高雄新興高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (D)(E)。先把負數的平方根寫成 $i$ 乘以正數的平方根：$\sqrt{-2}=\sqrt{2}i$，$\sqrt{-3}=\sqrt{3}i$，$\sqrt{-5}=\sqrt{5}i$。

(A) 錯誤。 $\sqrt{-2}\times \sqrt{-3}=\sqrt{2}i\times \sqrt{3}i=\sqrt{6}{i}^2=-\sqrt{6}$，不是 $\sqrt{6}$。

(B) 錯誤。 左邊 $=\sqrt{2}i\times \sqrt{3}i\times \sqrt{5}i=\sqrt{30}{i}^3=-\sqrt{30}i$，右邊 $\sqrt{-30}=\sqrt{30}i$，差一個負號。

(C) 錯誤。 左邊 $=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{3}{i}^2}=-\sqrt{\frac{2}{3}}i$，右邊 $\sqrt{\frac{2}{-3}}=\sqrt{-\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}i$，差一個負號。

(D) 正確。 左邊 $=\frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}i$，右邊 $=\sqrt{-\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}i$，相等。

(E) 正確。 左邊 $=\frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{3}i}=\sqrt{\frac{2}{3}}$，右邊 $=\sqrt{\frac{-2}{-3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$，相等。

答案 (A)(B)(E)。$f(x)$ 是實係數多項式，虛根成對出現，所以 $2-i$ 的共軛複數 $2+i$ 也是根。三次方程式共有 $3$ 個根，兩個虛根已經用掉，第三個根 $r$ 必須是實數（若 $r$ 是虛數，它的共軛也要是根，會超過 $3$ 個）。

(A) 正確。 $2+i$ 是根，$f(2+i)=0$。

(B) 正確。 三個根是 $2-i$、$2+i$ 與實數 $r$，$3+2i$ 不在其中，所以 $f(3+2i)\ne 0$。

(C) 錯誤。 如上，必有一個實根 $r$。

(D) 錯誤。 實根 $r$ 使 $f(r)=0$，點 $(r,0)$ 就是圖形與 $x$ 軸的交點。

(E) 正確。 $(x-(2-i))(x-(2+i))=x^2-4x+(4+1)=x^2-4x+5$，兩根都是 $f(x)$ 的根，所以 $f(x)$ 可寫成 $c(x^2-4x+5)(x-r)$（$c$ 為最高次項係數），可被 $x^2-4x+5$ 整除。

答案 (D)(E)。

(A) 錯誤。 左邊 ${\left(\sqrt{-1}\right)}^2=i^2=-1$，右邊 $\sqrt{(-1{)}^2}=\sqrt{1}=1$。

(B) 錯誤。 $2+i$ 與 $2-i$ 都不是實數，兩個非實數的複數之間沒有大小關係，不能用「$>$」比較。

(C) 錯誤。 題目沒有說 $a,b,c,d$ 是實數，就不能直接比對實部與虛部。例如 $a=i$、$b=0$、$c=0$、$d=1$ 時，$a+bi=i=c+di$，但 $a\ne c$。

(D) 正確。 $\frac{1}{2+i}+\frac{1}{2-i}=\frac{(2-i)+(2+i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}$。

(E) 正確。 共軛複數只把虛部變號：$\overline{-1+\sqrt{3}i}=-1-\sqrt{3}i$。

答案 (A)(B)(C)(E)。設 $z=x+yi$（$x,y$ 為實數），則 $\overline{z}=x-yi$。

(A) 正確。 設 $z_1=a+bi$，$z_2=c+di$，則 $z_1\pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)i$，共軛為 $(a\pm c)-(b\pm d)i=(a-bi)\pm (c-di)=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}$。

(B) 正確。 令 $w=\frac{z_1}{z_2}$，則 $z_1=w{z}_2$，兩邊取共軛並用「積的共軛等於共軛的積」得 $\overline{z_1}=\overline{w}\cdot \overline{z_2}$；$z_2\ne 0$ 時 $\overline{z_2}\ne 0$，所以 $\overline{w}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$。

(C) 正確。 $x+yi=x-yi$ 得 $2yi=0$，$y=0$，$z=x$ 是實數。

(D) 錯誤。 $x+yi=-x+yi$ 得 $x=0$，$z=yi$；但 $y$ 可以是 $0$。例如 $z=0$ 滿足 $0=-\overline{0}$，而 $0$ 是實數，不是純虛數（純虛數是 $yi$ 且 $y\ne 0$）。

(E) 正確。 $z\cdot \overline{z}=(x+yi)(x-yi)=x^2+y^2$，是實數。

先平方：${\left(-1+\sqrt{2}i\right)}^2=1-2\sqrt{2}i+2i^2=-1-2\sqrt{2}i$。再乘一次：

$$\left(-1-2\sqrt{2}i\right)\left(-1+\sqrt{2}i\right)=1-\sqrt{2}i+2\sqrt{2}i-4i^2=5+\sqrt{2}i$$

所以 ${\left(-1+\sqrt{2}i\right)}^3=5+\sqrt{2}i$。

方程式是實係數，$2+i$ 是根，所以 $2-i$ 也是根。設第三個根為 $r$，由根與係數的關係，三根的積 $=-(-5)=5$，而 $(2+i)(2-i)=5$，所以 $5r=5$，$r=1$。

於是 $x^3+a{x}^2+bx-5=(x-1)(x^2-4x+5)=x^3-5x^2+9x-5$，比較係數得 $a=-5$，$b=9$，$(a,b)=(-5,9)$。

