段考詳解範圍：弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期、週期性現象的數學模型

高雄新興高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高雄新興高中 112 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高雄新興高中 112 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要分清楚有沒有度的記號，沒有記號的 1、2、3 都是弧度；第 9 題要先由圓心落在折過來的弧上，推出折痕到圓心的距離是半徑的一半；第 10 題的區域是兩個六十度扇形疊起來再扣掉重複算的正三角形；第 13 題別漏掉原點與負的那一個交點；第 16 題扇形的半徑是圓錐的斜高十三，不是高十二。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 6 分，共 12 分）、多重選擇題 2 題（每題 6 分，共 12 分）、填充題 9 題共 10 格（依配分表給分，共 57 分）、計算素養題 2 題共 4 小題（共 19 分），合計 100 分。填充題的配分表：答對題數 1～10 依序得 8、16、24、32、38、44、48、51、54、57 分。作答用的答案卷上印的是填充題共 54 分、計算素養題共 22 分，與題目卷不同，本頁照題目卷。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題 6 分，共 12 分）

下列敘述何者正確？

(A) $cos 1 > cos 2$
(B) $sin 1^{\circ} > sin 2^{\circ}$
(C) $π^{\circ} < π$
(D) $π^{2}$ 是第二象限角
(E) $3$ 弳是第三象限角

坐標平面上，點

(sin 2, tan 10)

在第幾象限內？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 坐標軸上

二、多重選擇題（每題 6 分，共 12 分，答錯 1 個選項給 4 分，答錯 2 個選項給 2 分，答錯 3 個以上不給分）（本頁第 3、4 題為原卷多重選擇第 1、2 題）

關於正弦函數

y = f (x) = 3 sin (2 x)

圖形的敘述下列哪些正確？

(A) 振幅 $= 3$
(B) 週期 $= 2 π$
(C) 與 $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{3})$ 有相同的週期
(D) Y 軸是其中一條對稱軸
(E) 與直線 $y = f (x) = - 4$ 沒有交點

一個彈簧振子的位移量滿足某函數

h (t) = 2 sin (120 π t) + 6

公分，則

(A) 此函數為週期函數
(B) 振幅 $= 4$
(C) 週期 $= 60$
(D) 頻率 $= 60$
(E) 此位移量最大值為 $4$

三、填充題（依配分表給分，共 57 分）（本頁第 5～14 題為原卷填充格號 ①～⑩）

- 16 0^{\circ} = A

弧度，

\frac{7}{24} π = B

度，數對

(A, B) =

____。

第 6～7 題為題組（原卷填充第 2 題）（第 6～7 題）　有一個扇形，半徑

3

公分，圓心角

12 0^{\circ}

。

則扇形的弧長是 ____ 公分，

面積是 ____ 平方公分。

時鐘顯示

11

點

30

分的時候，所夾的銳角是 ____。

將半徑為

10

的半圓以上圖(1)方式對折，使得折痕與直徑平行，且圓心

O

在

C D ⌢

上，試求斜線區域面積為 ____。（斜線區域在附圖中塗成灰色。）

載入中...

如上圖(2)，正方形

A B C D

邊長為

12

，分別以

A

、

B

為圓心，

12

為半徑作弧

A C

與弧

B D

交於

O

點，試求

A O B

區域面積

=

____。

載入中...

函數

y = f (x) = sin x 鉛直 伸縮 \frac{1}{4} 倍 g (x) 上移 3 h (x)

，請寫出

h (x) =

____。

上圖(3)為函數

y = a sin b x + c

的圖形，其中

a

、

b

、

c > 0

，試求數對

(b, c)

之值為 ____。

載入中...

方程式

sin x = \frac{x}{5}

有 ____ 個實根。

設

0 \leq x \leq 2 π

，

0 < k < 1

，已知

y = k

和

y = sin x

交於兩點，試求此兩點的

x

坐標和為 ____。

四、計算素養題（依配分，兩題共 19 分）（本頁第 15、16 題為原卷計算第 1 題的 (1)(2)，配分 6 分、5 分；第 17、18 題為原卷計算第 2 題的 (1)(2)，配分 6 分、2 分）

第 15～16 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 15～16 題）　派對帽是幾種節日帽子中的任何一種，最常見的是由薄紙板製成的圓錐形帽子，通常在外部印有圖案，起源於 19 世紀中葉和 20 世紀初期學生所佩戴的傻瓜帽（dunce cap）或聖貝尼托帽（San Benito），現在則是許多親子活動時流行的帽飾，尤其是在慶生活動時。小新要幫妹妹小葵慶祝

2

歲生日，準備了三頂派對帽甲乙丙，量得小葵的頭圍大概是

46

–

50

公分。請問：

(1) 哪一頂派對帽可以幾乎完整地套在小葵頭上？（請寫出算式及說明，6 分）

載入中...

(2) 慶生結束後，小新覺得好玩就將丙派對帽沿斜高剪開成一扇形，試求此扇形圓心角

θ

為多少弳？（5 分）

載入中...

