段考詳解範圍：隨機變數與機率分布、期望值、變異數與標準差、二項分布

高雄新興高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高雄新興高中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高雄新興高中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題的選項 E 要把兩個機率相除，會發現比值恰好是一，兩者相等。第 3 題先抽後抽的中獎機率與期望值都一樣，不要憑感覺認為先抽比較有利。第 14 題先看清楚判定規則，白球實際是三個時，要黑球抽中兩次以上才算判定正確，用一減去零次與一次的機率。第 15 題點過的人不會再點，所以最多點到第三個人，機率要用不放回的方式逐次相乘。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多選題 4 題（28 分）、填充題 8 題共 10 格（50 分）、計算題 2 題共 5 小題（22 分，各小題配分印在題末），合計 100 分。本頁全卷連續編號：第 5～14 題是原卷填充第 1～8 題（填充第 1、5 題各有兩格），第 15、16 題是計算第 1 題的 (1)(2)，第 17～19 題是計算第 2 題的 (1)(2)(3)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題：28%（每題 7 分；錯一個給 5 分，錯兩個給 3 分，錯三個全錯）

下列選項中，請選出隨機變數

X

是「二項分布」的選項。

(A) $10$ 題五選一的單選題，每題皆隨意選擇 $1$ 個選項作答，隨機變數 $X$ 表示答對的題數
(B) 擲 $1$ 顆公正骰子 $6$ 次， $X$ 為出現點數的總和
(C) 擲一枚兩面皆為人頭的硬幣 $10$ 次，隨機變數 $X$ 表示出現人頭的次數
(D) 袋中有紅球與白球各 $5$ 顆，從袋中每次取出一球，取後不放回，共取球 $5$ 次，隨機變數 $X$ 為取到紅球的次數（卷面此選項的代號印作 (C)，依順序為 (D)）
(E) 袋中有相同的黑球 $2$ 顆、白球 $2$ 顆，從袋中一次任取 $2$ 球，取球後放回袋中，共取球 $5$ 次，隨機變數 $X$ 表示兩球同色的次數。

投擲一枚不均勻的硬幣

20

次，該硬幣出現正面機率為出現反面機率的

2

倍，令隨機變數

X

表示出現正面的次數。則下列敘述何者正確？

(A) $X$ 的可能值有 $20$ 種
(B) $X$ 的期望值為 $\frac{20}{3}$
(C) $X$ 的標準差大於 $2$
(D) $P (X = 6) < P (X = 7)$
(E) $P (X = 13) = P (X = 14)$

有

100

支籤，其中

20

支有獎：特獎

2000

元一支，二獎

500

元二支，三獎

100

元

17

支。今甲、乙二人依序各抽取一支籤，甲先抽完換乙抽，取後不放回，下列選項何者正確？

(A) 甲抽得二獎的機率為 $0.02$
(B) 乙抽得特獎的機率為 $0.01$
(C) 甲抽得三獎的機率大於乙抽得三獎的機率相等（卷面原字，「大於」與「相等」兩個詞並存；本頁依句尾讀作兩者相等）
(D) 甲的期望值為 $47$ 元
(E) 甲的期望值大於乙的期望值

新興高中舉辦英文單字比賽，試卷題目有

25

題，每道題目都是

5

選

1

的單選題，答對

1

題得

4

分，答錯不倒扣。今一位學生決定以猜答案方式作答，每題都從

5

個選項中隨機選

1

個答案作答，設隨機變數

X

為該生答對的題數，隨機變數

Y

為該生的試卷分數。試選出正確的選項。

(A) $E (X) = 5$
(B) $Var (X) = 2$
(C) $E (Y) = 20$
(D) $Var (Y) = 16$
(E) $E (Y^{2}) = 464$ 。

二、填充題：50%（每格 5 分，共 10 格）

第 5～6 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 5～6 題）　設有一不公正的骰子，其出現

k

點的機率為

\frac{k}{n}

（

k = 1

，

2

，

3

，

4

，

5

，

6

），若出現

k

點可得

2 k

元，設隨機變數

X

為丟此骰子所獲得的錢數，試求

(1)

n =

____

(2)

E (X) =

____。

袋中裝有大小相同的紅球

2

顆、白球

2

顆，自袋中一次取出

2

球，若取出

2

球皆紅色可得

50

元，

2

球皆白色可得

30

元，如果希望遊戲公平，則取出

2

球顏色不同時，應賠 ____ 元

根據資料顯示：一個

60

歲的人，在一年內死亡的機率為

1%

，生病住院的機率為

4%

，老王

60

歲，欲保一年

10

萬元的平安保險，須繳保費

2200

元。於保險期間若死亡，由保險公司給付

10

萬元，若生病住院，則給付

5000

元，求保險公司利潤的期望值為 ____ 元。

一袋子內有

5

個紅球、

4

個黑球、

3

個白球。今從中取球，若取得

1

個紅球可得獎金

100

元，取得

1

個黑球可得獎金

250

元，取得

1

個白球可得獎金

300

元。今甲由袋中任取

2

球，試問可得金額的期望值為 ____ 元。

第 10～11 題為題組（原卷填充第 5 題）（第 10～11 題）　投擲硬幣三枚，若三枚均出現同一面，則可得一分，否則得零分。今連投五次，若機會均等且假設每次投幣互不影響，則：

(1) 恰得三分之機率為 ____

(2) 至少得四分之機率為 ____

假設甲在三分線投籃的命中率為

p

，設每次投籃是否投進互相獨立，現今他連續在三分線投籃

n

次，若投進次數的期望值為

40

次，變異數為

32

，則數對

(n, p) =

____。

如下圖是一分枝管道圖，從上方

O

處放入一個小鋼珠，鋼珠會隨機的向左或向右落下，且在分枝處向左或向右落下的機率相等，試求鋼珠出現在

C_{2}

的機率

=

____。

載入中...

