興大附中 114 上
高三第三次段考
數學試題、答案與詳解

① 列出每個光點到端點的時刻。$A$ 每秒 $5$ 公分，走完 $120$ 公分要 $24$ 秒：$t=24$ 到右端、$t=48$ 回到左端。

② $B$ 每秒 $10$ 公分，走完一趟要 $12$ 秒：$t=12$ 到左端、$t=24$ 到右端、$t=36$ 到左端、$t=48$ 到右端。

③ 第一次相遇：兩點相向，$5t+10t=120$，$t=8$，距左端 $5\times 8=40$ 公分。

④ 第二次：$t=24$ 時 $A$ 剛好走到右端，$B$ 也剛好回到右端，兩點在右端（距左端 $120$ 公分）碰在一起。

⑤ 之後兩點都從右端往左：$B$ 在 $t=36$ 先到左端折回，$A$ 在 $t=36$ 時距左端 $120-5\times 12=60$ 公分。兩點再度相向，$5s+10s=60$，$s=4$，在 $t=40$ 相遇，距左端 $10\times 4=40$ 公分（第三次）。

⑥ $t=40$ 起：$A$ 往左，$t=48$ 到左端折回；$B$ 往右，$t=48$ 到右端折回。$t=48$ 時兩點又分別在兩端，情形與出發時相同，所以再過 $8$ 秒（$t=56$）相遇，距左端 $40$ 公分（第四次）。

答案 (1)。

① 由 $\frac{1}{3}\log y=2$ 得 $\log y=6$，所以 $y=10^6$。

② $y^{\frac{1}{3}}={\left(10^6\right)}^{\frac{1}{3}}=10^2=100$。

③ 代回 $x^{\frac{3}{2}}\cdot 100=1$，得 $x^{\frac{3}{2}}=10^{-2}$，兩邊同取 $\frac{2}{3}$ 次方：$x=10^{-\frac{4}{3}}$。

④ $-2<-\frac{4}{3}<-1$，底數 $10>1$，所以 $10^{-2}<x<10^{-1}$，即 $\frac{1}{100}<x<\frac{1}{10}$。

答案 (2)。

① 光是直圓錐，兩條最外側的光線（母線）夾 $60^{\circ }$，軸在中間，與每條母線夾 $30^{\circ }$。

② 第一次照射：軸與 $L$ 垂直，從垂直於 $L$ 的方向看過去，圖上一條母線是鉛直向下的，另一條與它夾 $60^{\circ }$。

③ 牆壁是鉛直的平面，鉛直的那條母線與牆壁平行。平面與圓錐的某一條母線平行（且不過頂點）時，截出的是拋物線，所以 ${\Gamma }_1$ 是拋物線。

④ 第二次照射：軸與牆壁垂直，牆壁與每一條母線的夾角都相同，截出的是圓，所以 ${\Gamma }_2$ 是圓。

答案 (3)。

把 $z$ 坐標看成「高度」：中心高度是 $1$，$xy$ 平面就是高度 $0$ 的水平面。正立方體邊長 $2$，中心到每個面的中心的距離都是 $1$，到每個頂點的距離都是 $\sqrt{3}$。

① 中心正下方的點 $(1,1,0)$ 與中心距離 $1$，在正立方體的內切球上，所以一定在正立方體裡，也一定在截痕上。

② 每個面的中心與中心距離 $1$，高度都不小於 $0$。若有兩個頂點都比 $xy$ 平面低，它們的中點也比 $xy$ 平面低，所以這兩個頂點不能是同一面的對角頂點（中點是面的中心），也不能是體對角線的兩端（中點是中心，高度 $1$）。

③ 沿著稜走，頂點會交錯分成兩組（每 $4$ 個一組），由一條稜相連的兩個頂點一定不同組，同組的兩個頂點正好是面對角線的兩端。任取三個頂點，一定有兩個同組，它們是面對角線的兩端，由 ② 不能都比 $xy$ 平面低。

