段考詳解範圍：指數與指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用

高雄新興高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

是非題 2 題（每題 2 分，共 4 分）、多重選擇題 3 題（每題 6 分，共 18 分，錯一個選項扣 2 分，扣到該題 0 分為止）、填充題-基礎 6 格（每格 3 分，共 18 分）、填充題 9 格（每格 4 分，共 36 分）、混合題 2 題（共 24 分：第 1 題兩小題各 5 分；第 2 題 (1) 5 分、(2) 各 2 分、(3) 5 分），合計 100 分。原卷各大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 3～5 題是多選第 1～3 題，第 6～11 題是填充-基礎第 1～6 題，第 12～20 題是填充第 1～7 題的 9 格，第 21～25 題是混合題第 1、2 題的各小題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、是非題(每題 2 分，共 4 分。)

lo g_{5} x^{2} = 2 lo g_{5} x

。

已知

a

，

b

，

c

成等差數列，則

1 0^{a}

，

1 0^{b}

，

1 0^{c}

成等比數列。

二、多重選擇題(每題 6 分，錯一個選項扣 2 分，扣到該題 0 分為止，共 18 分。)

關於指數函數

f (x) = a^{x}

（

a > 0

且

a \neq = 1

）圖形的敘述，下列選項哪些正確？

(A) $a$ 必為介於 $0$ 到 $1$ 的實數
(B) $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) \times f (x_{2})$
(C) 此函數必通過 $(0, 1)$
(D) 此圖形為凹口向上的曲線
(E) 若 $x_{1} < x_{2}$ ，則 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ 。

下列各對數值哪些有意義？

(A) $lo g 2$
(B) $lo g_{5} (- 2)$
(C) $lo g_{(- 2)} 4$
(D) $lo g_{1} 1$
(E) $lo g_{π - 3} (5 - 2)$

已知

f (x) = lo g_{\frac{1}{3}} x

，則下列選項哪些正確？

(A) $f (9) = - 3$
(B) $f (- 27) = 3$
(C) $f (1) = 0$
(D) $f (0) = 1$
(E) $f (\frac{1}{9}) = 2$

三、填充題-基礎(每格 3 分，共 18 分。)

lo g_{5} 125 =

____。

lo g_{2} 32 =

____。

lo g_{9} 27 =

____。

lo g_{3} 32 \times lo g_{4} 125 \times lo g_{25} 9 =

____。

lo g 8^{3} + lo g 12 5^{3} =

____。

lo g_{7} 343 =

____。

四、填充題(每格 4 分，共 36 分。)

第 12～13 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 12～13 題）　試求下列各式

x

的值

(1)

lo g_{5} (2 x - 1) = 2

，求

x =

____。

(2)

5^{3 x - 9} = 125

，求

x =

____。

已知

x

為任意實數，則

5^{(x^{2} + 6 x + 5)}

的最小值為 ____。

(1) 已知

a = 4^{\frac{3}{2}}

，

b = (\frac{1}{2})^{- 2}

，

c = 8^{\frac{2}{3}}

，

d = (\frac{1}{4})^{- 2}

，則

a

，

b

，

c

，

d

四數的大小關係為 ____。

(2) 已知

p = (\frac{2}{3})^{3}

，

q = (\frac{8}{27})^{- 2}

，

r = (\frac{3}{2})^{2}

，

s = (\frac{4}{9})^{2}

，則

p

，

q

，

r

，

s

四數的大小關係為 ____。

試求不等式

1 + lo g (x + 3) \leq lo g (8 - x)

解為 ____。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，請以

a

、

b

表示

lo g_{6} 30 =

____。

設

P

、

Q

分別為直線

y = 4

、

y = 36

和

y = 3^{x}

的交點，則直線

P Q

的斜率為 ____。

金融學中有所謂的七二法則，是一種簡易估算的方法。公式如下：若每期利率為

x %

，並且以複利計算，則本利和達到原來本金的兩倍時所需要的時間大約為

\frac{72}{x}

期。小華在今年年初存入

300

萬，年利率

4%

複利計算，以七二法則估算約 ____ 年後，小華的存款可達到

600

萬。

五、混合題(依計算過程斟酌給分，無計算過程，不予計分。按各題配分，共 24 分。)