設兩交點的 $x$ 坐標為 $x_1,x_2$，即 $2x^2+4x-k=0$ 的兩實根，$x_1+x_2=-2$，$x_1{x}_2=-\frac{k}{2}$。

${\overline{AB}}^2=(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=4+2k=36$，得 $k=16$。

檢查：$k=16$ 時判別式 $16+8\times 16=144>0$，確有兩個交點。

由根與係數的關係，$\alpha +\beta =-8$，$\alpha \beta =9$。

$\frac{\beta }{\alpha }+\frac{\alpha }{\beta }=\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{\alpha \beta }=\frac{(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta }{\alpha \beta }=\frac{64-18}{9}=\frac{46}{9}$。

判別式 $64-36=28>0$，兩根是實數；又 $\alpha +\beta =-8<0$、$\alpha \beta =9>0$，所以兩根都是負數。令 $\alpha =-p$，$\beta =-q$（$p,q>0$），則 $p+q=8$，$pq=9$。

$\sqrt{\alpha }=\sqrt{p}i$，$\sqrt{\beta }=\sqrt{q}i$，所以 $\sqrt{\alpha }-\sqrt{\beta }=\left(\sqrt{p}-\sqrt{q}\right)i$，

$${\left(\sqrt{\alpha }-\sqrt{\beta }\right)}^2={\left(\sqrt{p}-\sqrt{q}\right)}^2{i}^2=-\left(p+q-2\sqrt{pq}\right)=-(8-6)=-2$$

連續四項的和 $i^k+i^{k+1}+i^{k+2}+i^{k+3}=i^k(1+i-1-i)=0$。從 $i^{21}$ 到 $i^{999}$ 共 $999-21+1=979$ 項，$979=4\times 244+3$。前 $976$ 項（$i^{21}$ 到 $i^{996}$）每四項一組和為 $0$，剩下

$$i^{997}+i^{998}+i^{999}=i+(-1)+(-i)=-1$$

（$997=4\times 249+1$）。所以原式 $=-1$。

設 $z=x-i$（$x$ 為實數）。$\frac{1}{z}=\frac{x+i}{(x-i)(x+i)}=\frac{x+i}{x^2+1}$，實部為 $\frac{x}{x^2+1}=\frac{2}{5}$。

$5x=2x^2+2$，$2x^2-5x+2=0$，$(2x-1)(x-2)=0$，$x=2$ 或 $\frac{1}{2}$。所以 $z=2-i$ 或 $z=\frac{1}{2}-i$。

$\overline{z}=z$ 表示 $z$ 是實數。$z=\frac{(2-3i)(a-i)}{(a+i)(a-i)}=\frac{2a-2i-3ai+3i^2}{a^2+1}=\frac{(2a-3)-(3a+2)i}{a^2+1}$。

虛部為 $0$：$3a+2=0$，$a=-\frac{2}{3}$。

設實根為 $x$（實數），代入並整理成實部、虛部：

$$\left(3x^2+(k+3)x+k\right)+(-6x+4)i=0$$

$x$、$k$ 都是實數，實部與虛部都要是 $0$。由虛部 $-6x+4=0$ 得 $x=\frac{2}{3}$；代入實部：$3\cdot \frac{4}{9}+(k+3)\cdot \frac{2}{3}+k=0$，即 $\frac{4}{3}+\frac{2k}{3}+2+k=0$，$\frac{5k}{3}=-\frac{10}{3}$，$k=-2$。

由根與係數的關係，$\alpha +\beta =-2k$，$\alpha \beta =k+2$。

$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =4k^2-2k-4=4{\left(k-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{17}{4}$$

但兩根為實數，$k$ 只能在 $k\le -1$ 或 $k\ge 2$ 的範圍取值，頂點 $k=\frac{1}{4}$ 不在範圍內。這個二次函數在 $k\le -1$ 時隨 $k$ 變小而變大，在 $k\ge 2$ 時隨 $k$ 變大而變大，所以最小值只可能在端點：

$k=-1$ 時 $4+2-4=2$；$k=2$ 時 $16-4-4=8$。

所以 ${\alpha }^2+{\beta }^2$ 的最小值為 $2$，此時 $k=-1$（方程式為 $x^2-2x+1=0$，$\alpha =\beta =1$，$1+1=2$）。

方程式 $x^3-3x^2-50=0$ 是實係數，虛根成對出現。$b\ne 0$，所以 $a+3i$ 與 $-1+bi$ 都不是實數；三次方程式最多只有兩個虛根，而且這兩個虛根互為共軛。題目說這是兩個根，所以 $-1+bi=\overline{a+3i}=a-3i$，比較實部、虛部得 $a=-1$，$b=-3$。

驗算 $-1+3i$ 是根：$(-1+3i{)}^2=1-6i-9=-8-6i$，$(-1+3i{)}^3=(-8-6i)(-1+3i)=8-24i+6i+18=26-18i$，

$$(26-18i)-3(-8-6i)-50=26-18i+24+18i-50=0$$

虛根為 $-1+3i$ 與 $-1-3i$，兩根和 $-2$、兩根積 $1+9=10$，所以 $x^2+2x+10$ 是因式。三根和 $=3$，第三根 $r=3-(-2)=5$。

驗算：$(x^2+2x+10)(x-5)=x^3-5x^2+2x^2-10x+10x-50=x^3-3x^2-50$，正確。所以所有根為 $-1+3i$，$-1-3i$，$5$。