段考詳解範圍：三角函數（弧度量、正弦函數的圖形與週期）、指數函數、對數與對數律

興大附中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

卷面第 5 題（本頁第 7 題）：角度是弧度，要先減去週期的整數倍再估計落在哪兩個特殊角之間。卷面第 7 題（本頁第 9 題）：分母有一個因式在負二的右邊是負的，符號容易判反。選填 E（本頁第 14 題）：不必積分，用割補看出灰色區域恰好是長方形的一半。選填 G（本頁第 16 題）：同一個數一邊當度、一邊當弧度，兩邊的正負號不同。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題（占 30 分，每題 6 分）、多選題（占 16 分，每題 8 分）、選填題 A～G（占 42 分，每題 6 分）、計算題（占 12 分）。卷面單選第 3 題、第 4 題與計算題第 1 題各印了兩題（題號相同），學校公布的答案兩題都列，本頁兩題都收，所以單選有 7 題、計算題有 4 小題；配分照卷面抄錄，同題號的兩題如何計分，卷面沒有說明。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題中 19 題相同；本頁第 17 題題目卷印的是 r(13)、答案卷與學校解答印的是 r(19)，兩個值本頁都列出。

第壹部分、選擇題　一、單選題（占 30 分）說明：第 1 題至第 5 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。（卷面第 3 題與第 4 題各印了兩題；本頁第 1～7 題依序為卷面的第 1、2、3、3、4、4、5 題）

下列何者的圖形可由

y = sin x

的圖形向左平移

\frac{π}{4}

單位，再向上平移

2

單位後得到？

(1) $y = sin (x + \frac{π}{4}) - 2$
(2) $y = sin (x - \frac{π}{4}) - 2$
(3) $y = sin (x - \frac{π}{4}) + 2$
(4) $y = 2 sin (x - \frac{π}{4})$
(5) $y = sin (x + \frac{π}{4}) + 2$

點

A (sin 5, cos 5)

落在

(1) 第一象限
(2) 第二象限
(3) 第三象限
(4) 第四象限
(5) 坐標軸上。

（卷面第 3 題）以下有關

a = 1. 2^{- 2.3}

，

b = 1. 2^{- 1.2}

，

c = 0. 1^{- 1.2}

三數的大小關係，試選出正確的選項。

(1) $a < c < b$
(2) $b < a < c$
(3) $a < b < c$
(4) $b < c < a$
(5) $c < a < b$ 。

（卷面另一個第 3 題）某品牌計算機在計算對數

lo g_{a} b

時需按

lo g (a, b)

。某生在計算

lo g_{a} b

時（其中

a > 1

且

b > 1

）順序弄錯，誤按

lo g (b, a)

，所得為正確值的

\frac{9}{4}

倍。試選出

a

，

b

間的關係式

(1) $a^{2} = b^{3}$
(2) $a^{3} = b^{2}$
(3) $a^{4} = b^{9}$
(4) $2 a = 3 b$
(5) $3 a = 2 b$

（卷面第 4 題）若函數

y = - a^{x}

的圖形如圖（左上那一張，圖形通過

(0, - 1)

），則

y = x^{2} - a x

的函數圖形可能為下列何者？（五個選項的圖畫在同一張附圖裡）

(1) 圖 (1)：開口向上，通過原點，與 $x$ 軸的另一個交點在 $0$ 與 $1$ 之間
(2) 圖 (2)：開口向上，通過原點與 $(2, 0)$
(3) 圖 (3)：開口向上，通過 $(- 2, 0)$ 與原點
(4) 圖 (4)：開口向上，通過原點，與 $x$ 軸的另一個交點在 $- 1$ 與 $0$ 之間
(5) 圖 (5)：開口向下，通過原點與 $(1, 0)$

載入中...

