段考詳解範圍：實數與絕對值、指數與算幾不等式、常用對數

興大附中 114 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 16 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 16 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 4 題（40 分）、選填題 8 題（40 分），合計 100 分。本頁第 9～16 題依序為原卷選填 A～H 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（占 20 分）｜說明：第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

有一位學生將

33

乘以循環小數

5. \overline{ab} = 5. abab \dots\dots

（其中

a

，

b

均為

0 \sim 9

的數字），但是他沒有注意到循環小數的符號，誤將

33

乘以

5. ab

，後來他發現算出的答案比正確答案少了

0.25

，試問兩位數

ab

為何？

(1) $15$
(2) $30$
(3) $45$
(4) $60$
(5) $75$

不等式

3 \leq ∣ x + a ∣ < 5

的解為兩個區間，若其中一個區間為

- 4 < x \leq - 2

，請問另一個區間為何？

(1) $- 12 < x \leq - 10$
(2) $- 12 \leq x < - 10$
(3) $4 < x \leq 6$
(4) $4 \leq x < 6$
(5) 條件不足

以前對某披薩店印象最深刻的廣告口號就是：「打了沒？電話：2882－5252」，諧音就是「餓爸爸餓，我餓我餓」。請問下列哪一個數最接近

28825252

？（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $1 0^{7.1}$
(2) $1 0^{7.3}$
(3) $1 0^{7.5}$
(4) $1 0^{7.7}$
(5) $1 0^{7.9}$

若

a

，

b

為非負實數，已知

a + b = 19

，則

ab + 3 a + 4 b

的最大值為何？

(1) $151$
(2) $153$
(3) $155$
(4) $157$
(5) $159$

二、多選題（占 40 分）｜說明：第 5 題至第 8 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 10 分；答錯 1 個選項者，得 6 分；答錯 2 個選項者，得 2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

若

t + \frac{1}{t} = 6

，則下列選項哪些正確？

(1) $t - \frac{1}{t} = 2$
(2) $t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = 4$
(3) $t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = 36$
(4) $t^{4} + \frac{1}{t ^{4}} = 14$
(5) $t^{5} + \frac{1}{t ^{5}} = 116$

設

a

、

b

、

c

分別為函數

f (x) = x + \frac{4}{x}

、

g (x) = x^{2} + \frac{4}{x ^{2}}

、

h (x) = x^{2} + \frac{4}{x ^{2}}

在

x

為任意正實數時的最小值。試問下列哪些選項是正確的？

(1) $b = a^{2}$
(2) $c = 2$
(3) $a = c^{2}$
(4) $f (x) + g (x)$ 在 $x$ 為任意正實數時的最小值為 $a + b$
(5) $g (x) + h (x)$ 在 $x$ 為任意正實數時的最小值為 $b + c$

四個相異實數

a

、

b

、

c

、

d

滿足

a = \frac{6}{5} b - \frac{1}{5} c

，

d = \frac{4}{3} a - \frac{1}{3} c

，如果將

a

、

b

、

c

、

d

標示在數線上，則

(1) $b$ 在 $a$ 與 $c$ 之間
(2) $c > b$
(3) $d$ 在 $a$ 與 $b$ 之間
(4) $a$ 到 $c$ 的距離是 $a$ 到 $b$ 的距離的 $5$ 倍
(5) $d$ 到 $c$ 的距離是 $d$ 到 $b$ 的距離的 $\frac{8}{3}$ 倍

設

a = \frac{4}{3}

，請選出正確的選項。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) $a^{100}$ 的整數部分為 $12$ 位數
(2) $a^{100}$ 的整數部分為 $13$ 位數
(3) $a^{100}$ 的整數部分中，最左邊的數字為 $3$
(4) $(\frac{1}{a})^{100}$ 在小數點後第 $13$ 位開始不為 $0$
(5) $(\frac{1}{a})^{100}$ 在小數點後第一個出現不為 $0$ 的數字為 $3$ 。

三、選填題（占 40 分）｜說明：1. 第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（9–30）。2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

