段考詳解範圍：極限與微分（數列的極限、無窮等比級數、函數的極限、導數與可微分、多項式函數的微分、切線與一次近似）

興大附中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 7 題：五個選項都要自己舉反例，第 5 個選項少了兩邊極限相等的條件，夾擠定理不能用。選填 I（本頁第 16 題）：有理化之後要先由極限存在推出 a 等於 0，才能求 b。選填 J（本頁第 17 題）：各項分母不同，要用最大與最小的分母夾住再用夾擠定理。選填 F（本頁第 13 題）：先比較最高次項決定多項式是三次。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 3 題（12 分）、多選題 4 題（28 分）、選填題 10 題（50 分）、混合題 1 題 3 小題（10 分）

一、單選題：（每題 4 分，共 12 分。請選出最適合的選項，全對才給分。）

下列哪個選項為發散數列？

(1) $⟨ \frac{3}{n + 2} ⟩$
(2) $⟨ 2 - \frac{1}{n ^{2}} ⟩$
(3) $⟨ \frac{- 2 n ^{2} + 1}{n ^{2} - 1} ⟩$
(4) $⟨ \frac{( - 5 ) ^{n}}{6 ^{n + 1}} ⟩$
(5) $⟨ (- 1)^{n} ⟩$

下列哪個選項的函數，在

x = 0

處可微分？

(1) $f_{1} (x) = ∣ x ∣$
(2) $f_{2} (x) = [x]$ ， $[\cdot]$ 為高斯符號
(3) $f_{3} (x) = \frac{x}{x ^{2} + x + 3}$
(4) $f_{4} (x) = \frac{x}{∣ x ∣}$
(5) $f_{5} (x) = x^{2}$

設

a

、

b

、

c

為實數，若

x \to - 2 lim \frac{x ^{3} + a x ^{2} + b x - 8}{( x + 2 ) ^{2}} = c

，下列選項何者正確？

(1) $a = - 2$
(2) $b = 4$
(3) $c = 3$
(4) $a + b + c = - 6$
(5) $ab c = - 32$

二、多選題：1. 每題 7 分，共 28 分，每題至少有一個選項是正確的。2. 所有選項均答對者得 7 分；錯一個選項得 4.2 分；錯二個選項得 1.4 分；所有選項均未作答或答錯多於 2 個選項者，該題以 0 分計算。

有一實數數列

⟨ a_{n} ⟩

，其中

a_{n} = sin (nπ - \frac{π}{6})

，

n

為正整數。試選出正確的選項。

(1) $a_{1} = \frac{1}{2}$
(2) $a_{2} = a_{3}$
(3) $a_{n}$ 是發散數列
(4) $n = 1 \sum \infty a_{n} = 0$
(5) $n = 1 \sum \infty (a_{n})^{n} = 1$

下列各無窮級數，哪些為收斂級數？

(1) $1 - \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{8}{27} + \dots + (- \frac{2}{3})^{n - 1} + \dots$
(2) $\frac{2}{5} + \frac{4}{15} + \frac{8}{45} + \dots + \frac{2}{5} \times (\frac{2}{3})^{n - 1} + \dots$
(3) $1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \dots + (\frac{3}{2})^{n - 1} + \dots$
(4) $6 + 6 + 6 + \dots + 6 + \dots$
(5) $- 2 + 2 - 2 + \dots + (- 1)^{n} \times 2 + \dots$

已知

f^{'} (2) = 5

，則下列選項哪些正確？

(1) $x \to 2 lim f (x) = 5$
(2) $x \to 2 lim (f (x) - f (2)) = 0$
(3) $x \to 2 lim \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = 0$
(4) $h \to 0 lim \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = 0$
(5) $h \to 0 lim \frac{f ( 2 - h ) - f ( 2 )}{h} = - 5$

設

f (x)

、

g (x)

與

h (x)

均為定義在實數上的實數值函數，下列選項何者正確？

(1) 若 $x \to a lim (f (x) + g (x))$ 存在，則 $x \to a lim f (x)$ 與 $x \to a lim g (x)$ 也存在。
(2) 若 $x \to a lim f (x)$ 存在，則 $x \to a lim f (x) = f (a)$ 。
(3) 若 $x \to a lim ∣ f (x) ∣$ 存在，則 $x \to a lim f (x)$ 也存在。
(4) 若 $x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = 3$ ，且 $x \to a lim g (x) = 0$ ，則 $x \to a lim f (x) = 0$ 。
(5) 設 $0 < ∣ x - a ∣ < b$ 時， $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ 恆成立，若 $x \to a lim g (x)$ 與 $x \to a lim h (x)$ 均存在，則 $x \to a lim f (x)$ 也存在。