第 21～22 題為題組（原卷混合題第 1 題）（第 21～22 題）　已知某種藥物經過

t

小時後，在身體內的殘留量符合函數

f (t) = 1000 \times (\frac{1}{4})^{t}

（單位：克），試求：

(1) 經過

1.5

小時後，此藥物在身體內的殘留量為 ____ 克。(5%)

(2) 經過

k

小時後，此藥物在身體內的殘留量小於

1

克，則

k

的最小整數值為 ____。(5%)

第 23～25 題為題組（原卷混合題第 2 題）（第 23～25 題）　已知

3^{x} + 2 lo g_{10} y = 7

且

3^{x + 1} + lo g_{10} y^{4} = 17

，試求下列各小題：

(1) 設

3^{x} = a

，

lo g_{10} y = b

，並以

a

、

b

改寫原方程式。(5%)

(2) 試解出

a

、

b

。(各 2 分。)

(3) 利用 (2) 解出

lo g_{10} x y

(5%))

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1×

2○

第 3 題(B)(C)(D)

第 4 題(A)(E)

第 5 題(C)(E)

第 6 題

3

第 7 題

10

第 8 題

\frac{3}{2}

第 9 題

\frac{15}{2}

第 10 題

9

第 11 題

3

第 12 題

13

第 13 題

4

第 14 題

\frac{1}{625}

第 15 題

d > a > b = c

第 16 題

q > r > p > s

第 17 題

- 3 < x \leq - 2

第 18 題

\frac{1 + b}{a + b}

第 19 題

16

第 20 題

18

第 21 題

125

第 22 題

5

第 23 題

a + 2 b = 7

，

3 a + 4 b = 17

第 24 題

a = 3

，

b = 2

第 25 題

2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01是非第 1、2 題：對數律的條件、等差與等比

第 1 題×答 ×。左邊

lo g_{5} x^{2}

只要求

x^{2} > 0

，也就是

x \neq = 0

；右邊

lo g_{5} x

要求

x > 0

。例如

x = - 5

時，左邊

lo g_{5} 25 = 2

有意義，右邊

2 lo g_{5} (- 5)

沒有意義，等式不成立。

對數律

lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x

要在

x > 0

時才能用；一般只能寫

lo g_{5} x^{2} = 2 lo g_{5} ∣ x ∣

。

第 2 題○答 ○。

a

，

b

，

c

成等差，所以

2 b = a + c

。三數

1 0^{a}

，

1 0^{b}

，

1 0^{c}

都是正數，而且

(1 0^{b})^{2} = 1 0^{2 b} = 1 0^{a + c} = 1 0^{a} \times 1 0^{c}

，中間項的平方等於前後兩項的乘積，所以成等比數列，公比是

1 0^{b - a}

。

用對數律前先確認真數為正；等差的數放到指數上會變成等比。

02多選第 1～3 題（本頁第 3～5 題）：指數函數的圖形、對數有沒有意義、底數小於 1 的對數函數

第 3 題

答案 (B)(C)(D)。

(A) 錯誤。 題目只說 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ， $a$ 也可以比 $1$ 大，例如 $a = 2$ 。

(B) 正確。 由指數律， $f (x_{1} + x_{2}) = a^{x_{1} + x_{2}} = a^{x_{1}} \times a^{x_{2}} = f (x_{1}) \times f (x_{2})$ 。

(D) 正確。 不論 $a > 1$ 或 $0 < a < 1$ ，指數函數的圖形都在 $x$ 軸上方、凹口向上。

(E) 錯誤。 只有 $a > 1$ 時函數遞增； $0 < a < 1$ 時函數遞減。例如 $a = \frac{1}{2}$ ， $x_{1} = 0 < x_{2} = 1$ ， $f (0) = 1$ 卻比 $f (1) = \frac{1}{2}$ 大。