化簡

8 + 48 + 2 - 3 =

____。（化為最簡根式）

設

n

為正整數，已知

\frac{1}{6} < \frac{7}{n} < \frac{1}{5}

，若

\frac{5}{n}

為有限小數，則

n

的值為 ____。

已知

a

，

b

是有理數，且

(2 + 32) a + (1 - 22) b = 1 + 122

，求數對

(a, b) =

____。

若

x

，

y

為兩正實數，且滿足

x^{- \frac{1}{2}} y^{3} = 1

及

3 lo g y = 1

，則

\frac{x - y ^{3}}{2} =

____。

隔壁的王阿姨有三個兒子，年齡由大而小為

15

歲，

8

歲，

4

歲。如果把老二與老三的年齡分別乘上某個數字

a

之後，所得的數字恰好與老大的年齡都相差

b

，請問數對

(a, b) =

____。（化為最簡分數）

已知

x

為正實數，且

x

的小數部分為

\frac{x ^{2}}{5}

，則正實數

x

為 ____。（化為最簡根式）

直角三角形

A B C

中

\overline{A B} = 6

，

\overline{A C} = 8

，

\overline{B C} = 10

，直線

L

垂直

\overline{B C}

且分別交

\overline{B C}

，

\overline{A C}

及

A B

的延長線於

P

，

Q

，

R

，求

\overline{QP} \times \overline{QR}

的最大值

=

____。

已知

k

為正整數，且

1 \leq k \leq 2025

，設對於所有實數

x

，

∣ x - 1000∣ + ∣ x - k ∣ + ∣ x - 2025∣ \geq 2 k

恆成立，求滿足條件的

k

值有 ____ 個。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(4)

第 3 題(3)

第 4 題(4)

第 5 題(2)(3)(4)(5)

第 6 題(2)(3)(5)

第 7 題(1)(5)

第 8 題(2)(3)(4)(5)

第 9 題

\frac{3 6 + 2}{2}

第 10 題

40

第 11 題

(2, - 3)

第 12 題

45

第 13 題

(\frac{5}{2}, 5)

（另一組

a = 0

、

b = 15

也滿足式子，但填不進卷面「分數、一位數」的答案格）

第 14 題

\frac{5 - 5}{2}

第 15 題

16

第 16 題

675

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：循環小數、絕對值不等式、10 的次方與算幾不等式

第 1 題答案 (5)。把兩位數

ab

記作

N

。循環小數

0. \overline{ab} = \frac{N}{99}

，有限小數

0. ab = \frac{N}{100}

，整數部分的

5

兩邊相同，所以兩個被乘數相差

5. \overline{ab} - 5. ab = \frac{N}{99} - \frac{N}{100} = \frac{N}{9900}

乘上

33

之後相差

33 \times \frac{N}{9900} = \frac{N}{300}

。題目說少了

0.25

，所以

\frac{N}{300} = 0.25

，

N = 75

。

代回檢查：

5. \overline{75} = 5 + \frac{75}{99} = \frac{190}{33}

，乘以

33

得

190

；而

33 \times 5.75 = 189.75

，兩者相差

0.25

。

第 2 題答案 (4)。

3 \leq ∣ x + a ∣ < 5

表示

x + a

到

0

的距離至少

3

、小於

5

，分成兩段：第一段

3 \leq x + a < 5

，即

3 - a \leq x < 5 - a

，左端有等號、右端沒有。第二段

- 5 < x + a \leq - 3

，即

- 5 - a < x \leq - 3 - a

，左端沒有等號、右端有。題目給的

- 4 < x \leq - 2

是左端沒有等號、右端有等號，所以它是第二段：

- 5 - a = - 4

，得

a = - 1

，這時右端

- 3 - a = - 2

也符合。另一段是第一段，代

a = - 1

得

4 \leq x < 6

。

若把題目給的區間誤當成第一段，會得到

a = 7

與選項 (1) 的數字，但第一段的等號在左端，和

- 4 < x \leq - 2

的等號位置對不上。選項 (3) 與 (4) 只差在等號的位置。

第 3 題答案 (3)。

28825252

比

2.88 \times 1 0^{7}

略大、比

3 \times 1 0^{7}

小。由常用對數的定義，

2 \approx 1 0^{0.3010}

，

3 \approx 1 0^{0.4771}

。

288 = 2^{5} \times 3^{2} \approx 1 0^{0.3010 \times 5} \times 1 0^{0.4771 \times 2} = 1 0^{1.5050 + 0.9542} = 1 0^{2.4592}

