高雄新興高中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

$x$ 的多項式是由 $x$ 的非負整數次方乘上常數再相加而成的式子。

(A) 錯誤。 $\frac{2}{x}=2x^{-1}$，$x$ 的次方是 $-1$，不是非負整數。

(B) 正確。 $\sqrt{2}x+8$ 是一次多項式，係數 $\sqrt{2}$ 是實數就可以，不必是有理數。

(C) 錯誤。 $|x+6|$ 在 $x\ge -6$ 時是 $x+6$，在 $x<-6$ 時是 $-x-6$，不能寫成同一個多項式。

(D) 錯誤。 $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$，次方不是整數。

(E) 正確。 非零常數 $112$ 是零次多項式。

由除法原理，$f(x)=(x^2+x-2)q(x)+(2x-6)$，而 $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$。

(A) 正確。 $f(x)$ 是四次，除式是二次，所以商式是 $4-2=2$ 次。

(B) 正確。 $f(x)=(2x^2+2x-4)\cdot \frac{1}{2}q(x)+(2x-6)$，餘式 $2x-6$ 的次數比除式低，所以商式是 $\frac{1}{2}q(x)$。

(C) 錯誤。 由上式，餘式仍是 $2x-6$，不是 $x-3$。

(D) 正確。 $x=1$ 時 $x^2+x-2=0$，所以 $f(1)=2\times 1-6=-4$。

(E) 錯誤。 由餘式定理，餘式是 $f(2)=(4+2-2)q(2)+(4-6)=4q(2)-2$，要 $q(2)=0$ 才會是 $-2$。例如 $q(x)=x^2$ 時 $f(x)$ 是四次，但 $f(2)=16-2=14$。

由圖：開口向下，所以 $a<0$；頂點在 $y$ 軸右邊、$x=1$ 左邊；圖形與 $x$ 軸交於兩點，左邊的交點在 $-2$ 與 $-1$ 之間，右邊的交點在 $2$ 與 $3$ 之間。

(A) 錯誤。 對稱軸 $x=-\frac{b}{2a}>0$，而 $a<0$，所以 $b>0$。

(B) 錯誤。 $9a-3b+c$ 就是 $x=-3$ 時的 $y$ 值。$-3$ 在左邊交點的左側，那裡圖形在 $x$ 軸下方，所以 $9a-3b+c<0$。

(C) 正確。 圖形與 $x$ 軸交於兩點，方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ 有兩相異實根，判別式 $b^2-4ac>0$。

(D) 正確。 $a+b+c$ 是 $x=1$ 時的 $y$ 值，$1$ 在兩個交點之間，圖形在 $x$ 軸上方，所以 $a+b+c>0$。

(E) 正確。 頂點的 $x$ 坐標 $h$ 在 $0$ 與 $1$ 之間，開口向下時離對稱軸越遠 $y$ 越小。在 $0\le x\le 2$ 中離 $h$ 最遠的是 $x=2$（$2-h>1>h$），所以最小值是 $x=2$ 時的 $4a+2b+c$。

把 $f(x)$ 寫成 $(x+3)$ 的次方：除以 $(x+3{)}^3$ 的商式是常數，而 $f(x)$ 的 $x^3$ 係數是 $a$，所以 $f(x)=a(x+3{)}^3+(-4x-11)$。比較常數項：$27a-11=43$，$a=2$。因此

$$f(x)=2(x+3{)}^3-4x-11=2(x+3{)}^3-4(x+3)+1$$

(A) 錯誤。 $a=2$。

(B) 正確。 餘式是 $f(-3)=0-4\cdot 0+1=1$。

(C) 錯誤。 $y=2x^3-4x$ 的對稱中心是原點，$f(x)$ 的對稱中心是 $(-3,1)$。從 $(-3,1)$ 移到 $(0,0)$ 要向右平移 $3$ 單位、再向下平移 $1$ 單位。若照選項向左平移 $3$ 單位，得到 $y=2(x+6{)}^3-4(x+6)+1$，再向下 $1$ 單位是 $y=2(x+6{)}^3-4(x+6)$，不是 $y=2x^3-4x$。

(D) 正確。 $f(x)=2(x+3{)}^3-4(x+3)+1$ 是 $y=2x^3-4x$ 的圖形向左平移 $3$、向上平移 $1$，對稱中心由 $(0,0)$ 移到 $(-3,1)$。

(E) 正確。 在 $x=-3$ 附近，$(x+3{)}^3$ 很小可以略去，一次近似是 $y=-4(x+3)+1=-4x-11$。

原式就是 $P(x)=x^5-7x^4-58x^3+16x^2-460x-200$ 在 $x=12$ 的值，用綜合除法以 $12$ 去除：

$$\begin{array}{rrrrrrr}12& 1& -7& -58& 16& -460& -200\\ & & 12& 60& 24& 480& 240\\ & 1& 5& 2& 40& 20& 40\end{array}$$

最後的餘數 $40$ 就是 $P(12)$，所以答案是 $40$。

除式是二次，設 $f(x)$ 除以 $x^2-x+1$ 的餘式為 $px+q$，即 $f(x)=(x^2-x+1)Q(x)+px+q$。則

$$(x-1)f(x)=(x^2-x+1)(x-1)Q(x)+(x-1)(px+q)$$

所以 $(x-1)f(x)$ 與 $(x-1)(px+q)=p{x}^2+(q-p)x-q$ 除以 $x^2-x+1$ 的餘式相同。$p{x}^2=p(x^2-x+1)+px-p$，所以餘式是 $px-p+(q-p)x-q=qx-(p+q)$。

