$
(2) $\frac{2 π}{3}$
(3) $π$
(4) $\frac{4 π}{3}$
(5) $2 π$

方程式

(\frac{1}{3})^{2 x} = (27)^{x + 1}

的解為下列何者？

(1) $- \frac{1}{7}$
(2) $- \frac{2}{7}$
(3) $- \frac{3}{7}$
(4) $- \frac{4}{7}$
(5) $- \frac{5}{7}$

二、多選題（占 15 分）說明：第 4 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

選出正確的選項

(1) $cos π^{\circ} < sin π^{\circ}$
(2) $cos π < sin π$
(3) $cos 1 < sin 1$
(4) $sin 3 < sin 2 < sin 1$
(5) $sin 4 < sin 3 < sin 2$

已知函數

f (x) = 2 sin (3 x + \frac{π}{6}) + 1

。則下列選項哪些是正確的？

(1) $f (0) = 2$
(2) $f (x)$ 的週期為 $\frac{π}{3}$
(3) $f (x)$ 的最小值為 $- 2$
(4) $f (x)$ 的最大值為 $3$
(5) $y = f (x)$ 的圖形對稱 $x - \frac{4 π}{9} = 0$

坐標平面上，在函數圖形

y = 2^{x}

上，標示

A

、

B

、

C

、

D

四個點，其

x

坐標分別為

- 1

、

0

、

1

、

2

。請選出正確的選項

(1) 點 $B$ 落在直線 $A C$ 下方
(2) 在直線 $A B$ 、直線 $B C$ 、直線 $C D$ 中，以直線 $A B$ 的斜率最大
(3) $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四個點，以點 $A$ 最靠近 $x$ 軸
(4) 直線 $y = x^{2}$ 與 $y = 2^{x}$ 的圖形有兩個交點（卷面印作「直線」， $y = x^{2}$ 的圖形是拋物線）
(5) 在線段 $\overline{A B}$ 、線段 $\overline{B C}$ 、線段 $\overline{C D}$ 中，以線段 $\overline{C D}$ 最長

三、選填題（占 60 分）說明：1. 第 A 至 J 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（7–30）。2. 第 A 至 E 題每題完全答對給 7 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。第 F 至 J 題每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。（本頁第 7～16 題依序為卷面的 A～J 題）

（卷面 A）求

(cos \frac{2 π}{3}) \times (sin \frac{π}{6})

的值為 ____。（化為最簡分數；原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯}

）

（卷面 B）已知扇形的半徑為

5

，周長為

15

，求此扇形的面積為 ____ 平方單位。（化為最簡分數；原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯}

）

（卷面 C）已知

\frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{7 π}{4}

，觀察

y = sin x

的圖形，若

y = sin x

的最大值為

M

，最小值為

m

，則

M \times m

之值為 ____。（化為最簡根式；原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯}

）

（卷面 D）圖為函數

y = a sin (b x + c) + d

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，

B (\frac{3}{2} π, 0)

，求

a + b + d

之值為 ____。（化為最簡分數；原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯}

）

載入中...

（卷面 E）若函數

y = (\frac{1}{9})^{x}

與

y = 82 \times 3^{- x - 1} - 9

兩圖形的交點坐標為

(α, (\frac{1}{9})^{α})

，

(β, (\frac{1}{9})^{β})

，求

α + β

之值為 ____。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

（卷面 F）放射性物質的半衰期

T

定義為每經過時間

T

，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質

A

，

B

，開始紀錄時容器中物質

A

的質量為物質

B

的

4

倍，而

120

小時後兩種物質的質量相同。已知物質

A

的半衰期為

12

小時，請問物質

B

的半衰期為 ____ 小時。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

（卷面 G）如圖，

\overline{A B} = 8

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為弧

A B

中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____

π -

____ 平方單位。（原卷的答案格式為

◯ π - ◯ ◯

）

載入中...