（卷面另一個第 4 題）設等差數列

⟨ a_{n} ⟩

之首項

a_{1}

與公差

d

皆為正數，且

lo g a_{1}

，

lo g a_{3}

，

lo g a_{6}

依序也成等差數列。試選出數列

lo g a_{1}

，

lo g a_{3}

，

lo g a_{6}

的公差

(1) $lo g d$
(2) $lo g \frac{2}{3}$
(3) $lo g \frac{3}{2}$
(4) $lo g 2 d$
(5) $lo g 3 d$

（卷面第 5 題）若

a = sin (2 π^{2})

，則下列何者正確？

(1) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}$
(2) $- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(3) $0 < a < \frac{2}{2}$
(4) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$
(5) $\frac{3}{2} < a < 1$ 。

二、多選題（占 16 分）說明：第 6 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。（本頁第 8、9 題為卷面的第 6、7 題）

（卷面第 6 題）有一圓形摩天輪，中心軸高

20

公尺，直徑

36

公尺，逆時針方向運轉一圈，需

15

分鐘。當摩天輪開始運轉時，阿正恰坐在離地面最近的位置上，

x

分鐘後，阿正離地面高度為

y = a sin (b x + c) + d

，

a > 0

，

b > 0

，

0 < c < 2 π

，下列哪些選項正確？

(1) $a + d = 36$
(2) $a = 18$
(3) $b = \frac{2 π}{15}$
(4) $c = \frac{2 π}{3}$
(5) $d = 18$ 。

載入中...

（卷面第 7 題）設

f (x) = \frac{( 2 ^{x} - 128 ) ( 3 ^{x} - 1 ) ( 6 ^{x} + 6 )}{( 5 ^{x} - 125 ) ( 2 ^{- x} - 4 )}

，若

f (a) < 0

，則

a

可以是下列何數？

(1) $- 4$
(2) $1$
(3) $20$
(4) $40$
(5) $60$

第貳部分、選填題（占 42 分）說明：1. 第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（8–22）。2. 每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。（本頁第 10～16 題依序為卷面的 A～G 題）

（卷面 A）如圖，直圓錐頂點為

A

，底直徑

\overline{B C} = 1

，且

\overline{A B} = 3

。若一隻螞蟻由

C

點沿錐面繞一圈到

D

點，其中

A

、

D

、

C

共一直線，已知

\overline{A D} = \frac{3}{2}

。則這隻螞蟻所走的最短路徑長度為 ____。（最簡根式；原卷的答案格式為

\frac{◯ ◯}{◯}

）

載入中...

（卷面 B）設

π < x < 2 π

，方程式

sin x + \frac{1}{3} = 0

的實根為

α

，

β

，則

α + β =

____

π

。

（卷面 C）在

0 \leq x \leq 2 π

中，

y = sin x

與

y = sin 2 x

的圖形共有 ____ 個交點。

（卷面 D）右圖為

y = (\frac{1}{2})^{x}

的圖形。設

P

、

Q

分別為直線

y = 3

，

y = 12

與

y = (\frac{1}{2})^{x}

的交點，則

\overline{P Q}

的長為 ____。（原卷的答案格式為

◯ ◯

）

載入中...

（卷面 E）若

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{3 π}{2}

，則函數

y = 2 sin 3 x

與直線

y = 2

所圍成的灰色封閉區域之面積為 ____

π

。（原卷的答案格式為

\frac{◯}{◯} π

）

載入中...

（卷面 F）月有陰晴圓缺，每天看到的月亮都不太一樣，而且是有規律、週期性地循環，網站上可查到每天可看見月亮表面積的比例，如圖(甲)所示。（圖(甲)是一張月曆圖片，每一天的月亮旁標著當天可看見的比例，本頁不重畫。）將網站上查到的比例，以時間為

x

軸（天）、可看見月亮表面積的比例為

y

軸（%）繪製在坐標平面上，如圖(乙)所示。已知可用正弦函數

y = a sin (bπ x) + 50

來表示

x

與

y

的關係，則

(a, b) =

____。（原卷的答案格式為

(◯ ◯, \frac{◯}{◯ ◯})

）

載入中...

（卷面 G）試問有多少個實數

x

滿足

π \leq x \leq \frac{3 π}{2}

且

sin x^{\circ} \leq sin x

？答：____ 個。

第叁部分、計算題（占 12 分）說明：請於答案卷上詳列算式過程，未於作答卷上作答者，以零分計算，占 12 分。（卷面印了兩個第 1 題；本頁第 17、18 題為第一個第 1 題的 (1)(2)，第 19、20 題為第二個第 1 題的 (1)(2)）

計算題（卷面第一個第 1 題）（第 17～18 題）　某款 APP 的新增用戶中，在

x

天後仍啟動該 App 的人數比例

r (x) %

，叫做

x

天後留存率，而

r (x)

稱為留存函數。一般而言，留存函數

r (x)

的曲線會快速下降，如圖所示，經常被用來檢驗用戶的活躍程度。此 APP 的留存函數

r (x)

滿足

r (1) = 40

及

r (7) = 20

（即 1 天與 7 天後的留存率為

40%

與

20%

），且留存函數

r (x)

符合

r (x) = α \times 2^{β (1 - x)}

的數學模型，試回答下列問題：

(1) 試求

r (13)

的值。（非選擇題，6 分）

載入中...

