段考詳解範圍：極限與微分（數列的極限、無窮等比級數、函數的極限、連續、導數與可微分、多項式函數的微分、切線、牛頓法）

興大附中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題：選項 3 沒有說函數連續，選項 5 只給了連續的條件，兩個都推不出結論。選填 B（本頁第 5 題）：第二項的循環節是兩位數 03，化成分數後才看得出公比。選填 D（本頁第 7 題）：兩個分式各自趨向無限大，要先通分再比較次數。混合題第 1 題（本頁第 17 題）：公比是 r 的倒數，收斂條件是 r 的絕對值大於 1，負數的選項也要檢查。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

第一部分多重選擇題 3 題占 24 分、第二部分選填題 13 題占 65 分、第三部分混合題 3 小題占 11 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

第一部分：多重選擇題（占 24 分）說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列關於極限與導數的敘述哪些是正確的？

(1) $x \to 0 lim \frac{cos x}{x} = 0$
(2) $x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x} = 0$
(3) $x \to 0 lim x^{2} cos \frac{1}{x} = 0$
(4) 若 $f (x) = x ∣ x ∣$ ，則 $f^{'} (0) = 0$
(5) 若 $f (x) = [x]$ ，則 $f^{'} (2) = 0$

下列關於數列的敘述哪些是正確的？

(1) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 為收斂
(2) 數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 中，若 $n \to \infty lim a_{2 n} = r$ ，則 $n \to \infty lim a_{n} = r$
(3) 數列 $⟨ a_{n} ⟩$ ，其中 $a_{n} = r^{n}$ ，若 $∣ r ∣ < 1$ ，則 $n \to \infty lim a_{n}$ 為收斂
(4) $n \to 0 lim (1 + n)^{\frac{1}{n}} = e$ ，且 $e$ 為無理數，滿足 $2 < e < 3$
(5) 三數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ b_{n} ⟩$ 、 $⟨ c_{n} ⟩$ ，其關係為 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ 。若 $⟨ a_{n} ⟩$ 及 $⟨ c_{n} ⟩$ 均為收斂數列，則 $⟨ b_{n} ⟩$ 必為收斂數列

下列關於函數的敘述哪些是正確的？

(1) $y = ∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣$ 、 $y = 3^{- ∣ x ∣}$ 、 $y = x^{4} + x^{2} + 2$ ，以上三個函數皆為偶函數
(2) $y = 1 0^{x}$ 以及 $y = lo g x$ 兩函數互為反函數
(3) 若函數滿足 $f (1) = 3$ ， $f (2) = 5$ ，則存在 $1 < p < 2$ 使得 $f (p) = 4$
(4) 三實數 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，設三次多項方程式 $f (x)$ 且滿足 $f (c) = 0$ ，若 $a < c < b$ ，則 $f (a) \times f (b) < 0$
(5) 若函數 $f (x)$ 在 $x = a$ 滿足 $x \to a lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = x \to a^{-} lim f (x) = f (a)$ ，則 $f^{'} (a)$ 存在

第二部分：選填題（占 65 分）說明：1. 第 A 至 M 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（4–43）。2. 每題答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。（本頁第 4～16 題依序為原卷的 A～M 題）

若

n \to \infty lim \frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{6 ^{n}} = α

，

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{6 ^{n}} = β

，則

α + β =

____。（化為最簡分數）

設無窮等比級數

S_{n} = 0. \overline{1} + 0. \overline{03} + \dots

，則此級數和為 ____。（化為最簡分數）

求極限值

n \to \infty lim \frac{2 ^{n - 1} + 5 \cdot 3 ^{n + 1} - 6 \cdot 4 ^{n - 1}}{3 \cdot 2 ^{n + 1} - 4 \cdot 3 ^{n - 1} + 7 \cdot 4 ^{n + 1}} =

____。（化為最簡分數）

設

a

、

b

為實數，已知

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} + 3 n}{n + 1} + \frac{a n ^{2} + bn}{n + 2}) = 4

，則數對

(a, b) =

____。

設

f (x)

為三次函數且

x \to - 1 lim \frac{f ( x )}{x + 1} = - 6

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = - 3

，則

f (3) =

____。

若

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - a x - 12}{x ^{2} - ( 3 + b ) x + 3 b} = - \frac{7}{2}

，則數對

(a, b) =

____。

求極限值

x \to 4 lim \frac{2 + x - 2}{x - 4} =

____。（化為最簡分數）

已知函數

f (x)

