段考詳解範圍：導函數的應用與積分（單調性、極值、凹凸與反曲點、一次估計、黎曼和與定積分、微積分基本定理、面積、位移、旋轉體體積）

興大附中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多重選擇題 6 題（36 分）、選填題 A～I 共 11 格（55 分）、混合題 1 題 2 小題（9 分），合計 100 分。本頁第 7～17 題依序為原卷選填 A、B、C、D(1)、D(2)、E、F、G、H(1)、H(2)、I，第 18、19 題為原卷混合題的第 (1)、(2) 小題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

壹、多重選擇題：36 分　說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 6 分；答錯 1 個選項者，得 3.6 分；答錯 2 個選項者，得 1.2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設

f^{'} (x)

表示實係數多項式函數

f (x)

的導函數，已知

y = f^{'} (x)

的圖形是一個通過點

(- 1, 0)

和點

(2, 0)

且開口向下的拋物線，試問下列哪些選項是正確的？

(1) $f (x)$ 是三次多項式函數
(2) $f (x)$ 在 $- 1 < x < 2$ 的範圍內為遞減函數
(3) $f (x)$ 恰有兩個極值
(4) 若 $f (- 1) f (2) < 0$ ，則 $f (x)$ 在區間 $(- 1, 2)$ 有 $3$ 個實根
(5) 若 $f (- 1) f (2) > 0$ ，則 $f (x) = 0$ 沒有實根

函數

f (x) = x^{2}

的圖形與直線

y = 0

x = 0

及

x = 2

所圍成的區域面積為

R

，將閉區間

[0, 2]

平分為

n

等分後，設其下和為

L_{n}

，上和為

U_{n}

，下列選項何者正確？

(1) $L_{10} < U_{10}$
(2) $L_{10} > U_{5}$
(3) $L_{10} < R$
(4) $U_{4} - L_{4} < 1$
(5) $n \to \infty lim (U_{n} - L_{n}) = 0$

如圖為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，其中點

(0, - 2)

為圖形的反曲點，虛線為過反曲點的切線。選出正確的選項。

(1) $a < 0$
(2) $b < 0$
(3) $c = 0$
(4) $d < 0$
(5) $b^{2} - 3 a c = 0$

載入中...

如圖是多項式函數

f (x)

的圖形在閉區間

[0, 5]

與

x

軸所圍成區域，設鋪色部分的面積為

2

，且知

\int_{0}^{5} f (x) d x = 4

，選出正確的選項：

(1) $\int_{3}^{5} f (x) d x = 2$
(2) $\int_{0}^{3} f (x) d x = 6$
(3) $\int_{3}^{5} - 3 f (x) d x = - 6$
(4) $\int_{0}^{5} (f (x) + 1) d x = 10$
(5) 函數 $f (x)$ 圖形在閉區間 $[0, 5]$ 與 $x$ 軸所圍成區域面積為 $8$

載入中...

設函數

f (x) = - 3 x^{2} + 108

且

a = \int_{0}^{5} f (x) d x

，

b = n = 0 \sum 4 f (n)

，

c = n = 1 \sum 5 f (n)

，下列何者為真？

(1) $a$ 表示 $f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸, $x = 0$ 及 $x = 5$ 所圍成的區域面積
(2) $a = 415$
(3) $b > c$
(4) $b < 415$
(5) $c < 415$

已知函數

f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 10

，則下列哪些選項是正確的？

(1) 函數 $f (x)$ 在 $x = 1$ 附近的一次估計為 $6 x + 9$
(2) $f (0.99)$ 的值四捨五入至小數第二位為 $14.94$
(3) $y = f (x)$ 圖形的對稱中心為 $(1, 15)$
(4) 若點 $(r, s)$ 在 $y = f (x)$ 的圖形上，則點 $(1 - r, 15 - s)$ 也在 $y = f (x)$ 的圖形上
(5) 函數 $y = f (x)$ 的圖形與任一水平直線恰有一交點

貳、選填題：55 分　說明：1. 第 A 至 I 題，將答案畫記在答案卡之所標示的列號（7–28）。2. 第 A 至 I 題：共 11 格，每格完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。3. 若答案為分數，必須化為最簡分數；若為根式，必須化為最簡根式。並注意分子、分母的列號順序。