三、選填題：1. 第 A 至 J 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（8－23）。2. 每題完全答對給 5 分，共 50 分。答錯不倒扣，未完全答對不給分。（本頁第 8～17 題依序為原卷的 A～J 題）

1. \overline{4} \times 4

的值為 ____。（原卷的答案格式為循環小數

5. \overline{◯}

，圓圈填一個數字）

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} + 2}{n - 1} - \frac{n ^{2} - n + 1}{n})

的值為 ____。

x \to 1 lim \frac{∣ x ∣ - x}{∣ x ∣ - 1} + x \to - 1 lim \frac{x ^{2} + 3 x - 4}{∣ x ∣ + 1}

的值為 ____。

已知

f (x) = x^{2} - 5∣ x - 1∣

。則

f^{'} (- 1)

的值為 ____。

設

f (x) = {x^{3} + x, a x - b, x \geq 1 x < 1

，

a

、

b

為實數。若

f (x)

在

x = 1

處可微分，則數對

(a, b) =

____。

設

f (x)

為多項式函數，滿足

f (0) = 0

且

(x + 1) f^{'} (x) - 3 f (x) - 6 = 0

，則

f (1) =

____。

設函數

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} - x + b

的圖形與

x

軸的交點為

P

，若以

P

為切點的切線方程式為

y = 3 x + 6

，則

a + b

之值為 ____。（化為最簡分數）

設多項式函數

f (x)

在

x = 1

處可微分，則

t \to 0 lim \frac{f ( 1 + t ^{2} ) - f ( 1 )}{t}

之值為 ____。

設

x \to 0 lim \frac{1 + x ^{2} - ( 1 + a x )}{x ^{2}} = b

，則

a + b

之值為 ____。（化為最簡分數）

設

a_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{2}{n ^{2} + 2} + \frac{3}{n ^{2} + 3} + \dots + \frac{n}{n ^{2} + n}

，則

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n}

之值為 ____。（化為最簡分數）

四、混合題（共 10 分）：第 (a)、(b)、(c) 小題為非選擇題，請使用黑色原子筆在標示題號手寫卷內作答。請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分，只寫答案不予計分。（本頁第 18～20 題依序為原卷混合題第 1 題的 (a)、(b)、(c) 小題）

混合題（第 18～20 題）　已知

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 17

為實係數三次多項式函數且

y = g (x)

為

y = f (x)

在

x = 1

附近的一次近似函數，若

f (x)

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x ) + 5}{x - 1} = 2

，試回答下列問題。

(a) 函數

y = g (x) =

____。（非選擇題，3 分）

(b) 函數

y = f (x) =

____。（非選擇題，3 分）

y = h (x)

與

y = g (x)

相異，且兩函數圖形的斜率相同，若函數

y = h (x)

的圖形與函數

y = f (x)

的圖形相切，則函數

y = h (x)

為何？（非選擇題，4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(3)

第 3 題(4)

第 4 題(1)(3)(5)

第 5 題(1)(2)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(4)

第 8 題

5. \overline{7}

第 9 題

2

第 10 題

- 3

第 11 題

3

第 12 題

(4, 2)

第 13 題

14

第 14 題

\frac{2}{3}

第 15 題

0

第 16 題

\frac{1}{2}

第 17 題

\frac{1}{2}

第 18 題

g (x) = 2 x - 7

第 19 題

f (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 23 x - 17

第 20 題

h (x) = 2 x - 115

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：收斂與發散、可微分的判斷、由極限求係數

第 1 題答案 (5)。(1)

\frac{3}{n + 2} \to 0

，收斂。(2)

2 - \frac{1}{n ^{2}} \to 2

，收斂。(3) 分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{- 2 + \frac{1}{n ^{2}}}{1 - \frac{1}{n ^{2}}} \to - 2

，收斂。(4)

\frac{( - 5 ) ^{n}}{6 ^{n + 1}} = \frac{1}{6} (- \frac{5}{6})^{n}

，公比的絕對值小於

1

，趨近

0

，收斂。(5) 各項為

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，在兩個值之間跳動，不趨近單一的數，發散。

(4) 雖然正負交錯，但絕對值愈來愈小，仍然收斂到

0

；(5) 的絕對值一直是

1

，才是發散。

第 2 題答案 (3)。用定義看

h \to 0 lim \frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h}

是否存在。(1)