第 17～18 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 17～18 題）　現代人旅遊除了住宿飯店外，也越來越喜愛到野外露營的方式。露營是一種休閒活動，通常露營者攜帶帳篷，離開城市在野外紮營，度過一個或者多個夜晚，感受大自然的體驗。露營過程中夜晚的保暖或抗寒相對重要，假設在某一個地區的野外營地，架設一個溫度計觀測該地溫度變化，某一天測得凌晨

2

點的溫度是

1 2^{\circ} C

，

14

點（下午兩點）的溫度是

2 2^{\circ} C

，以時間為 X 軸，測得溫度為 Y 軸，繪圖如下，並發現此溫度變化曲線可表為

y = a sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{3}) + b

，則

(1) 數對

(a, b) =

？（6 分）

載入中...

(2) 該地上午

10

點的溫度是多少？（2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)（本題是單選題，但照卷面這兩個選項都成立，見詳解）

第 2 題(A)

第 3 題(A)(C)(E)

第 4 題(A)(D)

第 5 題

(- \frac{8}{9} π, \frac{105}{2})

第 6 題

2 π

第 7 題

3 π

第 8 題

16 5^{\circ}

（即

\frac{11}{12} π

弳；時針與分針的夾角是鈍角，卷面印作「銳角」，見詳解）

第 9 題

503 - \frac{50}{3} π

第 10 題

48 π - 363

第 11 題

\frac{1}{4} sin x + 3

第 12 題

(\frac{π}{6}, 2)

第 13 題

3

第 14 題

π

第 15 題乙（帽口的圓周長

16 π \approx 50.3

公分，與頭圍最接近）

第 16 題

\frac{10}{13} π

弳

第 17 題

(a, b) = (10, 17)

第 18 題

2 7^{\circ} C

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：度與弧度、弧度角所在的象限

第 1 題答案 (A)(C)（單選題，但照卷面這兩個選項都成立）。沒有寫「°」的角都是弧度，

1

弳約

57. 3^{\circ}

。(A) 對：

1

弳在第一象限，

cos 1 > 0

；

2

弳約

114. 6^{\circ}

，在第二象限，

cos 2 < 0

，所以

cos 1 > cos 2

。(B) 錯：在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間，角度愈大正弦值愈大，所以

sin 1^{\circ} < sin 2^{\circ}

。(C) 對：

π^{\circ}

約是

3.1 4^{\circ}

，而

π

（弧度）是

18 0^{\circ}

，所以

π^{\circ} < π

。(D) 錯：

π^{2} \approx 9.87

，減去一圈

2 π \approx 6.28

剩下約

3.59

，介於

π \approx 3.14

與

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

之間，是第三象限角。(E) 錯：

3

介於

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

π \approx 3.14

之間，是第二象限角。

本卷沒有學校公布的答案。照卷面的字，(A) 與 (C) 都是正確的敘述，這裡兩個都列出，不替學校決定要選哪一個。

第 2 題答案 (A)。

2

介於

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

π \approx 3.14

之間，是第二象限角，

sin 2 > 0

。

10

減去一圈

2 π \approx 6.28

剩下約

3.72

，介於

π \approx 3.14

與

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

之間，是第三象限角，正切為正，

tan 10 > 0

。

x

坐標與

y

坐標都是正的，點在第一象限。

數值約為

(0.909, 0.648)

。

判斷弧度角的象限，就拿它和

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

比；超過一圈先減

2 π

。

02多重選擇第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：正弦函數的性質、彈簧振子

第 3 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：

y = 3 sin 2 x

的振幅是

3

。(B) 錯：週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(C) 對：

y = 3 sin (2 x + \frac{π}{3})

只是把圖形左右平移，

x

的係數一樣是

2

，週期也是

π

。(D) 錯：圖形若以

y

軸為對稱軸，

x

與

- x

的函數值要相等；但

f (\frac{π}{4}) = 3 sin \frac{π}{2} = 3

，

f (- \frac{π}{4}) = 3 sin (- \frac{π}{2}) = - 3

，兩者不相等。(E) 對：

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

，所以

- 3 \leq f (x) \leq 3

，函數值不會等於

- 4

，圖形與直線

y = - 4

沒有交點。

選項 (E) 卷面印作「與直線

y = f (x) = - 4

沒有交點」，意思是圖形與水平線

y = - 4

沒有交點。這個圖形的對稱軸是通過最高點或最低點的鉛直線，例如

x = \frac{π}{4}

。

第 4 題答案 (A)(D)。(A) 對：正弦函數每隔一個週期函數值就重複，是週期函數。(B) 錯：振幅是

sin

前面的係數

2

。(C) 錯：週期

= \frac{2 π}{120 π} = \frac{1}{60}

。(D) 對：頻率是週期的倒數，等於

60

。(E) 錯：

sin (120 π t)