袋中有

1

個黑球與若干個白球，白球個數可能為

3

個或

4

個。今從袋中任取一球，每球被取中之機會均等，記錄其顏色後放回，重複上述動作

5

次，若黑球的抽中次數超過

1

次，則判定袋中白球個數為

3

個，反之，則判定袋中白球個數為

4

個。若白球實際的個數為

3

個，試求依此方法正確判定的機率為 ____（請化成最簡分數）

三、計算題：22%（計算題請詳列計算過程，否則不予計分）

第 15～16 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 15～16 題）　班上分組報告，

5

人一組，老師依序給小組打分數，打分數的過程是從這

5

人中隨機點同學回答問題，點到能回答問題時即停止，否則會繼續點其他同學回答。已知第三組同學中，有

2

人沒準備，無法回答，其他

3

人則準備充分，一定能回答出問題。假設隨機變數

X

取值為這一組的點名人數，

(1) 試寫出

X

的機率分布表（5%）

(2)

X

的期望值與變異數為何？（5%）

第 17～19 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 17～19 題）　已知甲、乙兩人獨立解出一道數學問題的機率分別為

\frac{2}{3}

，

\frac{1}{2}

。若兩人同解一個問題時，只要有人解出就稱為「成功解出」，並且兩人解題互不影響。今兩人同解

50

道問題，令

X

代表

50

道題目中，成功解出的題數，試問

(1) 每一題被成功解出的機率為 ____（4%）

(2)

X

的期望值

E (X) =

____（4%）

(3)

X

的標準差

σ_{X} =

____。（4%）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(E)（選項 (C) 每次必出現人頭，只有一種結果，本頁依課本「每次試驗有成功與失敗兩種結果」的定義不算二項分布；若把成功機率為

1

的情形也算進去，答案是 (A)(C)(E)，見詳解）

第 2 題(C)(D)(E)

第 3 題(A)(B)(C)(D)（選項 (C) 依句尾讀作「兩者相等」；若讀作「甲大於乙」則 (C) 不對，答案是 (A)(B)(D)，見詳解）

第 4 題(A)(C)(E)

第 5 題

21

第 6 題

\frac{26}{3}

第 7 題

20

第 8 題

1000

第 9 題

400

第 10 題

\frac{45}{512}

第 11 題

\frac{1}{64}

第 12 題

(200, \frac{1}{5})

第 13 題

\frac{3}{8}

第 14 題

\frac{47}{128}

第 15 題

P (X = 1) = \frac{3}{5}

，

P (X = 2) = \frac{3}{10}

，

P (X = 3) = \frac{1}{10}

第 16 題期望值

\frac{3}{2}

，變異數

\frac{9}{20}

第 17 題

\frac{5}{6}

第 18 題

\frac{125}{3}

第 19 題

\frac{5 10}{6}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：二項分布的判斷與性質

第 1 題答案 (A)(E)（選項 (C) 另有一種看法，寫在後面）。二項分布的條件是：同一個試驗重複

n

次，各次互不影響，每次只看成功或失敗，而且每次成功的機率都是同一個

p

；

X

是成功的次數。 (A) 正確。每題猜對的機率都是

\frac{1}{5}

，

10

題互不影響，答對題數

X \sim B (10, \frac{1}{5})

。 (B) 錯誤。

X

是點數的總和，不是某個結果出現的次數，可能值是

6

到

36

，不是二項分布。 (C) 錯誤。每次都出現人頭，只有一種結果，

X

恆等於

10

，不是每次有成功與失敗兩種結果的試驗，依課本的定義不算二項分布。另一種看法是把它當成成功機率為

1

的特殊情形，寫在下面的說明。 (D) 錯誤。取後不放回，前面取到什麼顏色會改變後面取到紅球的機率，各次的成功機率不固定。 (E) 正確。一次取

2

球共

C_{2}^{4} = 6

種取法，兩球同色有

C_{2}^{2} + C_{2}^{2} = 2

種，每次同色的機率是

\frac{1}{3}

；取後放回，各次互不影響，

X \sim B (5, \frac{1}{3})

。

選項 (C) 有兩種看法。本頁採用的是：每次只有人頭一種結果，不算二項分布。另一種看法是把它當成成功機率

p = 1

的特殊情形（

P (X = 10) = 1

），照這個看法答案是 (A)(C)(E)。課堂上以哪一種為準，請依學校老師的說明。卷面第四個選項的代號印作 (C)，依順序是 (D)。

第 2 題答案 (C)(D)(E)。設反面的機率是

q

，正面是

2 q

，

q + 2 q = 1

，所以正面的機率

p = \frac{2}{3}

，

X \sim B (20, \frac{2}{3})

。 (A) 錯誤。可能值是

0, 1, 2, \dots, 20

，共

21

種。 (B) 錯誤。期望值

n p = 20 \times \frac{2}{3} = \frac{40}{3}

。 (C) 正確。變異數

n p (1 - p) = 20 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{40}{9}

，比

4

大（因為

40 > 36

），所以標準差

\frac{40}{9} > 2

。 (D) 正確。把相鄰兩項相除：

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{C _{k + 1}^{20}}{C _{k}^{20}} \times \frac{2/3}{1/3} = \frac{2 ( 20 - k )}{k + 1}

取

k = 6

得

\frac{2 \times 14}{7} = 4 > 1

，所以

P (X = 6) < P (X = 7)

。 (E) 正確。同一個式子取

k = 13

得

\frac{2 \times 7}{14} = 1

，所以

P (X = 13) = P (X = 14)

。

標準差

\frac{40}{9} = \frac{2 10}{3} \approx 2.108

。

P (X = 13)

與

P (X = 14)

相等，而且是所有機率中最大的兩項（都約

0.182

）。

X \sim B (n, p)