已知

f (x) = ∣ x - 1∣ + ∣ x - 2∣

，求

\int_{0}^{5} f (x) d x =

____。

設函數

f (x) = 2 x^{3} - k x^{2} + 6 x + 3

為嚴格遞增函數，則係數

k

的範圍為

a \leq k \leq b

，則

a - b =

____。

若

a

為實數，多項式方程式

2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x + a = 0

有二個相異實根，則

a

的最大值為 ____。

選填 D（第 10～11 題）　甲、乙兩人參加路跑，跑道上有

A

、

B

兩休息站。當兩人同時通過

A

站時，甲以速度函數

v (t) = - t^{2} - 2 t + 16

（公里/小時）減速前行，乙以等速度前行。已知經過

3

小時，兩人又同時通過

B

站。求

(1)

A

、

B

兩休息站距離為 ____（公里）。

(2) 乙的速度為 ____（公里/小時）。

求內接於

y = - x^{2} + 9

與

x

軸所圍成區域的長方形的最大面積為

a b

（最簡根式），則

(a, b) =

____。

已知多項式

f (x)

滿足

f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x [\int_{0}^{2} f (x) d x] + 3

，試求

\int_{0}^{2} f (x) d x =

____。

設

F (x) = \int_{1}^{x} (8 t^{5} + 4 t^{3} - 1) d t

，試求

x \to 1 lim \frac{F ( x )}{x - 1} =

____。

選填 H（第 15～16 題）　已知

a

為正實數，且函數

f (x)

滿足

\int_{a}^{x} f (t) d t = x^{2} - 5 x - 6

，則

(1)

f (1) =

____。

(2)

a =

____。

如圖為一圓半徑

6

，求鋪色部分(扇形

A O B

)繞

x

軸旋轉一圈所得旋轉體體積為 ____

π

。

載入中...

參、混合題：9 分　請用黑色之墨水筆於「答案卷」上詳列算式過程，未於答案卷上作答者，以零分計算，占 9 分

混合題（第 18～19 題）　某縣市的「烏金溪」有段蜿蜒河道，從空拍地圖上建立了坐標系(單位：公里)，發現河川恰好符合一個三次函數

f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 4 x

。市府計畫在河邊蓋一個步道，從

P (1, 0)

這裡開始，沿著

P

點的河川切線方向，開鑿一條筆直的步道。這步道將會在下游的某個點連接河川。試問：

(1) 此項工程中，步道在

P (1, 0)

點筆直開鑿後，預計會在坐標地圖上的哪一個點連接河川？（請寫出交點坐標）(5 分)

(2) 河川與步道之間所夾的空地，政府預計將其改建為一座公園。請問這座公園的面積多少平方公里？(4 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(3)

第 2 題(1)(3)(5)

第 3 題(1)(4)

第 4 題(2)(5)

第 5 題(1)(2)(3)(5)

第 6 題(1)(2)(5)

第 7 題

15

第 8 題

- 12

第 9 題

- 4

第 10 題

30

第 11 題

10

第 12 題

(12, 3)

第 13 題

6

第 14 題

11

第 15 題

- 3

第 16 題

6

第 17 題

72

第 18 題

(3, - 6)

第 19 題

\frac{4}{3}

平方公里

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～3：由導函數看原函數、上和與下和、反曲點與係數

第 1 題

答案 (1)(3)。拋物線開口向下且通過 $(- 1, 0)$ 、 $(2, 0)$ ，可設 $f^{'} (x) = k (x + 1) (x - 2)$ ， $k < 0$ 。

正確。 (1) $f^{'} (x)$ 是二次式，所以 $f (x)$ 是三次多項式函數。

錯誤。 (2) 當 $- 1 < x < 2$ 時， $x + 1 > 0$ 、 $x - 2 < 0$ ， $k < 0$ ，所以 $f^{'} (x) > 0$ ， $f (x)$ 在這段遞增，不是遞減。

正確。 (3) $f^{'} (x)$ 在 $x = - 1$ 由負變正， $f (- 1)$ 是極小值；在 $x = 2$ 由正變負， $f (2)$ 是極大值，恰有兩個極值。

錯誤。 (4) $f (x)$ 在 $[- 1, 2]$ 上遞增，所以 $f (- 1) < f (2)$ ； $f (- 1) f (2) < 0$ 表示 $f (- 1) < 0 < f (2)$ 。遞增函數在 $(- 1, 2)$ 只會穿過 $x$ 軸一次，恰有 $1$ 個實根，不是 $3$ 個。