最大是

1

，位移量最大值是

2 \times 1 + 6 = 8

；最小值是

2 \times (- 1) + 6 = 4

。

y = a sin b t + c

（

a > 0

、

b > 0

）的振幅是

a

、週期是

\frac{2 π}{b}

、最大值是

c + a

、最小值是

c - a

。選項 (B)(E) 的

4

是最小值，也是最大值與最小值的差。

振幅看

sin

前面的係數，週期看

x

的係數，上下平移與左右平移都不改變振幅與週期。

03填充第 1～3 題（本頁第 5～8 題）：度與弧度互換、扇形、時鐘

第 5 題

18 0^{\circ} = π

弧度。

- 16 0^{\circ} = - 160 \times \frac{π}{180} = - \frac{8}{9} π

，所以

A = - \frac{8}{9} π

。

\frac{7}{24} π = \frac{7}{24} \times 18 0^{\circ} = 52. 5^{\circ}

，所以

B = \frac{105}{2}

。數對

(A, B) = (- \frac{8}{9} π, \frac{105}{2})

。

B

寫成

52.5

也可以。

第 6 題先把圓心角換成弧度：

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

。弧長

= r θ = 3 \times \frac{2 π}{3} = 2 π

（公分）。

弧長公式

s = r θ

的

θ

要用弧度。

第 7 題扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{2 π}{3} = 3 π

（平方公分）。

也可以用「圓面積的三分之一」：

\frac{120}{360} \times π \times 3^{2} = 3 π

。

第 8 題從

12

的位置順時針量：分針在

30

分，指著

6

，位置是

18 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

，

11

點

30

分時走了

11.5

小時，位置是

11.5 \times 3 0^{\circ} = 34 5^{\circ}

。兩針的夾角

= 34 5^{\circ} - 18 0^{\circ} = 16 5^{\circ}

，換成弧度是

165 \times \frac{π}{180} = \frac{11}{12} π

弳。

卷面寫「所夾的銳角」，但

11

點

30

分時兩針的夾角

16 5^{\circ}

是鈍角，這裡照題幹的時刻算出兩針的夾角。若把兩針看成兩條直線，直線所夾的銳角是

18 0^{\circ} - 16 5^{\circ} = 1 5^{\circ}

（即

\frac{π}{12}

弳）。本卷沒有學校公布的答案，兩種看法都列出。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳；弧長

s = r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

都要用弧度。

04填充第 4、5 題（本頁第 9、10 題）：對折的半圓、正方形內的兩弧

第 9 題折痕是弦

\overline{C D}

。對折就是把

\overline{C D}

上方的弓形對直線

C D

翻下來，翻下來的弧通過圓心

O

，表示

O

對直線

C D

的對稱點

O^{'}

在原來的圓弧上，

\overline{O O^{'}} = 10

，所以

O

到折痕的距離是

5

。設

M

是

\overline{C D}

的中點，直角三角形

O M C

中

\overline{O M} = 5

、

\overline{O C} = 10

，所以

cos ∠ M O C = \frac{1}{2}

，

∠ M O C = \frac{π}{3}

，

∠ C O D = \frac{2 π}{3}

，

\overline{C D} = 2 \times 53 = 103

。

\overline{C D}

上方的弓形面積

=

扇形

O C D - △ O C D = \frac{1}{2} \times 1 0^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 103 \times 5 = \frac{100 π}{3} - 253

。翻下來的弓形與它全等，剛好蓋住折痕下方的一部分；斜線區域是半圓扣掉這兩塊：

\frac{1}{2} \times π \times 1 0^{2} - 2 (\frac{100 π}{3} - 253) = 50 π - \frac{200 π}{3} + 503 = 503 - \frac{50}{3} π

。

約

34.2

。弓形面積用「扇形減三角形」算；圓心角

\frac{2 π}{3}

是由

5

與

10

的比得到的。

第 10 題弧

B D

以

A

為圓心、弧

A C

以

B

為圓心，半徑都是

12

。交點

O

同時在兩弧上，所以

\overline{A O} = \overline{B O} = 12 = \overline{A B}

，

△ A O B

是正三角形，

∠ O A B = ∠ O B A = \frac{π}{3}

。

A O B

區域是由

\overline{A B}

、弧

A O

、弧

B O

圍成的區域，它等於扇形

A - B O

（圓心

A

）加上扇形

B - A O

（圓心

B

），再扣掉重複算的正三角形

A O B

：

2 \times \frac{1}{2} \times 1 2^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{3}{4} \times 1 2^{2} = 48 π - 363

。

約

88.4

。原卷的圖沒有畫出線段

\overline{A O}

、

\overline{B O}

，所以「

A O B

區域」依圖取兩弧與

\overline{A B}

圍成的區域；若只算正三角形

A O B

，面積是

363

。

弧圍成的面積拆成扇形與三角形：弓形是扇形減三角形，兩個扇形疊在一起要扣掉重複的部分。

05填充第 6～9 題（本頁第 11～14 題）：伸縮與平移、由圖形定係數、交點個數、對稱性

第 11 題鉛直伸縮為

\frac{1}{4}

倍，是把每個

y

值乘以

\frac{1}{4}

：

g (x) = \frac{1}{4} sin x

。再向上平移

3

單位，是把每個

y

值加

3

：

h (x) = \frac{1}{4} sin x + 3

。

鉛直方向的伸縮與平移都寫在整個函數值上，

x

不變。

第 12 題由圖，最大值是

6

、最小值是

- 2

。因為

a > 0

，

c + a = 6

、

c - a = - 2

，解得

c = 2

、

a = 4

。圖形從

x = 0

（

y = 2

）往上升，在

x = 3

到最高點，

x = 6

回到

y = 2

，

x = 9

到最低點，

x = 12

再回到

y = 2

，所以週期是

12

。由

\frac{2 π}{b} = 12

（

b > 0

）得

b = \frac{π}{6}

。所以

(b, c) = (\frac{π}{6}, 2)

