段考詳解範圍：極限與微分（數列的極限、無窮等比級數、函數的極限與連續、多項式函數的微分、切線）

興大附中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 113 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 113 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 7 題：三個交點的切線斜率兩兩相等要分三種情形討論，解出來還要去掉讓交點重合的值。多選第 6 題第 5 個選項：高斯函數乘上 x 之後在 0 是連續的，要左右分開算。選填第 4 題（本頁第 11 題）：根號的和沒有公式，要用 k 與 k 加 1 夾住再用夾擠定理。選填第 3 題（本頁第 10 題）：中間那一項的極限是負 1，不是 0。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、多選題 4 題（每題 10 分，共 40 分）、選填題 9 題（每題 5 分，共 45 分），合計 100 分；卷面第壹部分標題印「占48分」，與單選、多選合計 55 分不一致，照卷面原樣列出。答案已與學校原卷檔內逐題所附的答案核對，16 題全部一致。

第壹部分：選擇題（占48分）　一、單選題（占15分）　說明：第1題至第3題，每題5個選項，其中只有一個是最適當的答案，畫記在答案卡之「解答欄」。各題答對得5分；未作答、答錯或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

下面的式子中，何者正確？

(1) $\frac{2}{3} + \frac{2 ^{2}}{3 ^{2}} + \dots + \frac{2 ^{n}}{3 ^{n}} + \dots > 2$
(2) $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 ^{2}} + \dots + \frac{2}{3 ^{n}} + \dots > 1$
(3) $\frac{3}{4} + \frac{3}{4 ^{2}} + \dots + \frac{3}{4 ^{n}} + \dots = 1$
(4) $\frac{3}{10} + \frac{3}{1 0 ^{2}} + \dots + \frac{3}{1 0 ^{n}} + \dots > \frac{2}{5}$
(5) $0. \overline{9} < 1$

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a x ^{2} + ( a + 1 ) x - 6 a - 2}{x - 2}, 6, x \neq = 2 x = 2

，若

f (x)

在

x = 2

是連續的，則

a =

(1) $- 3$
(2) $- 2$
(3) $- 1$
(4) $0$
(5) $1$

假設

a

，

b

皆為非零實數，且坐標平面上二次函數

y = a x^{2} + b x

與一次函數

y = a x + b

的圖形相切。請選出切點所在位置為下列哪一個選項。

(1) 在 $x$ 軸上
(2) 在 $y$ 軸上
(3) 在第一象限
(4) 在第四象限
(5) 當 $a > 0$ 時，在第一象限；當 $a < 0$ 時，在第四象限

二、多選題（占40分）　說明：第4題至第7題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，選出正確選項畫記在答案卡之「解答欄」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得10分；答錯1個選項者，得6分；答錯2個選項者，得2分；所有選項均未作答或答錯多於2個選項者，該題以零分計算。

已知數列

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

、

⟨ c_{n} ⟩

、

⟨ d_{n} ⟩

、

⟨ e_{n} ⟩

定義如下：

a_{n} = (- 1)^{n}

；

b_{n} = a_{n} + a_{n - 1}

；

c_{n} = (\frac{- 10}{4})^{n}

；

d_{n} = \frac{1}{3} c_{n}

；

e_{n} = \frac{1}{c _{n}}

；其中

n = 1, 2, 3, \dots

。下列選項中，試選出會收斂的無窮級數。

(1) $n = 1 \sum \infty a_{n}$
(2) $n = 1 \sum \infty b_{n}$
(3) $n = 1 \sum \infty c_{n}$
(4) $n = 1 \sum \infty d_{n}$
(5) $n = 1 \sum \infty e_{n}$

函數

f (x)

滿足

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = 2

，下列選項哪些正確？

(1) $x \to 0 lim f (x) = 0$
(2) $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 2$
(3) $x \to 0 lim x f (x) = 0$
(4) $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} - 4} = 0$
(5) $x \to 0 lim \frac{x ^{3}}{f ( x )} = 0$

設

[x]

表示不大於

x

的最大整數，下列各選項的函數，哪些在

x = 0

處連續？

(1) $f (x) = ∣ x ∣$
(2) $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{∣ x ∣}{x}, 0, x \neq = 0 x = 0$
(3) $f (x) = x - [x]$
(4) $f_{1} (x) = x \cdot ∣ x ∣$
(5) $f_{2} (x) = x \cdot [x]$

設

a

為常數，曲線

y = x^{3} - (1 + a) x^{2} + a x

與

x

軸交於相異三點，若過此三點的切線，其中二條切線平行，則下列哪些選項可為

a

的值？

(1) $2$
(2) $- 2$
(3) $\frac{1}{2}$
(4) $- 3$
(5) $- 1$

第貳部分：選填題（占45分）　說明：1. 第A至J題，將答案畫記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 ( 7–30 )。2. A-H每題完全答對給5分。3. 答錯不倒扣，未完全答對不給分。（卷面實際為 9 題；本頁第 8～16 題依卷面順序為選填第 1～9 題）

