段考詳解範圍：分布與統計（離散型隨機變數、期望值、變異數與標準差、二項分布、幾何分布）、複數與多項式方程式

高雄新興高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高雄新興高中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高雄新興高中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要比較二項分布相鄰兩項的機率，用相鄰兩項的比值最快，選項 C 的兩個機率恰好相等。第 4 題要先數出五個根裡有幾個實根，才能判斷每個區間裡的實根個數。第 12 題的兩根都是負數，負數的平方根要先寫成虛數再相乘，直接套用根號相乘的規則會差一個負號。第 14 題的係數有虛數，不能用判別式，要把實部與虛部分開。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

多選題 4 題（每題 7 分，共 28 分；錯一個給 5 分，錯兩個給 3 分，錯三個全錯）、填充題 9 題共 11 格（每格 5 分，共 55 分）、計算題 2 題（共 17 分，配分印在題末），合計 100 分。本頁全卷連續編號：第 5～7 題是原卷填充第 1～3 題，第 8、9 題是填充第 4 題的 (1)(2)，第 10、11 題是填充第 5、6 題，第 12、13 題是填充第 7 題的 (1)(2)，第 14、15 題是填充第 8、9 題；第 16、17 題是原卷計算第 1 題的 (1)(2)，第 18 題是計算第 2 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題：28%（每題 7 分；錯一個給 5 分，錯兩個給 3 分，錯三個全錯）

投擲一枚不均勻的硬幣

20

次，該硬幣出現正面機率為出現反面機率的

2

倍，令隨機變數

X

表示出現反面的次數。假設

P (X = k)

為

X = k

（

k = 0, 1, 2, \dots, 19, 20

）時的機率，則下列何者正確？

(A) $X$ 的期望值為 $\frac{40}{3}$
(B) $X$ 的標準差大於 $2$
(C) $P (X = 6) = P (X = 7)$
(D) $P (X = 13) > P (X = 14)$
(E) $P (X = 8) > P (X = 5)$

新興高中舉辦英文單字比賽，試卷題目有

25

題，每道題目都是

5

選

1

的單選題，答對

1

題得

4

分，答錯不倒扣。今學生甲決定以猜答案方式作答，每題都從

5

個選項中隨機選

1

個答案作答，設隨機變數

X

為甲答對的題數，隨機變數

Y

為甲的試卷分數。試選出正確的選項。

(A) $E (X) = 5$
(B) $Var (X) = 2$
(C) $E (Y) = 20$
(D) $Var (Y) = 16$
(E) $E (Y^{2}) = 464$ 。

請選出正確的選項。

(A) 若 $a$ ， $b$ 均為實數，且 $ab > 0$ ，則 $a b = ab$
(B) 若 $a$ ， $b$ 均為實數，且 $ab > 0$ ，則 $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$
(C) 若 $a$ ， $b$ 均為實數，且 $a > b$ ，則 $(b - a) = (a - b) i$
(D) 若 $a$ ， $b$ 為複數，且 $a + 3 i = 2 + bi$ ，則 $a = 2$ 、 $b = 3$
(E) 若 $z$ 為複數，則 $(z + 1) \times (\overline{z} + 1)$ 一定為實數。

設

f (x)

為實係數五次多項式，且

f (2 i + 1) = 0

，若已知一些

f (x)

的正、負，整理如附表：

x f (x) - 1 + 0 - 1 - 2 +

則下列關於

f (x)

的敘述哪些正確？

(A) $f (2 i - 1) = 0$
(B) $f (x) = 0$ 在 $- 1$ 與 $0$ 之間恰有一個實根
(C) $f (x) = 0$ 恰有三實根兩虛根
(D) $f (x) = 0$ 在 $0$ 與 $1$ 之間可能有實根
(E) 若 $f (3) < 0$ ，則 $f (4) < 0$ 。