。

檢查：

y = 4 sin \frac{π x}{6} + 2

在

x = 11

時是

4 sin \frac{11 π}{6} + 2 = 4 \times (- \frac{1}{2}) + 2 = 0

，與圖上標的

11

相符。

第 13 題實根就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{5}

的交點。

- 1 \leq sin x \leq 1

，所以交點只可能在

- 5 \leq x \leq 5

之間，而

π < 5 < 2 π

。先看

x \geq 0

：

x = 0

時兩邊都是

0

，是一個交點。在

0 < x < π

，正弦圖形是一個拱形，直線由

0

慢慢升到

\frac{π}{5} \approx 0.63

；在

x = \frac{π}{2}

時

sin x = 1

比直線的

\frac{π}{10} \approx 0.31

高，在

x = π

時

sin x = 0

比直線的

0.63

低，所以拱形在這一段與直線恰交一點。在

π \leq x \leq 5

，

sin x \leq 0

而直線在

x

軸上方，沒有交點。兩個圖形都對稱於原點，所以

x < 0

的部分也恰有一個交點。共

1 + 1 + 1 = 3

個實根。

三個根是

x = 0

與

x \approx \pm 2.60

。別漏掉

x = 0

與負的那一個。

第 14 題

0 < k < 1

，水平線

y = k

只會和

y = sin x

在

0 < x < π

的那個拱形相交（

π \leq x \leq 2 π

時

sin x \leq 0

）。這個拱形以直線

x = \frac{π}{2}

為對稱軸，所以兩個交點左右對稱：若一個交點的

x

坐標是

α

，另一個就是

π - α

。兩點的

x

坐標和

= α + (π - α) = π

。

例如

k = \frac{1}{2}

時，兩交點是

x = \frac{π}{6}

與

x = \frac{5 π}{6}

，和是

π

。

y = a sin b x + c

（

a > 0

、

b > 0

）：中心線是

y = c

、振幅是

a

、週期是

\frac{2 π}{b}

；解的個數用圖形數交點。

06計算第 1 題（本頁第 15、16 題）：派對帽的帽口與展開的扇形

第 15 題帽子能不能套在頭上，要看帽口（圓錐底面的圓）的圓周長和頭圍差多少。圖上的數字沒有印單位，依頭圍的單位當作公分；每頂帽子圖上標的兩個數是高與底面半徑。甲：底面半徑

6

，帽口圓周長

2 π \times 6 = 12 π \approx 37.7

公分。乙：底面半徑

8

，帽口圓周長

2 π \times 8 = 16 π \approx 50.3

公分。丙：底面半徑

5

，帽口圓周長

2 π \times 5 = 10 π \approx 31.4

公分。小葵的頭圍是

46

到

50

公分。甲與丙的帽口比頭圍小了

8

公分以上，只能頂在頭頂上；乙的帽口

50.3

公分，只比頭圍大一點，可以幾乎完整地套在頭上。所以是乙。

比的是底面的圓周長，不是高。

π

取

3.14

就夠判斷。

第 16 題丙的高是

12

、底面半徑是

5

，高、底面半徑與斜高構成直角三角形，斜高

= 1 2^{2} + 5^{2} = 169 = 13

。沿斜高剪開後，側面攤平成扇形：扇形的半徑是斜高

13

，扇形的弧長是底面的圓周長

2 π \times 5 = 10 π

。由弧長

s = r θ

得

13 θ = 10 π

，

θ = \frac{10}{13} π

弳。

約

2.42

弳（約

138. 5^{\circ}

）。扇形的半徑是斜高

13

，不是高

12

。附圖的扇形只是示意，沒有照實際角度畫。

圓錐側面展開成扇形：扇形半徑＝斜高，扇形弧長＝底面圓周長。

07計算第 2 題（本頁第 17、18 題）：一天的溫度變化

第 17 題把兩筆資料代入

y = a sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{3}) + b

。

x = 2

時，

\frac{2 π}{12} - \frac{π}{3} = \frac{π}{6} - \frac{2 π}{6} = - \frac{π}{6}

，

sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

，得

- \frac{1}{2} a + b = 12

。

x = 14

時，

\frac{14 π}{12} - \frac{π}{3} = \frac{7 π}{6} - \frac{2 π}{6} = \frac{5 π}{6}

，

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，得

\frac{1}{2} a + b = 22

。兩式相加：

2 b = 34

，

b = 17

；兩式相減：

a = 10

。所以

(a, b) = (10, 17)