與 $4x-1$ 比較：$q=4$，$p+q=1$，得 $p=-3$。所以餘式為 $-3x+4$。

配方：$f(x)=a(x^2-8x)+b=a(x-4{)}^2+b-16a$。$a>0$，開口向上，對稱軸 $x=4$ 在 $2\le x\le 5$ 之內，所以最小值在 $x=4$：$b-16a=-2$。

範圍內離 $x=4$ 最遠的是 $x=2$（距離 $2$，比 $x=5$ 的距離 $1$ 遠），所以最大值在 $x=2$：$f(2)=a\cdot 4+b-16a=4a+(b-16a)=6$，即 $4a-2=6$，$a=2$，再得 $b=-2+32=30$。

所以 $(a,b)=(2,30)$。

向右平移 $2$ 單位：把 $x$ 換成 $x-2$，${\Gamma }_1$：$y=3(x-2{)}^2-2$。

關於 $x$ 軸對稱：把 $y$ 換成 $-y$，$-y=3(x-2{)}^2-2$，所以 ${\Gamma }_2$：$y=-3(x-2{)}^2+2=-3x^2+12x-10$。

若 $k=0$，式子是 $-2x$，$x=-1$ 時等於 $2$，不是負數，不合。

$k\ne 0$ 時，二次式 $k{x}^2-2x+k$ 對所有實數 $x$ 都是負數，必須開口向下且與 $x$ 軸沒有交點：$k<0$，且判別式 $(-2{)}^2-4k\cdot k<0$，即 $k^2>1$，$k>1$ 或 $k<-1$。

與 $k<0$ 取共同部分得 $k<-1$。

$(x-1{)}^5=(x-1{)}^4(x-1)$，$(x-1{)}^4\ge 0$、$(x-3{)}^{12}\ge 0$，所以除了 $x=1$、$x=3$ 讓式子等於 $0$ 之外，式子的正負與 $(x-1)(x+2)$ 相同。

$(x-1)(x+2)\le 0$ 的解是 $-2\le x\le 1$。另外 $x=3$ 時式子等於 $0$，也滿足 $\le 0$。

所以 $x$ 的範圍是 $-2\le x\le 1$ 或 $x=3$。

由圖，$f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸交於 $x=1$、$3$、$5$ 三點，所以 $1$、$3$、$5$ 是 $f(x)=0$ 的三根。$f(x)$ 的 $x^3$ 係數是 $1$，所以

$$f(x)=(x-1)(x-3)(x-5)$$

(1) $f(0)=(-1)(-3)(-5)=-15$。

(2) 令 $t=x+2$。由圖，$f(t)>0$ 的範圍是 $1<t<3$ 或 $t>5$（圖形在 $x$ 軸上方的部分）。

把 $t=x+2$ 代回：$1<x+2<3$ 得 $-1<x<1$；$x+2>5$ 得 $x>3$。

所以 $f(x+2)>0$ 的解為 $-1<x<1$ 或 $x>3$。

$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ 是二次，設餘式為 $px+q$，即 $f(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+px+q$。

由餘式定理：$f(1)=p+q=2$，$f(3)=3p+q=-4$。兩式相減得 $2p=-6$，$p=-3$，$q=5$。

所以餘式為 $-3x+5$。

設定價比 $200$ 元增加 $10t$ 元（$t$ 為負數時表示減少），則定價是 $200+10t$ 元，每份利潤是 $200+10t-120=80+10t$ 元，每週賣 $400-40t$ 份。每週利潤

$$P=(80+10t)(400-40t)=-400t^2+800t+32000$$

配方：$P=-400(t^2-2t)+32000=-400(t-1{)}^2+32400$。

開口向下，$t=1$ 時 $P$ 最大，為 $32400$。此時定價 $200+10=210$ 元，每週賣 $360$ 份，每份賺 $90$ 元，$90\times 360=32400$。

所以定價為 $210$ 元時，有最大利潤 $32400$ 元（每週）。

(1) $f(x)$ 是首項係數 $1$ 的三次式，$x^2-2x+4$ 是它的因式，所以另一個因式是 $x+k$：

$$x^3+ax+b=(x^2-2x+4)(x+k)=x^3+(k-2)x^2+(4-2k)x+4k$$

比較 $x^2$ 的係數：$k-2=0$，$k=2$。再得 $a=4-2k=0$，$b=4k=8$。

所以 $(a,b)=(0,8)$。

(1) 三次函數 $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 的對稱中心的 $x$ 坐標是 $-\frac{b}{3a}$，這裡是 $-\frac{2}{3}$。

$$f\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{8}{27}+2\cdot \frac{4}{9}+\frac{2}{3}+4=\frac{-8+24+18+108}{27}=\frac{142}{27}$$

所以對稱中心為 $\left(-\frac{2}{3},\frac{142}{27}\right)$。

(2) 把 $f(x)$ 寫成 $(x+2)$ 的次方。令 $x=t-2$：

$$f=(t-2{)}^3+2(t-2{)}^2-(t-2)+4=t^3-4t^2+3t+6$$

所以 $f(x)=(x+2{)}^3-4(x+2{)}^2+3(x+2)+6$。在 $x=-2$ 附近，$(x+2{)}^2$、$(x+2{)}^3$ 很小，略去後一次近似為 $y=3(x+2)+6=3x+12$。