(2) 留存率有個

40 - 20 - 10

法則是指：「1 天、7 天及 31 天後的留存率都不得低於

40%

、

20%

及

10%

」。試判斷該款 APP 是否符合

40 - 20 - 10

法則？請說明理由。（非選擇題，6 分）

計算題（卷面第二個第 1 題）（第 19～20 題）　國際上使用芮氏規模來表示地震的強度。設

E (M)

（單位：爾格）為地震芮氏規模

M

時所釋放出來的能量，

M

與

E (M)

的關係如下：

lo g_{10} E (M) = 11.8 + 1.5 M

。某次地震其芮氏規模為

4

，試問：

(1) 其震央所釋放的能量

E (4)

為多少？

(2) 如果芮氏規模

a

的地震所釋放之能量是芮氏規模

4

的

1000

倍，則

a

大約是多少？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(2)

第 3 題(3)

第 4 題(1)

第 5 題(1)

第 6 題(3)

第 7 題(4)

第 8 題(2)(3)

第 9 題(1)(2)(5)（學校公布此題送分）

第 10 題

\frac{3 3}{2}

第 11 題

3 π

（空格填

3

）

第 12 題

5

第 13 題

85

第 14 題

\frac{8}{3} π

第 15 題

(a, b) = (50, \frac{4}{59})

第 16 題

0

第 17 題

r (13) = 10

（答案卷與學校解答把這一小題印作

r (19)

，

r (19) = 5

）

第 18 題不符合；

r (31) = \frac{5}{4} < 10

第 19 題

E (4) = 1 0^{17.8}

（爾格）

第 20 題

a = 6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～4 題（卷面第 1、2 題與兩個第 3 題）：圖形平移、弧度角的象限、指數比大小、換底公式

第 1 題答案 (5)。向左平移

\frac{π}{4}

是把

x

換成

x + \frac{π}{4}

，得

y = sin (x + \frac{π}{4})

；再向上平移

2

是在整個式子後面加

2

，得

y = sin (x + \frac{π}{4}) + 2

。

向左是加、向右是減；向上是加、向下是減。左右平移改的是

x

，上下平移改的是函數值。

第 2 題答案 (2)。這裡的

5

是

5

弧度。

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

2 π \approx 6.28

，所以

\frac{3 π}{2} < 5 < 2 π

，

5

弧度是第四象限角，

sin 5 < 0

、

cos 5 > 0

。點

A

的

x

坐標是

sin 5

（負）、

y

坐標是

cos 5

（正），落在第二象限。

注意點

A

的坐標順序是先正弦、後餘弦，和單位圓上的點

(cos θ, sin θ)