已知

f (x) = x^{4} + 10 x - 1

，求

f^{'} (- 2) + f^{''} (- 2) =

____。

求

k = 1 \sum \infty \frac{2 ^{k} - 1}{5 ^{k}} =

____。（化為最簡分數）

試求

n \to \infty lim (\frac{( 0.9 ) ^{n}}{1 + ( 0.9 ) ^{n}} + \frac{5 ^{n}}{10000 - 5 ^{n}} + \frac{1 - ( 0.6 ) ^{n}}{1 + ( 0.6 ) ^{n}}) =

____。

設

a_{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n (n + 1)

，試求

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}} =

____。（化為最簡分數）

設

a

、

b \in R

，

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2} = 3

，則

(a, b) =

____。

如圖，假設有一邊長為

3

的正方形紙板，今將各邊三等分，則可分割成面積相等的

9

個小正方形，如果將此正方形中央的小正方形紙板除去，則剩下

8

個小正方形。依上述作法，在剩下的

8

個小正方形中，把每個小正方形再予以

9

等分，並分別除去中央的一個小正方形。如此繼續下去，試問除去的正方形紙板總面積為 ____。

載入中...

設

f (x)

為三次函數，且

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 6

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = - 3

，則

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x - 3} =

____。

設

a > 0

，

y = f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + (a + 1) x + 2

的圖形為

Γ

，若

Γ

的所有切線當中，斜率最小為

- 3

，則

a =

____。（化為最簡分數）

已知函數

f (x) = x^{3} - 8 x - 5

圖形上有兩條切線與直線

4 x - y + 5 = 0

平行，則此兩切線之間的距離為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(1)

第 4 題(2)(3)(4)

第 5 題(1)(3)(4)(5)

第 6 題(1)(4)(5)

第 7 題(1)(3)(5)

第 8 題

26

第 9 題

\frac{5}{12}

第 10 題

0

第 11 題

\frac{1}{2}

第 12 題

(- 1, - 2)

第 13 題

9

第 14 題

6

第 15 題

\frac{4}{3}

第 16 題

\frac{32 17}{17}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：無窮等比級數的和、接點連續、相切

第 1 題無窮等比級數在公比

∣ r ∣ < 1

時，和為

\frac{首項}{1 - r}

。(1) 首項

\frac{2}{3}

、公比

\frac{2}{3}

，和

= \frac{2/3}{1 - 2/3} = 2

，不是大於

2

。(2) 首項

\frac{2}{3}

、公比

\frac{1}{3}

，和

= \frac{2/3}{2/3} = 1

，不是大於

1

。(3) 首項

\frac{3}{4}

、公比

\frac{1}{4}

，和

= \frac{3/4}{3/4} = 1

，正確。(4) 首項

\frac{3}{10}

、公比

\frac{1}{10}

，和

= \frac{3/10}{9/10} = \frac{1}{3}

，而

\frac{1}{3} < \frac{2}{5}

，錯。(5)

0. \overline{9} = \frac{9/10}{1 - 1/10} = 1

，不是小於

1

。選 (3)。

(1)、(2)、(5) 的和都「等於」右邊的數，題目卻寫成大於或小於，要算出確切的和才分得出來。

第 2 題在

x = 2

連續，就是

x \to 2 lim f (x) = f (2) = 6

。分子在

x = 2

的值是

4 a + 2 (a + 1) - 6 a - 2 = 0

，所以分子有因式

x - 2

：

a x^{2} + (a + 1) x - 6 a - 2 = (x - 2) (a x + 3 a + 1)

。於是

x \neq = 2

時

f (x) = a x + 3 a + 1

，

x \to 2 lim f (x) = 5 a + 1

。令

5 a + 1 = 6

，得

a = 1

。選 (5)。

驗算：

a = 1

時分子

x^{2} + 2 x - 8 = (x - 2) (x + 4)

，

x \to 2

時趨近

6

。

第 3 題兩圖形的交點滿足

a x^{2} + b x = a x + b

，即

a x^{2} + (b - a) x - b = 0

。相切表示這個二次方程式有重根，判別式

(b - a)^{2} + 4 ab = (a + b)^{2} = 0

，所以

b = - a

。代回得

a x^{2} - 2 a x + a = a (x - 1)^{2} = 0

，切點的

x

坐標是

1

，

y

坐標是

a \cdot 1 + b = a + b = 0

。切點為

(1, 0)

，在

x

軸上。選 (1)。

也可以用斜率看：

y = a x^{2} + b x

在切點的切線斜率

2 a x + b

要等於直線的斜率

a

，配合

b = - a

一樣得到

x = 1

。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用首項除以 1 減公比。

02多選 4～5：級數的收斂、由已知極限推其他極限

第 4 題(1)

\sum a_{n} = - 1 + 1 - 1 + 1 - \dots

，前

n

項的和在

- 1

與

0

之間來回跳，不趨近一個定值，發散。(2)

n \geq 2

時

b_{n} = (- 1)^{n} + (- 1)^{n - 1} = (- 1)^{n - 1} (- 1 + 1) = 0

，所以不論第

1

項是多少，第

2

項起都是

0

，前

n

項的和固定是

b_{1}

，收斂。(3)