錯誤。 (5) 例如 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 10$ ， $f^{'} (x) = - (x + 1) (x - 2)$ 符合題意，且 $f (- 1) = \frac{53}{6} > 0$ 、 $f (2) = \frac{40}{3} > 0$ 。但三次函數在 $x \to \infty$ 與 $x \to - \infty$ 時一正一負，一定至少有一個實根，所以「沒有實根」不成立。

f^{'} (x)

的圖形在

x

軸上方的那一段，

f (x)

才是遞增；開口向下的拋物線是兩根之間在上方。

第 2 題

答案 (1)(3)(5)。 $f (x) = x^{2}$ 在 $[0, 2]$ 遞增，每一小段的最小值在左端點、最大值在右端點，每段寬 $\frac{2}{n}$ ：

$L_{n} = \frac{2}{n} k = 0 \sum n - 1 (\frac{2 k}{n})^{2} = \frac{8}{n ^{3}} \cdot \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6}, U_{n} = \frac{2}{n} k = 1 \sum n (\frac{2 k}{n})^{2} = \frac{8}{n ^{3}} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$

算得 $L_{10} = 2.28$ ， $U_{10} = 3.08$ ， $U_{5} = 3.52$ ， $R = \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3}$ 。又 $U_{n} - L_{n}$ 只差在第一段與最後一段： $U_{n} - L_{n} = \frac{2}{n} (f (2) - f (0)) = \frac{8}{n}$ 。

正確。 (1) $2.28 < 3.08$ 。

錯誤。 (2) $L_{10} = 2.28 < 3.52 = U_{5}$ 。

正確。 (3) 下和小於面積， $2.28 < \frac{8}{3}$ 。

錯誤。 (4) $U_{4} - L_{4} = \frac{8}{4} = 2$ ，不小於 $1$ 。

正確。 (5) $U_{n} - L_{n} = \frac{8}{n} \to 0$ 。

(2) 下和不論分得多細都比面積

\frac{8}{3}

小，上和不論分得多粗都比面積大，所以任何一個下和都小於任何一個上和，不必算也知道 (2) 錯。

第 3 題

答案 (1)(4)。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ ， $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ 。

正確。 (1) 由圖， $x$ 很大時 $f (x)$ 往下趨近負無限大，所以首項係數 $a < 0$ 。

錯誤。 (2) $(0, - 2)$ 是反曲點， $f^{''} (0) = 2 b = 0$ ，所以 $b = 0$ ，不是負的。

錯誤。 (3) 切線斜率 $f^{'} (0) = c$ ；過反曲點的切線（虛線）往右下傾斜，斜率為負，所以 $c < 0$ 。

正確。 (4) 圖形通過 $(0, - 2)$ ， $f (0) = d = - 2 < 0$ 。

錯誤。 (5) $b^{2} - 3 a c = 0 - 3 a c$ ； $a < 0$ 、 $c < 0$ 使 $a c > 0$ ，所以 $b^{2} - 3 a c < 0$ ，不等於 $0$ 。

b^{2} - 3 a c

正是

f^{'} (x) = 0

的判別式除以

4

；圖形一路下降、沒有極值，代表

f^{'} (x) = 0

沒有相異兩實根，判別式不會是正的，由

a

、

c

的正負可知它是負的。

看三次函數的圖形判斷係數：最右邊往上或往下看 a，反曲點看 b，切線斜率看 c，與 y 軸的交點看 d。

02多選 4～6：定積分與面積、定積分與函數值的和、一次估計與對稱中心

第 4 題

答案 (2)(5)。由圖， $f (x)$ 在 $0 \leq x \leq 3$ 時不小於 $0$ ，在 $3 \leq x \leq 5$ 時不大於 $0$ ；鋪色部分在 $x$ 軸下方，面積 $2$ ，所以 $\int_{3}^{5} f (x) d x = - 2$ 。

錯誤。 (1) $\int_{3}^{5} f (x) d x = - 2$ ，不是 $2$ 。

正確。 (2) $\int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{5} f (x) d x - \int_{3}^{5} f (x) d x = 4 - (- 2) = 6$ 。