相反；若直接回答「第四象限」就錯了。

第 3 題答案 (3)。

a

、

b

的底數同為

1.2 > 1

，指數函數

y = 1. 2^{x}

遞增，而

- 2.3 < - 1.2 < 0

，所以

1. 2^{- 2.3} < 1. 2^{- 1.2} < 1. 2^{0}

，即

a < b < 1

。

c = 0. 1^{- 1.2} = (1 0^{- 1})^{- 1.2} = 1 0^{1.2} > 1 0^{0} = 1

。合起來

a < b < 1 < c

。

底數小於

1

又帶負指數時，先用指數律換成底數大於

1

的形式，比較不會把大小判反。

第 4 題答案 (1)。設

t = lo g_{a} b

，因為

a > 1

、

b > 1

，所以

t > 0

。由換底公式，

lo g_{b} a = \frac{lo g a}{lo g b} = \frac{1}{lo g _{a} b} = \frac{1}{t}

。誤按得到的是

lo g_{b} a

，它是正確值的

\frac{9}{4}

倍：

\frac{1}{t} = \frac{9}{4} t

，

t^{2} = \frac{4}{9}

，取正得

t = \frac{2}{3}

。於是

lo g_{a} b = \frac{2}{3}

，

b = a^{\frac{2}{3}}

，兩邊三次方得

b^{3} = a^{2}

。

驗算：取

a = 8

、

b = 4

，

lo g_{8} 4 = \frac{2}{3}

，

lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}

，

\frac{3}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{9}{4}

，且

8^{2} = 4^{3} = 64

。

比大小先化成同底數，再看底數大於

1

還是小於

1

；

lo g_{a} b

與

lo g_{b} a

互為倒數。

02單選第 5～7 題（卷面兩個第 4 題與第 5 題）：由圖形判斷底數、等差數列取對數、估計正弦值

第 5 題答案 (1)。

y = - a^{x}

的圖形是

y = a^{x}

的圖形對

x

軸翻轉。附圖的曲線在

x

軸下方，越往右越靠近

x

軸，表示

x

越大時

a^{x}

越接近

0

，也就是

y = a^{x}

遞減，所以

0 < a < 1

。再看

y = x^{2} - a x = x (x - a)

：

x^{2}

的係數為正，開口向上；與

x

軸交於

x = 0

與

x = a

，而

0 < a < 1

，所以另一個交點在

0

與

1

之間，是圖 (1)。

圖 (2) 的交點在

2

（要

a = 2

）、圖 (3)(4) 的交點在負的一邊（要

a < 0

），圖 (5) 開口向下，都不合。

第 6 題答案 (3)。

lo g a_{1}

、

lo g a_{3}

、

lo g a_{6}

成等差，所以

2 lo g a_{3} = lo g a_{1} + lo g a_{6}

，由對數律得

lo g a_{3}^{2} = lo g (a_{1} a_{6})

，即

a_{3}^{2} = a_{1} a_{6}

。代入

a_{3} = a_{1} + 2 d

、

a_{6} = a_{1} + 5 d

：

(a_{1} + 2 d)^{2} = a_{1} (a_{1} + 5 d)

，展開得

4 a_{1} d + 4 d^{2} = 5 a_{1} d

，

4 d^{2} = a_{1} d

；因為

d > 0

，所以

a_{1} = 4 d

。於是

a_{3} = 6 d

，所求公差

= lo g a_{3} - lo g a_{1} = lo g \frac{a _{3}}{a _{1}} = lo g \frac{6 d}{4 d} = lo g \frac{3}{2}

。

驗算：

a_{1} = 4 d

、

a_{3} = 6 d

、

a_{6} = 9 d

，相鄰兩項的比都是

\frac{3}{2}

，取對數後的差都是

lo g \frac{3}{2}

。

第 7 題答案 (4)。

2 π^{2}

是弧度。正弦函數的週期是

2 π

，

6 π

是三個週期，所以

sin (2 π^{2}) = sin (2 π^{2} - 6 π) = sin (2 π (π - 3))