二、填充題：55%（每格 5 分，共 11 格）

新興公司年終尾牙活動，提供一款刮刮樂彩券。已知彩券每張有

16

格，其中有

4

個

1

，

4

個

2

，

4

個

3

，

4

個

4

，數字任意排列。今每張彩券只能讓員工任刮

2

格，若刮出的

2

個數字相同，即可得此數字的

1000

倍獎金，否則無獎金。如果現場發給每位員工彩券

3

張，試求每位員工可獲得獎金的期望值為 ____ 元

根據資料顯示：一個

60

歲的人，在一年內死亡的機率為

1%

，生病住院的機率為

4%

，老王

60

歲，欲保一年

10

萬元的平安保險，須繳保費

2200

元。於保險期間若死亡，由保險公司給付

10

萬元，若生病住院，則給付

5000

元，求保險公司利潤的期望值為 ____ 元。

皮卡丘在數線上原點處，投擲

1

顆公正骰子，若出現

1

點或

2

點，則向左前進

2

格，若出現

3 \sim 6

點，則向右前進

1

格，重複投擲

7

次，則第七次投擲後皮卡丘移動到數線上坐標為

1

的機率為 ____ .

第 8～9 題為題組（原卷填充第 4 題）（第 8～9 題）　已知甲、乙、丙三人打靶的命中率分別為

\frac{1}{2}

，

\frac{1}{3}

，

\frac{1}{4}

。若在每一次的打靶中，三人對同一靶面各射擊一發子彈，只要有人命中就稱為「成功命中」，並且三人射擊互不影響。令

X

代表

20

次打靶中，成功命中的次數，試問

(1)

X

的期望值

E (X) =

____

(2)

X

的標準差

σ_{X} =

____

重複擲三顆公正的骰子，直到三顆骰子至少出現一個

5

點就停止。設隨機變數

X

的取值為擲出至少出現一個

5

點所需的次數。試求

X

的期望值為 ____ 次。

設

a

為實數且

z = \frac{3 + 2 i}{a - i}

，若

\overline{z} = z

，則

a

之值為 ____

第 12～13 題為題組（原卷填充第 7 題）（第 12～13 題）　設

α

，

β

為方程式

2 x^{2} + 9 x + 8 = 0

之兩根，則

(1)

(α - β)^{2} =

____

(2)

\frac{β}{2 α ^{2} + 10 α + 8} + \frac{α}{2 β ^{2} + 10 β + 8} =

____

設

a

為實數，若方程式

x^{2} + (3 a - i) x + (18 + 3 i) = 0

有實根，則

a

值為 ____

設

f (x) = 2 x^{4} + x^{3} - 7 x^{2} - 9 x + 6

，試求方程式

f (x) = 0

的所有理根為 ____

三、計算題：17%（計算題請詳列計算過程，否則不予計分）

第 16～17 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 16～17 題）　班上分組報告，

5

人一組，老師依序給小組打分數，打分數的過程是從這

5

人中隨機點同學回答問題，點到能回答問題時即停止，否則會繼續點其他同學回答。已知第三組同學中，有

2

人沒準備，無法回答，其他

3

人則準備充分，一定能回答出問題。假設隨機變數

X

取值為這一組的點名人數，

(1) 試寫出

X

的機率分布表（5%）

(2)

X

的期望值與變異數為何？（5%）

已知實係數方程式

x^{4} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + a x + b = 0

有一根為

1 - 3 i

，求

a

與

b

的值，並求此方程式所有複數根.（7%）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)(D)(E)

第 2 題(A)(C)(E)

第 3 題(B)(C)(E)

第 4 題(B)(C)(E)