\frac{∣ h ∣ - 0}{h}

在

h \to 0^{+}

時為

1

、

h \to 0^{-}

時為

- 1

，左右不相等，不可微分。(2)

- 1 < x < 0

時

[x] = - 1

，而

f_{2} (0) = 0

，

x \to 0^{-} lim f_{2} (x) = - 1 \neq = f_{2} (0)

，在

x = 0

不連續，所以不可微分。(3) 分母

x^{2} + x + 3

的判別式

1 - 12 < 0

，恆不為

0

；

\frac{f _{3} ( h ) - f _{3} ( 0 )}{h} = \frac{1}{h ^{2} + h + 3} \to \frac{1}{3}

，極限存在，可微分，且

f_{3}^{'} (0) = \frac{1}{3}

。(4)

x = 0

時分母為

0

，

f_{4} (0)

沒有定義，不可微分。(5)

x^{2} = ∣ x ∣

，與 (1) 是同一個函數，不可微分。

(5) 化簡後就是 (1)，

x^{2}

不是

x

。不連續或沒有定義的點一定不可微分。

第 3 題答案 (4)。

x \to - 2

時分母

(x + 2)^{2}

趨近

0

，極限要存在，分子必須有因式

(x + 2)^{2}

。分子是首項係數

1

的三次式，設

x^{3} + a x^{2} + b x - 8 = (x + 2)^{2} (x + k) = (x^{2} + 4 x + 4) (x + k)

，比較常數項

4 k = - 8

，

k = - 2

。展開得

x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8

，所以

a = 2

，

b = - 4

。極限

c = x \to - 2 lim (x - 2) = - 4

。

a + b + c = 2 - 4 - 4 = - 6

，(4) 對；

ab c = 2 \cdot (- 4) \cdot (- 4) = 32

，(5) 錯。

分母是

(x + 2)^{2}

，分子只有一個

x + 2

不夠（約掉後分母還會趨近

0

），要有兩個。

可微分先看有沒有定義、連不連續，再看左右兩側的斜率是否相等。

02多選 4～7：無窮級數的收斂、導數的定義、極限的性質

第 4 題答案 (1)(3)(5)。由差角公式，

sin (nπ - \frac{π}{6}) = sin nπ cos \frac{π}{6} - cos nπ sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2} cos nπ

，所以

n

為奇數時

a_{n} = \frac{1}{2}

，

n

為偶數時

a_{n} = - \frac{1}{2}

。(1)

a_{1} = \frac{1}{2}

，對。(2)

a_{2} = - \frac{1}{2}

，

a_{3} = \frac{1}{2}

，不相等，錯。(3) 數列在

\frac{1}{2}

、

- \frac{1}{2}

之間跳動，發散，對。(4) 部分和依序為

\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0, \dots

，不趨近單一的數，級數發散，沒有和，錯。(5)

n

為奇數時

(a_{n})^{n} = (\frac{1}{2})^{n}

；

n

為偶數時

(a_{n})^{n} = (- \frac{1}{2})^{n} = (\frac{1}{2})^{n}

。所以

n = 1 \sum \infty (a_{n})^{n} = n = 1 \sum \infty (\frac{1}{2})^{n} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1

，對。

(4) 的部分和有一半是

0

，但另一半是

\frac{1}{2}

，不能說和是

0

。(5) 負號只出現在偶數項，偶數次方後變成正的。

第 5 題答案 (1)(2)。無窮等比級數（首項不為

0

）收斂的條件是公比

r

滿足

∣ r ∣ < 1

。(1)

r = - \frac{2}{3}

，收斂。(2) 首項

\frac{2}{5}

、

r = \frac{2}{3}

，收斂。(3)

r = \frac{3}{2} > 1

，發散。(4)

r = 1

，部分和

6 n

愈來愈大，發散。(5)

r = - 1

，部分和為

- 2, 0, - 2, 0, \dots

，發散。

數列

⟨ r^{n} ⟩

在

r = 1

時收斂，但級數在

r = 1

時發散；兩者的條件差在

r = 1

。

第 6 題答案 (2)(5)。

f^{'} (2) = 5

表示

x \to 2 lim \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = h \to 0 lim \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = 5