：可能值是

0

到

n

，

P (X = k) = C_{k}^{n} p^{k} (1 - p)^{n - k}

，期望值

n p

，變異數

n p (1 - p)

。比較相鄰兩項的大小，用相除最快。

02多選第 3、4 題：先後抽籤、猜答案的分數

第 3 題答案 (A)(B)(C)(D)（選項 (C) 另有一種讀法，寫在後面）。 (A) 正確。

100

支籤中二獎有

2

支，甲先抽，機率

\frac{2}{100} = 0.02

。 (B) 正確。乙抽到特獎，表示甲沒抽到特獎而且乙抽到：

\frac{99}{100} \times \frac{1}{99} = \frac{1}{100} = 0.01

。 (C) 甲抽得三獎的機率是

\frac{17}{100}

。乙抽得三獎分成甲抽到三獎、甲沒抽到三獎兩種情形：

\frac{17}{100} \times \frac{16}{99} + \frac{83}{100} \times \frac{17}{99} = \frac{17 \times ( 16 + 83 )}{9900} = \frac{17}{100}

兩人的機率相等。卷面這個選項的句子同時印了「大於」與「相等」；依句尾讀作「兩者相等」，這個選項正確。 (D) 正確。甲的期望值

= 2000 \times \frac{1}{100} + 500 \times \frac{2}{100} + 100 \times \frac{17}{100} = 20 + 10 + 17 = 47

（元）。 (E) 錯誤。用 (B)(C) 的算法，乙抽到特獎、二獎、三獎的機率也是

\frac{1}{100}

，

\frac{2}{100}

，

\frac{17}{100}

，所以乙的期望值也是

47

元，兩人相等。

選項 (C) 若讀作「甲抽得三獎的機率大於乙抽得三獎的機率」，因為兩者相等，這個選項就不對，答案變成 (A)(B)(D)。抽籤不放回時，先抽與後抽抽到每一種獎的機率都一樣。

第 4 題答案 (A)(C)(E)。每題猜對的機率是

\frac{1}{5}

，

25

題互不影響，

X \sim B (25, \frac{1}{5})

；每答對一題得

4

分，所以

Y = 4 X

。 (A) 正確。

E (X) = 25 \times \frac{1}{5} = 5

。 (B) 錯誤。

Var (X) = 25 \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = 4

。 (C) 正確。

E (Y) = 4 E (X) = 20

。 (D) 錯誤。

Var (Y) = 4^{2} Var (X) = 16 \times 4 = 64

。 (E) 正確。由

Var (Y) = E (Y^{2}) - (E (Y))^{2}

得

E (Y^{2}) = 64 + 2 0^{2} = 464

。

選項 (B) 的

2

是標準差，選項 (D) 的

16

是係數的平方，都不是所問的量。

E (a X + b) = a E (X) + b

，

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

；

E (X^{2}) = Var (X) + (E (X))^{2}

。

03填充第 1、2 題（本頁第 5～7 題）：機率總和、期望值、公平遊戲

第 5 題六個機率的總和是

1

：

\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{n} = \frac{21}{n} = 1

所以

n = 21

。

第 6 題出現

k

點得

2 k

元，機率是

\frac{k}{21}

，所以

E (X) = k = 1 \sum 6 2 k \times \frac{k}{21} = \frac{2 ( 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 )}{21} = \frac{182}{21} = \frac{26}{3}

（元）。

X

是得到的錢數（

2, 4, \dots, 12

），不是點數；點數的期望值是

\frac{13}{3}

，錢數是它的

2

倍。

第 7 題一次取

2

球共

C_{2}^{4} = 6

種取法：兩球皆紅

1

種，兩球皆白

1

種，一紅一白

2 \times 2 = 4

種，機率依序是

\frac{1}{6}

，

\frac{1}{6}

，

\frac{4}{6}

。設顏色不同時要賠

x

元，遊戲公平表示所得的期望值是

0

：

50 \times \frac{1}{6} + 30 \times \frac{1}{6} - x \times \frac{4}{6} = 0

80 = 4 x

，所以

x = 20

。

「賠」表示所得是負的，列式時這一項要用減的。

機率分布的機率總和是

1

；公平的遊戲是所得的期望值等於

0

。

04填充第 3、4 題（本頁第 8、9 題）：保險利潤與獎金的期望值

第 8 題保險公司先收保費

2200

元。給付的期望值是

100000 \times \frac{1}{100} + 5000 \times \frac{4}{100} = 1000 + 200 = 1200

（元）。所以利潤的期望值

= 2200 - 1200 = 1000

元。

10

萬元要寫成

100000

再乘機率。兩種給付各自乘上自己的機率後相加即可。

第 9 題任取

2

球共

C_{2}^{12} = 66

種取法，依顏色分類，金額是兩球獎金的和：

兩球 取法數 金額 紅紅 10200 黑黑 6500 白白 3600 紅黑 20350 紅白 15400 黑白 12550

期望值

\frac{200 \times 10 + 500 \times 6 + 600 \times 3 + 350 \times 20 + 400 \times 15 + 550 \times 12}{66} = \frac{26400}{66} = 400

（元）。

取法數合計

10 + 6 + 3 + 20 + 15 + 12 = 66

。另一個看法：一顆球的平均獎金是

\frac{100 \times 5 + 250 \times 4 + 300 \times 3}{12} = 200

元，取

2

球就是

400

元，可以用來檢查。

期望值是每一種結果的金額乘上它的機率再相加；分類時先確認各類的取法數加起來等於全部。

05填充第 5、6 題（本頁第 10～12 題）：重複試驗的機率、二項分布的反求

第 10 題三枚硬幣共

2^{3} = 8

種等機率的結果，三枚同一面只有全正、全反

2

種，所以每次得一分的機率是

\frac{2}{8} = \frac{1}{4}

。連投五次互不影響，得分

X \sim B (5, \frac{1}{4})