滿足

f (1) = 1

，

f^{'} (1) = 5

，則

x \to 1 lim \frac{f ( x ^{3} ) - f ( 1 )}{x - 1} =

____。

設函數

f (x) = {x^{2} + a x + b, x^{3}, x \geq 2 x < 2

，若

f^{'} (2)

存在，則數對

(a, b) =

____。

三次函數

y = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + b x + c

，若函數圖形上以

(3, - 3)

為切點的切線，其切線斜率最小，且此切線通過原點，則數對

(a, b, c) =

____。

函數

f (x) = \frac{3 x}{cos x}

，則

f^{'} (0) =

____。

若取

7

的近似值

a_{0} = 3

，利用牛頓法及

a_{0}

，求出

7

的下一個近似值為

a_{1}

，再利用牛頓法及

a_{1}

，求出

7

的下一個近似值為

a_{2}

，則

a_{2} =

____。（化為最簡分數）

若

a_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + (n + 1) - 1 + 2 + 3 + \dots + n

，則

n \to \infty lim a_{n} =

____。（化為最簡根式）

第三部分：混合題（占 11 分）說明：1. 第 1 題，答對得 3 分，請將答案畫記在答案卡之所標示的列號（44）。2. 第 2 題，答對得 3 分，請將答案畫記在答案卡之所標示的列號（45–46）。3. 第 3 題，答對得 5 分，請將過程及答案書寫在答案卷上，未在答案卷上作答者不予計分。（本頁第 17～19 題依序為原卷混合題的第 1～3 題）

混合題（第 17～19 題）　設等比級數

S_{n} = a + \frac{a}{r} + \frac{a}{r ^{2}} + \frac{a}{r ^{3}} + \dots + \frac{a}{r ^{n - 1}}

，其中

a

、

r

為任意實數。（

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

當

r

為下列哪個選項時，會使得

n \to \infty lim S_{n}

存在。（多選題，全對才給分）

(1) $(2)^{\frac{1}{2}}$
(2) $sin 7 5^{\circ} cos 7 5^{\circ}$
(3) $lo g 0.2$
(4) $lo g_{2023} 2022$
(5) $lo g_{2} 0.1$

若

a = 9

，

r = 4

，則

n \to \infty lim S_{n} = S

，其中

S =

____。（選填題）

承上題，若要使不等式

∣ S - S_{n} ∣ < 1 0^{- 8}

成立，則最小正整數

n

為多少？（計算題）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)(4)(5)

第 2 題(3)(4)

第 3 題(1)(2)

第 4 題

\frac{3}{2}

第 5 題

\frac{11}{72}

第 6 題

- \frac{3}{56}

第 7 題

(- 1, 0)

第 8 題

- 8

第 9 題

(- 1, 5)

第 10 題

\frac{1}{16}

第 11 題

15

第 12 題

(8, - 12)

第 13 題

(- 3, 8, - 9)

第 14 題

3

第 15 題

\frac{127}{48}

第 16 題

\frac{2}{2}

第 17 題(1)(5)

第 18 題

12

第 19 題

16

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇 1～3：極限與導數、數列的收斂、函數的性質

第 1 題答案 (3)(4)(5)。(1)

x \to 0

時分子

cos x

趨近

1

，分母趨近

0

，

\frac{cos x}{x}

的絕對值會無限制地變大（右側趨向正無限大、左側趨向負無限大），極限不存在，錯。(2)

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

；右極限

1

、左極限

- 1

不相等，極限不存在，錯。(3) 因為

cos \frac{1}{x} \leq 1

，所以

- x^{2} \leq x^{2} cos \frac{1}{x} \leq x^{2}

，兩邊在

x \to 0

時都趨近

0

，由夾擠定理知極限為

0

，對。(4) 用定義：

f^{'} (0) = h \to 0 lim \frac{h ∣ h ∣ - 0}{h} = h \to 0 lim ∣ h ∣ = 0

，對。(5)

1 < 2 < 2

，所以

x

在

2

附近時

[x] = 1

是常數，

\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = \frac{1 - 1}{h} = 0

，

f^{'} (2) = 0

，對。

(1) 的分子不趨近

0

，和

\frac{sin x}{x}

的情形不同。(5) 高斯函數只在整數點不連續；在不是整數的點附近是水平線段，導數為

0

。

第 2 題答案 (3)(4)。(1) 取

a_{n} = 1

，數列收斂到

1

，但

n = 1 \sum \infty a_{n}

的部分和為

n

，發散，錯。(2) 取

a_{n} = (- 1)^{n}

，

a_{2 n} = 1

，

n \to \infty lim a_{2 n} = 1

，但

⟨ a_{n} ⟩

在

1

與

- 1

之間跳動，發散，錯。(3)