。

π - 3 \approx 0.1416

，所以

2 π (π - 3) \approx 0.283 π

。而

\frac{π}{4} = 0.25 π

、

\frac{π}{3} \approx 0.333 π

，因此

\frac{π}{4} < 2 π (π - 3) < \frac{π}{3}

。正弦函數在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

sin \frac{π}{4} < a < sin \frac{π}{3}

，即

\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}

。

2 π^{2} \approx 19.74

，

6 π \approx 18.85

，相差約

0.89

弧度（約

5 1^{\circ}

），

a \approx 0.777

。

很大的弧度角先減去

2 π

的整數倍，搬到

0

與

2 π

之間再和特殊角比。

03多選第 8、9 題（卷面第 6、7 題）：摩天輪的正弦模型、用遞增遞減判斷正負

第 8 題答案 (2)(3)。摩天輪的半徑是

36 \div 2 = 18

，中心軸高

20

，所以高度在

20 - 18 = 2

與

20 + 18 = 38

之間來回變化。振幅

a = (38 - 2) \div 2 = 18

，(2) 對；中間高度

d = (38 + 2) \div 2 = 20

，(5) 錯；

a + d = 38

，(1) 錯。轉一圈

15

分鐘，所以週期是

15

：由

2 π \div b = 15

得

b = \frac{2 π}{15}

，(3) 對。

x = 0

時在最低點：

18 sin c + 20 = 2

，

sin c = - 1

，在

0 < c < 2 π

內只有

c = \frac{3 π}{2}

，(4) 錯。

高度只跟「轉了多少角度」有關，順時針或逆時針不影響這個式子。

d

是輪軸的高度

20

，不是半徑

18

。

第 9 題答案 (1)(2)(5)。逐個因式看正負。

2^{x} - 128

：

128 = 2^{7}

，

x > 7

時為正、

x < 7

時為負。

3^{x} - 1

：

x > 0

時為正、

x < 0

時為負。

6^{x} + 6

恆為正，不影響正負。

5^{x} - 125

：

125 = 5^{3}

，

x > 3

時為正、

x < 3

時為負。

2^{- x} - 4

：

2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}

遞減，

2^{- x} > 4 = 2^{2}

相當於

- x > 2

，所以

x < - 2

時為正、

x > - 2

時為負。以下只看其餘四個因式，依序是

2^{x} - 128

、

3^{x} - 1

、

5^{x} - 125

、

2^{- x} - 4

。(1)

a = - 4

：四個因式依序為負、負、負、正，

f (a) = \frac{( - ) ( - ) ( + )}{( - ) ( + )} < 0

，可以。(2)

a = 1

：負、正、負、負，

f (a) = \frac{( - ) ( + ) ( + )}{( - ) ( - )} < 0

，可以。(3)

a = 20

，

4 < 20 < 5

：負、正、正、負，

f (a) = \frac{( - ) ( + ) ( + )}{( + ) ( - )} > 0

，不行。(4)

a = 40

，

6 < 40 < 7

：正負號與 (3) 相同，

f (a) > 0

，不行。(5)

a = 60

，

7 < 60 < 8

：正、正、正、負，

f (a) = \frac{( + ) ( + ) ( + )}{( + ) ( - )} < 0

，可以。

整理起來，

f (x) < 0

的範圍是

x < - 2

、

0 < x < 3

或

x > 7

。

2^{- x} - 4

是遞減的，在

- 2

的右邊為負，這一項最容易判反。學校公布的答案在這一題註明「送分」，列出的選項同為 (1)(2)(5)。

分式的正負只看每個因式的正負號；每個因式先找出等於

0

的位置，再用遞增或遞減決定兩側的符號。

04選填第 10～13 題（卷面 A～D）：圓錐上的最短路徑、根的和、交點個數、指數圖形上的距離

第 10 題把圓錐的側面沿母線

\overline{A C}

剪開攤平，得到一個扇形：半徑是母線長

3

，弧長等於底圓周長

2 π \times \frac{1}{2} = π

，所以圓心角

θ = \frac{π}{3}

（由弧長

=

半徑

\times

圓心角，

π = 3 θ

）。剪開後

\overline{A C}

變成扇形的兩條邊，起點

C

在其中一條邊的端點，終點

D

在另一條邊上、與

A

的距離是

\frac{3}{2}

。繞一圈的最短路徑就是攤平後連接

C

與

D

的線段。在三角形

A C D

中，

\overline{A C} = 3

，

\overline{A D} = \frac{3}{2}

，夾角

6 0^{\circ}

；因為

\overline{A D} = \overline{A C} cos 6 0^{\circ}

，所以

D

正好是由

C

向另一條邊作垂線的垂足，

\overline{C D} = \overline{A C} sin 6 0^{\circ} = \frac{3 3}{2}

。

也可以用餘弦定理：

\overline{C D}^{2} = 3^{2} + (\frac{3}{2})^{2} - 2 \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot cos 6 0^{\circ} = \frac{27}{4}