第 4 題

答案 (A)(E)。 $lo g_{a} b$ 有意義的條件是：底數 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ，真數 $b > 0$ 。

(A) 正確。 常用對數底數是 $10$ ，真數 $2 > 0$ ，有意義。

(B) 錯誤。 真數 $- 2$ 不是正數。

(D) 錯誤。 底數是 $1$ ； $1$ 的任何次方都是 $1$ ，底數不可以是 $1$ 。

(E) 正確。 $π \approx 3.14$ ，底數 $π - 3 \approx 0.14$ 大於 $0$ 且不等於 $1$ ； $2 \approx 1.41$ ，真數 $5 - 2 \approx 3.59$ 大於 $0$ 。有意義。

第 5 題

答案 (C)(E)。 $f (x) = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 的定義域是 $x > 0$ ； $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 就是 $(\frac{1}{3})^{y} = x$ 。

(A) 錯誤。 $(\frac{1}{3})^{- 2} = 9$ ，所以 $f (9) = - 2$ ，不是 $- 3$ 。

(B) 錯誤。 真數 $- 27$ 不是正數， $f (- 27)$ 沒有意義。

(D) 錯誤。 真數 $0$ 不是正數， $f (0)$ 沒有意義。

(E) 正確。 $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ ，所以 $f (\frac{1}{9}) = 2$ 。

(\frac{1}{3})^{- 3} = 27

，所以

f (27) = - 3

；(A) 把

9

和

27

弄混了。

lo g_{a} b

有意義要同時滿足

a > 0

、

a \neq = 1

、

b > 0

；指數函數不論底數大小都過

(0, 1)

、凹口向上，升降看底數比

1

大還是小。

03填充-基礎第 1～6 題（本頁第 6～11 題）：對數的定義、換底公式、對數律

第 6 題

125 = 5^{3}

，所以

lo g_{5} 125 = 3

。

第 7 題

2 = 2^{\frac{1}{2}}

，

32 = 2^{5} = (2^{\frac{1}{2}})^{10}

，所以

lo g_{2} 32 = 10

。

第 8 題

9 = 3^{2}

、

27 = 3^{3}

。設

lo g_{9} 27 = t

，則

9^{t} = 27

，

3^{2 t} = 3^{3}

，

t = \frac{3}{2}

。

第 9 題

用換底公式全部換成常用對數：

$lo g_{3} 32 \times lo g_{4} 125 \times lo g_{25} 9 = \frac{5 lo g 2}{lo g 3} \times \frac{3 lo g 5}{2 lo g 2} \times \frac{2 lo g 3}{2 lo g 5}$

約分後 $lo g 2$ 、 $lo g 3$ 、 $lo g 5$ 都消掉，剩下 $\frac{5 \times 3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{15}{2}$ 。

第 10 題

lo g 8^{3} + lo g 12 5^{3} = lo g (8 \times 125)^{3} = lo g 100 0^{3} = lo g 1 0^{9} = 9

。

也可以寫成

3 (lo g 8 + lo g 125) = 3 lo g 1000 = 3 \times 3 = 9

。

第 11 題

343 = 7^{3}

，所以

lo g_{7} 343 = 3

。

對數連乘先用換底公式化成常用對數，把真數與底數都寫成質數的次方再約分。

04填充第 1～3 題（本頁第 12～16 題）：指數與對數方程式、指數的最小值、比較大小

第 12 題由對數的定義，

2 x - 1 = 5^{2} = 25

，

x = 13

。檢查真數：

2 \times 13 - 1 = 25 > 0

，合。

第 13 題

125 = 5^{3}

，所以

5^{3 x - 9} = 5^{3}

，指數相等：

3 x - 9 = 3

，

x = 4

。

第 14 題底數

5 > 1

，指數愈小值愈小，所以只要找指數

x^{2} + 6 x + 5

的最小值。配方：

x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 4

，最小值是

- 4

（在

x = - 3

）。所求最小值為

5^{- 4} = \frac{1}{625}

。

第 15 題

全部化成以 $2$ 為底：

$a = 4^{\frac{3}{2}} = (2^{2})^{\frac{3}{2}} = 2^{3} = 8$ ； $b = (\frac{1}{2})^{- 2} = 2^{2} = 4$ ；