∣ r ∣ < 1

時

r^{n}

趨近

0

，收斂，對。(4) 令

m = \frac{1}{n}

，式子變成

(1 + \frac{1}{m})^{m}

。

n

從正的一側趨近

0

時

m

趨向正無限大，從負的一側趨近

0

時

m

趨向負無限大，兩種情形這個式子都趨近課本介紹的常數

e \approx 2.718

，所以極限是

e

；

e

是無理數且

2 < e < 3

，對。(5) 取

a_{n} = - 1

、

c_{n} = 1

、

b_{n} = (- 1)^{n}

，滿足

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

，

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ c_{n} ⟩

都收斂，但

⟨ b_{n} ⟩

發散，錯。

(1) 級數要收斂，各項至少要趨近

0

；數列收斂到不是

0

的數，級數一定發散。(5) 夾擠定理還需要

⟨ a_{n} ⟩

與

⟨ c_{n} ⟩

收斂到同一個值。

第 3 題答案 (1)(2)。(1) 把

x

換成

- x

：

∣ sin (- x) ∣ + ∣ cos (- x) ∣ = ∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣

；

3^{- ∣ - x ∣} = 3^{- ∣ x ∣}

；

(- x)^{4} + (- x)^{2} + 2 = x^{4} + x^{2} + 2

。三個都滿足

f (- x) = f (x)

，皆為偶函數，對。(2)

y = 1 0^{x}

等價於

x = lo g y

，把

x

、

y

對調就是

y = lo g x

，兩者互為反函數，對。(3) 沒有說

f (x)

連續，中間值定理不能用。例如

f (x) = {3, 5, x < 2 x \geq 2

，滿足

f (1) = 3

、

f (2) = 5

，但函數值只有

3

與

5

，不會等於

4

，錯。(4) 取

f (x) = x^{2} (x - 1)

、

c = 0

、

a = - 1

、

b = \frac{1}{2}

：

f (c) = 0

且

a < c < b

，但

f (a) = - 2

、

f (b) = - \frac{1}{8}

，

f (a) \times f (b) = \frac{1}{4} > 0

，錯。(5) 題目的條件只說

f (x)

在

x = a

連續。取

f (x) = ∣ x ∣

、

a = 0

：

x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0 = f (0)

，但

\frac{∣ h ∣ - 0}{h}

的右極限為

1

、左極限為

- 1

，

f^{'} (0)

不存在，錯。

(4) 圖形在

x = c

可以只碰到

x

軸而不穿過（重根），也可能在

a

與

b

之間穿過兩次，所以

c

兩側的函數值不一定異號。(5) 可微分一定連續，連續不一定可微分。

判斷「則」的敘述先找反例；定理的每一個前提（連續、收斂到同一個值）都要檢查。

02選填 4～7（原卷 A～D）：數列的極限與無窮等比級數

第 4 題

\frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{6 ^{n}} = (\frac{1}{3})^{n} + (\frac{1}{2})^{n}

。

n \to \infty

時兩項都趨近

0

，所以

α = 0

。級數拆成兩個無窮等比級數，公比

\frac{1}{3}

、

\frac{1}{2}

的絕對值都小於

1

：

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{3})^{n} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

，

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{2})^{n} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1

，所以

β = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}

。

α + β = \frac{3}{2}

。

α

是「第

n

項」的極限，

β

是「加起來」的極限，兩個問的不是同一件事。

第 5 題先把循環小數化成分數：

0. \overline{1} = \frac{1}{9}

，

0. \overline{03} = \frac{3}{99} = \frac{1}{33}

。首項

\frac{1}{9}

，公比

= \frac{1}{33} \div \frac{1}{9} = \frac{9}{33} = \frac{3}{11}

，絕對值小於

1

，級數收斂。和

= \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{3}{11}} = \frac{1}{9} \times \frac{11}{8} = \frac{11}{72}