。底「直徑」是

1

，半徑是

\frac{1}{2}

。

第 11 題方程式即

sin x = - \frac{1}{3}

。在

π < x < 2 π

內，

y = sin x

的圖形在

x

軸下方，最低點在

x = \frac{3 π}{2}

，圖形對稱於直線

x = \frac{3 π}{2}

。水平線

y = - \frac{1}{3}

與這一段圖形交於兩點，這兩點對稱於

x = \frac{3 π}{2}

，所以

\frac{α + β}{2} = \frac{3 π}{2}

，

α + β = 3 π

。

不必求出

α

、

β

各是多少。

第 12 題交點的

x

坐標滿足

sin 2 x = sin x

。兩個角的正弦值相等，表示它們是同界角，或者一個角與另一個角的補角是同界角：

2 x = x + 2 k π

或

2 x = π - x + 2 k π

（

k

為整數），即

x = 2 k π

或

x = \frac{π}{3} + \frac{2 k π}{3}

。在

0 \leq x \leq 2 π

內，前者得

x = 0

、

2 π

；後者得

x = \frac{π}{3}

、

π

、

\frac{5 π}{3}

。共

5

個交點。

畫圖也看得出來：

y = sin 2 x

的週期是

π

，在

0

到

2 π

之間有兩個完整的波；兩個圖形在

x = 0

、

π

、

2 π

都通過

x

軸，另外在

0

與

π

之間、

π

與

2 π

之間各交一次。端點

0

與

2 π

都要算。

第 13 題設

P

的

x

坐標為

p

、

Q

的

x

坐標為

q

，則

(\frac{1}{2})^{p} = 3

，

(\frac{1}{2})^{q} = 12

。兩式相除：

(\frac{1}{2})^{q - p} = \frac{12}{3} = 4 = (\frac{1}{2})^{- 2}

，所以

q - p = - 2

，兩點的水平距離是

2

。兩點的鉛直距離是

12 - 3 = 9

。所以

\overline{P Q} = 2^{2} + 9^{2} = 85

。

不必把

p

、

q

各自算出來（

p = - lo g_{2} 3

，

q = - lo g_{2} 12

），只需要它們的差。

曲面上的最短路徑先攤平成平面再連直線；指數函數的函數值相除，對應的是

x

坐標相減。

05選填第 14～16 題（卷面 E～G）：割補求面積、由圖形定係數、度與弧度

第 14 題

y = 2 sin 3 x

的週期是

\frac{2 π}{3}

，最大值

2

、最小值

- 2

。

x = \frac{π}{6}

時

3 x = \frac{π}{2}

，是最高點；

\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6} = \frac{4 π}{3}

恰好是兩個週期，所以灰色區域是兩塊一樣的圖形，每一塊夾在相鄰兩個最高點之間、曲線上方、直線

y = 2

下方。看其中一塊：在相鄰兩個最高點之間畫一個長方形，寬

\frac{2 π}{3}

、高從

y = - 2

到

y = 2

共

4

，面積

\frac{8 π}{3}

。曲線把這個長方形分成上、下兩部分；把上面那部分對

x

軸翻下來，再左右平移半個週期，剛好和下面那部分疊合（因為

- 2 sin 3 x = 2 sin 3 (x + \frac{π}{3})

，正弦曲線上下翻轉後等於平移半個週期），所以兩部分面積相等，各是

\frac{4 π}{3}

。灰色區域共兩塊，面積

= 2 \times \frac{4 π}{3} = \frac{8}{3} π

。

這一題不需要積分。上下兩部分面積相等，是正弦曲線「波峰與波谷形狀相同」的結果。

第 15 題式子是

y = a sin (bπ x) + 50

。由圖(乙)，

y

的最大值是

100

、最小值是

0

，中間值

50

，而且圖形從

(0, 50)

出發先上升，所以

a > 0

，

a = \frac{100 - 0}{2} = 50

。從

x = 0

到

x = 59

圖形剛好走完兩個完整的波，所以週期是

\frac{59}{2}

天。週期

= \frac{2 π}{bπ} = \frac{2}{b}

，由

\frac{2}{b} = \frac{59}{2}

得

b = \frac{4}{59}

。所以

(a, b) = (50, \frac{4}{59})