第 5 題

1500

第 6 題

1000

第 7 題

\frac{224}{729}

第 8 題

15

第 9 題

\frac{15}{2}

第 10 題

\frac{216}{91}

第 11 題

- \frac{3}{2}

第 12 題

- \frac{1}{2}

第 13 題

\frac{49}{16}

第 14 題

- 3

第 15 題

2

，

\frac{1}{2}

第 16 題

P (X = 1) = \frac{3}{5}

，

P (X = 2) = \frac{3}{10}

，

P (X = 3) = \frac{1}{10}

第 17 題期望值

\frac{3}{2}

，變異數

\frac{9}{20}

第 18 題

a = 2

，

b = - 60

；四個根為

1 - 3 i

，

1 + 3 i

，

3

，

- 2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1：二項分布的期望值、標準差與相鄰兩項的比值

1 (A)錯誤。設出現反面的機率為

p

，則出現正面的機率為

2 p

，由

p + 2 p = 1

得

p = \frac{1}{3}

。

X

是

20

次中出現反面的次數，服從

n = 20

、

p = \frac{1}{3}

的二項分布，期望值

E (X) = n p = \frac{20}{3}

。選項的

\frac{40}{3}

是出現正面次數的期望值。

1 (B)正確。變異數

= n p (1 - p) = 20 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{40}{9}

，標準差

= \frac{40}{3}

。因為

40 > 36

，所以

40 > 6

，標準差大於

2

。

1 (C)正確。

P (X = k) = C_{k}^{20} (\frac{1}{3})^{k} (\frac{2}{3})^{20 - k}

，相鄰兩項的比值是

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{C _{k + 1}^{20}}{C _{k}^{20}} \times \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{20 - k}{k + 1} \times \frac{1}{2} = \frac{20 - k}{2 ( k + 1 )}

取

k = 6

，比值

= \frac{14}{14} = 1

，所以

P (X = 7) = P (X = 6)

。

比值大於

1

表示機率還在變大，小於

1

表示開始變小。

20 - k > 2 (k + 1)

即

k < 6

，所以機率一路增加到

X = 6

，

X = 6

與

X = 7

一樣大，之後遞減。

1 (D)正確。取

k = 13

，比值

\frac{P ( X = 14 )}{P ( X = 13 )} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4} < 1

，所以

P (X = 13) > P (X = 14)

。

1 (E)正確。把

k = 5, 6, 7

的比值連乘：

\frac{P ( X = 8 )}{P ( X = 5 )} = \frac{15}{12} \times \frac{14}{14} \times \frac{13}{16} = \frac{195}{192} > 1

所以

P (X = 8) > P (X = 5)

。

X = 8

在最高點的右邊、

X = 5

在左邊，不能只看離最高點多遠，要實際算比值。

比較二項分布兩個機率的大小，用相鄰兩項的比值，不必把機率算出來。

02多選 2：猜答案的題數與分數

2 (A)正確。每題猜對的機率是

\frac{1}{5}

，各題互不影響，

X

服從

n = 25

、

p = \frac{1}{5}

的二項分布。

E (X) = n p = 25 \times \frac{1}{5} = 5

。

2 (B)錯誤。

Var (X) = n p (1 - p) = 25 \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = 4

，不是

2

；

2

是標準差。

2 (C)正確。答對一題得

4

分，答錯不倒扣，所以

Y = 4 X

。

E (Y) = 4 E (X) = 20

。

2 (D)錯誤。

Var (Y) = Var (4 X) = 4^{2} Var (X) = 16 \times 4 = 64

，不是

16

。

2 (E)正確。由

Var (Y) = E (Y^{2}) - (E (Y))^{2}

，得

E (Y^{2}) = 64 + 2 0^{2} = 464

。

乘上常數 a 之後，期望值乘 a，變異數乘 a 的平方。

03多選 3：負數的平方根與複數

3 (A)錯誤。

ab > 0

表示

a

、

b

同號，可能都是負數。取

a = b = - 1

：左邊

- 1 - 1 = i \times i = - 1

，右邊

1 = 1

，不相等。

a < 0

且

b < 0

時，

a b = ∣ a ∣ i \times ∣ b ∣ i = - ab

。

3 (B)正確。

a

、

b

同號（而且

b \neq = 0

）。都是正數時等式就是一般的根式運算。都是負數時，

\frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣ i}{∣ b ∣ i} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

，而

\frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣} > 0

，兩邊相等。

3 (C)正確。

a > b

時

a - b > 0

，

b - a = - (a - b) < 0

。負數的平方根依定義是

- (a - b) = a - b i

。

3 (D)錯誤。

a

、

b

是實數時才能比較實部與虛部。

a

、

b

是複數時有別的可能，例如取

a = 2 - 3 i

、

b = 0

：左邊

= 2 - 3 i + 3 i = 2

，右邊

= 2 + 0 = 2

，等式成立，但

a \neq = 2

、

b \neq = 3

。

3 (E)正確。設

z = x + y i

（

x

、

y

為實數），則

\overline{z} = x - y i

。乘開：

(x + 1 + y i) (x + 1 - y i) = (x + 1)^{2} - (y i)^{2} = (x + 1)^{2} + y^{2}

結果是實數。

也可以看成

\overline{z} + 1 = \overline{z + 1}

，一個複數乘以自己的共軛，等於

∣ z + 1 ∣^{2}

。

負數的平方根一律先寫成根號乘以 i，再做乘除。

04多選 4：實係數五次方程式的根

4 (A)錯誤。先數根的個數。

f (x)