。

0. \overline{03} = 0.030303 \dots

，循環節是兩位「

03

」，分母是

99

。卷面把這個無窮級數記作

S_{n}

，本頁照卷面原樣。

第 6 題底數最大的是

4

，分子分母同除以

4^{n}

。先整理各項：

2^{n - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{n}

，

5 \cdot 3^{n + 1} = 15 \cdot 3^{n}

，

6 \cdot 4^{n - 1} = \frac{3}{2} \cdot 4^{n}

；

3 \cdot 2^{n + 1} = 6 \cdot 2^{n}

，

4 \cdot 3^{n - 1} = \frac{4}{3} \cdot 3^{n}

，

7 \cdot 4^{n + 1} = 28 \cdot 4^{n}

。同除以

4^{n}

後，含

(\frac{2}{4})^{n}

與

(\frac{3}{4})^{n}

的項都趨近

0

，所以極限為

\frac{- \frac{3}{2}}{28} = - \frac{3}{56}

。

指數上的

n - 1

、

n + 1

要先換成

n

次方乘上常數，再比較係數。

第 7 題通分：

\frac{( n ^{2} + 3 n ) ( n + 2 ) + ( a n ^{2} + bn ) ( n + 1 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )}

。分子展開為

(1 + a) n^{3} + (5 + a + b) n^{2} + (6 + b) n

，分母為

n^{2} + 3 n + 2

。極限是有限的數

4

，所以分子的三次項係數必須為

0

：

1 + a = 0

，

a = - 1

。此時極限等於二次項係數的比：

\frac{5 + a + b}{1} = 4 + b = 4

，

b = 0

。

(a, b) = (- 1, 0)

。

驗算：

a = - 1

、

b = 0

時分子為

4 n^{2} + 6 n

，

\frac{4 n ^{2} + 6 n}{n ^{2} + 3 n + 2} \to 4

。兩個分式各自都趨向無限大，不能分開取極限。

指數型的極限同除以底數最大的項；分式型的極限先通分，再比較分子分母的次數。

03選填 8～10（原卷 E～G）：函數的極限

第 8 題

x \to - 1

時分母

x + 1

趨近

0

而極限存在，所以

f (- 1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次函數，可設

f (x) = (x + 1) (x - 2) (p x + q)

。第一個極限：

x \to - 1 lim (x - 2) (p x + q) = (- 3) (- p + q) = - 6

，得

q - p = 2

。第二個極限：

x \to 2 lim (x + 1) (p x + q) = 3 (2 p + q) = - 3

，得

2 p + q = - 1

。兩式相減得

3 p = - 3

，

p = - 1

，

q = 1

。所以

f (x) = (x + 1) (x - 2) (- x + 1)

，

f (3) = 4 \times 1 \times (- 2) = - 8

。

分母趨近

0

而極限存在，分子也一定趨近

0

；多項式函數連續，所以就是

f (- 1) = 0

、

f (2) = 0

。

第 9 題分母

x^{2} - (3 + b) x + 3 b = (x - 3) (x - b)

，

x \to 3

時趨近

0

。極限存在，所以分子在

x = 3

的值也要是

0

：

9 - 3 a - 12 = 0

，

a = - 1

。此時分子

x^{2} + x - 12 = (x - 3) (x + 4)

，原式

= x \to 3 lim \frac{x + 4}{x - b} = \frac{7}{3 - b}

。令

\frac{7}{3 - b} = - \frac{7}{2}

，得

3 - b = - 2

，

b = 5

。

(a, b) = (- 1, 5)

。

b = 5 \neq = 3

，約分後的分母

x - b

在

x = 3

不是

0

，極限確實是

- \frac{7}{2}

。

第 10 題分子有理化：

2 + x - 2 = \frac{( 2 + x ) - 4}{2 + x + 2} = \frac{x - 2}{2 + x + 2}

。分母

x - 4 = (x - 2) (x + 2)

。約掉

x - 2

得

\frac{1}{( x + 2 ) ( 2 + x + 2 )}

，

x \to 4

時趨近

\frac{1}{( 2 + 2 ) ( 2 + 2 )} = \frac{1}{16}

。

有理化一次之後分子還剩

x - 2

，要再把分母分解才約得掉。

分母趨近 0 的極限：先讓分子也趨近 0，再找出公因式約掉。

04選填 11～13（原卷 H～J）：導數的定義、可微分的條件、切線

第 11 題分母配成

x^{3} - 1

：

\frac{f ( x ^{3} ) - f ( 1 )}{x - 1} = \frac{f ( x ^{3} ) - f ( 1 )}{x ^{3} - 1} \cdot \frac{x ^{3} - 1}{x - 1} = \frac{f ( x ^{3} ) - f ( 1 )}{x ^{3} - 1} \cdot (x^{2} + x + 1)