\sum c_{n}

是公比

r = - \frac{10}{4}

的無窮等比級數，因為

10 < 16

，

∣ r ∣ = \frac{10}{4} < 1

，收斂。(4)

d_{n} = \frac{1}{3} c_{n}

，公比同樣是

- \frac{10}{4}

，收斂（和是 (3) 的

\frac{1}{3}

）。(5)

e_{n} = (- \frac{4}{10})^{n}

，公比的絕對值

\frac{4}{10} > 1

，發散。選 (2)(3)(4)。

b_{1} = a_{1} + a_{0}

用到題目沒有定義的

a_{0}

（題目的

n

從

1

開始）；但級數收不收斂不受第

1

項影響，第

2

項起都是

0

就足以判斷。

第 5 題已知

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = 2

。(1)

f (x) = \frac{f ( x )}{x} \cdot x

，兩個因式的極限分別是

2

與

0

，所以

x \to 0 lim f (x) = 0

，正確。(2) 假如

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 2

，則

\frac{f ( x )}{x} = \frac{f ( x )}{x ^{2}} \cdot x

的極限會是

2 \cdot 0 = 0

，與已知的

2

矛盾，錯。(3)

x f (x)

的極限是

0 \cdot 0 = 0

，正確。(4) 分子趨近

0

，分母趨近

- 4

，極限是

\frac{0}{- 4} = 0

，正確。(5)

\frac{x ^{3}}{f ( x )} = x^{2} \cdot \frac{x}{f ( x )}

，其中

\frac{x}{f ( x )}

的極限是

\frac{1}{2}

，所以整個極限是

0 \cdot \frac{1}{2} = 0

，正確。選 (1)(3)(4)(5)。

(2) 實際上

\frac{f ( x )}{x ^{2}} = \frac{f ( x )}{x} \cdot \frac{1}{x}

，前面趨近

2

、後面的絕對值無限變大，極限不存在。

已知一個極限時，把要求的式子拆成「已知的那個式子」乘上另一個極限存在的式子。

03多選 6～7：在一點連續、三條切線的斜率

第 6 題在

x = 0

連續要左極限、右極限、函數值三者相等。(1)

x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0 = f (0)

，連續。(2)

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

，左右極限不相等，不連續。(3)

- 1 < x < 0

時

[x] = - 1

，

f (x) = x + 1

，左極限是

1

；

0 \leq x < 1

時

[x] = 0

，

f (x) = x

，右極限是

0

；左右不相等，不連續。(4)

x \to 0

時

x

與

∣ x ∣

都趨近

0

，

x \to 0 lim x ∣ x ∣ = 0 = f_{1} (0)

，連續。(5)

- 1 < x < 0

時

f_{2} (x) = x \cdot (- 1) = - x

，左極限是

0

；

0 \leq x < 1

時

f_{2} (x) = x \cdot 0 = 0

，右極限是

0

；

f_{2} (0) = 0

，三者相等，連續。選 (1)(4)(5)。

(5) 的

[x]

自己在

0

不連續，但乘上趨近

0

的

x

之後，左右兩邊都被壓到

0

。

第 7 題

y = x^{3} - (1 + a) x^{2} + a x = x (x - 1) (x - a)