，所以

2.88 \times 1 0^{7} = 288 \times 1 0^{5} \approx 1 0^{7.4592}

；而

3 \times 1 0^{7} \approx 1 0^{7.4771}

。因此

28825252

介於

1 0^{7.4592}

與

1 0^{7.4771}

之間，大約是

1 0^{7.46}

，五個選項中最接近的是

1 0^{7.5}

。

直接比數值也一樣：

1 0^{7.5} = 10 \times 1 0^{7} \approx 3.16 \times 1 0^{7}

，與

2.88 \times 1 0^{7}

相差約

0.28 \times 1 0^{7}

；

1 0^{7.3} \approx 2 \times 1 0^{7}

，相差約

0.88 \times 1 0^{7}

。這裡只用到「

lo g N

是

10

的幾次方等於

N

」與指數律。

第 4 題答案 (4)。把式子湊成乘積：

ab + 3 a + 4 b = (a + 4) (b + 3) - 12

。因為

a

、

b

非負，

a + 4

與

b + 3

都是正數，而且它們的和是

a + b + 7 = 26

，是定值。由算幾不等式

(a + 4) (b + 3) \leq \frac{( a + 4 ) + ( b + 3 )}{2} = 13

所以

(a + 4) (b + 3) \leq 169

，原式

\leq 169 - 12 = 157

。等號在

a + 4 = b + 3 = 13

，即

a = 9

、

b = 10

時成立，這組數都非負且

a + b = 19

，所以最大值是

157

。

也可以代

b = 19 - a

：原式

= a (19 - a) + 3 a + 4 (19 - a) = - a^{2} + 18 a + 76 = - (a - 9)^{2} + 157

，在

a = 9

時最大。

絕對值不等式先改寫成範圍，留意等號在哪一端；兩個正數的和固定時，乘積在兩數相等時最大。

02多選 5～8：乘法公式、算幾不等式的等號、數線分點與位數

第 5 題答案 (2)(3)(4)(5)。記

s = t + \frac{1}{t} = 6

，並注意

t \times \frac{1}{t} = 1

。 (1) 錯誤。

(t - \frac{1}{t})^{2} = (t + \frac{1}{t})^{2} - 4 = 6 - 4 = 2

，只能得到

t - \frac{1}{t} = 2

或

- 2

。由

t + \frac{1}{t} = 6

解得

t = \frac{6 + 2}{2}

或

\frac{6 - 2}{2}

，後者使

t - \frac{1}{t} = - 2

，所以這個等式不一定成立。 (2) 正確。

t^{2} + \frac{1}{t ^{2}} = (t + \frac{1}{t})^{2} - 2 = 6 - 2 = 4

。 (3) 正確。

t^{3} + \frac{1}{t ^{3}} = (t + \frac{1}{t})^{3} - 3 (t + \frac{1}{t}) = 66 - 36 = 36

。 (4) 正確。

t^{4} + \frac{1}{t ^{4}} = (t^{2} + \frac{1}{t ^{2}})^{2} - 2 = 16 - 2 = 14

。 (5) 正確。 把 (2) 與 (3) 的結果相乘：

(t^{2} + \frac{1}{t ^{2}}) (t^{3} + \frac{1}{t ^{3}}) = t^{5} + \frac{1}{t ^{5}} + t + \frac{1}{t}

所以

t^{5} + \frac{1}{t ^{5}} = 4 \times 36 - 6 = 116

。

(1) 的兩個

t

互為倒數：

\frac{6 + 2}{2} \times \frac{6 - 2}{2} = \frac{6 - 2}{4} = 1

，所以

t

與

\frac{1}{t}

誰大誰小，題目的條件決定不了。

第 6 題答案 (2)(3)(5)。先求三個最小值（

x

為正數）。

f (x)

：由算幾不等式

x + \frac{4}{x} \geq 2 x \times \frac{4}{x} = 4

，等號在

x = \frac{4}{x}

，即

x = 2

時成立，所以

a = 4

。

g (x)

：

x^{2} + \frac{4}{x ^{2}} \geq 2 x^{2} \times \frac{4}{x ^{2}} = 4

，等號在

x^{2} = \frac{4}{x ^{2}}

，即

x = 2

時成立，所以

b = 4

。

h (x)

：

h (x) = g (x) \geq 4 = 2

，同樣在

x = 2

時取到，所以

c = 2

。 (1) 錯誤。

b = 4

，而

a^{2} = 16

。 (2) 正確。 如上，

c = 2

。 (3) 正確。

a = 4 = 2^{2} = c^{2}

。 (4) 錯誤。

f (x) \geq 4

與

g (x) \geq 4

相加得

f (x) + g (x) \geq 8 = a + b

，但要等於

8

必須同時有

f (x) = 4

與

g (x) = 4

，也就是

x = 2

與

x = 2

同時成立，做不到。所以

f (x) + g (x)