。

\frac{5 π}{6}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{6}

，正弦為正。附圖是示意圖，最高點的位置與高度沒有照實際比例畫。

第 18 題由上一小題，

y = 10 sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{3}) + 17

。上午

10

點是

x = 10

：

\frac{10 π}{12} - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6} - \frac{2 π}{6} = \frac{π}{2}

，

sin \frac{π}{2} = 1

，所以

y = 10 \times 1 + 17 = 27

。上午

10

點的溫度是

2 7^{\circ} C

。

sin

的值最大是

1

，所以

2 7^{\circ} C

也是這個模型裡一天的最高溫。

模型有兩個未知係數，就代入兩筆資料列兩個式子；代入前先把括號裡的角算清楚。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

高雄新興高中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要分清楚有沒有度的記號，沒有記號的 1、2、3 都是弧度；第 9 題要先由圓心落在折過來的弧上，推出折痕到圓心的距離是半徑的一半；第 10 題的區域是兩個六十度扇形疊起來再扣掉重複算的正三角形；第 13 題別漏掉原點與負的那一個交點；第 16 題扇形的半徑是圓錐的斜高十三，不是高十二。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期、週期性現象的數學模型

高雄新興高中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

一、單選題（每題 6 分，共 12 分）

下列敘述何者正確？

(A) $cos 1 > cos 2$
(B) $sin 1^{\circ} > sin 2^{\circ}$
(C) $π^{\circ} < π$
(D) $π^{2}$ 是第二象限角
(E) $3$ 弳是第三象限角

坐標平面上，點

(sin 2, tan 10)

在第幾象限內？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 坐標軸上

關於正弦函數

y = f (x) = 3 sin (2 x)

圖形的敘述下列哪些正確？

(A) 振幅 $= 3$
(B) 週期 $= 2 π$
(C) 與 $y = 3 sin (2 x + \frac{π}{3})$ 有相同的週期
(D) Y 軸是其中一條對稱軸
(E) 與直線 $y = f (x) = - 4$ 沒有交點

一個彈簧振子的位移量滿足某函數

h (t) = 2 sin (120 π t) + 6

公分，則

(A) 此函數為週期函數
(B) 振幅 $= 4$
(C) 週期 $= 60$
(D) 頻率 $= 60$
(E) 此位移量最大值為 $4$

三、填充題（依配分表給分，共 57 分）（本頁第 5～14 題為原卷填充格號 ①～⑩）

- 16 0^{\circ} = A

弧度，

\frac{7}{24} π = B

度，數對

(A, B) =

____。

第 6～7 題為題組（原卷填充第 2 題）（第 6～7 題）　有一個扇形，半徑

3

公分，圓心角

12 0^{\circ}

。

則扇形的弧長是 ____ 公分，

面積是 ____ 平方公分。

時鐘顯示

11

點

30

分的時候，所夾的銳角是 ____。

將半徑為

10

的半圓以上圖(1)方式對折，使得折痕與直徑平行，且圓心

O

在

C D ⌢

上，試求斜線區域面積為 ____。（斜線區域在附圖中塗成灰色。）

載入中...

如上圖(2)，正方形

A B C D

邊長為

12

，分別以

A

、

B

為圓心，

12

為半徑作弧

A C

與弧

B D

交於

O

點，試求

A O B

區域面積

=

____。

載入中...

函數

y = f (x) = sin x 鉛直 伸縮 \frac{1}{4} 倍 g (x) 上移 3 h (x)

，請寫出

h (x) =

____。

上圖(3)為函數

y = a sin b x + c

的圖形，其中

a

、

b

、

c > 0

，試求數對

(b, c)

之值為 ____。

載入中...

方程式

sin x = \frac{x}{5}

有 ____ 個實根。

設

0 \leq x \leq 2 π

，

0 < k < 1

，已知

y = k

和

y = sin x

交於兩點，試求此兩點的

x

坐標和為 ____。

2

歲生日，準備了三頂派對帽甲乙丙，量得小葵的頭圍大概是

46

–

50

公分。請問：

(1) 哪一頂派對帽可以幾乎完整地套在小葵頭上？（請寫出算式及說明，6 分）

載入中...

(2) 慶生結束後，小新覺得好玩就將丙派對帽沿斜高剪開成一扇形，試求此扇形圓心角

θ

為多少弳？（5 分）

載入中...

2

點的溫度是

1 2^{\circ} C

，

14

點（下午兩點）的溫度是

2 2^{\circ} C

，以時間為 X 軸，測得溫度為 Y 軸，繪圖如下，並發現此溫度變化曲線可表為

y = a sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{3}) + b

，則

(1) 數對

(a, b) =

？（6 分）

載入中...