，與

x

軸交於

x = 0, 1, a

；三點相異，所以

a \neq = 0

且

a \neq = 1

。

y^{'} = 3 x^{2} - 2 (1 + a) x + a

，三點的切線斜率分別是：

x = 0

時

a

；

x = 1

時

3 - 2 (1 + a) + a = 1 - a

；

x = a

時

3 a^{2} - 2 a (1 + a) + a = a^{2} - a

。其中兩條平行，就是有兩個斜率相等：

a = 1 - a

得

a = \frac{1}{2}

；

a = a^{2} - a

得

a = 0

或

2

，取

a = 2

；

1 - a = a^{2} - a

得

a^{2} = 1

，

a = \pm 1

，取

a = - 1

。所以

a

可為

2

、

\frac{1}{2}

、

- 1

。選 (1)(3)(5)。

求出的

a

要回頭檢查三個交點相異的條件，

a = 0

與

a = 1

都要去掉。

判斷在一點連續，高斯函數與絕對值都要把左邊、右邊分開寫出式子再取極限。

04選填 8～11（原卷選填第 1～4 題）：導數、無窮等比級數、數列的極限

第 8 題

f^{'} (x) = 4 x^{3} + 10

，

f^{''} (x) = 12 x^{2}

。

f^{'} (- 2) = 4 \cdot (- 8) + 10 = - 22

，

f^{''} (- 2) = 12 \cdot 4 = 48

，相加得

26

。

第 9 題

\frac{2 ^{k} - 1}{5 ^{k}} = (\frac{2}{5})^{k} - (\frac{1}{5})^{k}

，兩個都是公比絕對值小於

1

的無窮等比級數，可以分開求和：

k = 1 \sum \infty (\frac{2}{5})^{k} = \frac{2/5}{1 - 2/5} = \frac{2}{3}

，

k = 1 \sum \infty (\frac{1}{5})^{k} = \frac{1/5}{1 - 1/5} = \frac{1}{4}

。所求

= \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}

。

第 10 題

n \to \infty

時

(0.9)^{n} \to 0

、

(0.6)^{n} \to 0

。第一項趨近

\frac{0}{1 + 0} = 0

；第三項趨近

\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1

。第二項分子分母同除以

5^{n}

：

\frac{5 ^{n}}{10000 - 5 ^{n}} = \frac{1}{\frac{10000}{5 ^{n}} - 1} \to \frac{1}{0 - 1} = - 1

。三項的極限都存在，所求

= 0 + (- 1) + 1 = 0

。

第二項的

10000

再大也是定值，

5^{n}

會超過它；要除以

5^{n}

才看得出極限是

- 1

，不是

0

。

第 11 題每一項

k (k + 1)

夾在

k

與

k + 1

之間：

k = k^{2} < k (k + 1) < (k + 1)^{2} = k + 1

。對

k = 1

到

n

相加：

\frac{n ( n + 1 )}{2} < a_{n} < \frac{n ( n + 1 )}{2} + n = \frac{n ( n + 3 )}{2}

。同除以

n^{2}

：

\frac{n + 1}{2 n} < \frac{a _{n}}{n ^{2}} < \frac{n + 3}{2 n}

。左右兩式在

n \to \infty

時都趨近

\frac{1}{2}

，由夾擠定理，

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{2}

。

根號的和沒有公式可以直接加，先把每一項換成能相加的

k

與

k + 1

。

含 n 次方的極限，分子分母同除以成長最快的那一項。

05選填 12～14（原卷選填第 5～7 題）：由極限決定係數、挖洞正方形

第 12 題

x \to 2

時分母趨近

0

而極限存在，分子也要趨近

0

：

4 + 2 a + b = 0

，

b = - 2 a - 4

。分子

x^{2} + a x - 2 a - 4 = (x - 2) (x + 2 + a)

，約去

x - 2

後極限為

4 + a = 3

，所以

a = - 1

，

b = - 2

。

(a, b) = (- 1, - 2)

。

驗算：

\frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2} = x + 1

，

x \to 2

時趨近

3

。

第 13 題第一次：除去

1

個邊長

1

的小正方形，面積

1

。第二次：剩下的

8

個小正方形各除去中央邊長

\frac{1}{3}

的正方形，共

8

個，面積

8 \times \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

。第三次：前一次每個小正方形留下

8

塊，共

64

塊，各除去邊長

\frac{1}{9}

的正方形，面積

64 \times \frac{1}{81} = (\frac{8}{9})^{2}

。每次除去的面積是前一次的

\frac{8}{9}

倍（個數變

8

倍、每個面積變

\frac{1}{9}

），所以總面積是首項

1

、公比

\frac{8}{9}

的無窮等比級數：

\frac{1}{1 - \frac{8}{9}} = 9

。

原紙板的面積是

3 \times 3 = 9

，除去的總面積恰好等於整張紙板的面積。

第 14 題

x \to 1

時分母趨近

0

而極限存在，所以

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次函數，設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = (1 - 2) (p + q) = 6

，得

p + q = - 6

；

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = (2 - 1) (2 p + q) = - 3

，得

2 p + q = - 3

。解得

p = 3

，

q = - 9

，

f (x) = 3 (x - 1) (x - 2) (x - 3)

。所以

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x - 3} = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

。

解出來

p x + q = 3 (x - 3)

，

f (3)

恰好也是

0

，所以第三個極限存在。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定也趨近 0；多項式就多了一個因式。

06選填 15～16（原卷選填第 8～9 題）：切線斜率的最小值、平行切線的距離

第 15 題切線斜率是

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 a x + (a + 1) = 3 (x + a)^{2} - 3 a^{2} + a + 1

，在

x = - a

時有最小值

- 3 a^{2} + a + 1

。令

- 3 a^{2} + a + 1 = - 3

：

3 a^{2} - a - 4 = 0

，

(3 a - 4) (a + 1) = 0

，

a = \frac{4}{3}

或

a = - 1

。因為

a > 0

，

a = \frac{4}{3}

。

斜率

f^{'} (x)

是開口向上的二次函數，用配方法找最小值。

第 16 題直線

4 x - y + 5 = 0

的斜率是

4

。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 = 4

，得

x = \pm 2

。

x = 2

時

f (2) = 8 - 16 - 5 = - 13

，切線

y + 13 = 4 (x - 2)

，即

4 x - y - 21 = 0

。

x = - 2

時

f (- 2) = - 8 + 16 - 5 = 3

，切線

y - 3 = 4 (x + 2)

，即

4 x - y + 11 = 0

。兩平行線的距離

= \frac{∣11 - ( - 21 ) ∣}{4 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{32}{17} = \frac{32 17}{17}