永遠大於

8

，最小值不是

a + b

。 (5) 正確。

g (x) \geq 4

、

h (x) \geq 2

，兩個等號都在

x = 2

成立，所以

g (x) + h (x) \geq 6

，而且

x = 2

時真的等於

6 = b + c

。

把兩個不等式相加時，要檢查兩個等號能不能在同一個

x

成立。(4) 的例子：

x = 2

時

f + g = 4 + 5 = 9

，

x = 2

時

f + g = 32 + 4 \approx 8.24

，都比

8

大。

第 7 題答案 (1)(5)。第一式同乘

5

：

5 a = 6 b - c

，即

b = \frac{5 a + c}{6} = a + \frac{c - a}{6}

。第二式同乘

3

：

3 d = 4 a - c

，即

d = a - \frac{c - a}{3}

。令

u = c - a

（四數相異，所以

u \neq = 0

），則

b = a + \frac{u}{6}

，

c = a + u

，

d = a - \frac{u}{3}

。在數線上，從

a

出發，

b

、

c

在同一側，

d

在另一側。 (1) 正確。

b

與

c

在

a

的同一側，且

b

離

a

只有

c

離

a

的六分之一，所以

b

在

a

與

c

之間。 (2) 錯誤。

c - b = \frac{5 u}{6}

，正負隨

u

而定。例如

a = 0

、

b = - 1

、

c = - 6

、

d = 2

滿足兩個條件，這時

c

比

b

小。 (3) 錯誤。

d

與

b

分在

a

的兩側，是

a

在

d

與

b

之間。 (4) 錯誤。

a

到

c

的距離是

∣ u ∣

，

a

到

b

的距離是

\frac{∣ u ∣}{6}

，是

6

倍。 (5) 正確。

d

到

c

的距離是

\frac{∣ u ∣}{3} + ∣ u ∣ = \frac{4∣ u ∣}{3}

，

d

到

b

的距離是

\frac{∣ u ∣}{3} + \frac{∣ u ∣}{6} = \frac{∣ u ∣}{2}

，兩者相除得

\frac{4}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{8}{3}

倍。

取一組好算的數最快：

a = 0

、

c = 6

，得

b = 1

、

d = - 2

，數線上由左到右是

d

、

a

、

b

、

c

。但 (2) 這種和方向有關的選項，還要想到整組數反過來（

c

在

a

左邊）的情形。

第 8 題答案 (2)(3)(4)(5)。由常用對數的定義，

2 \approx 1 0^{0.3010}

，

3 \approx 1 0^{0.4771}

，所以

4 = 2^{2} \approx 1 0^{0.6020}

，

a = \frac{4}{3} \approx 1 0^{0.6020 - 0.4771} = 1 0^{0.1249}

。於是

a^{100} \approx 1 0^{12.49} = 1 0^{0.49} \times 1 0^{12}

，

(\frac{1}{a})^{100} \approx 1 0^{- 12.49} = 1 0^{0.51} \times 1 0^{- 13}

。又

0.4771 < 0.49 < 0.51 < 0.6020

，所以

1 0^{0.49}

與

1 0^{0.51}

都在

3

與

4

之間。 (1) 錯誤。 見 (2)。 (2) 正確。

a^{100}

是一個

3

點多的數乘上

1 0^{12}

，整數部分有

13

位。 (3) 正確。

1 0^{0.49}

在

3

與

4

之間，最左邊的數字是

3

。 (4) 正確。

(\frac{1}{a})^{100}

是一個

3

點多的數乘上

1 0^{- 13}

，小數點後前

12

位都是

0

，第

13

位開始不為

0

。 (5) 正確。

1 0^{0.51}

在

3

與

4

之間，第一個不為

0

的數字是

3

。

負的次方要拆成「負整數加上一個

0

到

1

之間的數」：

- 12.49 = - 13 + 0.51

，不是

- 12 - 0.49

。實際數值

a^{100} \approx 3.1 \times 1 0^{12}

，

(\frac{1}{a})^{100} \approx 3.2 \times 1 0^{- 13}

。

判斷位數與首位數字，把數寫成

1

到

10

之間的數乘上

10

的整數次方；用算幾不等式求最小值，一定要確認等號取得到。

03選填 A～H（第 9～16 題）：根式、有理數、對數、絕對值與極值

第 9 題第一項：

48 = 212

，找兩個數和為

8

、積為

12

，取

6

與

2

，所以

8 + 212 = (6 + 2)^{2}

，

8 + 48 = 6 + 2

。第二項：根號裡同乘同除以

2

，

2 - 3 = \frac{4 - 2 3}{2} = \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{2}