$c = 8^{\frac{2}{3}} = (2^{3})^{\frac{2}{3}} = 2^{2} = 4$ ； $d = (\frac{1}{4})^{- 2} = 4^{2} = 2^{4} = 16$ 。

所以 $d > a > b = c$ 。

b

與

c

相等，大小關係要寫出等號（寫

b = c

或

c = b

都可以）。

第 16 題

逐一化成分數：

$p = (\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27}$ ； $q = (\frac{8}{27})^{- 2} = (\frac{27}{8})^{2} = \frac{729}{64}$ ；

$r = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$ ； $s = (\frac{4}{9})^{2} = \frac{16}{81}$ 。

$q$ 與 $r$ 比 $1$ 大， $p$ 與 $s$ 比 $1$ 小。 $q = \frac{729}{64}$ 比 $11$ 大， $r = \frac{9}{4}$ 比 $3$ 小，所以 $q > r$ 。 $p = \frac{8}{27}$ 與 $s = \frac{16}{81}$ 通分： $p = \frac{24}{81}$ ，比 $s = \frac{16}{81}$ 大。

所以 $q > r > p > s$ 。

也可以全部寫成以

\frac{2}{3}

為底：

p = (\frac{2}{3})^{3}

、

q = (\frac{2}{3})^{- 6}

、

r = (\frac{2}{3})^{- 2}

、

s = (\frac{2}{3})^{4}

；底數小於

1

，指數愈小值愈大，指數由小到大是

- 6

、

- 2

、

3

、

4

，大小關係相同。

比較指數的大小，先化成同一個底數：底數大於

1

時指數大的值大，底數小於

1

時反過來。

05填充第 4～7 題（本頁第 17～20 題）：對數不等式、換底、交點連線的斜率、七二法則

第 17 題

先列真數的限制： $x + 3 > 0$ 且 $8 - x > 0$ ，即 $- 3 < x < 8$ 。

左邊 $1 + lo g (x + 3) = lo g 10 + lo g (x + 3) = lo g (10 x + 30)$ 。不等式變成 $lo g (10 x + 30) \leq lo g (8 - x)$ 。常用對數底數 $10 > 1$ ，函數遞增，所以真數 $10 x + 30 \leq 8 - x$ ， $11 x \leq - 22$ ， $x \leq - 2$ 。

與 $- 3 < x < 8$ 取交集，解為 $- 3 < x \leq - 2$ 。

代

x = - 2

檢查：左邊

1 + lo g 1 = 1

，右邊

lo g 10 = 1

，等號成立；

x = - 3

時

lo g 0

沒有意義，不能取。

第 18 題

換底成常用對數： $lo g_{6} 30 = \frac{lo g 30}{lo g 6}$ 。

$lo g 30 = lo g (3 \times 10) = lo g 3 + 1 = 1 + b$ ； $lo g 6 = lo g (2 \times 3) = lo g 2 + lo g 3 = a + b$ 。

所以 $lo g_{6} 30 = \frac{1 + b}{a + b}$ 。

第 19 題

$P$ 在 $y = 3^{x}$ 上且 $y = 4$ ，所以 $P (lo g_{3} 4, 4)$ ； $Q$ 在 $y = 3^{x}$ 上且 $y = 36$ ，所以 $Q (lo g_{3} 36, 36)$ 。

$x$ 坐標的差： $lo g_{3} 36 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} \frac{36}{4} = lo g_{3} 9 = 2$ 。