錯誤。 (3) $\int_{3}^{5} - 3 f (x) d x = - 3 \int_{3}^{5} f (x) d x = - 3 \times (- 2) = 6$ ，不是 $- 6$ 。

錯誤。 (4) $\int_{0}^{5} (f (x) + 1) d x = \int_{0}^{5} f (x) d x + \int_{0}^{5} 1 d x = 4 + 5 = 9$ ，不是 $10$ 。

正確。 (5) 面積要把 $x$ 軸下方的部分取正值相加： $6 + 2 = 8$ 。

定積分是「上方面積減下方面積」，面積則是兩者相加；

4

是

6 - 2

，

8

是

6 + 2

。

第 5 題

答案 (1)(2)(3)(5)。

正確。 (1) $f (x) = - 3 x^{2} + 108 = 0$ 的根是 $x = \pm 6$ ，所以 $0 \leq x \leq 5$ 時 $f (x) > 0$ （例如 $f (5) = 33$ ），圖形在 $x$ 軸上方，定積分 $a$ 就是所圍區域的面積。

正確。 (2) $a = \int_{0}^{5} (- 3 x^{2} + 108) d x = [- x^{3} + 108 x]_{0}^{5} = - 125 + 540 = 415$ 。

正確。 (3) $b - c = f (0) - f (5) = 108 - 33 = 75 > 0$ ，所以 $b > c$ 。

錯誤。 (4) $b = 108 \times 5 - 3 (0 + 1 + 4 + 9 + 16) = 540 - 90 = 450 > 415$ 。

正確。 (5) $c = 108 \times 5 - 3 (1 + 4 + 9 + 16 + 25) = 540 - 165 = 375 < 415$ 。

f

在

[0, 5]

遞減，

b

是每段寬

1

取左端點的上和、

c

是取右端點的下和，所以

c < a < b

，與算出來的

375 < 415 < 450

一致。

第 6 題

答案 (1)(2)(5)。 $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x + 6$ ， $f^{''} (x) = 12 x - 6$ 。

正確。 (1) $f (1) = 2 - 3 + 6 + 10 = 15$ ， $f^{'} (1) = 6$ ，一次估計為 $y = 15 + 6 (x - 1) = 6 x + 9$ 。

正確。 (2) 用一次估計， $f (0.99) \approx 6 \times 0.99 + 9 = 14.94$ ；直接計算 $f (0.99) = 14.940298$ ，四捨五入至小數第二位為 $14.94$ 。

錯誤。 (3) 三次函數圖形的對稱中心是反曲點： $f^{''} (x) = 0$ 得 $x = \frac{1}{2}$ ， $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 3 + 10 = \frac{25}{2}$ ，對稱中心為 $(\frac{1}{2}, \frac{25}{2})$ ，不是 $(1, 15)$ 。

錯誤。 (4) 點 $(r, s)$ 對於對稱中心 $(\frac{1}{2}, \frac{25}{2})$ 的對稱點是 $(1 - r, 25 - s)$ ，它在圖形上；而 $(1 - r, 15 - s)$ 與它的 $y$ 坐標差 $10$ ，不在圖形上。例如 $(0, 10)$ 在圖形上，但 $(1, 5)$ 不在（ $f (1) = 15$ ）。

正確。 (5) $f^{'} (x) = 6 (x^{2} - x + 1) = 6 [(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}] > 0$ ， $f (x)$ 在整條數線上嚴格遞增，且 $x \to \pm \infty$ 時 $f (x) \to \pm \infty$ ，所以每一條水平直線都恰好交一次。

(4) 的對稱關係是

f (r) + f (1 - r) = 25

，即兩個

y

坐標的和等於對稱中心

y

坐標的兩倍。

定積分有正負，面積沒有；三次函數的對稱中心就是反曲點。

03選填 7～12（原卷 A～E）：絕對值的積分、遞增條件、實根個數、位移、極值應用

第 7 題

\int_{0}^{5} ∣ x - 1∣ d x

是兩個三角形面積的和：

\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{17}{2}

；同理

\int_{0}^{5} ∣ x - 2∣ d x = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{13}{2}

。所以

\int_{0}^{5} f (x) d x = \frac{17}{2} + \frac{13}{2} = 15

。

也可以分段寫出

f (x)

