興大附中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

圖中 $y=f(x)$ 是開口向上的拋物線，與 $x$ 軸交於 $(-2,0)$、$(0,0)$，可設 $f(x)=kx(x+2)=k{x}^2+2kx$，其中 $k>0$。於是

$$f^{\prime }(x)=2kx+2k=2k(x+1)$$

是一條斜率 $2k>0$ 的直線，與 $x$ 軸交於 $x=-1$（拋物線頂點的 $x$ 坐標），與 $y$ 軸交於 $2k>0$。

圖 (1) 的直線過原點，圖 (3) 的直線與 $x$ 軸交於 $x=-2$，圖 (4)、(5) 的直線斜率是負的，都不符合。圖 (2) 的直線斜率為正、與 $x$ 軸交於 $x=-1$、與 $y$ 軸交於正的位置，選 (2)。

反曲點是圖形凹向改變的點，也就是 $f^{\prime \prime }(x)$ 變號的點。$f^{\prime \prime }(x)$ 是 $f^{\prime }(x)$ 的導函數，所以要看 $f^{\prime }(x)$ 的圖形在哪裡由遞減變遞增（或由遞增變遞減）。

圖中 $f^{\prime }(x)$ 是開口向上的拋物線，最低點在 $x=-1$：$x<-1$ 時 $f^{\prime }(x)$ 遞減，$f^{\prime \prime }(x)<0$，$f(x)$ 的圖形凹口向下；$x>-1$ 時 $f^{\prime }(x)$ 遞增，$f^{\prime \prime }(x)>0$，凹口向上。所以 $f(x)$ 反曲點的 $x$ 坐標是 $-1$，選 (3)。

$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$。$4x^2\ge 0$，所以 $f^{\prime }(x)$ 的正負由 $x-3$ 決定：$x>3$ 時 $f^{\prime }(x)>0$；$x<3$ 時 $f^{\prime }(x)\le 0$（只在 $x=0$ 等於 $0$）。所以 $f(x)$ 在 $x\ge 3$ 的範圍嚴格遞增，在 $x\le 3$ 的範圍嚴格遞減。

五個區間中只有 $(5,9)$ 整個落在 $x>3$ 的範圍內，選 (5)。

反曲點是 $f^{\prime \prime }(x)$ 變號的點，也就是 $f^{\prime }(x)$ 的圖形由上升轉下降、或由下降轉上升的點。看 $f^{\prime }(x)$ 的圖形：

在 $x=-6$ 由上升轉下降（高峰），在 $x=-4$ 由下降轉上升（碰到 $x$ 軸的低點），在 $x=-2$ 由上升轉下降（高峰）。

(1) 正確。 $x=-6$ 的左邊 $f^{\prime \prime }(x)>0$、右邊 $f^{\prime \prime }(x)<0$，是反曲點。

(2) 錯誤。 $x=-5$ 位在 $-6$ 與 $-4$ 之間，$f^{\prime }(x)$ 在它的左右兩邊都在下降，$f^{\prime \prime }(x)$ 不變號。

(3) 正確。 $x=-4$ 的左邊 $f^{\prime }(x)$ 下降、右邊上升，$f^{\prime \prime }(x)$ 由負變正，是反曲點。

(4) 錯誤。 $x=-3$ 位在 $-4$ 與 $-2$ 之間，$f^{\prime }(x)$ 在它的左右兩邊都在上升，$f^{\prime \prime }(x)$ 不變號。

(5) 正確。 $x=-2$ 的左邊 $f^{\prime \prime }(x)>0$、右邊 $f^{\prime \prime }(x)<0$，是反曲點。

選 (1)(3)(5)。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$，$f^{\prime \prime }(x)=6x+2a$。

反曲點在 $x=1$：$f^{\prime \prime }(1)=6+2a=0$，$a=-3$。

點 $(1,-3)$ 在圖形上：$f(1)=1+a+b+c=-3$，代入 $a=-3$ 得 $b+c=-1$。

點 $(3,-5)$ 在圖形上：$f(3)=27+9a+3b+c=-5$，代入 $a=-3$ 得 $3b+c=-5$。

兩式相減得 $2b=-4$，$b=-2$，$c=1$。所以 $a+2b=-3-4=-7$。

$f(x)-k=0$ 的相異實根個數，就是水平線 $y=k$ 與 $y=f(x)$ 的圖形有幾個交點。

$f(x)=0$ 有 $3$ 個相異實根，三次函數的圖形要與一條水平線交 $3$ 次，必須有一高一低兩個轉折，所以極大值 $M$ 與極小值 $\alpha$ 都存在，而且水平線的高度要介於兩者之間時才交 $3$ 次：$\alpha <k<M$ 時有 $3$ 個交點；$k>M$ 或 $k<\alpha$ 時只有 $1$ 個交點。