。

兩條切線都與

4 x - y + 5 = 0

不重合（常數項分別是

- 21

、

11

），確實是兩條平行的切線。

切線斜率就是導數值；要找斜率的最大或最小，就對導函數這個二次函數配方。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

興大附中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 16 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 7 題：三個交點的切線斜率兩兩相等要分三種情形討論，解出來還要去掉讓交點重合的值。多選第 6 題第 5 個選項：高斯函數乘上 x 之後在 0 是連續的，要左右分開算。選填第 4 題（本頁第 11 題）：根號的和沒有公式，要用 k 與 k 加 1 夾住再用夾擠定理。選填第 3 題（本頁第 10 題）：中間那一項的極限是負 1，不是 0。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自興大附中 113 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與微分（數列的極限、無窮等比級數、函數的極限與連續、多項式函數的微分、切線）

興大附中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

下面的式子中，何者正確？

(1) $\frac{2}{3} + \frac{2 ^{2}}{3 ^{2}} + \dots + \frac{2 ^{n}}{3 ^{n}} + \dots > 2$
(2) $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 ^{2}} + \dots + \frac{2}{3 ^{n}} + \dots > 1$
(3) $\frac{3}{4} + \frac{3}{4 ^{2}} + \dots + \frac{3}{4 ^{n}} + \dots = 1$
(4) $\frac{3}{10} + \frac{3}{1 0 ^{2}} + \dots + \frac{3}{1 0 ^{n}} + \dots > \frac{2}{5}$
(5) $0. \overline{9} < 1$

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a x ^{2} + ( a + 1 ) x - 6 a - 2}{x - 2}, 6, x \neq = 2 x = 2

，若

f (x)

在

x = 2

是連續的，則

a =

(1) $- 3$
(2) $- 2$
(3) $- 1$
(4) $0$
(5) $1$

假設

a

，

b

皆為非零實數，且坐標平面上二次函數

y = a x^{2} + b x

與一次函數

y = a x + b

的圖形相切。請選出切點所在位置為下列哪一個選項。

(1) 在 $x$ 軸上
(2) 在 $y$ 軸上
(3) 在第一象限
(4) 在第四象限
(5) 當 $a > 0$ 時，在第一象限；當 $a < 0$ 時，在第四象限

已知數列

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

、

⟨ c_{n} ⟩

、

⟨ d_{n} ⟩

、

⟨ e_{n} ⟩

定義如下：

a_{n} = (- 1)^{n}

；

b_{n} = a_{n} + a_{n - 1}

；

c_{n} = (\frac{- 10}{4})^{n}

；

d_{n} = \frac{1}{3} c_{n}

；

e_{n} = \frac{1}{c _{n}}

；其中

n = 1, 2, 3, \dots

。下列選項中，試選出會收斂的無窮級數。

(1) $n = 1 \sum \infty a_{n}$
(2) $n = 1 \sum \infty b_{n}$
(3) $n = 1 \sum \infty c_{n}$
(4) $n = 1 \sum \infty d_{n}$
(5) $n = 1 \sum \infty e_{n}$

函數

f (x)

滿足

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = 2

，下列選項哪些正確？

(1) $x \to 0 lim f (x) = 0$
(2) $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 2$
(3) $x \to 0 lim x f (x) = 0$
(4) $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} - 4} = 0$
(5) $x \to 0 lim \frac{x ^{3}}{f ( x )} = 0$

設

[x]

表示不大於

x

的最大整數，下列各選項的函數，哪些在

x = 0

處連續？

(1) $f (x) = ∣ x ∣$
(2) $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{∣ x ∣}{x}, 0, x \neq = 0 x = 0$
(3) $f (x) = x - [x]$
(4) $f_{1} (x) = x \cdot ∣ x ∣$
(5) $f_{2} (x) = x \cdot [x]$

設

a

為常數，曲線

y = x^{3} - (1 + a) x^{2} + a x

與

x

軸交於相異三點，若過此三點的切線，其中二條切線平行，則下列哪些選項可為

a

的值？

(1) $2$
(2) $- 2$
(3) $\frac{1}{2}$
(4) $- 3$
(5) $- 1$

已知

f (x) = x^{4} + 10 x - 1

，求

f^{'} (- 2) + f^{''} (- 2) =

____。

求

k = 1 \sum \infty \frac{2 ^{k} - 1}{5 ^{k}} =

____。（化為最簡分數）

試求

n \to \infty lim (\frac{( 0.9 ) ^{n}}{1 + ( 0.9 ) ^{n}} + \frac{5 ^{n}}{10000 - 5 ^{n}} + \frac{1 - ( 0.6 ) ^{n}}{1 + ( 0.6 ) ^{n}}) =

____。

設

a_{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n (n + 1)

，試求

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}} =

____。（化為最簡分數）

設

a

、

b \in R

，

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2} = 3

，則

(a, b) =

____。

如圖，假設有一邊長為

3

的正方形紙板，今將各邊三等分，則可分割成面積相等的

9

個小正方形，如果將此正方形中央的小正方形紙板除去，則剩下

8

個小正方形。依上述作法，在剩下的

8

個小正方形中，把每個小正方形再予以

9

等分，並分別除去中央的一個小正方形。如此繼續下去，試問除去的正方形紙板總面積為 ____。

載入中...