，所以 (3)、(4) 錯。(2)

f (x) - f (2) = \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} \cdot (x - 2) \to 5 \cdot 0 = 0

，對（可微分必連續）。(1) 由 (2) 知

x \to 2 lim f (x) = f (2)

，但題目沒有給

f (2)

；例如

f (x) = 5 x

滿足

f^{'} (2) = 5

，而

x \to 2 lim f (x) = 10

，錯。(5) 令

k = - h

，

h \to 0

時

k \to 0

，

\frac{f ( 2 - h ) - f ( 2 )}{h} = - \frac{f ( 2 + k ) - f ( 2 )}{k} \to - 5

，對。

f^{'} (2) = 5

是斜率等於

5

，不是函數值等於

5

。

第 7 題答案 (4)。(1) 取

x \neq = a

時

f (x) = \frac{1}{x - a}

、

g (x) = - \frac{1}{x - a}

（

f (a) = g (a) = 0

），則

f (x) + g (x) = 0

，極限存在，但

f

、

g

各自的極限都不存在，錯。(2) 取

x \neq = a

時

f (x) = 1

、

f (a) = 0

，則

x \to a lim f (x) = 1 \neq = f (a)

，錯。(3) 取

x \geq a

時

f (x) = 1

、

x < a

時

f (x) = - 1

，則

∣ f (x) ∣ = 1

，極限存在，但

f

的左極限

- 1

、右極限

1

不相等，錯。(4)

f (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )} \cdot g (x)

，兩個極限都存在，積的極限

= 3 \cdot 0 = 0

，對。(5) 取

g (x) = - 1

、

h (x) = 1

，

f

同 (3) 的例子，則

g (x) \leq f (x) \leq h (x)

且

g

、

h

的極限都存在，但

f

的極限不存在，錯。

(5) 少了夾擠定理的關鍵條件：

g

與

h

的極限要相等，才能把

f

夾到同一個值。(2) 的結論其實是「

f

在

x = a

連續」，極限存在不保證連續。

判斷「若…則…」的極限敘述，先想能不能舉出反例；和、積的極限只有在各個極限都存在時才能拆開。

03選填 8～12（原卷 A～E）：循環小數、極限的計算、導數與可微分

第 8 題

0. \overline{4} = 0.4 + 0.04 + 0.004 + \dots

是首項

0.4

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.4}{1 - 0.1} = \frac{4}{9}

，所以

1. \overline{4} = \frac{13}{9}

。

\frac{13}{9} \times 4 = \frac{52}{9} = 5 + \frac{7}{9} = 5. \overline{7}

。

\frac{7}{9} = 0. \overline{7}

，所以圓圈內填

7

。

第 9 題兩項各自發散，先通分。分母為

n (n - 1)

；分子

n (n^{2} + 2) - (n - 1) (n^{2} - n + 1) = (n^{3} + 2 n) - (n^{3} - 2 n^{2} + 2 n - 1) = 2 n^{2} + 1

。原式

= n \to \infty lim \frac{2 n ^{2} + 1}{n ^{2} - n}

，分子分母同除以

n^{2}

，得

\frac{2 + \frac{1}{n ^{2}}}{1 - \frac{1}{n}} \to 2

。

不能把兩項分別看成「約等於

n

」就說相減是

0

；差在次一級的項，要通分才看得出來。

第 10 題第一個極限：

x

在

1

附近為正，

∣ x ∣ = x

，所以

x \neq = 1

時

\frac{∣ x ∣ - x}{∣ x ∣ - 1} = \frac{0}{x - 1} = 0

，極限為

0

。第二個極限：

x \to - 1

時分母

∣ x ∣ + 1 \to 2

，不為

0

，直接代入：

\frac{1 - 3 - 4}{2} = - 3

。兩者相加為

- 3

。

第一個極限的分子在

1

附近恆為

0

，分母只是趨近

0

而不等於

0

，所以函數值一直是

0

，極限是

0

，不是「不存在」。

第 11 題

x

在

- 1

附近時

x - 1 < 0

，

∣ x - 1∣ = 1 - x

，所以在

- 1

附近

f (x) = x^{2} - 5 (1 - x) = x^{2} + 5 x - 5

。微分得

f^{'} (x) = 2 x + 5

，

f^{'} (- 1) = - 2 + 5 = 3

。

絕對值的折點在

x = 1

，不在

x = - 1

；在

x = - 1

附近函數就是一個二次多項式，可以直接微分。

第 12 題可微分必連續：

x \to 1^{-} lim (a x - b) = a - b

要等於

f (1) = 1 + 1 = 2

，所以

a - b = 2

。再看兩側的斜率。右側：

h \to 0^{+} lim \frac{( 1 + h ) ^{3} + ( 1 + h ) - 2}{h} = h \to 0^{+} lim \frac{h ^{3} + 3 h ^{2} + 4 h}{h} = 4