$k=0$ 與 $k=15$ 都有 $3$ 個交點，所以 $\alpha <0$ 且 $M>15$。

$k=-15$ 只有 $1$ 個交點，而 $-15<15<M$，所以只能是 $-15<\alpha$。

合起來 $-15<\alpha <0$，選 (3)。

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$，反曲點的 $x$ 坐標是 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 的根 $-\frac{b}{3a}$。

(1) 正確。 圖形最右邊一路往下，$x$ 很大時 $f(x)<0$；三次函數在 $x$ 很大時的正負與 $a{x}^3$ 相同，所以 $a<0$。

(2) 錯誤。 黑點（反曲點）在 $y$ 軸左邊，$-\frac{b}{3a}<0$，即 $\frac{b}{a}>0$，$b$ 與 $a$ 同號；$a<0$，所以 $b<0$。

(3) 錯誤。 $c=f^{\prime }(0)$ 是圖形在 $x=0$ 的切線斜率。極大點在 $y$ 軸左邊，圖形通過 $y$ 軸時正在往下走，$f^{\prime }(0)<0$，所以 $c<0$。

(4) 正確。 $d=f(0)$ 是圖形與 $y$ 軸交點的高度，圖中交點在 $x$ 軸上方，$d>0$。

(5) 錯誤。 圖形有極大值與極小值，$f^{\prime }(x)=0$ 有兩個相異實根，判別式 $(2b{)}^2-4\cdot 3a\cdot c=4(b^2-3ac)>0$，所以 $b^2-3ac>0$。

選 (1)(4)。

設 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$，$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$。

反曲點在 $x=-1$：$f^{\prime \prime }(-1)=-6a+2b=0$，$b=3a$。

$x=1$ 有極小值：$f^{\prime }(1)=3a+2b+c=0$，得 $c=-3a-6a=-9a$。

$f(1)=a+b+c+d=a+3a-9a+d=-5a+d=-14$。

$f(-1)=-a+b-c+d=-a+3a+9a+d=11a+d=2$。

兩式相減得 $16a=16$，$a=1$，$d=-9$，所以 $f(x)=x^3+3x^2-9x-9$。

$f^{\prime }(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$：$x<-3$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，$-3<x<1$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，$x>1$ 時 $f^{\prime }(x)>0$。所以 $x=1$ 確實是極小，$x=-3$ 是極大，極大值為

$$f(-3)=-27+27+27-9=18$$

設切去的小正方形邊長為 $x$ 公分，摺成的紙盒底面是邊長 $24-2x$ 的正方形，高為 $x$，其中 $0<x<12$。容積

$$V(x)=x(24-2x{)}^2=4x^3-96x^2+576x$$

$V^{\prime }(x)=12x^2-192x+576=12(x-4)(x-12)$。在 $0<x<4$ 時 $V^{\prime }(x)>0$，在 $4<x<12$ 時 $V^{\prime }(x)<0$，所以 $x=4$ 時容積最大：

$$V(4)=4\times 16^2=1024$$

最大容積為 $1024$ 立方公分。

一段時間內的平均氣溫，是氣溫函數在這段時間的定積分除以時間長度：

$$\frac{1}{6-0}{\int }_0^6(\frac{1}{3}{t}^2-\frac{7}{3}t+16)dt=\frac{1}{6}[\frac{t^3}{9}-\frac{7t^2}{6}+16t{]}_0^6=\frac{1}{6}(24-42+96)=\frac{78}{6}=13$$

平均氣溫為 $13$℃，選 (4)。

$y=\sqrt{1-x^2}$ 兩邊平方得 $x^2+y^2=1$，且 $y\ge 0$，所以它的圖形是以原點為圓心、半徑 $1$ 的上半圓。在 $0\le x\le 1$ 時圖形在 $x$ 軸上方，定積分就是圖形與 $x$ 軸、$y$ 軸圍成的面積，也就是四分之一個單位圓：

$${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx=\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot 1^2=\frac{\pi }{4}$$