。

P (X = 3) = C_{3}^{5} (\frac{1}{4})^{3} (\frac{3}{4})^{2} = 10 \times \frac{9}{1024} = \frac{90}{1024} = \frac{45}{512}

「同一面」包含三枚都正面與三枚都反面，機率是

\frac{1}{4}

，不是

\frac{1}{8}

。

第 11 題至少四分是得四分或五分：

P (X = 4) + P (X = 5) = C_{4}^{5} (\frac{1}{4})^{4} (\frac{3}{4}) + (\frac{1}{4})^{5} = \frac{15}{1024} + \frac{1}{1024} = \frac{16}{1024} = \frac{1}{64}

第 12 題投進次數服從

B (n, p)

，期望值

n p = 40

，變異數

n p (1 - p) = 32

。兩式相除得

1 - p = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}

，所以

p = \frac{1}{5}

；代回

n \times \frac{1}{5} = 40

得

n = 200

。數對

(n, p) = (200, \frac{1}{5})

。

題目給的是變異數

32

，直接代

n p (1 - p)

，不用再平方。數對的順序是先

n

後

p

。

二項分布反求：用變異數除以期望值先得到

1 - p

，再用

n p

求

n

。

06填充第 7、8 題（本頁第 13、14 題）：分枝管道、依抽球結果做判定

第 13 題鋼珠從

O

落到最下面一排，一共經過三個分枝處（第一次分到

A_{1}

或

A_{2}

，第二次分到

B_{1}

、

B_{2}

或

B_{3}

，第三次分到

C_{1}

～

C_{4}

），每次向左、向右的機率都是

\frac{1}{2}

。三次都向左會落在

C_{1}

，每多一次向右，落點就往右移一個出口。所以落在

C_{2}

表示三次中恰有一次向右：

C_{1}^{3} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{3}{8}

也可以逐層寫機率：到

A_{1}

與

A_{2}

各是

\frac{1}{2}

；到

B_{1}

是

\frac{1}{4}

、到

B_{2}

是

\frac{2}{4}

、到

B_{3}

是

\frac{1}{4}

。能落到

C_{2}

的只有

B_{1}

向右與

B_{2}

向左：

\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}

第 14 題白球實際是

3

個，袋中共

4

球，每次抽中黑球的機率是

\frac{1}{4}

。取後放回，

5

次中黑球抽中的次數

X \sim B (5, \frac{1}{4})

。判定正確就是判定成白球

3

個，也就是黑球抽中次數超過

1

次（

X \geq 2

）。先算反面：

P (X = 0) = (\frac{3}{4})^{5} = \frac{243}{1024}, P (X = 1) = C_{1}^{5} \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^{4} = \frac{405}{1024}

所以

P (X \geq 2) = 1 - \frac{243}{1024} - \frac{405}{1024} = \frac{376}{1024} = \frac{47}{128}

「超過

1

次」不含

1

次。正確判定的機率

\frac{47}{128} \approx 0.367

，不到一半，表示這個判定方法在白球是

3

個時並不可靠。

每個分枝各有一半機率向左或向右，落點由向右的次數決定，就是二項分布；「至少」「超過」先看反面。

07計算第 1 題（本頁第 15、16 題）：點名人數的機率分布、期望值與變異數

第 15 題點過的人不會再點（題目說「繼續點其他同學」），所以是不放回地逐一點名，點到準備好的同學就停。

5

人中

2

人沒準備，最多點到第

3

人一定停，

X

的可能值是

1, 2, 3

。

X = 1

：第一個就點到準備好的，

P (X = 1) = \frac{3}{5}

。

X = 2

：第一個沒準備、第二個準備好，

P (X = 2) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}

。

X = 3

：前兩個都沒準備，第三個一定準備好，

P (X = 3) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{10}

。機率分布表：

X 機率 1 \frac{3}{5} 2 \frac{3}{10} 3 \frac{1}{10}

三個機率相加

\frac{6}{10} + \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = 1

。每點一個人，剩下的人數與沒準備的人數都會變，機率不是固定的，所以這不是二項分布。

第 16 題期望值

E (X) = 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{1}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

平方的期望值

E (X^{2}) = 1 \times \frac{6}{10} + 4 \times \frac{3}{10} + 9 \times \frac{1}{10} = \frac{27}{10}

變異數

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \frac{27}{10} - \frac{9}{4} = \frac{54 - 45}{20} = \frac{9}{20}

期望值

1.5

人，變異數

0.45

。

不放回的逐次試驗，機率要一步一步相乘；變異數用

E (X^{2}) - (E (X))^{2}

計算。

08計算第 2 題（本頁第 17～19 題）：兩人合作解題的二項分布

第 17 題「成功解出」的反面是兩人都沒解出。兩人解題互不影響，都沒解出的機率是

(1 - \frac{2}{3}) (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

，所以每一題被成功解出的機率是

1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

。

不能把

\frac{2}{3}

與

\frac{1}{2}

直接相加（會超過

1

），兩人都解出的情形被重複算了。

第 18 題

50

題各自成功解出的機率都是

\frac{5}{6}

，互不影響，

X \sim B (50, \frac{5}{6})

，期望值

E (X) = 50 \times \frac{5}{6} = \frac{125}{3}

。

約

41.7

題。

第 19 題變異數

= 50 \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{250}{36}

，標準差

σ_{X} = \frac{250}{36} = \frac{250}{6} = \frac{5 10}{6}

約

2.64

題。標準差是變異數開根號，

250 = 510

要化簡。

「至少有一人」先算「都沒有」；確定每次成功的機率後，套

n p

與

n p (1 - p)

。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

高雄新興高中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題的選項 E 要把兩個機率相除，會發現比值恰好是一，兩者相等。第 3 題先抽後抽的中獎機率與期望值都一樣，不要憑感覺認為先抽比較有利。第 14 題先看清楚判定規則，白球實際是三個時，要黑球抽中兩次以上才算判定正確，用一減去零次與一次的機率。第 15 題點過的人不會再點，所以最多點到第三個人，機率要用不放回的方式逐次相乘。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：隨機變數與機率分布、期望值、變異數與標準差、二項分布