設

f (x)

為三次函數，且

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 6

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = - 3

，則

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x - 3} =

____。

設

a > 0

，

y = f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + (a + 1) x + 2

的圖形為

Γ

，若

Γ

的所有切線當中，斜率最小為

- 3

，則

a =

____。（化為最簡分數）

已知函數

f (x) = x^{3} - 8 x - 5

圖形上有兩條切線與直線

4 x - y + 5 = 0

平行，則此兩切線之間的距離為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(5)

第 3 題(1)

第 4 題(2)(3)(4)

第 5 題(1)(3)(4)(5)

第 6 題(1)(4)(5)

第 7 題(1)(3)(5)

第 8 題

26

第 9 題

\frac{5}{12}

第 10 題

0

第 11 題

\frac{1}{2}

第 12 題

(- 1, - 2)

第 13 題

9

第 14 題

6

第 15 題

\frac{4}{3}

第 16 題

\frac{32 17}{17}

03 · 勾錯題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：無窮等比級數的和、接點連續、相切

第 1 題無窮等比級數在公比

∣ r ∣ < 1

時，和為

\frac{首項}{1 - r}

。(1) 首項

\frac{2}{3}

、公比

\frac{2}{3}

，和

= \frac{2/3}{1 - 2/3} = 2

，不是大於

2

。(2) 首項

\frac{2}{3}

、公比

\frac{1}{3}

，和

= \frac{2/3}{2/3} = 1

，不是大於

1

。(3) 首項

\frac{3}{4}

、公比

\frac{1}{4}

，和

= \frac{3/4}{3/4} = 1

，正確。(4) 首項

\frac{3}{10}

、公比

\frac{1}{10}

，和

= \frac{3/10}{9/10} = \frac{1}{3}

，而

\frac{1}{3} < \frac{2}{5}

，錯。(5)

0. \overline{9} = \frac{9/10}{1 - 1/10} = 1

，不是小於

1

。選 (3)。

(1)、(2)、(5) 的和都「等於」右邊的數，題目卻寫成大於或小於，要算出確切的和才分得出來。

第 2 題在

x = 2

連續，就是

x \to 2 lim f (x) = f (2) = 6

。分子在

x = 2

的值是

4 a + 2 (a + 1) - 6 a - 2 = 0

，所以分子有因式

x - 2

：

a x^{2} + (a + 1) x - 6 a - 2 = (x - 2) (a x + 3 a + 1)

。於是

x \neq = 2

時

f (x) = a x + 3 a + 1

，

x \to 2 lim f (x) = 5 a + 1

。令

5 a + 1 = 6

，得

a = 1

。選 (5)。

驗算：

a = 1

時分子

x^{2} + 2 x - 8 = (x - 2) (x + 4)

，

x \to 2

時趨近

6

。

第 3 題兩圖形的交點滿足

a x^{2} + b x = a x + b

，即

a x^{2} + (b - a) x - b = 0

。相切表示這個二次方程式有重根，判別式

(b - a)^{2} + 4 ab = (a + b)^{2} = 0

，所以

b = - a

。代回得

a x^{2} - 2 a x + a = a (x - 1)^{2} = 0

，切點的

x

坐標是

1

，

y

坐標是

a \cdot 1 + b = a + b = 0

。切點為

(1, 0)

，在

x

軸上。選 (1)。

也可以用斜率看：

y = a x^{2} + b x

在切點的切線斜率

2 a x + b

要等於直線的斜率

a

，配合

b = - a

一樣得到

x = 1

。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用首項除以 1 減公比。

02多選 4～5：級數的收斂、由已知極限推其他極限

第 4 題(1)

\sum a_{n} = - 1 + 1 - 1 + 1 - \dots

，前

n

項的和在

- 1

與

0

之間來回跳，不趨近一個定值，發散。(2)

n \geq 2

時

b_{n} = (- 1)^{n} + (- 1)^{n - 1} = (- 1)^{n - 1} (- 1 + 1) = 0

，所以不論第

1

項是多少，第

2

項起都是

0

，前

n

項的和固定是

b_{1}

，收斂。(3)