斜率 $= \frac{36 - 4}{2} = 16$ 。

第 20 題年利率

4%

，每期一年，

x = 4

。由七二法則，本利和變成兩倍（

300

萬變成

600

萬）大約需要

\frac{72}{4} = 18

期，也就是約

18

年。

若不用估計：

1.0 4^{n} = 2

，

n = \frac{lo g 2}{lo g 1.04} \approx 17.7

，七二法則的估計

18

年很接近。

解對數不等式先列「真數為正」，化成同底比較真數，最後和真數的範圍取交集。

06混合題第 1 題（本頁第 21、22 題）：藥物的殘留量

第 21 題

$t = 1.5 = \frac{3}{2}$ 代入：

$f (\frac{3}{2}) = 1000 \times (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}} = 1000 \times (\frac{1}{2})^{3} = 1000 \times \frac{1}{8} = 125$ （克）。

(\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}}

先開平方得

\frac{1}{2}

，再三次方得

\frac{1}{8}

。

第 22 題

殘留量小於 $1$ 克： $1000 \times (\frac{1}{4})^{k} < 1$ ，兩邊同乘 $4^{k}$ （正數）得 $4^{k} > 1000$ 。

$4^{4} = 256$ ，比 $1000$ 小； $4^{5} = 1024$ ，比 $1000$ 大。函數 $4^{k}$ 遞增，所以 $k$ 的最小整數值為 $5$ 。

k = 4

時殘留量是

\frac{1000}{256} \approx 3.9

克，還沒有小於

1

；

k = 5

時是

\frac{1000}{1024} \approx 0.98

克。

衰減模型問「何時小於某值」，把不等式改寫成

4^{k} > 1000

這類形式，再用整數次方夾出最小整數。

07混合題第 2 題（本頁第 23～25 題）：換元解聯立方程式

第 23 題

$3^{x + 1} = 3 \times 3^{x} = 3 a$ ； $y$ 要大於 $0$ ， $lo g_{10} y^{4} = 4 lo g_{10} y = 4 b$ 。代入兩個方程式：

第一式 $3^{x} + 2 lo g_{10} y = 7$ 改寫為 $a + 2 b = 7$ ；

第二式 $3^{x + 1} + lo g_{10} y^{4} = 17$ 改寫為 $3 a + 4 b = 17$ 。

第 24 題

第一式乘以 $2$ ： $2 a + 4 b = 14$ 。與第二式 $3 a + 4 b = 17$ 相減，得 $a = 3$ 。代回 $a + 2 b = 7$ ： $2 b = 4$ ， $b = 2$ 。

所以 $a = 3$ ， $b = 2$ 。

a = 3^{x}

必須是正數，

a = 3

符合。

第 25 題

$3^{x} = a = 3$ ，所以 $x = 1$ ； $lo g_{10} y = b = 2$ ，所以 $y = 1 0^{2} = 100$ 。

$lo g_{10} x y = lo g_{10} (1 \times 100) = lo g_{10} 100 = 2$ 。

也可以用對數律：

lo g_{10} x y = lo g_{10} x + lo g_{10} y = 0 + 2 = 2

。

同時含

3^{x}

與

lo g y

的方程式，令兩個新未知數換元，就化成二元一次聯立方程式。

同一次段考的其他學校

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高雄新興高中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要想到 x 是負數時左邊有意義、右邊沒有意義；第 3 題底數介於 0 與 1 之間時函數遞減，所以 (E) 不對；第 16 題 q 的指數是負二，要先倒過來再平方；第 17 題移項後還要和真數大於零的範圍取交集；第 22 題是殘留量小於 1 克，四的四次方還不夠，要到五次方。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自高雄新興高中 114 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用

高雄新興高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 25 題，照原卷順序

一、是非題(每題 2 分，共 4 分。)

lo g_{5} x^{2} = 2 lo g_{5} x

。

已知

a

，

b

，

c

成等差數列，則

1 0^{a}

，

1 0^{b}

，

1 0^{c}

成等比數列。

二、多重選擇題(每題 6 分，錯一個選項扣 2 分，扣到該題 0 分為止，共 18 分。)