（卷面 H）求

x

軸、

y

軸、直線

x = 6 π

與函數

y = 7 + sin x

的圖形所圍成的面積為 ____

π

平方單位。（原卷的答案格式為

◯ ◯ π

）

（卷面 I）已知

0 < a < 1

，若指數函數

f (x) = a^{x}

在區間

[1, 3]

中的最大值與最小值的差為

\frac{16}{15} a^{2}

，則

a

之值為 ____。（化為最簡分數；原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯}

）

（卷面 J）已知

a > 1

，令指數函數

f (x) = a^{x}

，若

A

、

B

、

C

、

D

為

x

軸上由左至右的四相異點，且

\overline{A B} = \overline{B C} = \overline{C D}

，過

A

、

B

、

C

、

D

作

x

軸垂線分別交函數

f (x) = a^{x}

圖形於

E

、

F

、

G

、

H

，若

\overline{A E} = 4

，

\overline{D H} = 108

，則

\overline{B F} + \overline{C G}

之值為 ____。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

四、計算題（請於答案卷上詳列算式過程，未於作答卷上作答者，以零分計算，占 7 分）（本頁第 17、18 題為卷面計算題第 1 題的 (1)(2)）

計算題（卷面第 1 題）（第 17～18 題）　假設在

a

（

^{\circ} C

）的環境溫度下，物體初始溫度為

b

（

^{\circ} C

），經過時間

x

（小時）後的溫度將為

f (x) = (b - a) (\frac{1}{2})^{x} + a

，今將一個溫度為

3 6^{\circ} C

的物體放進溫度為

4^{\circ} C

的冰箱，則

(1) 經過

1

小時後，該物體的溫度將變成幾度

C

？（3 分）

(2) 經過多少小時後，該物體的溫度將變成

6^{\circ} C

？（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(2)

第 3 題(3)

第 4 題(2)(3)(5)

第 5 題(1)(4)(5)

第 6 題(1)(3)(5)

第 7 題

- \frac{1}{4}

第 8 題

\frac{25}{2}

第 9 題

- \frac{3}{2}

第 10 題

\frac{7}{3}

第 11 題

- 2

第 12 題

15

第 13 題

8 π - 16

第 14 題

42 π

（空格填

42

）

第 15 題

\frac{3}{5}

第 16 題

48

第 17 題

2 0^{\circ} C

第 18 題

4

小時

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：同界角、正弦不等式、指數方程式

第 1 題答案 (1)。同界角相差

2 π

的整數倍，所以

θ = 60 - 2 k π

（

k

為整數），而且要落在

0

與

2 π

之間。

2 π \approx 6.283

，

60 \div 6.283 \approx 9.55

，所以取

k = 9

：

θ = 60 - 18 π \approx 60 - 56.55 = 3.45

，確實在

0

與

2 π \approx 6.28

之間。

(2)(4) 減去的是

π

的奇數倍，不是同界角；(3)

60 - 20 π \approx - 2.83

、(5)

60 - 22 π \approx - 9.12

都是負的，不在範圍內。

第 2 題答案 (2)。先看

0 \leq x \leq 2 π

：

sin x = - \frac{3}{2}

的解是

x = \frac{4 π}{3}

與

x = \frac{5 π}{3}

。由

y = sin x

的圖形，這兩個角之間圖形在水平線

y = - \frac{3}{2}

的下方（最低點

x = \frac{3 π}{2}

在中間），所以這一段的解是

\frac{4 π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

，長度

\frac{π}{3}

。正弦函數的週期是

2 π

，在

2 π \leq x \leq 4 π

圖形重複一次，解是

\frac{10 π}{3} \leq x \leq \frac{11 π}{3}

，長度也是

\frac{π}{3}

。所以

(β - α) + (δ - γ) = \frac{π}{3} + \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。

α = \frac{4 π}{3}

，

β = \frac{5 π}{3}

，

γ = \frac{10 π}{3}

，

δ = \frac{11 π}{3}

。題目問的是兩段解的長度和，不必把四個數加起來。

第 3 題答案 (3)。兩邊都化成以

3

為底：

(\frac{1}{3})^{2 x} = (3^{- 1})^{2 x} = 3^{- 2 x}

；

27 = (3^{3})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}

，所以

(27)^{x + 1} = 3^{\frac{3}{2} (x + 1)}

。底數相同，指數相等：

- 2 x = \frac{3}{2} (x + 1)