所以比 $xy$ 平面低的頂點最多只有 $2$ 個。

(1) 錯誤。 由 ①，截痕含有 $(1,1,0)$；它與中心距離 $1$，不是頂點（頂點與中心距離 $\sqrt{3}$），所以截痕不會只是一個頂點。

(2) 正確。 把一條體對角線擺成鉛直，最低的頂點高度 $1-\sqrt{3}<0$，與它相鄰的三個頂點高度 $1-\frac{\sqrt{3}}{3}>0$，$xy$ 平面只切掉一個角，截痕是三邊等長的正三角形。

(3) 正確。 讓最低的是一條稜的兩端（兩端高度不同、都低於 $0$），其他頂點都高於 $0$，截痕是四邊形。截痕有兩邊分別在這條稜兩端的兩個面上，這兩個面互相平行，所以這兩邊平行；兩端點高度不同，兩邊長度不同，另兩邊不平行，是梯形。

(4) 錯誤。 截痕是五邊形時，平面下方要有 $3$ 個頂點，與 ③ 矛盾。

(5) 錯誤。 截痕是六邊形時，平面兩側各有 $4$ 個頂點，與 ③ 矛盾。

答案 (2)(3)。

(1) 正確。 $90+95+a+88+106=5\times 94=470$，$a=470-379=91$。

(2) 錯誤。 $X$ 的離均差為 $-4,1,-3,-6,12$，平方和 $16+1+9+36+144=206$。

$${\sigma }_X^2=\frac{206}{5}=41.2>36$$

所以 ${\sigma }_X>6$。

(3) 錯誤。 相關係數為 $1$ 時，五個點要落在一條斜率為正的直線上。但 $(88,80)$、$(90,90)$ 連線斜率是 $5$，$(90,90)$、$(91,112)$ 連線斜率是 $22$，三點不共線。

(4) 錯誤。 表中腦容量 $95$ 的人 IQ 是 $100$，腦容量 $91$ 的人 IQ 反而是 $112$；相關也不代表一定。

(5) 正確。 標準化是把每個數據減去平均再除以標準差，平移與正數倍伸縮都不改變相關係數。

答案 (1)(5)。

小明的式子雖然不是標準式，但算對了，所以 $f(x)=(x-1{)}^3+6(x-1{)}^2-5$ 就是老師的函數。

① 令 $u=x+1$，則 $x-1=u-2$：

$$f(x)=(u-2{)}^3+6(u-2{)}^2-5=u^3-12u+11$$

② 所以標準式是 $f(x)=(x+1{)}^3-12(x+1)+11$：$a=1$、$h=-1$、$p=-12$、$k=11$。

(1) 錯誤。 對稱中心是 $(h,k)=(-1,11)$，不是 $(-1,13)$。

(2) 正確。 在 $x=-1$ 附近，$(x+1{)}^3$ 很小，一次近似是 $y=-12(x+1)+11$，斜率 $-12$。

(3) 錯誤。 $u^3-12u+11=(u-1)(u^2+u-11)$，$u^2+u-11=0$ 的判別式 $1+44=45>0$，共有三個相異實根，與 $x$ 軸有三個交點。

(4) 正確。 $u=1$ 得 $x=0$；另兩根 $u=\frac{-1\pm 3\sqrt{5}}{2}$ 不是整數，$x=u-1$ 也不是整數，所以恰有一個整數解 $x=0$。

(5) 錯誤。 $-3+2t$ 與 $1-2t$ 的平均是 $-1$，兩點對稱於 $x=-1$；圖形對稱於 $(-1,11)$，所以 $f(-3+2t)+f(1-2t)=2\times 11=22$。

答案 (2)(4)。

(1) 正確。 北緯 $30^{\circ }$ 線是半徑 $r\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}r$ 的圓，長度 $2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}r=\sqrt{3}\pi r$。

(2) 錯誤。 $A$、$B$ 都在東經 $0^{\circ }$ 的經線上，經線是大圓，$\angle AOB=30^{\circ }$，最短弧長 $\frac{30}{360}\cdot 2\pi r=\frac{\pi }{6}r$。