關於指數函數

f (x) = a^{x}

（

a > 0

且

a \neq = 1

）圖形的敘述，下列選項哪些正確？

(A) $a$ 必為介於 $0$ 到 $1$ 的實數
(B) $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) \times f (x_{2})$
(C) 此函數必通過 $(0, 1)$
(D) 此圖形為凹口向上的曲線
(E) 若 $x_{1} < x_{2}$ ，則 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ 。

下列各對數值哪些有意義？

(A) $lo g 2$
(B) $lo g_{5} (- 2)$
(C) $lo g_{(- 2)} 4$
(D) $lo g_{1} 1$
(E) $lo g_{π - 3} (5 - 2)$

已知

f (x) = lo g_{\frac{1}{3}} x

，則下列選項哪些正確？

(A) $f (9) = - 3$
(B) $f (- 27) = 3$
(C) $f (1) = 0$
(D) $f (0) = 1$
(E) $f (\frac{1}{9}) = 2$

三、填充題-基礎(每格 3 分，共 18 分。)

lo g_{5} 125 =

____。

lo g_{2} 32 =

____。

lo g_{9} 27 =

____。

lo g_{3} 32 \times lo g_{4} 125 \times lo g_{25} 9 =

____。

lo g 8^{3} + lo g 12 5^{3} =

____。

lo g_{7} 343 =

____。

四、填充題(每格 4 分，共 36 分。)

第 12～13 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 12～13 題）　試求下列各式

x

的值

(1)

lo g_{5} (2 x - 1) = 2

，求

x =

____。

(2)

5^{3 x - 9} = 125

，求

x =

____。

已知

x

為任意實數，則

5^{(x^{2} + 6 x + 5)}

的最小值為 ____。

(1) 已知

a = 4^{\frac{3}{2}}

，

b = (\frac{1}{2})^{- 2}

，

c = 8^{\frac{2}{3}}

，

d = (\frac{1}{4})^{- 2}

，則

a

，

b

，

c

，

d

四數的大小關係為 ____。

(2) 已知

p = (\frac{2}{3})^{3}

，

q = (\frac{8}{27})^{- 2}

，

r = (\frac{3}{2})^{2}

，

s = (\frac{4}{9})^{2}

，則

p

，

q

，

r

，

s

四數的大小關係為 ____。

試求不等式

1 + lo g (x + 3) \leq lo g (8 - x)

解為 ____。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，請以

a

、

b

表示

lo g_{6} 30 =

____。

設

P

、

Q

分別為直線

y = 4

、

y = 36

和

y = 3^{x}

的交點，則直線

P Q

的斜率為 ____。

金融學中有所謂的七二法則，是一種簡易估算的方法。公式如下：若每期利率為

x %

，並且以複利計算，則本利和達到原來本金的兩倍時所需要的時間大約為

\frac{72}{x}

期。小華在今年年初存入

300

萬，年利率

4%

複利計算，以七二法則估算約 ____ 年後，小華的存款可達到

600

萬。

五、混合題(依計算過程斟酌給分，無計算過程，不予計分。按各題配分，共 24 分。)

第 21～22 題為題組（原卷混合題第 1 題）（第 21～22 題）　已知某種藥物經過

t

小時後，在身體內的殘留量符合函數

f (t) = 1000 \times (\frac{1}{4})^{t}

（單位：克），試求：

(1) 經過

1.5

小時後，此藥物在身體內的殘留量為 ____ 克。(5%)

(2) 經過

k

小時後，此藥物在身體內的殘留量小於

1

克，則

k

的最小整數值為 ____。(5%)