，所以

2 - 3 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{6 - 2}{2}

。相加：

6 + 2 + \frac{6 - 2}{2} = \frac{3 6 + 2}{2}

。

雙重根號要先讓裡面的根號前面有係數

2

；

3 - 1

是正數，開方時不必變號。

第 10 題三個分數都是正數，取倒數後大小反過來：由

\frac{1}{6} < \frac{7}{n} < \frac{1}{5}

得

5 < \frac{n}{7} < 6

，即

35 < n < 42

，

n

可能是

36

、

37

、

38

、

39

、

40

、

41

。最簡分數化成有限小數的條件，是分母的質因數只有

2

與

5

。逐一看

\frac{5}{n}

：

n = 36

、

37

、

38

、

39

、

41

都與

5

互質，分母分別含有質因數

3

、

37

、

19

、

3

與

13

、

41

，都不是有限小數；

n = 40

時

\frac{5}{40} = \frac{1}{8} = 0.125

是有限小數。所以

n = 40

。

判斷前要先約分：

\frac{5}{40}

約成

\frac{1}{8}

，分母

8 = 2^{3}

。

第 11 題把左邊依「有沒有

2

」整理：

(2 a + b) + (3 a - 2 b) 2 = 1 + 122

a

、

b

是有理數，所以

2 a + b

與

3 a - 2 b

都是有理數，而

2

是無理數，兩邊的有理數部分與

2

的係數要分別相等：

2 a + b = 1

，

3 a - 2 b = 12

。第一式乘以

2

加到第二式：

7 a = 14

，

a = 2

，代回得

b = - 3

。所以

(a, b) = (2, - 3)

。

代回檢查：

2 (2 + 32) - 3 (1 - 22) = 4 + 62 - 3 + 62 = 1 + 122

。

第 12 題由

3 lo g y = 1

得

lo g y = \frac{1}{3}

，依常用對數的定義

y = 1 0^{\frac{1}{3}}

，所以

y^{3} = 10

。代入

x^{- \frac{1}{2}} y^{3} = 1

：

x^{- \frac{1}{2}} \times 10 = 1

，即

x^{\frac{1}{2}} = 10

，兩邊平方得

x = 100

。所求

\frac{x - y ^{3}}{2} = \frac{100 - 10}{2} = 45

。

這一題不必把

y

算出來，只需要

y^{3}

。

第 13 題老二與老三的年齡乘上

a

之後是

8 a

與

4 a

，它們和

15

都相差

b

：

∣8 a - 15∣ = b

且

∣4 a - 15∣ = b

。兩個數到

15

的距離相等，只有兩種情形。一是兩數相等，

8 a = 4 a

，得

a = 0

；二是兩數分在

15

的兩側，

8 a - 15 = 15 - 4 a

，得

12 a = 30

，

a = \frac{5}{2}

。

a = \frac{5}{2}

時，

8 a = 20

、

4 a = 10

，和

15

都相差

5

，所以

b = 5

，

(a, b) = (\frac{5}{2}, 5)