。左側：

h \to 0^{-} lim \frac{a ( 1 + h ) - b - 2}{h} = h \to 0^{-} lim \frac{ah + ( a - b - 2 )}{h} = a

。兩側相等，

a = 4

，

b = a - 2 = 2

。

(a, b) = (4, 2)

。

兩個條件都要用：先連續（函數值接得上），再左右斜率相等。下面那段是

a x - b

，連續的條件是

a - b = 2

，不是

a + b = 2

。

含絕對值的式子先看該點附近絕對值裡面的正負，把絕對值拿掉再算。

04選填 13～17（原卷 F～J）：多項式的微分、切線、有理化與夾擠定理

第 13 題先決定次數。若

f (x)

是常數，由

f (0) = 0

得

f (x) = 0

，代入得

- 6 = 0

，不合。設

f (x)

為

n

次（

n \geq 1

）、首項係數

c \neq = 0

，比較

x^{n}

的係數：

n c - 3 c = 0

，所以

n = 3

。由

f (0) = 0

設

f (x) = p x^{3} + q x^{2} + r x

，

f^{'} (x) = 3 p x^{2} + 2 q x + r

。

(x + 1) f^{'} (x) - 3 f (x) - 6 = (3 p - q) x^{2} + (2 q - 2 r) x + (r - 6) = 0

對所有

x

成立，所以

r = 6

，

q = 6

，

p = 2

。

f (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x

，

f (1) = 14

。

驗算：

f^{'} (x) = 6 (x + 1)^{2}

，

(x + 1) f^{'} (x) = 6 (x + 1)^{3}

；而

3 f (x) + 6 = 6 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + 6 = 6 (x + 1)^{3}

，兩者相等。

第 14 題

P

在

x

軸上，也在切線

y = 3 x + 6

上，令

y = 0

得

x = - 2

，所以

P (- 2, 0)

。

f^{'} (x) = x^{2} + 2 a x - 1

，切線斜率

f^{'} (- 2) = 4 - 4 a - 1 = 3

，得

a = 0

。

P

在圖形上：

f (- 2) = - \frac{8}{3} + 2 + b = 0

，得

b = \frac{2}{3}

。

a + b = \frac{2}{3}

。

第 15 題

t \neq = 0

時，

\frac{f ( 1 + t ^{2} ) - f ( 1 )}{t} = \frac{f ( 1 + t ^{2} ) - f ( 1 )}{t ^{2}} \cdot t

。令

h = t^{2}

，

t \to 0

時

h \to 0

，前一個因式趨近

f^{'} (1)

；後一個因式

t \to 0

。兩個極限都存在，所以原式

= f^{'} (1) \cdot 0 = 0

。

分子的增量是

t^{2}

，分母卻只有

t

，要補成

t^{2}

才是導數的定義；多出來的

t

趨近

0

，所以不論

f^{'} (1)

是多少，答案都是

0

。

第 16 題分子分母同乘以

1 + x^{2} + (1 + a x)

：分子變成

(1 + x^{2}) - (1 + a x)^{2} = (1 - a^{2}) x^{2} - 2 a x

，原式

= \frac{( 1 - a ^{2} ) x - 2 a}{x ( 1 + x ^{2} + 1 + a x )}

。

x \to 0

時分母趨近

0 \cdot 2 = 0

，極限要存在，分子也要趨近

0

：

- 2 a = 0

，

a = 0

。此時原式

= \frac{x}{x ( 1 + x ^{2} + 1 )} = \frac{1}{1 + x ^{2} + 1} \to \frac{1}{2}

，

b = \frac{1}{2}

。

a + b = \frac{1}{2}

。

直接代

x = 0

分子分母都是

0

，看不出

a

的條件；有理化並約掉一個

x

之後，才看得到分子剩下常數

- 2 a

。

第 17 題

a_{n}

的第

k

項是

\frac{k}{n ^{2} + k}

（

k = 1, 2, \dots, n

）。因為

n^{2} + 1 \leq n^{2} + k \leq n^{2} + n

，所以

\frac{k}{n ^{2} + n} \leq \frac{k}{n ^{2} + k} \leq \frac{k}{n ^{2} + 1}

。對

k = 1

到

n

相加，

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

，得

\frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2} + n} \leq a_{n} \leq \frac{n ( n + 1 )}{2 n ^{2} + 1}