選 (4)。

(1) 錯誤。 只有 $f(x)$ 是奇函數時才一定成立。例如 $f(x)=1$、$a=1$：${\int }_{-1}^{1}1dx=2\ne 0$。

(2) 錯誤。 長度相同的兩段區間，積分不一定相同。例如 $f(x)=x$、$a=1$：${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$，${\int }_1^{2}xdx=\frac{3}{2}$。

(3) 正確。 ${\int }_a^b(-f(x))dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$，而交換上下限要變號，$-{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_b^{a}f(x)dx$。

(4) 正確。 由區間可加性 ${\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx$，移項即得。

(5) 錯誤。 不等號方向反了。例如 $f(x)=x$ 在 $[-1,1]$：${\int }_{-1}^1|x|dx=1$，$\left|{\int }_{-1}^{1}xdx\right|=0$，$1>0$。一般成立的是 $\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b\left|f(x)\right|dx$，正負抵消只會讓左邊變小。

選 (3)(4)。

$F^{\prime }(x)=f(x)$，所以 $(-2F(x){)}^{\prime }=-2f(x)$；$-2f(x)$ 的反導函數就是 $-2F(x)+C$（$C$ 是常數）。逐項微分檢查：

(1) 正確。 $(4-2F(x){)}^{\prime }=-2f(x)$，是 $-2F(x)$ 加常數 $4$。

(2) 錯誤。 $(2F(x)-8x{)}^{\prime }=2f(x)-8$。

(3) 錯誤。 $(x-2F(x){)}^{\prime }=1-2f(x)$，多了 $1$，$x$ 不是常數。

(4) 正確。 $(100-2F(x){)}^{\prime }=-2f(x)$。

(5) 正確。 $(-2F(x){)}^{\prime }=-2f(x)$。

選 (1)(4)(5)。

由圖，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 與 $(2,3)$ 小於 $0$（圖形在 $x$ 軸下方），在 $(1,2)$ 與 $(3,4)$ 大於 $0$（在 $x$ 軸上方）。設四塊鋪色區域的面積依序為 $A_1$、$A_2$、$A_3$、$A_4$，則

$${\int }_0^{1}f(x)dx=-A_1,{\int }_1^{2}f(x)dx=A_2,{\int }_2^{3}f(x)dx=-A_3,{\int }_3^{4}f(x)dx=A_4$$

鋪色的面積是 $A_1+A_2+A_3+A_4$。

(1) 錯誤。 ${\int }_0^{4}f(x)dx=-A_1+A_2-A_3+A_4$，下方的面積被當成負的扣掉了。

(2) 錯誤。 這是 $A_1-A_2+A_3-A_4$。

(3) 正確。 $\left|f(x)\right|$ 把 $x$ 軸下方的部分翻到上方，積分就是四塊面積的和。

(4) 正確。 $-(-A_1)+A_2-(-A_3)+A_4=A_1+A_2+A_3+A_4$。

(5) 錯誤。 $-A_1-A_2-A_3-A_4$，是面積的相反數。

選 (3)(4)。

$|2x|$ 在 $x<0$ 時是 $-2x$，在 $x\ge 0$ 時是 $2x$，所以在 $x=0$ 把區間切開：

$${\int }_{-1}^2(3x^2+|2x|)dx={\int }_{-1}^0(3x^2-2x)dx+{\int }_0^2(3x^2+2x)dx$$

$$=[x^3-x^2{]}_{-1}^0+[x^3+x^2{]}_0^2=(0-(-2))+(12-0)=14$$

消費者剩餘是需求曲線在均衡價格 $30$ 上方、$0\le x\le 60$ 的面積：

$${\int }_0^{60}(D(x)-30)dx={\int }_0^{60}(12-0.2x)dx=[12x-0.1x^2{]}_0^{60}=720-360=360$$

消費者剩餘為 $360$ 元。

生產者剩餘是均衡價格 $30$ 與供給曲線之間、$0\le x\le 60$ 的面積：

$${\int }_0^{60}(30-S(x))dx={\int }_0^{60}(24-0.4x)dx=[24x-0.2x^2{]}_0^{60}=1440-720=720$$

生產者剩餘為 $720$ 元。