，兩邊乘

2

得

- 4 x = 3 x + 3

，

x = - \frac{3}{7}

。

驗算：

x = - \frac{3}{7}

時，左邊

= 3^{\frac{6}{7}}

，右邊

= 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{7}} = 3^{\frac{6}{7}}

。

同界角加減

2 π

的整數倍；正弦不等式先解等號、再看圖形在水平線的上方或下方；指數方程式先化成同底數。

02多選第 4～6 題：度與弧度、正弦型函數的性質、指數函數圖形上的點

第 4 題答案 (2)(3)(5)。先估計：

\frac{π}{4} \approx 0.79

，

\frac{π}{2} \approx 1.57

，

π \approx 3.14

，

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

。(1) 錯：

π^{\circ}

約是

3.1 4^{\circ}

，是小於

4 5^{\circ}

的銳角，這時餘弦值比正弦值大（

cos π^{\circ}

接近

1

，

sin π^{\circ}

接近

0

）。(2) 對：這裡是

π

弧度，

cos π = - 1

，

sin π = 0

，

- 1 < 0

。(3) 對：

1

弧度在

\frac{π}{4}

與

\frac{π}{2}

之間（約

5 7^{\circ}

），超過

4 5^{\circ}

的銳角正弦值比餘弦值大。(4) 錯：

sin 2 = sin (π - 2)

，而

π - 2 \approx 1.14

；

1

與

1.14

都在

0

與

\frac{π}{2}

之間，正弦函數在這一段遞增，所以

sin 1 < sin 1.14 = sin 2

，與選項的

sin 2 < sin 1

相反。(5) 對：

4

弧度在

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角，

sin 4 < 0

；

2

與

3

都在

\frac{π}{2}

與

π

之間，正弦函數在這一段遞減且為正，所以

0 < sin 3 < sin 2

。合起來

sin 4 < sin 3 < sin 2

。

近似值：

sin 1 \approx 0.84

，

sin 2 \approx 0.91

，

sin 3 \approx 0.14

，

sin 4 \approx - 0.76

。有

^{\circ}

的是度，沒有的是弧度。

第 5 題答案 (1)(4)(5)。(1) 對：

f (0) = 2 sin \frac{π}{6} + 1 = 2 \times \frac{1}{2} + 1 = 2

。(2) 錯：

x

的係數是

3

，週期是

\frac{2 π}{3}

，不是

\frac{π}{3}

。(3) 錯：

sin

的值在

- 1

與

1

之間，所以

f (x)

的最小值是

2 \times (- 1) + 1 = - 1

。(4) 對：最大值是

2 \times 1 + 1 = 3

。(5) 對：正弦型函數的圖形對稱於通過最高點或最低點的鉛直線。

x = \frac{4 π}{9}

時，

3 x + \frac{π}{6} = \frac{4 π}{3} + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}

，

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，是最低點，所以直線

x = \frac{4 π}{9}

是圖形的對稱軸。

x - \frac{4 π}{9} = 0

就是鉛直線

x = \frac{4 π}{9}

。

第 6 題答案 (1)(3)(5)。四個點是

A (- 1, \frac{1}{2})

、

B (0, 1)

、

C (1, 2)

、

D (2, 4)

。(1) 對：

\overline{A C}

的中點是

(0, \frac{5}{4})

，在

B (0, 1)