是實係數多項式，

1 + 2 i

是根，所以

1 - 2 i

也是根。由表，

f (- 1) > 0

、

f (0) < 0

，由勘根定理，

- 1

與

0

之間至少有一個實根；

f (1) < 0

、

f (2) > 0

，

1

與

2

之間也至少有一個實根。五次方程式共五個根，已經有兩個虛根、至少兩個實根，剩下的第五個根不可能是虛根（虛根要成對），所以它也是實根。結論：五個根是

1 \pm 2 i

與三個實根。

2 i - 1 = - 1 + 2 i

不是實數，也不是

1 \pm 2 i

，所以不是根。

4 (B)正確。把

f (x)

寫成

c (x - r_{1}) (x - r_{2}) (x - r_{3}) (x^{2} - 2 x + 5)

，其中

x^{2} - 2 x + 5 = (x - 1)^{2} + 4

恆為正，所以

f (x)

的正負只在經過實根時改變。

f (- 1)

與

f (0)

異號，

- 1

與

0

之間的實根個數（重根重複計）是奇數；同理

1

與

2

之間是奇數個，而

f (0)

與

f (1)

同號，

0

與

1

之間是偶數個。實根總共只有三個，唯一的可能是

- 1

與

0

之間一個、

1

與

2

之間一個、

0

與

1

之間沒有，剩下一個在

- 1

的左邊或

2

的右邊。所以

- 1

與

0

之間恰有一個實根。

4 (C)正確。承 (A)(B)，五個根是三個實根與兩個虛根

1 \pm 2 i

，而且三個實根落在不同的區間，彼此不相等。

4 (D)錯誤。承 (B)，

0

與

1

之間的實根個數是偶數，若有就至少兩個，加上另外兩個區間各一個，實根會超過三個。所以

0

與

1

之間不可能有實根。

4 (E)正確。

f (2) > 0

且

f (3) < 0

，所以

2

與

3

之間有實根，它就是第三個實根。三個實根都小於

3

，

x \geq 3

之後

f (x)

不再變號，所以

f (4)

與

f (3)

同號，

f (4) < 0

。

先用虛根成對與次數數出實根個數，再用正負號的變化把實根分配到各區間。

05填充 5～7（原卷填充 1～3）：期望值與二項分布

第 5 題先看一張彩券。從

16

格任刮

2

格，共

C_{2}^{16} = 120

種。兩格都是同一個數字

k

有

C_{2}^{4} = 6

種，機率是

\frac{6}{120} = \frac{1}{20}

，

k = 1, 2, 3, 4

都一樣。一張彩券獎金的期望值是

\frac{1}{20} \times (1000 + 2000 + 3000 + 4000) = 500 （元）

每位員工有

3

張，獎金總和的期望值是各張期望值的和，

3 \times 500 = 1500

（元）。

第 6 題保險公司先收保費

2200

元。給付的期望值：死亡的部分

100000 \times 1% = 1000

元，生病住院的部分

5000 \times 4% = 200

元，合計

1200

元。利潤的期望值

= 2200 - 1200 = 1000

（元）。

題目沒有說死亡與生病住院能不能同時給付。利潤是「保費減去兩種給付」，期望值可以逐項相加，所以只要兩種給付各自照機率計算，答案都是

1000

元。

第 7 題每次向左（出現

1

、

2

點）的機率是

\frac{1}{3}

，向右（出現

3 \sim 6

點）的機率是

\frac{2}{3}

。設

7

次中向左

m

次、向右

7 - m

次，最後的坐標是

- 2 m + (7 - m) = 7 - 3 m

。令

7 - 3 m = 1

得

m = 2

，也就是恰好向左

2

次、向右

5

次。機率是

C_{2}^{7} (\frac{1}{3})^{2} (\frac{2}{3})^{5} = 21 \times \frac{32}{2187} = \frac{672}{2187} = \frac{224}{729}