。

a = 0

時兩個年齡都變成

0

，和

15

都相差

15

，式子上也成立；但卷面的答案格是「一個分數」與「一位數」，而且註明化為最簡分數，所以取

a = \frac{5}{2}

、

b = 5

這一組。

第 14 題小數部分一定大於或等於

0

、小於

1

，所以

x^{2}

小於

5

。又

x

是正數，而

5

約為

2.236

，因此

x

的整數部分

n

只可能是

0

、

1

、

2

其中之一。整數部分加小數部分等於

x

：

x = n + \frac{x ^{2}}{5} 即 x^{2} - 5 x + 5 n = 0

n = 0

：

x^{2} - 5 x = 0

的解是

0

與

5

，都不是比

5

小的正數，不合。

n = 1

：

x^{2} - 5 x + 5 = 0

的解是

\frac{5 \pm 5}{2}

。取減號的那個約為

1.382

，整數部分確實是

1

，合；取加號的那個約為

3.618

，超出範圍，不合。

n = 2

：

x^{2} - 5 x + 10 = 0

，判別式

25 - 40

是負的，沒有實數解。所以

x = \frac{5 - 5}{2}

。

代回檢查：

x^{2} = \frac{30 - 10 5}{4}

，

\frac{x ^{2}}{5} = \frac{3 - 5}{2}

；而

x - 1 = \frac{3 - 5}{2}

，兩者相等。

第 15 題

6^{2} + 8^{2} = 1 0^{2}

，所以直角在

A

，

\overline{A B}

與

\overline{A C}

垂直。

L

垂直

\overline{B C}

於

P

，交

\overline{A C}

於

Q

，再往外延伸與直線

A B

交於

R

（

R

在

A

的外側）。先看

△ C P Q

與

△ C A B

：兩個三角形都有直角（分別在

P

與

A

），又共用

∠ C

，所以相似，對應邊成比例：

\overline{QP} : \overline{P C} : \overline{C Q} = \overline{A B} : \overline{A C} : \overline{B C} = 3 : 4 : 5

設

\overline{QP} = 3 k

，則

\overline{C Q} = 5 k

，

\overline{A Q} = 8 - 5 k

。再看

△ A QR

與

△ P QC

：兩個三角形也都有直角（分別在

A

與

P

），而

∠ A QR

與

∠ P QC

是對頂角，所以相似：

\overline{QR} : \overline{Q A} = \overline{QC} : \overline{QP} = 5 : 3

得

\overline{QR} = \frac{5}{3} (8 - 5 k)

。因此

\overline{QP} \times \overline{QR} = 3 k \times \frac{5}{3} (8 - 5 k) = 5 k (8 - 5 k)

。這裡

5 k

與

8 - 5 k

都是正數，和為

8

，由算幾不等式

5 k (8 - 5 k) \leq \frac{5 k + ( 8 - 5 k )}{2} = 4

乘積最大是

16

，等號在

5 k = 8 - 5 k

（也就是

k = \frac{4}{5}

）時成立。

確認這個位置存在：

k = \frac{4}{5}

時

\overline{C Q} = 4

，

Q

是

\overline{A C}

的中點；

\overline{P C} = 4 k = \frac{16}{5}

小於

10

，

P

在

\overline{B C}

上。這時

\overline{QP} = \frac{12}{5}

，

\overline{QR} = \frac{20}{3}

，相乘正好是

16

。

第 16 題左邊是數線上

x

到

1000

、

k

、

2025

三個點的距離和。「對所有

x

都大於或等於

2 k

」就是這個距離和的最小值要大於或等於

2 k

。依

k

的位置分兩種情形。 第一種：

1 \leq k \leq 1000

。三個點由左到右是

k

、

1000

、

2025

。

x

到最左與最右兩點的距離和至少是這兩點的距離

2025 - k

，而

x

到

1000

的距離至少是

0

；取

x = 1000

時兩個等號同時成立，所以最小值是

2025 - k

。條件變成

2025 - k \geq 2 k

，解得

k

不超過

675

。 第二種：

1000 < k \leq 2025

。三個點由左到右是

1000

、

k

、

2025

。同理

x

到

1000

與

2025

的距離和至少是

1025

，取

x = k

時等號成立而且

x

到

k

的距離是

0

，所以最小值是

1025

。條件變成

1025 \geq 2 k

，解得

k

不超過

512.5

，與

k

大於

1000

矛盾，沒有符合的

k

。所以

k = 1, 2, \dots, 675

，共

675

個。

三個點的距離和，在

x

取中間那個點時最小，最小值是最左與最右兩點的距離。邊界檢查：

k = 675

時最小值

1350

等於

2 k

，成立；

k = 676

時最小值

1349

小於

1352

，不成立。

有理數與無理數混在一起的等式，把有理數部分與根號的係數分開比較；幾個絕對值相加，用數線上的距離和來看。

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單選第 2 題要用等號在哪一端來判斷題目給的是哪一段；多選第 6 題選項 (4) 兩個不等式的等號不在同一個 x 成立，相加後的下界取不到；多選第 7 題選項 (4) 是 6 倍不是 5 倍，選項 (2) 的大小隨方向而定；多選第 8 題要把負的次方拆成負十三加上零點五一；選填 H 題（本頁第 16 題）要依 k 在 1000 的左邊或右邊分開討論，只有 k 不超過 675 時成立。詳解逐題寫在本頁。

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興大附中 114 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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