(3) 錯誤。 $B$、$C$ 在北緯 $30^{\circ }$ 線上經度差 $60^{\circ }$，在半徑 $\frac{\sqrt{3}}{2}r$ 的緯線圓上圍成正三角形，弦長 $\overline{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}r<r$。

大圓上弦長 $r$ 對應的圓心角是 $60^{\circ }$，弦比 $r$ 短，所以 $\angle BOC<60^{\circ }$，最短弧長小於 $\frac{\pi }{3}r$。

(4) 正確。 $B$、$C$ 都在北緯 $30^{\circ }$，到北極點的經線弧都對應圓心角 $90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$，長度都是 $\frac{\pi }{3}r$。

(5) 正確。 沿經線（大圓）走 $\frac{5}{12}\pi r$，對應圓心角 $\frac{5}{12}\pi =75^{\circ }$。從北緯 $30^{\circ }$ 往南 $75^{\circ }$，到南緯 $45^{\circ }$。

答案 (1)(4)(5)。

① $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$，所以 $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$。

② 兩邊取長度平方：

$${\left|\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}\right|}^2={\left|\overrightarrow{u}\right|}^2-4\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+4{\left|\overrightarrow{v}\right|}^2=25+4{\left|\overrightarrow{v}\right|}^2$$

③ 左邊 $(-3{)}^2+8^2=73$，所以 $4{\left|\overrightarrow{v}\right|}^2=48$，${\left|\overrightarrow{v}\right|}^2=12$。

答案 $\left|\overrightarrow{v}\right|=2\sqrt{3}$。

① $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$，而 $3x^2-3x+3=3(x^2-x+1)$ 是 $x^3+1$ 的因式。

② 設 $f(x)=(x^3+1)Q(x)+(-x^2+5x-3)$。第一項是 $3x^2-3x+3$ 的倍式，所以 $f(x)$ 除以 $3x^2-3x+3$ 的餘式，就是 $-x^2+5x-3$ 除以它的餘式。

③ $-x^2+5x-3=-\frac{1}{3}(3x^2-3x+3)+(4x-2)$，餘式 $4x-2$。

④ $a=4$、$b=-2$，$3a+b=12-2=10$。

答案 $10$。

① 前 $n$ 項和 $a_1+\cdots +a_n=\frac{n(2a_1+(n-1)(-7))}{2}$。

② 除以 $n$：

$$b_n=a_1+(n-1)\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)$$

③ 這是首項 $a_1$、公差 $-\frac{7}{2}$ 的等差數列。

答案 $-\frac{7}{2}$。

① 不限制時：先選 $3$ 人到餐飲，再從剩下 $4$ 人選 $2$ 人到住宿，其餘到交通。

$$C_3^7\times C_2^4=35\times 6=210$$

② 扣掉甲、乙同組的情形：

$$\begin{array}{cc}\text{甲乙同在}& \text{方法數}\\ \text{餐飲}& C_1^5\times C_2^4=30\\ \text{住宿}& C_3^5=10\\ \text{交通}& C_3^5=10\end{array}$$

共 $50$ 種。

③ $210-50=160$。

答案 $160$。

① 令 $P=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 2\end{array}\right]$。由分配律：

$$A-B=P\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]P^{-1}-P\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right]P^{-1}=P\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]P^{-1}$$

② $\det P=2-3=-1$，$P^{-1}=\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 3\\ 1& -1\end{array}\right]$。

③ $P\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ -1& 2\end{array}\right]$。

④ 再乘 $P^{-1}$：

$$\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2& 3\\ 1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& -6\\ 4& -5\end{array}\right]$$

⑤ $a+b+c+d=5-6+4-5=-2$。

答案 $-2$。

① $\angle 1=\angle 2=\angle 3$，三條線分別從 $A$、$B$、$C$ 出發，與 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 的夾角相同，整個圖形繞中心轉 $120^{\circ }$ 後不變，所以 $\overline{AD}=\overline{BE}=\overline{CF}$。