。

x

的係數是

bπ

，不是

b

，所以週期是

\frac{2 π}{bπ}

。月相的週期大約是

29.5

天。

第 16 題

π \leq x \leq \frac{3 π}{2}

表示

x

大約在

3.14

與

4.71

之間。不等式右邊的

sin x

是

x

弧度的正弦值：

x

在

π

與

\frac{3 π}{2}

之間是第三象限角（或在邊界上），所以

- 1 \leq sin x \leq 0

。左邊的

sin x^{\circ}

是

x

度的正弦值：

x^{\circ}

大約在

3.1 4^{\circ}

與

4.7 1^{\circ}

之間，是很小的銳角，所以

sin x^{\circ} > 0

。因此在這個範圍內恆有

sin x^{\circ} > 0 \geq sin x

，不等式

sin x^{\circ} \leq sin x

不可能成立，滿足條件的實數有

0

個。

有

^{\circ}

的是度，沒有的是弧度；同一個數

x

，當度與當弧度是完全不同的兩個角。

正弦模型

y = a sin (k x) + d

：振幅是最大值與最小值之差的一半，週期是

\frac{2 π}{k}

，

d

是兩者的平均。

06計算題第 17、18 題（卷面第一個第 1 題）：留存函數的指數模型

第 17 題把兩個條件代入

r (x) = α \times 2^{β (1 - x)}

。

r (1) = α \times 2^{0} = α = 40

。

r (7) = 40 \times 2^{β (1 - 7)} = 40 \times 2^{- 6 β} = 20

，所以

2^{- 6 β} = \frac{1}{2} = 2^{- 1}

，

- 6 β = - 1

，

β = \frac{1}{6}

。因此

r (x) = 40 \times 2^{(1 - x) /6}

。

r (13) = 40 \times 2^{(1 - 13) /6} = 40 \times 2^{- 2} = 10

。

題目卷這一小題印的是

r (13)

，同一份檔案的答案卷與學校解答印的是

r (19)

。照答案卷的問法，

r (19) = 40 \times 2^{(1 - 19) /6} = 40 \times 2^{- 3} = 5

，與學校解答的

5

相同。這個模型每過

6

天留存率減半：

r (1) = 40

、

r (7) = 20

、

r (13) = 10

、

r (19) = 5

。學校解答的給分：列出兩個條件 1 分、求出

α

與

β

2 分、算出函數值 3 分。

第 18 題法則的前兩個條件已經滿足：

r (1) = 40

、

r (7) = 20

，都沒有低於

40%

與

20%

。檢驗第三個條件：

r (31) = 40 \times 2^{(1 - 31) /6} = 40 \times 2^{- 5} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}

。

31

天後的留存率是

1.25%

，低於

10%

，第三個條件不成立，所以這款 APP 不符合 這個法則。

由上一小題，

13

天後留存率就已經降到

10%

，之後只會更低，所以

31

天後一定不到

10%

。學校解答的給分：指出前兩個條件已滿足 2 分、算出

r (31)

並下結論 4 分。

指數模型裡有幾個未知的參數，就代入幾個已知條件；把等號兩邊化成同底數再比較指數。

07計算題第 19、20 題（卷面第二個第 1 題）：芮氏規模與能量

第 19 題把

M = 4

代入：

lo g_{10} E (4) = 11.8 + 1.5 \times 4 = 17.8

。由對數的定義，

E (4) = 1 0^{17.8}

（爾格）。

lo g_{10} E = 17.8

的意思就是

E = 1 0^{17.8}

。學校解答的給分：算出

17.8

得 3 分、寫出

E (4)

得 3 分。

第 20 題

E (a) = 1000 \times E (4)

。兩邊取常用對數，用對數律把乘法變加法：

lo g_{10} E (a) = lo g_{10} 1000 + lo g_{10} E (4) = 3 + 17.8 = 20.8

。另一方面

lo g_{10} E (a) = 11.8 + 1.5 a

，所以

11.8 + 1.5 a = 20.8

，

1.5 a = 9

，

a = 6

。

也可以直接相減：

lo g_{10} E (a) - lo g_{10} E (4) = 1.5 (a - 4) = 3

，

a - 4 = 2

。規模每增加

2

，能量變成

1000

倍。

能量差「幾倍」取對數後變成「差多少」；規模相差

2

，能量相差

1 0^{3}

倍。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

卷面第 5 題（本頁第 7 題）：角度是弧度，要先減去週期的整數倍再估計落在哪兩個特殊角之間。卷面第 7 題（本頁第 9 題）：分母有一個因式在負二的右邊是負的，符號容易判反。選填 E（本頁第 14 題）：不必積分，用割補看出灰色區域恰好是長方形的一半。選填 G（本頁第 16 題）：同一個數一邊當度、一邊當弧度，兩邊的正負號不同。詳解逐題寫在本頁。

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興大附中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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02單選第 5～7 題（卷面兩個第 4 題與第 5 題）：由圖形判斷底數、等差數列取對數、估計正弦值

03多選第 8、9 題（卷面第 6、7 題）：摩天輪的正弦模型、用遞增遞減判斷正負

04選填第 10～13 題（卷面 A～D）：圓錐上的最短路徑、根的和、交點個數、指數圖形上的距離

05選填第 14～16 題（卷面 E～G）：割補求面積、由圖形定係數、度與弧度

06計算題第 17、18 題（卷面第一個第 1 題）：留存函數的指數模型

07計算題第 19、20 題（卷面第二個第 1 題）：芮氏規模與能量

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興大附中 113 上
高二第一次段考
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