的正上方，所以

B

在直線

A C

下方。(2) 錯：直線

A B

的斜率是

\frac{1 - \frac{1}{2}}{0 - ( - 1 )} = \frac{1}{2}

，直線

B C

的斜率是

1

，直線

C D

的斜率是

2

，最大的是直線

C D

。(3) 對：點到

x

軸的距離是

y

坐標，依序為

\frac{1}{2}

、

1

、

2

、

4

，

A

最近。(4) 錯：

x = 2

時

x^{2}

與

2^{x}

都是

4

，

x = 4

時兩者都是

16

，已經有兩個交點；另外

x = - 1

時

x^{2} = 1 > 2^{- 1} = \frac{1}{2}

，

x = 0

時

x^{2} = 0 < 2^{0} = 1

，兩個圖形在

- 1

與

0

之間上下位置互換，中間還有一個交點。所以交點至少三個，不是兩個。(5) 對：三條線段的水平距離都是

1

，鉛直距離依序為

\frac{1}{2}

、

1

、

2

，所以

\overline{A B} = 1 + \frac{1}{4}

，

\overline{B C} = 1 + 1

，

\overline{C D} = 1 + 4

，

\overline{C D}

最長。

選項 (4) 的

y = x^{2}

卷面寫成「直線」，它的圖形是拋物線；不論怎麼稱呼，兩個圖形的交點都是三個（

x = 2

、

x = 4

與一個負的

x

），這個選項不正確。

y = 2^{x}

的圖形越往右越陡，所以相鄰兩點的連線斜率越來越大，圖形上任意兩點之間的那一段，在這兩點連線的下方。

03選填第 7～10 題（卷面 A～D）：特殊角、扇形、正弦函數的極值、由圖形定係數

第 7 題

\frac{2 π}{3}

是

12 0^{\circ}

，

cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

；

\frac{π}{6}

是

3 0^{\circ}

，

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。所以所求

= (- \frac{1}{2}) \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}

。

12 0^{\circ}

是第二象限角，餘弦值是負的。

第 8 題扇形的周長是兩條半徑加上弧長：

5 + 5 + s = 15

，弧長

s = 5

。扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = \frac{25}{2}

。

也可以先求圓心角：

s = r θ

，

θ = 1

弧度，面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{25}{2}

。周長要記得包含兩條半徑。

第 9 題看

y = sin x

在

\frac{2 π}{3} \leq x \leq \frac{7 π}{4}

的圖形。這一段從

x = \frac{2 π}{3}

（在最高點

\frac{π}{2}

的右邊）開始一路下降，到

x = \frac{3 π}{2}

降到最低點

- 1

，之後上升到

x = \frac{7 π}{4}

，此時

sin \frac{7 π}{4} = - \frac{2}{2}

，仍是負的。所以最大值在左端點：

M = sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

；最小值

m = - 1

（因為

\frac{3 π}{2}

在範圍內）。

M \times m = - \frac{3}{2}

。

最高點

x = \frac{π}{2}

不在範圍內，最大值不是

1

；最小值也不是右端點的

- \frac{2}{2}

。

第 10 題由圖，函數的最大值是

1

、最小值是

- 3

。因為

a > 0

，最大值

= a + d = 1

，最小值

= - a + d = - 3

，解得

a = 2

，

d = - 1

。再看週期：圖形通過原點

O

，而且在

O

是由下往上穿過

x

軸；往右看，

A

是由上往下穿過，

B

又是由下往上穿過。從

O

到

B

圖形剛好走完一個完整的波（上升到最高點、下降到最低點、再回到同樣的高度與走向），所以週期

= \overline{O B} = \frac{3 π}{2}

。由週期

= \frac{2 π}{b} = \frac{3 π}{2}

得

b = \frac{4}{3}

。所以

a + b + d = 2 + \frac{4}{3} - 1 = \frac{7}{3}

。

這個函數可以寫成

y = 2 sin (\frac{4}{3} x + \frac{π}{6}) - 1

：

x = 0

時

y = 2 \times \frac{1}{2} - 1 = 0

，

x = \frac{3 π}{2}

時

y = 2 sin (2 π + \frac{π}{6}) - 1 = 0

，與圖相符。注意

x

軸不是這個波的中線（中線是

y = - 1

），所以

O

到

A

不是半個週期，要用「同方向穿過

x

軸的兩點」來量週期。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