。令

t = x^{3}

，

x \to 1

時

t \to 1

，前一個分式趨近

t \to 1 lim \frac{f ( t ) - f ( 1 )}{t - 1} = f^{'} (1) = 5

；後面的

x^{2} + x + 1

趨近

3

，所以所求的極限為

5 \times 3 = 15

。

分子的變化量是

x^{3} - 1

，分母要配成一樣的才是導數的定義；條件

f (1) = 1

在這一題用不到。

第 12 題

f^{'} (2)

存在，所以

f (x)

在

x = 2

連續：

x \to 2^{-} lim x^{3} = 8

要等於

f (2) = 4 + 2 a + b

，得

2 a + b = 4

。再看兩側的斜率。右側：

h \to 0^{+} lim \frac{( 2 + h ) ^{2} + a ( 2 + h ) + b - ( 4 + 2 a + b )}{h} = h \to 0^{+} lim (4 + a + h) = 4 + a

。左側：

h \to 0^{-} lim \frac{( 2 + h ) ^{3} - 8}{h} = h \to 0^{-} lim (12 + 6 h + h^{2}) = 12

（分子的

f (2)

已用連續條件換成

8

）。兩側相等，

4 + a = 12

，

a = 8

，

b = 4 - 16 = - 12

。

(a, b) = (8, - 12)

。

兩個條件都要用：先讓函數值接得上，再讓左右兩側的斜率相等。

第 13 題切線斜率為

y^{'} = x^{2} + 2 a x + b = (x + a)^{2} + b - a^{2}

，在

x = - a

時最小。題目說切點

(3, - 3)

的切線斜率最小，所以

- a = 3

，

a = - 3

。這條切線通過原點與

(3, - 3)

，斜率為

\frac{- 3 - 0}{3 - 0} = - 1

，所以

x = 3

時

y^{'} = 9 - 18 + b = - 1

，

b = 8

。又

(3, - 3)

在圖形上：

\frac{1}{3} \cdot 27 + (- 3) \cdot 9 + 8 \cdot 3 + c = 6 + c = - 3

，

c = - 9

。

(a, b, c) = (- 3, 8, - 9)

。

「斜率最小」是對

y^{'}

這個二次函數求最小值，不是對原來的三次函數。三個條件（斜率最小的位置、切線斜率、點在圖形上）各解出一個未知數。

導數的定義：分母要和分子的變化量配成同一個量。

05選填 14～16（原卷 K～M）：用定義求導數、牛頓法、根式相減的極限

第 14 題用導數的定義。

f (0) = \frac{0}{cos 0} = 0

，所以

f^{'} (0) = h \to 0 lim \frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} = h \to 0 lim \frac{\frac{3 h}{c o s h}}{h} = h \to 0 lim \frac{3}{cos h} = \frac{3}{1} = 3

。

f (0) = 0

時，

f^{'} (0)

就是

\frac{f ( h )}{h}

的極限，分子的

h

直接約掉，不必套微分公式。

第 15 題

7

是

g (x) = x^{2} - 7

的正根，

g^{'} (x) = 2 x

。牛頓法：過點

(a_{k}, g (a_{k}))

的切線與

x

軸的交點就是下一個近似值，

a_{k + 1} = a_{k} - \frac{g ( a _{k} )}{g ^{'} ( a _{k} )} = a_{k} - \frac{a _{k}^{2} - 7}{2 a _{k}}

。

a_{0} = 3

：

a_{1} = 3 - \frac{9 - 7}{6} = \frac{8}{3}

。

a_{1} = \frac{8}{3}

：

a_{1}^{2} - 7 = \frac{64}{9} - 7 = \frac{1}{9}

，

2 a_{1} = \frac{16}{3}

，所以

a_{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{9} \times \frac{3}{16} = \frac{8}{3} - \frac{1}{48} = \frac{127}{48}

。

\frac{127}{48} \approx 2.64583

，而

7 \approx 2.64575

，做兩次就準到小數點後第三位。

第 16 題

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

，

1 + 2 + \dots + (n + 1) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

。有理化：

a_{n} = \frac{\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} - \frac{n ( n + 1 )}{2}}{\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} + \frac{n ( n + 1 )}{2}} = \frac{n + 1}{\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} + \frac{n ( n + 1 )}{2}}