高雄新興高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、多選題：28%（每題 7 分；錯一個給 5 分，錯兩個給 3 分，錯三個全錯）

下列選項中，請選出隨機變數

X

是「二項分布」的選項。

(A) $10$ 題五選一的單選題，每題皆隨意選擇 $1$ 個選項作答，隨機變數 $X$ 表示答對的題數
(B) 擲 $1$ 顆公正骰子 $6$ 次， $X$ 為出現點數的總和
(C) 擲一枚兩面皆為人頭的硬幣 $10$ 次，隨機變數 $X$ 表示出現人頭的次數
(D) 袋中有紅球與白球各 $5$ 顆，從袋中每次取出一球，取後不放回，共取球 $5$ 次，隨機變數 $X$ 為取到紅球的次數（卷面此選項的代號印作 (C)，依順序為 (D)）
(E) 袋中有相同的黑球 $2$ 顆、白球 $2$ 顆，從袋中一次任取 $2$ 球，取球後放回袋中，共取球 $5$ 次，隨機變數 $X$ 表示兩球同色的次數。

投擲一枚不均勻的硬幣

20

次，該硬幣出現正面機率為出現反面機率的

2

倍，令隨機變數

X

表示出現正面的次數。則下列敘述何者正確？

(A) $X$ 的可能值有 $20$ 種
(B) $X$ 的期望值為 $\frac{20}{3}$
(C) $X$ 的標準差大於 $2$
(D) $P (X = 6) < P (X = 7)$
(E) $P (X = 13) = P (X = 14)$

有

100

支籤，其中

20

支有獎：特獎

2000

元一支，二獎

500

元二支，三獎

100

元

17

支。今甲、乙二人依序各抽取一支籤，甲先抽完換乙抽，取後不放回，下列選項何者正確？

(A) 甲抽得二獎的機率為 $0.02$
(B) 乙抽得特獎的機率為 $0.01$
(C) 甲抽得三獎的機率大於乙抽得三獎的機率相等（卷面原字，「大於」與「相等」兩個詞並存；本頁依句尾讀作兩者相等）
(D) 甲的期望值為 $47$ 元
(E) 甲的期望值大於乙的期望值

新興高中舉辦英文單字比賽，試卷題目有

25

題，每道題目都是

5

選

1

的單選題，答對

1

題得

4

分，答錯不倒扣。今一位學生決定以猜答案方式作答，每題都從

5

個選項中隨機選

1

個答案作答，設隨機變數

X

為該生答對的題數，隨機變數

Y

為該生的試卷分數。試選出正確的選項。

(A) $E (X) = 5$
(B) $Var (X) = 2$
(C) $E (Y) = 20$
(D) $Var (Y) = 16$
(E) $E (Y^{2}) = 464$ 。

二、填充題：50%（每格 5 分，共 10 格）

第 5～6 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 5～6 題）　設有一不公正的骰子，其出現

k

點的機率為

\frac{k}{n}

（

k = 1

，

2

，

3

，

4

，

5

，

6

），若出現

k

點可得

2 k

元，設隨機變數

X

為丟此骰子所獲得的錢數，試求

(1)

n =

____

(2)

E (X) =

____。

袋中裝有大小相同的紅球

2

顆、白球

2

顆，自袋中一次取出

2

球，若取出

2

球皆紅色可得

50

元，

2

球皆白色可得

30

元，如果希望遊戲公平，則取出

2

球顏色不同時，應賠 ____ 元

根據資料顯示：一個

60

歲的人，在一年內死亡的機率為

1%

，生病住院的機率為

4%

，老王

60

歲，欲保一年

10

萬元的平安保險，須繳保費

2200

元。於保險期間若死亡，由保險公司給付

10

萬元，若生病住院，則給付

5000

元，求保險公司利潤的期望值為 ____ 元。

一袋子內有

5

個紅球、

4

個黑球、

3

個白球。今從中取球，若取得

1

個紅球可得獎金

100

元，取得

1

個黑球可得獎金

250

元，取得

1

個白球可得獎金

300

元。今甲由袋中任取

2

球，試問可得金額的期望值為 ____ 元。

(1) 恰得三分之機率為 ____

(2) 至少得四分之機率為 ____

假設甲在三分線投籃的命中率為

p

，設每次投籃是否投進互相獨立，現今他連續在三分線投籃

n

次，若投進次數的期望值為

40

次，變異數為

32

，則數對

(n, p) =

____。

如下圖是一分枝管道圖，從上方

O

處放入一個小鋼珠，鋼珠會隨機的向左或向右落下，且在分枝處向左或向右落下的機率相等，試求鋼珠出現在

C_{2}

的機率

=

____。

載入中...

袋中有

1

個黑球與若干個白球，白球個數可能為

3

個或

4

個。今從袋中任取一球，每球被取中之機會均等，記錄其顏色後放回，重複上述動作

5

次，若黑球的抽中次數超過

1

次，則判定袋中白球個數為

3

個，反之，則判定袋中白球個數為

4

個。若白球實際的個數為

3

個，試求依此方法正確判定的機率為 ____（請化成最簡分數）

三、計算題：22%（計算題請詳列計算過程，否則不予計分）

第 15～16 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 15～16 題）　班上分組報告，

5

人一組，老師依序給小組打分數，打分數的過程是從這

5

人中隨機點同學回答問題，點到能回答問題時即停止，否則會繼續點其他同學回答。已知第三組同學中，有

2

人沒準備，無法回答，其他

3

人則準備充分，一定能回答出問題。假設隨機變數

X

取值為這一組的點名人數，

(1) 試寫出

X

的機率分布表（5%）

(2)