(2) 該地上午

10

點的溫度是多少？（2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)（本題是單選題，但照卷面這兩個選項都成立，見詳解）

第 2 題(A)

第 3 題(A)(C)(E)

第 4 題(A)(D)

第 5 題

(- \frac{8}{9} π, \frac{105}{2})

第 6 題

2 π

第 7 題

3 π

第 8 題

16 5^{\circ}

（即

\frac{11}{12} π

弳；時針與分針的夾角是鈍角，卷面印作「銳角」，見詳解）

第 9 題

503 - \frac{50}{3} π

第 10 題

48 π - 363

第 11 題

\frac{1}{4} sin x + 3

第 12 題

(\frac{π}{6}, 2)

第 13 題

3

第 14 題

π

第 15 題乙（帽口的圓周長

16 π \approx 50.3

公分，與頭圍最接近）

第 16 題

\frac{10}{13} π

弳

第 17 題

(a, b) = (10, 17)

第 18 題

2 7^{\circ} C

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：度與弧度、弧度角所在的象限

第 1 題答案 (A)(C)（單選題，但照卷面這兩個選項都成立）。沒有寫「°」的角都是弧度，

1

弳約

57. 3^{\circ}

。(A) 對：

1

弳在第一象限，

cos 1 > 0

；

2

弳約

114. 6^{\circ}

，在第二象限，

cos 2 < 0

，所以

cos 1 > cos 2

。(B) 錯：在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間，角度愈大正弦值愈大，所以

sin 1^{\circ} < sin 2^{\circ}

。(C) 對：

π^{\circ}

約是

3.1 4^{\circ}

，而

π

（弧度）是

18 0^{\circ}

，所以

π^{\circ} < π

。(D) 錯：

π^{2} \approx 9.87

，減去一圈

2 π \approx 6.28

剩下約

3.59

，介於

π \approx 3.14

與

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

之間，是第三象限角。(E) 錯：

3

介於

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

π \approx 3.14

之間，是第二象限角。

本卷沒有學校公布的答案。照卷面的字，(A) 與 (C) 都是正確的敘述，這裡兩個都列出，不替學校決定要選哪一個。

第 2 題答案 (A)。

2

介於

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

π \approx 3.14

之間，是第二象限角，

sin 2 > 0

。

10

減去一圈

2 π \approx 6.28

剩下約

3.72

，介於

π \approx 3.14

與

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

之間，是第三象限角，正切為正，

tan 10 > 0

。

x

坐標與

y

坐標都是正的，點在第一象限。

數值約為

(0.909, 0.648)

。

判斷弧度角的象限，就拿它和

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

比；超過一圈先減

2 π

。

02多重選擇第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：正弦函數的性質、彈簧振子

第 3 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：

y = 3 sin 2 x

的振幅是

3

。(B) 錯：週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(C) 對：

y = 3 sin (2 x + \frac{π}{3})

只是把圖形左右平移，

x

的係數一樣是

2

，週期也是

π

。(D) 錯：圖形若以

y

軸為對稱軸，

x

與

- x

的函數值要相等；但

f (\frac{π}{4}) = 3 sin \frac{π}{2} = 3

，

f (- \frac{π}{4}) = 3 sin (- \frac{π}{2}) = - 3

，兩者不相等。(E) 對：

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

，所以

- 3 \leq f (x) \leq 3

，函數值不會等於

- 4

，圖形與直線

y = - 4

沒有交點。

選項 (E) 卷面印作「與直線

y = f (x) = - 4

沒有交點」，意思是圖形與水平線

y = - 4

沒有交點。這個圖形的對稱軸是通過最高點或最低點的鉛直線，例如

x = \frac{π}{4}

。

第 4 題答案 (A)(D)。(A) 對：正弦函數每隔一個週期函數值就重複，是週期函數。(B) 錯：振幅是

sin

前面的係數

2

。(C) 錯：週期

= \frac{2 π}{120 π} = \frac{1}{60}

。(D) 對：頻率是週期的倒數，等於

60

。(E) 錯：

sin (120 π t)

最大是

1

，位移量最大值是

2 \times 1 + 6 = 8

；最小值是

2 \times (- 1) + 6 = 4

。

y = a sin b t + c

（

a > 0

、

b > 0

）的振幅是

a

、週期是

\frac{2 π}{b}

、最大值是

c + a

、最小值是

c - a

。選項 (B)(E) 的

4

是最小值，也是最大值與最小值的差。

振幅看

sin

前面的係數，週期看

x

的係數，上下平移與左右平移都不改變振幅與週期。

03填充第 1～3 題（本頁第 5～8 題）：度與弧度互換、扇形、時鐘

第 5 題

18 0^{\circ} = π

弧度。

- 16 0^{\circ} = - 160 \times \frac{π}{180} = - \frac{8}{9} π

，所以

A = - \frac{8}{9} π

。

\frac{7}{24} π = \frac{7}{24} \times 18 0^{\circ} = 52. 5^{\circ}

，所以

B = \frac{105}{2}

。數對

(A, B) = (- \frac{8}{9} π, \frac{105}{2})