\sum c_{n}

是公比

r = - \frac{10}{4}

的無窮等比級數，因為

10 < 16

，

∣ r ∣ = \frac{10}{4} < 1

，收斂。(4)

d_{n} = \frac{1}{3} c_{n}

，公比同樣是

- \frac{10}{4}

，收斂（和是 (3) 的

\frac{1}{3}

）。(5)

e_{n} = (- \frac{4}{10})^{n}

，公比的絕對值

\frac{4}{10} > 1

，發散。選 (2)(3)(4)。

b_{1} = a_{1} + a_{0}

用到題目沒有定義的

a_{0}

（題目的

n

從

1

開始）；但級數收不收斂不受第

1

項影響，第

2

項起都是

0

就足以判斷。

第 5 題已知

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = 2

。(1)

f (x) = \frac{f ( x )}{x} \cdot x

，兩個因式的極限分別是

2

與

0

，所以

x \to 0 lim f (x) = 0

，正確。(2) 假如

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 2

，則

\frac{f ( x )}{x} = \frac{f ( x )}{x ^{2}} \cdot x

的極限會是

2 \cdot 0 = 0

，與已知的

2

矛盾，錯。(3)

x f (x)

的極限是

0 \cdot 0 = 0

，正確。(4) 分子趨近

0

，分母趨近

- 4

，極限是

\frac{0}{- 4} = 0

，正確。(5)

\frac{x ^{3}}{f ( x )} = x^{2} \cdot \frac{x}{f ( x )}

，其中

\frac{x}{f ( x )}

的極限是

\frac{1}{2}

，所以整個極限是

0 \cdot \frac{1}{2} = 0

，正確。選 (1)(3)(4)(5)。

(2) 實際上

\frac{f ( x )}{x ^{2}} = \frac{f ( x )}{x} \cdot \frac{1}{x}

，前面趨近

2

、後面的絕對值無限變大，極限不存在。

已知一個極限時，把要求的式子拆成「已知的那個式子」乘上另一個極限存在的式子。

03多選 6～7：在一點連續、三條切線的斜率

第 6 題在

x = 0

連續要左極限、右極限、函數值三者相等。(1)

x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0 = f (0)

，連續。(2)

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = - 1

，左右極限不相等，不連續。(3)

- 1 < x < 0

時

[x] = - 1

，

f (x) = x + 1

，左極限是

1

；

0 \leq x < 1

時

[x] = 0

，

f (x) = x

，右極限是

0

；左右不相等，不連續。(4)

x \to 0

時

x

與

∣ x ∣

都趨近

0

，

x \to 0 lim x ∣ x ∣ = 0 = f_{1} (0)

，連續。(5)

- 1 < x < 0

時

f_{2} (x) = x \cdot (- 1) = - x

，左極限是

0

；

0 \leq x < 1

時

f_{2} (x) = x \cdot 0 = 0

，右極限是

0

；

f_{2} (0) = 0

，三者相等，連續。選 (1)(4)(5)。

(5) 的

[x]

自己在

0

不連續，但乘上趨近

0

的

x

之後，左右兩邊都被壓到

0

。

第 7 題

y = x^{3} - (1 + a) x^{2} + a x = x (x - 1) (x - a)

，與

x

軸交於

x = 0, 1, a

；三點相異，所以

a \neq = 0

且

a \neq = 1

。

y^{'} = 3 x^{2} - 2 (1 + a) x + a

，三點的切線斜率分別是：

x = 0

時

a

；

x = 1

時

3 - 2 (1 + a) + a = 1 - a

；

x = a

時

3 a^{2} - 2 a (1 + a) + a = a^{2} - a

。其中兩條平行，就是有兩個斜率相等：

a = 1 - a

得

a = \frac{1}{2}

；

a = a^{2} - a

得

a = 0

或

2

，取

a = 2

；

1 - a = a^{2} - a

得

a^{2} = 1

，

a = \pm 1

，取

a = - 1

。所以

a

可為

2

、

\frac{1}{2}

、

- 1

。選 (1)(3)(5)。

求出的

a

要回頭檢查三個交點相異的條件，

a = 0

與

a = 1

都要去掉。

判斷在一點連續，高斯函數與絕對值都要把左邊、右邊分開寫出式子再取極限。

04選填 8～11（原卷選填第 1～4 題）：導數、無窮等比級數、數列的極限

第 8 題

f^{'} (x) = 4 x^{3} + 10

，

f^{''} (x) = 12 x^{2}

。

f^{'} (- 2) = 4 \cdot (- 8) + 10 = - 22

，

f^{''} (- 2) = 12 \cdot 4 = 48

，相加得

26

。

第 9 題

\frac{2 ^{k} - 1}{5 ^{k}} = (\frac{2}{5})^{k} - (\frac{1}{5})^{k}

，兩個都是公比絕對值小於

1

的無窮等比級數，可以分開求和：

k = 1 \sum \infty (\frac{2}{5})^{k} = \frac{2/5}{1 - 2/5} = \frac{2}{3}

，

k = 1 \sum \infty (\frac{1}{5})^{k} = \frac{1/5}{1 - 1/5} = \frac{1}{4}

。所求

= \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}

。

第 10 題

n \to \infty

時

(0.9)^{n} \to 0

、

(0.6)^{n} \to 0

。第一項趨近

\frac{0}{1 + 0} = 0

；第三項趨近

\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1

。第二項分子分母同除以

5^{n}

：

\frac{5 ^{n}}{10000 - 5 ^{n}} = \frac{1}{\frac{10000}{5 ^{n}} - 1} \to \frac{1}{0 - 1} = - 1