，

b > 0

）：最大值

a + d

、最小值

- a + d

、週期

\frac{2 π}{b}

。

04選填第 11～13 題（卷面 E～G）：代換成二次方程式、半衰期、扇形與半圓

第 11 題交點的

x

坐標滿足

(\frac{1}{9})^{x} = 82 \times 3^{- x - 1} - 9

。令

t = 3^{- x}

（

t > 0

），則

(\frac{1}{9})^{x} = 3^{- 2 x} = t^{2}

，

3^{- x - 1} = \frac{t}{3}

。方程式變成

t^{2} = \frac{82}{3} t - 9

，即

3 t^{2} - 82 t + 27 = 0

，因式分解得

(3 t - 1) (t - 27) = 0

，

t = \frac{1}{3}

或

t = 27

。

3^{- x} = \frac{1}{3} = 3^{- 1}

得

x = 1

；

3^{- x} = 27 = 3^{3}

得

x = - 3

。所以

α + β = 1 + (- 3) = - 2

。

也可以不解出兩根：兩個

t

值的乘積是

\frac{27}{3} = 9

，即

3^{- α} \times 3^{- β} = 3^{- (α + β)} = 3^{2}

，所以

α + β = - 2

。

第 12 題設開始時

B

的質量為

m

，則

A

的質量為

4 m

；設

B

的半衰期為

T

小時。

120

小時是

A

的

120 \div 12 = 10

個半衰期，

A

剩下

4 m \times (\frac{1}{2})^{10} = m \times (\frac{1}{2})^{8}

。

B

經過

\frac{120}{T}

個半衰期，剩下

m \times (\frac{1}{2})^{\frac{120}{T}}

。兩者相等：

(\frac{1}{2})^{8} = (\frac{1}{2})^{\frac{120}{T}}

，所以

\frac{120}{T} = 8

，

T = 15

。

4 = (\frac{1}{2})^{- 2}

，所以

4 \times (\frac{1}{2})^{10} = (\frac{1}{2})^{8}

。

A

比

B

多衰退了兩次減半，剛好抵掉一開始的

4

倍。

第 13 題設半圓的圓心為

O

（

\overline{A B}

的中點），半徑

4

。

C

是弧

A B

的中點，所以

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

，三角形

O B C

是兩股都是

4

的等腰直角三角形，

∠ A B C = 4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

。灰色部分有兩塊。右邊一塊是弦

\overline{B C}

與半圓弧

B C

之間的弓形：扇形

O B C

（圓心角

\frac{π}{2}

）減去三角形

O B C

，面積

= \frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{π}{2} - \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 4 π - 8

。左邊一塊在以

B

為圓心、半徑

8

、圓心角

\frac{π}{4}

的扇形

B A D

裡面、半圓的外面。扇形

B A D

的面積

= \frac{1}{2} \times 8^{2} \times \frac{π}{4} = 8 π

；它與半圓重疊的部分是扇形

O A C

加三角形

O B C

，面積

= 4 π + 8

。所以左邊一塊的面積

= 8 π - (4 π + 8) = 4 π - 8

。灰色部分面積

= (4 π - 8) + (4 π - 8) = 8 π - 16

。

扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

，

θ

用弧度。兩塊的面積剛好相等。

指數方程式裡同時出現

3^{- x}

與

3^{- 2 x}

時，令

t = 3^{- x}

就變成二次方程式；不規則的面積拆成扇形與三角形的加減。

05選填第 14～16 題（卷面 H～J）：割補求面積、指數函數的最大最小值、等比關係

第 14 題

y = 7 + sin x

的圖形是把

y = sin x

向上平移

7

，在水平線

y = 7

的上下擺動，而且整個圖形都在

x

軸上方（最小值

6

）。所圍區域是

0 \leq x \leq 6 π

、

x

軸以上、曲線以下的部分。

6 π

恰好是三個週期。在每一個週期裡，前半個週期曲線比

y = 7

高出的那一塊，與後半個週期曲線比

y = 7

低下去的那一塊形狀完全相同（

sin (x + π) = - sin x

），把凸出的一塊剪下來補進凹下去的地方，區域就變成一個長方形：寬

6 π

、高

7

。面積

= 7 \times 6 π = 42 π

。

這一題不需要積分，用的是正弦曲線波峰與波谷形狀相同。

第 15 題

0 < a < 1

時

f (x) = a^{x}

是遞減函數，所以在區間

[1, 3]