：

x \leq 1

時

3 - 2 x

，

1 \leq x \leq 2

時

1

，

x \geq 2

時

2 x - 3

，再分三段積分，得

2 + 1 + 12 = 15

。

第 8 題

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 k x + 6

。

f (x)

嚴格遞增，要

f^{'} (x) \geq 0

對所有實數

x

成立（等號只在個別的點）。

f^{'} (x)

開口向上，條件是判別式

(2 k)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 6 \leq 0

，

k^{2} \leq 36

，

- 6 \leq k \leq 6

。所以

a = - 6

，

b = 6

，

a - b = - 12

。

k = \pm 6

時

f^{'} (x) = 6 (x \mp 1)^{2}

，只在一個點等於

0

，

f (x)

仍然嚴格遞增，所以範圍包含兩端點，與題目寫的

a \leq k \leq b

一致。

第 9 題改寫成

2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x = - a

，看

y = g (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x

與水平線

y = - a

的交點。

g^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 = 6 (x - 1) (x - 2)

，

g (x)

在

x = 1

有極大值

g (1) = 5

，在

x = 2

有極小值

g (2) = 4

。水平線與圖形恰有兩個交點，水平線要剛好通過極大點或極小點：

- a = 5

或

- a = 4

，即

a = - 5

或

a = - 4

。最大值為

- 4

。

4 < - a < 5

時有三個相異實根，

- a > 5

或

- a < 4

時只有一個；兩個相異實根只發生在水平線切過極值點的時候。

第 10 題當

0 \leq t \leq 3

時，

v (t) = - t^{2} - 2 t + 16

遞減，最小值

v (3) = - 9 - 6 + 16 = 1 > 0

，甲一直往前跑，所以

A

、

B

的距離就是甲的位移：

\int_{0}^{3} (- t^{2} - 2 t + 16) d t = [- \frac{t ^{3}}{3} - t^{2} + 16 t]_{0}^{3} = - 9 - 9 + 48 = 30

（公里）。

速度的定積分是位移；速度一直為正時，位移就等於跑過的距離。

第 11 題乙等速前進，

3

小時跑完同樣的

30

公里，速度為

\frac{30}{3} = 10

（公里/小時）。

第 12 題

y = - x^{2} + 9

與

x

軸交於

x = \pm 3

，圖形對稱於

y

軸。長方形一邊在

x

軸上，設右上頂點為

(x, 9 - x^{2})

，

0 < x < 3

，面積

S (x) = 2 x (9 - x^{2}) = 18 x - 2 x^{3}

。

S^{'} (x) = 18 - 6 x^{2} = 0

得

x = 3

；

0 < x < 3

時

S^{'} (x) > 0

，

3 < x < 3

時

S^{'} (x) < 0

，所以

x = 3

時面積最大：

S (3) = 23 \cdot 6 = 123

。

(a, b) = (12, 3)

。

方程式的實根個數，改成看函數圖形與水平線有幾個交點，關鍵位置是極大值與極小值。

04選填 13～17（原卷 F～I）：定積分當常數、微積分基本定理、旋轉體體積

第 13 題

\int_{0}^{2} f (x) d x

是一個常數，設為

k

，則

f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 k x + 3

。兩邊從

0

積到

2

：

k = [x^{4} + x^{3} - k x^{2} + 3 x]_{0}^{2} = 16 + 8 - 4 k + 6 = 30 - 4 k

，得

5 k = 30

，

k = 6

。

第 14 題

F (1) = \int_{1}^{1} (\dots) d t = 0

，所以

x \to 1 lim \frac{F ( x )}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{F ( x ) - F ( 1 )}{x - 1} = F^{'} (1)