② 設 $\overline{BE}=t$，則 $\overline{EF}=2t$；$△DEF$ 是正三角形，$\overline{DE}=2t$，所以 $\overline{AE}=\overline{AD}+\overline{DE}=3t$。

③ $\angle DEF=60^{\circ }$，$D$ 在 $E$ 往 $A$ 的方向、$F$ 在 $E$ 往 $B$ 的反方向，所以 $\angle AEB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$。

④ 在 $△ABE$ 用餘弦定理：

$$1^2=(3t{)}^2+t^2-2\cdot 3t\cdot t\cos 120^{\circ }=13t^2$$

所以 $t^2=\frac{1}{13}$。

⑤ $△DEF$ 邊長 $2t$，面積

$$\frac{\sqrt{3}}{4}(2t{)}^2=\sqrt{3}{t}^2=\frac{\sqrt{3}}{13}$$

答案 $\frac{\sqrt{3}}{13}$。

六張牌中奇數 $1,3,5$、偶數 $2,4,6$ 各 $3$ 張，抽兩張共 $C_2^6=15$ 種。

① 乘積為奇數要兩張都是奇數：$C_2^3=3$ 種，機率 $\frac{3}{15}$，得 $200$ 元。

② 兩張都是偶數：$3$ 種，機率 $\frac{3}{15}$。剩下 $3$ 奇 $1$ 偶，再抽兩張都奇數的機率 $\frac{C_2^3}{C_2^4}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

③ 一奇一偶：$3\times 3=9$ 種，機率 $\frac{9}{15}$。剩下 $2$ 奇 $2$ 偶，再抽兩張都奇數的機率 $\frac{1}{6}$。

④ 得 $90$ 元的機率

$$\frac{3}{15}\cdot \frac{1}{2}+\frac{9}{15}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}$$

⑤ 期望值 $200\cdot \frac{3}{15}+90\cdot \frac{1}{5}=40+18=58$（元）。

答案 $58$。

① $\overrightarrow{BC}=-\frac{6}{5}\overrightarrow{OA}$，兩向量平行，所以直線 $BC$ 與直線 $OA$（即 $L$）平行。

② 直線 $L$ 過 $O(0,0)$、$A(3,4)$，斜率 $\frac{4}{3}$。

答案：直線 $BC$ 的斜率為 $\frac{4}{3}$。

① $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5$，所以 $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\frac{6}{5}\times 5=6$。$\Gamma$ 的半徑也是 $5$。

② $\overline{BC}$ 是 $\Gamma$ 的弦，設 $M$ 為 $\overline{BC}$ 中點，則 $\overline{OM}\perp \overline{BC}$，$\overline{BM}=3$。

③ 在直角三角形 $OMB$ 中，$\overline{OM}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。

④ $L$ 過圓心 $O$ 且與 $BC$ 平行，兩平行線的距離就是 $O$ 到直線 $BC$ 的距離 $\overline{OM}$。

答案：$\left|\overrightarrow{BC}\right|=6$，直線 $BC$ 與 $L$ 的距離為 $4$。

① 直線 $BC$ 斜率 $\frac{4}{3}$，設為 $4x-3y+k=0$。$O$ 到它的距離為 $4$：

$$\frac{|k|}{\sqrt{4^2+3^2}}=4,k=\pm 20$$

② 若 $k=-20$，直線 $4x-3y=20$。與 $x^2+y^2=25$ 聯立，交點為 $(5,0)$ 與 $\left(\frac{7}{5},-\frac{24}{5}\right)$。

$\overrightarrow{BC}=\left(-\frac{18}{5},-\frac{24}{5}\right)$ 是往左下，所以 $B=(5,0)$、$C=\left(\frac{7}{5},-\frac{24}{5}\right)$，$C$ 在第四象限，符合。

③ 若 $k=20$，直線 $4x-3y=-20$，交點為 $\left(-\frac{7}{5},\frac{24}{5}\right)$ 與 $(-5,0)$，同理 $C=(-5,0)$，在 $x$ 軸上，不在第四象限。

答案：直線 $BC$ 為 $4x-3y=20$。