幾個隨機變數相加時，總和的期望值就是各自期望值的和。

06填充 8～10（原卷填充 4、5）：二項分布與幾何分布

第 8 題一次打靶中三人都沒命中的機率是

\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

，所以成功命中的機率

p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

。

X

服從

n = 20

、

p = \frac{3}{4}

的二項分布，

E (X) = n p = 20 \times \frac{3}{4} = 15

。

第 9 題承上，

Var (X) = n p (1 - p) = 20 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{15}{4}

，標準差

σ_{X} = \frac{15}{4} = \frac{15}{2}

。

第 10 題擲一次三顆骰子，三顆都不是

5

點的機率是

(\frac{5}{6})^{3} = \frac{125}{216}

，所以至少出現一個

5

點的機率

p = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}

。

X

是第一次成功所需的次數，服從幾何分布，期望值

E (X) = \frac{1}{p} = \frac{216}{91}

（次）。

\frac{216}{91}

大約是

2.37

，平均擲兩到三次就會出現。

「至少一個」先算「一個都沒有」的機率再用 1 去減。

07填充 11～15（原卷填充 6～9）：複數與方程式

第 11 題

\overline{z} = z

表示

z

的虛部是

0

，也就是

z

是實數。分子分母同乘

a + i

：

z = \frac{( 3 + 2 i ) ( a + i )}{a ^{2} + 1} = \frac{( 3 a - 2 ) + ( 2 a + 3 ) i}{a ^{2} + 1}

虛部為

0

：

2 a + 3 = 0

，得

a = - \frac{3}{2}

。

驗算：

a = - \frac{3}{2}

時

3 a - 2 = - \frac{13}{2}

，

a^{2} + 1 = \frac{13}{4}

，

z = - 2

，確實是實數。

第 12 題由根與係數關係，

α + β = - \frac{9}{2}

，

α β = 4

。判別式

81 - 64 = 17 > 0

，兩根是實數；兩根的積為正、和為負，所以兩根都是負數。負數的平方根要寫成

α = - α i

、

β = - β i

，因此

α β = (- α) (- β) i^{2} = - α β = - 2

所求

= α + β - 2 α β = - \frac{9}{2} - 2 \times (- 2) = - \frac{1}{2}

。

若直接寫

α β = α β = 2

，會得到

- \frac{9}{2} - 4 = - \frac{17}{2}

，差在那個負號。本題的

α - β

是純虛數，平方後是負數，

- \frac{1}{2}

是合理的。

第 13 題

α

是根，所以

2 α^{2} + 9 α + 8 = 0

，因此

2 α^{2} + 10 α + 8 = α

；同理

2 β^{2} + 10 β + 8 = β

。原式變成

\frac{β}{α} + \frac{α}{β} = \frac{α ^{2} + β ^{2}}{α β} = \frac{( α + β ) ^{2} - 2 α β}{α β}

代入

α + β = - \frac{9}{2}

、

α β = 4

：分子

= \frac{81}{4} - 8 = \frac{49}{4}

，所求

= \frac{49}{4} \div 4 = \frac{49}{16}

。

第 14 題係數有虛數，不能用判別式。設實根為

t

，代入後把實部與虛部分開：

t^{2} + 3 a t + 18 + (- t + 3) i = 0

t

、

a

都是實數，所以實部與虛部都要是

0

。虛部

- t + 3 = 0

得

t = 3

；代入實部

9 + 9 a + 18 = 0

，得

a = - 3

。

驗算：

a = - 3

時方程式是

x^{2} - (9 + i) x + (18 + 3 i) = 0

，代

x = 3

得

9 - 27 - 3 i + 18 + 3 i = 0

。

第 15 題卷面的「所有理根」指所有的有理根。

f (x)

是整係數多項式，有理根

\frac{q}{p}

（最簡分數）必須滿足

p

整除首項係數

2

、

q

整除常數項

6

，所以只可能是

\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}

。逐一代入：

f (2) = 32 + 8 - 28 - 18 + 6 = 0

；

f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{7}{4} - \frac{9}{2} + 6 = 0