。由微積分基本定理，

F^{'} (x) = 8 x^{5} + 4 x^{3} - 1

，

F^{'} (1) = 8 + 4 - 1 = 11

。

也可以先積出

F (x) = \frac{4}{3} x^{6} + x^{4} - x - \frac{4}{3}

，再因式分解約掉

x - 1

，但認出導數的定義比較快。

第 15 題兩邊對

x

微分，由微積分基本定理，

f (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x - 6) = 2 x - 5

，所以

f (1) = - 3

。

第 16 題在原式令

x = a

，左邊

\int_{a}^{a} f (t) d t = 0

，所以

a^{2} - 5 a - 6 = 0

，

(a - 6) (a + 1) = 0

，

a = 6

或

a = - 1

。

a

為正實數，所以

a = 6

。

驗算：

\int_{6}^{x} (2 t - 5) d t = x^{2} - 5 x - (36 - 30) = x^{2} - 5 x - 6

，相符。

第 17 題

以 $O$ 為原點， $B (6, 0)$ ； $∠ A O B = 6 0^{\circ}$ ，所以 $A (3, 33)$ ，直線 $O A$ 為 $y = 3 x$ ，圓為 $x^{2} + y^{2} = 36$ 。扇形繞 $x$ 軸旋轉，與 $x$ 軸垂直的截面是圓盤： $0 \leq x \leq 3$ 時半徑是 $3 x$ ； $3 \leq x \leq 6$ 時半徑是 $36 - x^{2}$ 。體積

$V = π \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + π \int_{3}^{6} (36 - x^{2}) d x = π [x^{3}]_{0}^{3} + π [36 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{3}^{6} = 27 π + 45 π = 72 π$

體積為 $72 π$ ，所以空格填 $72$ 。

前一段是底半徑

33

、高

3

的圓錐，體積

\frac{1}{3} π \cdot 27 \cdot 3 = 27 π

，可以用來驗算。

積分式裡的上限是 x 時，兩邊微分得到被積函數；上下限相同時，積分等於 0。

05混合題 18、19（原卷混合題 (1)(2)）：切線與曲線的交點、所夾的面積

第 18 題

f (1) = 1 - 5 + 4 = 0

，

P

在曲線上。

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 10 x + 4

，

f^{'} (1) = 3 - 10 + 4 = - 3

，所以

P

點的切線（步道）為

y = - 3 (x - 1) = - 3 x + 3

。與曲線聯立：

x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = - 3 x + 3

，即

x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3 = 0

。切點

x = 1

是重根，因式分解得

(x - 1)^{2} (x - 3) = 0

，另一個交點

x = 3

，

y = - 3 \cdot 3 + 3 = - 6

。步道在

(3, - 6)

連接河川。

驗算：

f (3) = 27 - 45 + 12 = - 6

，確實在曲線上。

第 19 題

由 (1)，步道與河川在 $x = 1$ 與 $x = 3$ 相交。在 $1 < x < 3$ 時， $(- 3 x + 3) - f (x) = - (x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3) = - (x - 1)^{2} (x - 3) = (x - 1)^{2} (3 - x) > 0$ ，步道在河川上方。面積

$\int_{1}^{3} [(- 3 x + 3) - (x^{3} - 5 x^{2} + 4 x)] d x = \int_{1}^{3} (- x^{3} + 5 x^{2} - 7 x + 3) d x = [- \frac{x ^{4}}{4} + \frac{5 x ^{3}}{3} - \frac{7 x ^{2}}{2} + 3 x]_{1}^{3}$

代入得 $\frac{9}{4} - \frac{11}{12} = \frac{4}{3}$ ，公園面積為 $\frac{4}{3}$ 平方公里。

也可以令

u = x - 1

：

\int_{0}^{2} u^{2} (2 - u) d u = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}

，計算比較快。

切線與三次曲線聯立時，切點一定是重根，先把 (x-切點)² 提出來再找另一個交點。

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同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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興大附中 114 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題：第 4 個選項要注意在兩個極值點之間函數是遞增的，只能有一個實根。多選第 6 題：對稱中心在反曲點，對稱點的 y 坐標要用對稱中心的兩倍去減。選填 C（本頁第 9 題）：恰有兩個相異實根時水平線要剛好切過極值點。選填 I（本頁第 17 題）：扇形旋轉後要分成圓錐與球冠兩段積分。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自興大附中 114 學年度上學期高三第二次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 114 上高三第二次段考數學試題、答案與詳解

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01多選 1～3：由導函數看原函數、上和與下和、反曲點與係數

02多選 4～6：定積分與面積、定積分與函數值的和、一次估計與對稱中心

03選填 7～12（原卷 A～E）：絕對值的積分、遞增條件、實根個數、位移、極值應用

04選填 13～17（原卷 F～I）：定積分當常數、微積分基本定理、旋轉體體積

05混合題 18、19（原卷混合題 (1)(2)）：切線與曲線的交點、所夾的面積

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興大附中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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