X

的期望值與變異數為何？（5%）

第 17～19 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 17～19 題）　已知甲、乙兩人獨立解出一道數學問題的機率分別為

\frac{2}{3}

，

\frac{1}{2}

。若兩人同解一個問題時，只要有人解出就稱為「成功解出」，並且兩人解題互不影響。今兩人同解

50

道問題，令

X

代表

50

道題目中，成功解出的題數，試問

(1) 每一題被成功解出的機率為 ____（4%）

(2)

X

的期望值

E (X) =

____（4%）

(3)

X

的標準差

σ_{X} =

____。（4%）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(E)（選項 (C) 每次必出現人頭，只有一種結果，本頁依課本「每次試驗有成功與失敗兩種結果」的定義不算二項分布；若把成功機率為

1

的情形也算進去，答案是 (A)(C)(E)，見詳解）

第 2 題(C)(D)(E)

第 3 題(A)(B)(C)(D)（選項 (C) 依句尾讀作「兩者相等」；若讀作「甲大於乙」則 (C) 不對，答案是 (A)(B)(D)，見詳解）

第 4 題(A)(C)(E)

第 5 題

21

第 6 題

\frac{26}{3}

第 7 題

20

第 8 題

1000

第 9 題

400

第 10 題

\frac{45}{512}

第 11 題

\frac{1}{64}

第 12 題

(200, \frac{1}{5})

第 13 題

\frac{3}{8}

第 14 題

\frac{47}{128}

第 15 題

P (X = 1) = \frac{3}{5}

，

P (X = 2) = \frac{3}{10}

，

P (X = 3) = \frac{1}{10}

第 16 題期望值

\frac{3}{2}

，變異數

\frac{9}{20}

第 17 題

\frac{5}{6}

第 18 題

\frac{125}{3}

第 19 題

\frac{5 10}{6}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：二項分布的判斷與性質

第 1 題答案 (A)(E)（選項 (C) 另有一種看法，寫在後面）。二項分布的條件是：同一個試驗重複

n

次，各次互不影響，每次只看成功或失敗，而且每次成功的機率都是同一個

p

；

X

是成功的次數。 (A) 正確。每題猜對的機率都是

\frac{1}{5}

，

10

題互不影響，答對題數

X \sim B (10, \frac{1}{5})

。 (B) 錯誤。

X

是點數的總和，不是某個結果出現的次數，可能值是

6

到

36

，不是二項分布。 (C) 錯誤。每次都出現人頭，只有一種結果，

X

恆等於

10

，不是每次有成功與失敗兩種結果的試驗，依課本的定義不算二項分布。另一種看法是把它當成成功機率為

1

2

球共

C_{2}^{4} = 6

種取法，兩球同色有

C_{2}^{2} + C_{2}^{2} = 2

種，每次同色的機率是

\frac{1}{3}

；取後放回，各次互不影響，

X \sim B (5, \frac{1}{3})

。

選項 (C) 有兩種看法。本頁採用的是：每次只有人頭一種結果，不算二項分布。另一種看法是把它當成成功機率

p = 1

的特殊情形（

P (X = 10) = 1

），照這個看法答案是 (A)(C)(E)。課堂上以哪一種為準，請依學校老師的說明。卷面第四個選項的代號印作 (C)，依順序是 (D)。

第 2 題答案 (C)(D)(E)。設反面的機率是

q

，正面是

2 q

，

q + 2 q = 1

，所以正面的機率

p = \frac{2}{3}

，

X \sim B (20, \frac{2}{3})

。 (A) 錯誤。可能值是

0, 1, 2, \dots, 20

，共

21

種。 (B) 錯誤。期望值

n p = 20 \times \frac{2}{3} = \frac{40}{3}

。 (C) 正確。變異數

n p (1 - p) = 20 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{40}{9}

，比

4

大（因為

40 > 36

），所以標準差

\frac{40}{9} > 2

。 (D) 正確。把相鄰兩項相除：

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{C _{k + 1}^{20}}{C _{k}^{20}} \times \frac{2/3}{1/3} = \frac{2 ( 20 - k )}{k + 1}

取

k = 6

得

\frac{2 \times 14}{7} = 4 > 1

，所以

P (X = 6) < P (X = 7)

。 (E) 正確。同一個式子取

k = 13

得

\frac{2 \times 7}{14} = 1

，所以

P (X = 13) = P (X = 14)

。

標準差

\frac{40}{9} = \frac{2 10}{3} \approx 2.108

。

P (X = 13)

與

P (X = 14)

相等，而且是所有機率中最大的兩項（都約

0.182

）。

X \sim B (n, p)

：可能值是

0

到

n

，

P (X = k) = C_{k}^{n} p^{k} (1 - p)^{n - k}

，期望值

n p

，變異數

n p (1 - p)

。比較相鄰兩項的大小，用相除最快。

02多選第 3、4 題：先後抽籤、猜答案的分數

第 3 題答案 (A)(B)(C)(D)（選項 (C) 另有一種讀法，寫在後面）。 (A) 正確。

100

支籤中二獎有

2

支，甲先抽，機率

\frac{2}{100} = 0.02

。 (B) 正確。乙抽到特獎，表示甲沒抽到特獎而且乙抽到：

\frac{99}{100} \times \frac{1}{99} = \frac{1}{100} = 0.01

。 (C) 甲抽得三獎的機率是

\frac{17}{100}

。乙抽得三獎分成甲抽到三獎、甲沒抽到三獎兩種情形：

\frac{17}{100} \times \frac{16}{99} + \frac{83}{100} \times \frac{17}{99} = \frac{17 \times ( 16 + 83 )}{9900} = \frac{17}{100}