的最大值是

f (1) = a

，最小值是

f (3) = a^{3}

。依題意

a - a^{3} = \frac{16}{15} a^{2}

。因為

a \neq = 0

，兩邊同除以

a

：

1 - a^{2} = \frac{16}{15} a

，整理得

15 a^{2} + 16 a - 15 = 0

，因式分解

(5 a - 3) (3 a + 5) = 0

，

a = \frac{3}{5}

或

a = - \frac{5}{3}

。因為

0 < a < 1

，所以

a = \frac{3}{5}

。

底數小於

1

時函數遞減，最大值在左端點；若當成遞增就會把差寫成

a^{3} - a

（負的）。驗算：

\frac{3}{5} - \frac{27}{125} = \frac{48}{125}

，

\frac{16}{15} \times \frac{9}{25} = \frac{48}{125}

。

第 16 題設

A

的

x

坐標為

p

，相鄰兩點的距離為

k

（

k > 0

），則

B

、

C

、

D

的

x

坐標是

p + k

、

p + 2 k

、

p + 3 k

。因為

a^{x} > 0

，各垂線段的長就是函數值：

\overline{A E} = a^{p} = 4

，

\overline{D H} = a^{p + 3 k} = 108

。兩式相除：

a^{3 k} = \frac{108}{4} = 27

，所以

(a^{k})^{3} = 27

，

a^{k} = 3

。於是

\overline{B F} = a^{p + k} = a^{p} \times a^{k} = 4 \times 3 = 12

，

\overline{C G} = a^{p + 2 k} = 4 \times 3^{2} = 36

，

\overline{B F} + \overline{C G} = 48

。

x

坐標每次增加相同的量，函數值就每次乘上相同的倍數：

4

、

12

、

36

、

108

成等比，公比

3

。

指數函數的

x

坐標成等差時，函數值成等比；底數在

0

與

1

之間時函數遞減。

06計算題第 17、18 題（卷面第 1 題）：冷卻的指數模型

第 17 題環境溫度

a = 4

，初始溫度

b = 36

，代入得

f (x) = (36 - 4) (\frac{1}{2})^{x} + 4 = 32 (\frac{1}{2})^{x} + 4

。經過

1

小時：

f (1) = 32 \times \frac{1}{2} + 4 = 20

，溫度變成

2 0^{\circ} C

。

a

是環境（冰箱）的溫度、

b

是物體一開始的溫度，兩個不要代反。檢查：

f (0) = 32 + 4 = 36

，與初始溫度相符。

第 18 題令

f (x) = 6

：

32 (\frac{1}{2})^{x} + 4 = 6

，

32 (\frac{1}{2})^{x} = 2

，

(\frac{1}{2})^{x} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{4}

，所以

x = 4

。經過

4

小時後，溫度變成

6^{\circ} C

。

物體與冰箱的溫差每小時減半：

32

、

16

、

8

、

4

、

2

，第

4

小時溫差剩

2

，溫度是

4 + 2 = 6

。

冷卻模型裡，指數函數描述的是「與環境的溫差」；先把溫差孤立出來，再化成同底數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

興大附中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題：有度的記號是度、沒有的是弧度，五個選項要分開判斷，1、2、3、4 弧度各在第幾象限要先估出來。第 6 題選項 (4)：除了 2 與 4 兩個交點，y 軸左邊還有一個，共三個。選填 E（本頁第 11 題）：把兩個式子都寫成同一個指數的式子，變成二次方程式。選填 G（本頁第 13 題）：灰色部分有兩塊，拆成扇形與三角形的加減來算。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 112 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1～3 題：同界角、正弦不等式、指數方程式

02多選第 4～6 題：度與弧度、正弦型函數的性質、指數函數圖形上的點

03選填第 7～10 題（卷面 A～D）：特殊角、扇形、正弦函數的極值、由圖形定係數

04選填第 11～13 題（卷面 E～G）：代換成二次方程式、半衰期、扇形與半圓

05選填第 14～16 題（卷面 H～J）：割補求面積、指數函數的最大最小值、等比關係

06計算題第 17、18 題（卷面第 1 題）：冷卻的指數模型

同一次段考的其他學校

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常見問題

興大附中 112 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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興大附中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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