。三項的極限都存在，所求

= 0 + (- 1) + 1 = 0

。

第二項的

10000

再大也是定值，

5^{n}

會超過它；要除以

5^{n}

才看得出極限是

- 1

，不是

0

。

第 11 題每一項

k (k + 1)

夾在

k

與

k + 1

之間：

k = k^{2} < k (k + 1) < (k + 1)^{2} = k + 1

。對

k = 1

到

n

相加：

\frac{n ( n + 1 )}{2} < a_{n} < \frac{n ( n + 1 )}{2} + n = \frac{n ( n + 3 )}{2}

。同除以

n^{2}

：

\frac{n + 1}{2 n} < \frac{a _{n}}{n ^{2}} < \frac{n + 3}{2 n}

。左右兩式在

n \to \infty

時都趨近

\frac{1}{2}

，由夾擠定理，

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{2}

。

根號的和沒有公式可以直接加，先把每一項換成能相加的

k

與

k + 1

。

含 n 次方的極限，分子分母同除以成長最快的那一項。

05選填 12～14（原卷選填第 5～7 題）：由極限決定係數、挖洞正方形

第 12 題

x \to 2

時分母趨近

0

而極限存在，分子也要趨近

0

：

4 + 2 a + b = 0

，

b = - 2 a - 4

。分子

x^{2} + a x - 2 a - 4 = (x - 2) (x + 2 + a)

，約去

x - 2

後極限為

4 + a = 3

，所以

a = - 1

，

b = - 2

。

(a, b) = (- 1, - 2)

。

驗算：

\frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2} = x + 1

，

x \to 2

時趨近

3

。

第 13 題第一次：除去

1

個邊長

1

的小正方形，面積

1

。第二次：剩下的

8

個小正方形各除去中央邊長

\frac{1}{3}

的正方形，共

8

個，面積

8 \times \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

。第三次：前一次每個小正方形留下

8

塊，共

64

塊，各除去邊長

\frac{1}{9}

的正方形，面積

64 \times \frac{1}{81} = (\frac{8}{9})^{2}

。每次除去的面積是前一次的

\frac{8}{9}

倍（個數變

8

倍、每個面積變

\frac{1}{9}

），所以總面積是首項

1

、公比

\frac{8}{9}

的無窮等比級數：

\frac{1}{1 - \frac{8}{9}} = 9

。

原紙板的面積是

3 \times 3 = 9

，除去的總面積恰好等於整張紙板的面積。

第 14 題

x \to 1

時分母趨近

0

而極限存在，所以

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。

f (x)

是三次函數，設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = (1 - 2) (p + q) = 6

，得

p + q = - 6

；

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = (2 - 1) (2 p + q) = - 3

，得

2 p + q = - 3

。解得

p = 3

，

q = - 9

，

f (x) = 3 (x - 1) (x - 2) (x - 3)

。所以

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x - 3} = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

。

解出來

p x + q = 3 (x - 3)

，

f (3)

恰好也是

0

，所以第三個極限存在。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定也趨近 0；多項式就多了一個因式。

06選填 15～16（原卷選填第 8～9 題）：切線斜率的最小值、平行切線的距離

第 15 題切線斜率是

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 a x + (a + 1) = 3 (x + a)^{2} - 3 a^{2} + a + 1

，在

x = - a

時有最小值

- 3 a^{2} + a + 1

。令

- 3 a^{2} + a + 1 = - 3

：

3 a^{2} - a - 4 = 0

，

(3 a - 4) (a + 1) = 0

，

a = \frac{4}{3}

或

a = - 1

。因為

a > 0

，

a = \frac{4}{3}

。

斜率

f^{'} (x)

是開口向上的二次函數，用配方法找最小值。

第 16 題直線

4 x - y + 5 = 0

的斜率是

4

。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 = 4

，得

x = \pm 2

。

x = 2

時

f (2) = 8 - 16 - 5 = - 13

，切線

y + 13 = 4 (x - 2)

，即

4 x - y - 21 = 0

。

x = - 2

時

f (- 2) = - 8 + 16 - 5 = 3

，切線

y - 3 = 4 (x + 2)

，即

4 x - y + 11 = 0

。兩平行線的距離

= \frac{∣11 - ( - 21 ) ∣}{4 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{32}{17} = \frac{32 17}{17}

。

兩條切線都與

4 x - y + 5 = 0

不重合（常數項分別是

- 21

、

11

），確實是兩條平行的切線。

切線斜率就是導數值；要找斜率的最大或最小，就對導函數這個二次函數配方。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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02多選 4～5：級數的收斂、由已知極限推其他極限

03多選 6～7：在一點連續、三條切線的斜率

04選填 8～11（原卷選填第 1～4 題）：導數、無窮等比級數、數列的極限

05選填 12～14（原卷選填第 5～7 題）：由極限決定係數、挖洞正方形

06選填 15～16（原卷選填第 8～9 題）：切線斜率的最小值、平行切線的距離

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高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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