。所以

f (x)

有因式

(x - 2) (2 x - 1) = 2 x^{2} - 5 x + 2

，用除法得

f (x) = (2 x^{2} - 5 x + 2) (x^{2} + 3 x + 3)

x^{2} + 3 x + 3 = 0

的判別式

9 - 12 = - 3 < 0

，沒有實根，更沒有有理根。所以有理根只有

2

與

\frac{1}{2}

。

根代回原方程式得到的等式，常常可以把複雜的分母換成很簡單的式子。

08計算 16～17（原卷計算 1）：點名人數的機率分布

第 16 題點過的人不會再點，所以是不放回的抽取。

5

人中

3

人能回答、

2

人不能回答，最多點到第

3

人一定停止，

X

的取值是

1, 2, 3

。

X = 1

：第一個就點到能回答的，機率

\frac{3}{5}

。

X = 2

：第一個不能回答、第二個能回答，機率

\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}

。

X = 3

：前兩個都不能回答（第三個一定能回答），機率

\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}

。機率分布表：

X 機率 1 \frac{3}{5} 2 \frac{3}{10} 3 \frac{1}{10}

檢查：三個機率的和

\frac{6 + 3 + 1}{10} = 1

。

第 17 題期望值

E (X) = 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{1}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

。再算平方的期望值：

E (X^{2}) = 1 \times \frac{6}{10} + 4 \times \frac{3}{10} + 9 \times \frac{1}{10} = \frac{27}{10}

變異數是

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \frac{27}{10} - \frac{9}{4} = \frac{54 - 45}{20} = \frac{9}{20}

不放回的抽取，每一步的分母都要少一。

09計算 18（原卷計算 2）：虛根成對與四次方程式

第 18 題方程式的係數都是實數，

1 - 3 i

是根，所以

1 + 3 i

也是根。這兩根的和為

2

、積為

(1 - 3 i) (1 + 3 i) = 10

，所以左式有因式

x^{2} - 2 x + 10

。設

x^{4} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + a x + b = (x^{2} - 2 x + 10) (x^{2} + p x + q)

右邊展開得

x^{4} + (p - 2) x^{3} + (q - 2 p + 10) x^{2} + (10 p - 2 q) x + 10 q

。比較係數：

x^{3}

項

p - 2 = - 3

，得

p = - 1

；

x^{2}

項

q - 2 p + 10 = 6

，即

q + 12 = 6

，得

q = - 6

；

x

項

a = 10 p - 2 q = - 10 + 12 = 2

；常數項

b = 10 q = - 60

。所以

a = 2

，

b = - 60

，方程式是

(x^{2} - 2 x + 10) (x^{2} - x - 6) = 0

。

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

，根為

3

與

- 2

。四個根是

1 - 3 i

、

1 + 3 i

、

3

、

- 2

。

驗算：

(x^{2} - 2 x + 10) (x^{2} - x - 6) = x^{4} - 3 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x - 60

，

x^{3}

與

x^{2}

的係數與題目相符。

實係數方程式有一個虛根，就先用它和共軛根的和與積寫出二次因式，再比較係數。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要比較二項分布相鄰兩項的機率，用相鄰兩項的比值最快，選項 C 的兩個機率恰好相等。第 4 題要先數出五個根裡有幾個實根，才能判斷每個區間裡的實根個數。第 12 題的兩根都是負數，負數的平方根要先寫成虛數再相乘，直接套用根號相乘的規則會差一個負號。第 14 題的係數有虛數，不能用判別式，要把實部與虛部分開。

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題目取自高雄新興高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多選 1：二項分布的期望值、標準差與相鄰兩項的比值

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03多選 3：負數的平方根與複數

04多選 4：實係數五次方程式的根

05填充 5～7（原卷填充 1～3）：期望值與二項分布

06填充 8～10（原卷填充 4、5）：二項分布與幾何分布

07填充 11～15（原卷填充 6～9）：複數與方程式

08計算 16～17（原卷計算 1）：點名人數的機率分布

09計算 18（原卷計算 2）：虛根成對與四次方程式

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高三第一次段考
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