兩人的機率相等。卷面這個選項的句子同時印了「大於」與「相等」；依句尾讀作「兩者相等」，這個選項正確。 (D) 正確。甲的期望值

= 2000 \times \frac{1}{100} + 500 \times \frac{2}{100} + 100 \times \frac{17}{100} = 20 + 10 + 17 = 47

（元）。 (E) 錯誤。用 (B)(C) 的算法，乙抽到特獎、二獎、三獎的機率也是

\frac{1}{100}

，

\frac{2}{100}

，

\frac{17}{100}

，所以乙的期望值也是

47

元，兩人相等。

第 4 題答案 (A)(C)(E)。每題猜對的機率是

\frac{1}{5}

，

25

題互不影響，

X \sim B (25, \frac{1}{5})

；每答對一題得

4

分，所以

Y = 4 X

。 (A) 正確。

E (X) = 25 \times \frac{1}{5} = 5

。 (B) 錯誤。

Var (X) = 25 \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = 4

。 (C) 正確。

E (Y) = 4 E (X) = 20

。 (D) 錯誤。

Var (Y) = 4^{2} Var (X) = 16 \times 4 = 64

。 (E) 正確。由

Var (Y) = E (Y^{2}) - (E (Y))^{2}

得

E (Y^{2}) = 64 + 2 0^{2} = 464

。

選項 (B) 的

2

是標準差，選項 (D) 的

16

是係數的平方，都不是所問的量。

E (a X + b) = a E (X) + b

，

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

；

E (X^{2}) = Var (X) + (E (X))^{2}

。

03填充第 1、2 題（本頁第 5～7 題）：機率總和、期望值、公平遊戲

第 5 題六個機率的總和是

1

：

\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{n} = \frac{21}{n} = 1

所以

n = 21

。

第 6 題出現

k

點得

2 k

元，機率是

\frac{k}{21}

，所以

E (X) = k = 1 \sum 6 2 k \times \frac{k}{21} = \frac{2 ( 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 )}{21} = \frac{182}{21} = \frac{26}{3}

（元）。

X

是得到的錢數（

2, 4, \dots, 12

），不是點數；點數的期望值是

\frac{13}{3}

，錢數是它的

2

倍。

第 7 題一次取

2

球共

C_{2}^{4} = 6

種取法：兩球皆紅

1

種，兩球皆白

1

種，一紅一白

2 \times 2 = 4

種，機率依序是

\frac{1}{6}

，

\frac{1}{6}

，

\frac{4}{6}

。設顏色不同時要賠

x

元，遊戲公平表示所得的期望值是

0

：

50 \times \frac{1}{6} + 30 \times \frac{1}{6} - x \times \frac{4}{6} = 0

80 = 4 x

，所以

x = 20

。

「賠」表示所得是負的，列式時這一項要用減的。

機率分布的機率總和是

1

；公平的遊戲是所得的期望值等於

0

。

04填充第 3、4 題（本頁第 8、9 題）：保險利潤與獎金的期望值

第 8 題保險公司先收保費

2200

元。給付的期望值是

100000 \times \frac{1}{100} + 5000 \times \frac{4}{100} = 1000 + 200 = 1200

（元）。所以利潤的期望值

= 2200 - 1200 = 1000

元。

10

萬元要寫成

100000

再乘機率。兩種給付各自乘上自己的機率後相加即可。

第 9 題任取

2

球共

C_{2}^{12} = 66

種取法，依顏色分類，金額是兩球獎金的和：

兩球 取法數 金額 紅紅 10200 黑黑 6500 白白 3600 紅黑 20350 紅白 15400 黑白 12550

期望值

\frac{200 \times 10 + 500 \times 6 + 600 \times 3 + 350 \times 20 + 400 \times 15 + 550 \times 12}{66} = \frac{26400}{66} = 400

（元）。

取法數合計

10 + 6 + 3 + 20 + 15 + 12 = 66

。另一個看法：一顆球的平均獎金是

\frac{100 \times 5 + 250 \times 4 + 300 \times 3}{12} = 200

元，取

2

球就是

400

元，可以用來檢查。

期望值是每一種結果的金額乘上它的機率再相加；分類時先確認各類的取法數加起來等於全部。

05填充第 5、6 題（本頁第 10～12 題）：重複試驗的機率、二項分布的反求

第 10 題三枚硬幣共

2^{3} = 8

種等機率的結果，三枚同一面只有全正、全反

2

種，所以每次得一分的機率是

\frac{2}{8} = \frac{1}{4}

。連投五次互不影響，得分

X \sim B (5, \frac{1}{4})

。

P (X = 3) = C_{3}^{5} (\frac{1}{4})^{3} (\frac{3}{4})^{2} = 10 \times \frac{9}{1024} = \frac{90}{1024} = \frac{45}{512}

「同一面」包含三枚都正面與三枚都反面，機率是

\frac{1}{4}

，不是

\frac{1}{8}

。

第 11 題至少四分是得四分或五分：

P (X = 4) + P (X = 5) = C_{4}^{5} (\frac{1}{4})^{4} (\frac{3}{4}) + (\frac{1}{4})^{5} = \frac{15}{1024} + \frac{1}{1024} = \frac{16}{1024} = \frac{1}{64}

第 12 題投進次數服從

B (n, p)

，期望值

n p = 40

，變異數

n p (1 - p) = 32

。兩式相除得

1 - p = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}

，所以

p = \frac{1}{5}

；代回

n \times \frac{1}{5} = 40

得

n = 200

。數對

(n, p) = (200, \frac{1}{5})

。

題目給的是變異數

32

，直接代

n p (1 - p)