。分子分母同除以

n

：分子為

1 + \frac{1}{n}

，分母為

\frac{( 1 + \frac{1}{n} ) ( 1 + \frac{2}{n} )}{2} + \frac{1 + \frac{1}{n}}{2}

。

n \to \infty

時分子趨近

1

，分母趨近

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2

，所以極限為

\frac{1}{2} = \frac{2}{2}

。

兩個根號各自都趨向無限大，不能說差是

0

；有理化之後分子正好是多出來的那一項

n + 1

。

兩個無限大相減先有理化；牛頓法就是反覆求切線與 x 軸的交點。

06混合題 17～19（原卷混合題第 1～3 題）：無窮等比級數的收斂、和與誤差

第 17 題答案 (1)(5)。

S_{n}

是首項

a

、公比

\frac{1}{r}

的等比級數前

n

項的和。要對任意的

a

都使

n \to \infty lim S_{n}

存在，公比要滿足

\frac{1}{r} < 1

，也就是

∣ r ∣ > 1

。(1)

(2)^{\frac{1}{2}}

：底數

2 > 1

、指數

\frac{1}{2} > 0

，所以值大於

(2)^{0} = 1

，可以。(2)

sin 7 5^{\circ} cos 7 5^{\circ} = \frac{1}{2} sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{4}

，絕對值小於

1

，不行。(3)

lo g 0.2 = lo g 2 - 1 \approx - 0.699

，絕對值小於

1

，不行。(4)

0 < lo g_{2023} 2022 < lo g_{2023} 2023 = 1

，不行。(5)

lo g_{2} 0.1 = - lo g_{2} 10

，而

lo g_{2} 10 > lo g_{2} 8 = 3

，所以

lo g_{2} 0.1 < - 3

，絕對值大於

1

，可以。

公比是

\frac{1}{r}

不是

r

，條件是

∣ r ∣ > 1

。負的

r

只要絕對值大於

1

也可以，所以 (5) 要選。題目說

a

為任意實數；

a = 0

時每一項都是

0

，任何

r

都收斂，這裡找的是不論

a

是多少都收斂的

r

。

第 18 題

a = 9

、

r = 4

時，首項為

9

、公比為

\frac{1}{4}

，絕對值小於

1

，級數收斂。

S = \frac{9}{1 - \frac{1}{4}} = 9 \times \frac{4}{3} = 12

。

第 19 題前

n

項的和

S_{n} = \frac{9 ( 1 - ( \frac{1}{4} ) ^{n} )}{1 - \frac{1}{4}} = 12 (1 - (\frac{1}{4})^{n})

，所以

∣ S - S_{n} ∣ = 12 (\frac{1}{4})^{n} = \frac{12}{4 ^{n}}

。要

\frac{12}{4 ^{n}} < 1 0^{- 8}

，即

4^{n} > 12 \times 1 0^{8}

。兩邊取常用對數：

n lo g 4 > lo g 12 + 8

。

lo g 4 = 2 lo g 2 \approx 0.6020

，

lo g 12 = 2 lo g 2 + lo g 3 \approx 0.6020 + 0.4771 = 1.0791

。所以

0.6020 n > 9.0791

，

n > \frac{9.0791}{0.6020} \approx 15.08

。最小正整數

n = 16

。

驗算：

4^{15} = 1073741824

，比

12 \times 1 0^{8}

小，

n = 15

還不行；

4^{16} = 4294967296

，比

12 \times 1 0^{8}

大，

n = 16

可以。作答時要寫出

∣ S - S_{n} ∣

的式子、取對數的不等式與代入的近似值。

無窮等比級數的和與前 n 項和的差，就是首項乘公比的 n 次方再除以一減公比。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題：選項 3 沒有說函數連續，選項 5 只給了連續的條件，兩個都推不出結論。選填 B（本頁第 5 題）：第二項的循環節是兩位數 03，化成分數後才看得出公比。選填 D（本頁第 7 題）：兩個分式各自趨向無限大，要先通分再比較次數。混合題第 1 題（本頁第 17 題）：公比是 r 的倒數，收斂條件是 r 的絕對值大於 1，負數的選項也要檢查。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 112 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多重選擇 1～3：極限與導數、數列的收斂、函數的性質

02選填 4～7（原卷 A～D）：數列的極限與無窮等比級數

03選填 8～10（原卷 E～G）：函數的極限

04選填 11～13（原卷 H～J）：導數的定義、可微分的條件、切線

05選填 14～16（原卷 K～M）：用定義求導數、牛頓法、根式相減的極限

06混合題 17～19（原卷混合題第 1～3 題）：無窮等比級數的收斂、和與誤差

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興大附中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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