，同除以

n

：

\frac{n + 1}{2 n ^{2} + n} \leq \frac{a _{n}}{n} \leq \frac{n + 1}{2 n ^{2} + 1}

。左式分子分母同除以

n

得

\frac{1 + \frac{1}{n}}{2 1 + \frac{1}{n}} \to \frac{1}{2}

，右式同理得

\frac{1 + \frac{1}{n}}{2 1 + \frac{1}{n ^{2}}} \to \frac{1}{2}

。由夾擠定理，

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n} = \frac{1}{2}

。

各項的分母不同，沒辦法直接加；把分母統一換成最大的

n^{2} + n

與最小的

n^{2} + 1

，分子就能用

1 + 2 + \dots + n

的公式。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定也趨近 0；加不起來的和，用最大與最小的分母夾住。

05混合題 18～20（原卷混合題 (a)～(c)）：由極限讀出導數、一次近似與切線

第 18 題

x \to 1

時分母趨近

0

而極限存在，所以分子趨近

0

；

f (x)

是多項式，

x \to 1 lim (f (x) + 5) = f (1) + 5 = 0

，得

f (1) = - 5

。於是

x \to 1 lim \frac{f ( x ) + 5}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = f^{'} (1)

，所以

f^{'} (1) = 2

。

f (x)

在

x = 1

附近的一次近似為

g (x) = f (1) + f^{'} (1) (x - 1) = - 5 + 2 (x - 1) = 2 x - 7

。

一次近似的圖形就是過

(1, f (1))

的切線；這一小題不必先求出

a

、

b

。

第 19 題由 (a)，

f (1) = - 5

且

f^{'} (1) = 2

。

f (1) = 1 + a + b - 17 = - 5

，得

a + b = 11

。

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b

，

f^{'} (1) = 3 + 2 a + b = 2

，得

2 a + b = - 1

。兩式相減

a = - 12

，

b = 23

。所以

f (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 23 x - 17

。

驗算：

f (x) + 5 = x^{3} - 12 x^{2} + 23 x - 12 = (x - 1) (x^{2} - 11 x + 12)

，

x \to 1 lim (x^{2} - 11 x + 12) = 2

，與題目的條件相符。

第 20 題

h (x)

與

g (x)

斜率相同，設

h (x) = 2 x + k

，

k \neq = - 7

。

y = h (x)

與

y = f (x)

相切，切點的

x

坐標

t

滿足

f^{'} (t) = 2

：

3 t^{2} - 24 t + 23 = 2

，

t^{2} - 8 t + 7 = 0

，

t = 1

或

t = 7

。

t = 1

時切線就是

y = g (x)

，與「相異」不合。

t = 7

時

f (7) = 343 - 588 + 161 - 17 = - 101

，切線為

y = - 101 + 2 (x - 7) = 2 x - 115

。所以

h (x) = 2 x - 115

。

驗算：

f (x) - (2 x - 115) = x^{3} - 12 x^{2} + 21 x + 98 = (x - 7)^{2} (x + 2)

，在

x = 7

有重根，確實相切。

看到分母趨近 0 的極限等於定值，先讀出函數值，再把整個極限認成導數。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

興大附中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 7 題：五個選項都要自己舉反例，第 5 個選項少了兩邊極限相等的條件，夾擠定理不能用。選填 I（本頁第 16 題）：有理化之後要先由極限存在推出 a 等於 0，才能求 b。選填 J（本頁第 17 題）：各項分母不同，要用最大與最小的分母夾住再用夾擠定理。選填 F（本頁第 13 題）：先比較最高次項決定多項式是三次。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 114 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～3：收斂與發散、可微分的判斷、由極限求係數

02多選 4～7：無窮級數的收斂、導數的定義、極限的性質

03選填 8～12（原卷 A～E）：循環小數、極限的計算、導數與可微分

04選填 13～17（原卷 F～J）：多項式的微分、切線、有理化與夾擠定理

05混合題 18～20（原卷混合題 (a)～(c)）：由極限讀出導數、一次近似與切線

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

興大附中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

興大附中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

興大附中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？