。

B

寫成

52.5

也可以。

第 6 題先把圓心角換成弧度：

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

。弧長

= r θ = 3 \times \frac{2 π}{3} = 2 π

（公分）。

弧長公式

s = r θ

的

θ

要用弧度。

第 7 題扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{2 π}{3} = 3 π

（平方公分）。

也可以用「圓面積的三分之一」：

\frac{120}{360} \times π \times 3^{2} = 3 π

。

第 8 題從

12

的位置順時針量：分針在

30

分，指著

6

，位置是

18 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

，

11

點

30

分時走了

11.5

小時，位置是

11.5 \times 3 0^{\circ} = 34 5^{\circ}

。兩針的夾角

= 34 5^{\circ} - 18 0^{\circ} = 16 5^{\circ}

，換成弧度是

165 \times \frac{π}{180} = \frac{11}{12} π

弳。

卷面寫「所夾的銳角」，但

11

點

30

分時兩針的夾角

16 5^{\circ}

是鈍角，這裡照題幹的時刻算出兩針的夾角。若把兩針看成兩條直線，直線所夾的銳角是

18 0^{\circ} - 16 5^{\circ} = 1 5^{\circ}

（即

\frac{π}{12}

弳）。本卷沒有學校公布的答案，兩種看法都列出。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳；弧長

s = r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

都要用弧度。

04填充第 4、5 題（本頁第 9、10 題）：對折的半圓、正方形內的兩弧

第 9 題折痕是弦

\overline{C D}

。對折就是把

\overline{C D}

上方的弓形對直線

C D

翻下來，翻下來的弧通過圓心

O

，表示

O

對直線

C D

的對稱點

O^{'}

在原來的圓弧上，

\overline{O O^{'}} = 10

，所以

O

到折痕的距離是

5

。設

M

是

\overline{C D}

的中點，直角三角形

O M C

中

\overline{O M} = 5

、

\overline{O C} = 10

，所以

cos ∠ M O C = \frac{1}{2}

，

∠ M O C = \frac{π}{3}

，

∠ C O D = \frac{2 π}{3}

，

\overline{C D} = 2 \times 53 = 103

。

\overline{C D}

上方的弓形面積

=

扇形

O C D - △ O C D = \frac{1}{2} \times 1 0^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 103 \times 5 = \frac{100 π}{3} - 253

。翻下來的弓形與它全等，剛好蓋住折痕下方的一部分；斜線區域是半圓扣掉這兩塊：

\frac{1}{2} \times π \times 1 0^{2} - 2 (\frac{100 π}{3} - 253) = 50 π - \frac{200 π}{3} + 503 = 503 - \frac{50}{3} π

。

約

34.2

。弓形面積用「扇形減三角形」算；圓心角

\frac{2 π}{3}

是由

5

與

10

的比得到的。

第 10 題弧

B D

以

A

為圓心、弧

A C

以

B

為圓心，半徑都是

12

。交點

O

同時在兩弧上，所以

\overline{A O} = \overline{B O} = 12 = \overline{A B}

，

△ A O B

是正三角形，

∠ O A B = ∠ O B A = \frac{π}{3}

。

A O B

區域是由

\overline{A B}

、弧

A O

、弧

B O

圍成的區域，它等於扇形

A - B O

（圓心

A

）加上扇形

B - A O

（圓心

B

），再扣掉重複算的正三角形

A O B

：

2 \times \frac{1}{2} \times 1 2^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{3}{4} \times 1 2^{2} = 48 π - 363

。

約

88.4

。原卷的圖沒有畫出線段

\overline{A O}

、

\overline{B O}

，所以「

A O B

區域」依圖取兩弧與

\overline{A B}

圍成的區域；若只算正三角形

A O B

，面積是

363

。

弧圍成的面積拆成扇形與三角形：弓形是扇形減三角形，兩個扇形疊在一起要扣掉重複的部分。

05填充第 6～9 題（本頁第 11～14 題）：伸縮與平移、由圖形定係數、交點個數、對稱性

第 11 題鉛直伸縮為

\frac{1}{4}

倍，是把每個

y

值乘以

\frac{1}{4}

：

g (x) = \frac{1}{4} sin x

。再向上平移

3

單位，是把每個

y

值加

3

：

h (x) = \frac{1}{4} sin x + 3

。

鉛直方向的伸縮與平移都寫在整個函數值上，

x

不變。

第 12 題由圖，最大值是

6

、最小值是

- 2

。因為

a > 0

，

c + a = 6

、

c - a = - 2

，解得

c = 2

、

a = 4

。圖形從

x = 0

（

y = 2

）往上升，在

x = 3

到最高點，

x = 6

回到

y = 2

，

x = 9

到最低點，

x = 12

再回到

y = 2

，所以週期是

12

。由

\frac{2 π}{b} = 12

（

b > 0

）得

b = \frac{π}{6}

。所以

(b, c) = (\frac{π}{6}, 2)