，不用再平方。數對的順序是先

n

後

p

。

二項分布反求：用變異數除以期望值先得到

1 - p

，再用

n p

求

n

。

06填充第 7、8 題（本頁第 13、14 題）：分枝管道、依抽球結果做判定

第 13 題鋼珠從

O

落到最下面一排，一共經過三個分枝處（第一次分到

A_{1}

或

A_{2}

，第二次分到

B_{1}

、

B_{2}

或

B_{3}

，第三次分到

C_{1}

～

C_{4}

），每次向左、向右的機率都是

\frac{1}{2}

。三次都向左會落在

C_{1}

，每多一次向右，落點就往右移一個出口。所以落在

C_{2}

表示三次中恰有一次向右：

C_{1}^{3} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{3}{8}

也可以逐層寫機率：到

A_{1}

與

A_{2}

各是

\frac{1}{2}

；到

B_{1}

是

\frac{1}{4}

、到

B_{2}

是

\frac{2}{4}

、到

B_{3}

是

\frac{1}{4}

。能落到

C_{2}

的只有

B_{1}

向右與

B_{2}

向左：

\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}

第 14 題白球實際是

3

個，袋中共

4

球，每次抽中黑球的機率是

\frac{1}{4}

。取後放回，

5

次中黑球抽中的次數

X \sim B (5, \frac{1}{4})

。判定正確就是判定成白球

3

個，也就是黑球抽中次數超過

1

次（

X \geq 2

）。先算反面：

P (X = 0) = (\frac{3}{4})^{5} = \frac{243}{1024}, P (X = 1) = C_{1}^{5} \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^{4} = \frac{405}{1024}

所以

P (X \geq 2) = 1 - \frac{243}{1024} - \frac{405}{1024} = \frac{376}{1024} = \frac{47}{128}

「超過

1

次」不含

1

次。正確判定的機率

\frac{47}{128} \approx 0.367

，不到一半，表示這個判定方法在白球是

3

個時並不可靠。

每個分枝各有一半機率向左或向右，落點由向右的次數決定，就是二項分布；「至少」「超過」先看反面。

07計算第 1 題（本頁第 15、16 題）：點名人數的機率分布、期望值與變異數

第 15 題點過的人不會再點（題目說「繼續點其他同學」），所以是不放回地逐一點名，點到準備好的同學就停。

5

人中

2

人沒準備，最多點到第

3

人一定停，

X

的可能值是

1, 2, 3

。

X = 1

：第一個就點到準備好的，

P (X = 1) = \frac{3}{5}

。

X = 2

：第一個沒準備、第二個準備好，

P (X = 2) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}

。

X = 3

：前兩個都沒準備，第三個一定準備好，

P (X = 3) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{10}

。機率分布表：

X 機率 1 \frac{3}{5} 2 \frac{3}{10} 3 \frac{1}{10}

三個機率相加

\frac{6}{10} + \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = 1

。每點一個人，剩下的人數與沒準備的人數都會變，機率不是固定的，所以這不是二項分布。

第 16 題期望值

E (X) = 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{1}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

平方的期望值

E (X^{2}) = 1 \times \frac{6}{10} + 4 \times \frac{3}{10} + 9 \times \frac{1}{10} = \frac{27}{10}

變異數

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \frac{27}{10} - \frac{9}{4} = \frac{54 - 45}{20} = \frac{9}{20}

期望值

1.5

人，變異數

0.45

。

不放回的逐次試驗，機率要一步一步相乘；變異數用

E (X^{2}) - (E (X))^{2}

計算。

08計算第 2 題（本頁第 17～19 題）：兩人合作解題的二項分布

第 17 題「成功解出」的反面是兩人都沒解出。兩人解題互不影響，都沒解出的機率是

(1 - \frac{2}{3}) (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

，所以每一題被成功解出的機率是

1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

。

不能把

\frac{2}{3}

與

\frac{1}{2}

直接相加（會超過

1

），兩人都解出的情形被重複算了。

第 18 題

50

題各自成功解出的機率都是

\frac{5}{6}

，互不影響，

X \sim B (50, \frac{5}{6})

，期望值

E (X) = 50 \times \frac{5}{6} = \frac{125}{3}

。

約

41.7

題。

第 19 題變異數

= 50 \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{250}{36}

，標準差

σ_{X} = \frac{250}{36} = \frac{250}{6} = \frac{5 10}{6}

約

2.64

題。標準差是變異數開根號，

250 = 510

要化簡。

「至少有一人」先算「都沒有」；確定每次成功的機率後，套

n p

與

n p (1 - p)

。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

高雄新興高中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 114 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選第 1、2 題：二項分布的判斷與性質

02多選第 3、4 題：先後抽籤、猜答案的分數

03填充第 1、2 題（本頁第 5～7 題）：機率總和、期望值、公平遊戲

04填充第 3、4 題（本頁第 8、9 題）：保險利潤與獎金的期望值

05填充第 5、6 題（本頁第 10～12 題）：重複試驗的機率、二項分布的反求

06填充第 7、8 題（本頁第 13、14 題）：分枝管道、依抽球結果做判定

07計算第 1 題（本頁第 15、16 題）：點名人數的機率分布、期望值與變異數

08計算第 2 題（本頁第 17～19 題）：兩人合作解題的二項分布

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

高雄新興高中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

高雄新興高中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

高雄新興高中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選第 1、2 題：二項分布的判斷與性質

02多選第 3、4 題：先後抽籤、猜答案的分數

03填充第 1、2 題（本頁第 5～7 題）：機率總和、期望值、公平遊戲

04填充第 3、4 題（本頁第 8、9 題）：保險利潤與獎金的期望值

05填充第 5、6 題（本頁第 10～12 題）：重複試驗的機率、二項分布的反求

06填充第 7、8 題（本頁第 13、14 題）：分枝管道、依抽球結果做判定

07計算第 1 題（本頁第 15、16 題）：點名人數的機率分布、期望值與變異數

08計算第 2 題（本頁第 17～19 題）：兩人合作解題的二項分布

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

高雄新興高中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

高雄新興高中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

高雄新興高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

高雄新興高中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

高雄新興高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

高雄新興高中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

高雄新興高中 114 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

高雄新興高中 114 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？