。

檢查：

y = 4 sin \frac{π x}{6} + 2

在

x = 11

時是

4 sin \frac{11 π}{6} + 2 = 4 \times (- \frac{1}{2}) + 2 = 0

，與圖上標的

11

相符。

第 13 題實根就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{5}

的交點。

- 1 \leq sin x \leq 1

，所以交點只可能在

- 5 \leq x \leq 5

之間，而

π < 5 < 2 π

。先看

x \geq 0

：

x = 0

時兩邊都是

0

，是一個交點。在

0 < x < π

，正弦圖形是一個拱形，直線由

0

慢慢升到

\frac{π}{5} \approx 0.63

；在

x = \frac{π}{2}

時

sin x = 1

比直線的

\frac{π}{10} \approx 0.31

高，在

x = π

時

sin x = 0

比直線的

0.63

低，所以拱形在這一段與直線恰交一點。在

π \leq x \leq 5

，

sin x \leq 0

而直線在

x

軸上方，沒有交點。兩個圖形都對稱於原點，所以

x < 0

的部分也恰有一個交點。共

1 + 1 + 1 = 3

個實根。

三個根是

x = 0

與

x \approx \pm 2.60

。別漏掉

x = 0

與負的那一個。

第 14 題

0 < k < 1

，水平線

y = k

只會和

y = sin x

在

0 < x < π

的那個拱形相交（

π \leq x \leq 2 π

時

sin x \leq 0

）。這個拱形以直線

x = \frac{π}{2}

為對稱軸，所以兩個交點左右對稱：若一個交點的

x

坐標是

α

，另一個就是

π - α

。兩點的

x

坐標和

= α + (π - α) = π

。

例如

k = \frac{1}{2}

時，兩交點是

x = \frac{π}{6}

與

x = \frac{5 π}{6}

，和是

π

。

y = a sin b x + c

（

a > 0

、

b > 0

）：中心線是

y = c

、振幅是

a

、週期是

\frac{2 π}{b}

；解的個數用圖形數交點。

06計算第 1 題（本頁第 15、16 題）：派對帽的帽口與展開的扇形

6

，帽口圓周長

2 π \times 6 = 12 π \approx 37.7

公分。乙：底面半徑

8

，帽口圓周長

2 π \times 8 = 16 π \approx 50.3

公分。丙：底面半徑

5

，帽口圓周長

2 π \times 5 = 10 π \approx 31.4

公分。小葵的頭圍是

46

到

50

公分。甲與丙的帽口比頭圍小了

8

公分以上，只能頂在頭頂上；乙的帽口

50.3

公分，只比頭圍大一點，可以幾乎完整地套在頭上。所以是乙。

比的是底面的圓周長，不是高。

π

取

3.14

就夠判斷。

第 16 題丙的高是

12

、底面半徑是

5

，高、底面半徑與斜高構成直角三角形，斜高

= 1 2^{2} + 5^{2} = 169 = 13

。沿斜高剪開後，側面攤平成扇形：扇形的半徑是斜高

13

，扇形的弧長是底面的圓周長

2 π \times 5 = 10 π

。由弧長

s = r θ

得

13 θ = 10 π

，

θ = \frac{10}{13} π

弳。

約

2.42

弳（約

138. 5^{\circ}

）。扇形的半徑是斜高

13

，不是高

12

。附圖的扇形只是示意，沒有照實際角度畫。

圓錐側面展開成扇形：扇形半徑＝斜高，扇形弧長＝底面圓周長。

07計算第 2 題（本頁第 17、18 題）：一天的溫度變化

第 17 題把兩筆資料代入

y = a sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{3}) + b

。

x = 2

時，

\frac{2 π}{12} - \frac{π}{3} = \frac{π}{6} - \frac{2 π}{6} = - \frac{π}{6}

，

sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

，得

- \frac{1}{2} a + b = 12

。

x = 14

時，

\frac{14 π}{12} - \frac{π}{3} = \frac{7 π}{6} - \frac{2 π}{6} = \frac{5 π}{6}

，

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，得

\frac{1}{2} a + b = 22

。兩式相加：

2 b = 34

，

b = 17

；兩式相減：

a = 10

。所以

(a, b) = (10, 17)

。

\frac{5 π}{6}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{6}

，正弦為正。附圖是示意圖，最高點的位置與高度沒有照實際比例畫。

第 18 題由上一小題，

y = 10 sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{3}) + 17

。上午

10

點是

x = 10

：

\frac{10 π}{12} - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6} - \frac{2 π}{6} = \frac{π}{2}

，

sin \frac{π}{2} = 1

，所以

y = 10 \times 1 + 17 = 27

。上午

10

點的溫度是

2 7^{\circ} C

。

sin

的值最大是

1

，所以

2 7^{\circ} C

也是這個模型裡一天的最高溫。

模型有兩個未知係數，就代入兩筆資料列兩個式子；代入前先把括號裡的角算清楚。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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01單選第 1、2 題：度與弧度、弧度角所在的象限

02多重選擇第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：正弦函數的性質、彈簧振子

03填充第 1～3 題（本頁第 5～8 題）：度與弧度互換、扇形、時鐘

04填充第 4、5 題（本頁第 9、10 題）：對折的半圓、正方形內的兩弧

05填充第 6～9 題（本頁第 11～14 題）：伸縮與平移、由圖形定係數、交點個數、對稱性

06計算第 1 題（本頁第 15、16 題）：派對帽的帽口與展開的扇形

07計算第 2 題（本頁第 17、18 題）：一天的溫度變化

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高雄新興高中 112 上
高二第一次段考
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