第 23～25 題為題組（原卷混合題第 2 題）（第 23～25 題）　已知

3^{x} + 2 lo g_{10} y = 7

且

3^{x + 1} + lo g_{10} y^{4} = 17

，試求下列各小題：

(1) 設

3^{x} = a

，

lo g_{10} y = b

，並以

a

、

b

改寫原方程式。(5%)

(2) 試解出

a

、

b

。(各 2 分。)

(3) 利用 (2) 解出

lo g_{10} x y

(5%))

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1×

2○

第 3 題(B)(C)(D)

第 4 題(A)(E)

第 5 題(C)(E)

第 6 題

3

第 7 題

10

第 8 題

\frac{3}{2}

第 9 題

\frac{15}{2}

第 10 題

9

第 11 題

3

第 12 題

13

第 13 題

4

第 14 題

\frac{1}{625}

第 15 題

d > a > b = c

第 16 題

q > r > p > s

第 17 題

- 3 < x \leq - 2

第 18 題

\frac{1 + b}{a + b}

第 19 題

16

第 20 題

18

第 21 題

125

第 22 題

5

第 23 題

a + 2 b = 7

，

3 a + 4 b = 17

第 24 題

a = 3

，

b = 2

第 25 題

2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非第 1、2 題：對數律的條件、等差與等比

第 1 題×答 ×。左邊

lo g_{5} x^{2}

只要求

x^{2} > 0

，也就是

x \neq = 0

；右邊

lo g_{5} x

要求

x > 0

。例如

x = - 5

時，左邊

lo g_{5} 25 = 2

有意義，右邊

2 lo g_{5} (- 5)

沒有意義，等式不成立。

對數律

lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x

要在

x > 0

時才能用；一般只能寫

lo g_{5} x^{2} = 2 lo g_{5} ∣ x ∣

。

第 2 題○答 ○。

a

，

b

，

c

成等差，所以

2 b = a + c

。三數

1 0^{a}

，

1 0^{b}

，

1 0^{c}

都是正數，而且

(1 0^{b})^{2} = 1 0^{2 b} = 1 0^{a + c} = 1 0^{a} \times 1 0^{c}

，中間項的平方等於前後兩項的乘積，所以成等比數列，公比是

1 0^{b - a}

。

用對數律前先確認真數為正；等差的數放到指數上會變成等比。

02多選第 1～3 題（本頁第 3～5 題）：指數函數的圖形、對數有沒有意義、底數小於 1 的對數函數

第 3 題

答案 (B)(C)(D)。

(A) 錯誤。 題目只說 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ， $a$ 也可以比 $1$ 大，例如 $a = 2$ 。

(B) 正確。 由指數律， $f (x_{1} + x_{2}) = a^{x_{1} + x_{2}} = a^{x_{1}} \times a^{x_{2}} = f (x_{1}) \times f (x_{2})$ 。

(D) 正確。 不論 $a > 1$ 或 $0 < a < 1$ ，指數函數的圖形都在 $x$ 軸上方、凹口向上。

(E) 錯誤。 只有 $a > 1$ 時函數遞增； $0 < a < 1$ 時函數遞減。例如 $a = \frac{1}{2}$ ， $x_{1} = 0 < x_{2} = 1$ ， $f (0) = 1$ 卻比 $f (1) = \frac{1}{2}$ 大。

第 4 題

答案 (A)(E)。 $lo g_{a} b$ 有意義的條件是：底數 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ，真數 $b > 0$ 。

(A) 正確。 常用對數底數是 $10$ ，真數 $2 > 0$ ，有意義。

(B) 錯誤。 真數 $- 2$ 不是正數。

(D) 錯誤。 底數是 $1$ ； $1$ 的任何次方都是 $1$ ，底數不可以是 $1$ 。

(E) 正確。 $π \approx 3.14$ ，底數 $π - 3 \approx 0.14$ 大於 $0$ 且不等於 $1$ ； $2 \approx 1.41$ ，真數 $5 - 2 \approx 3.59$ 大於 $0$ 。有意義。

第 5 題

答案 (C)(E)。 $f (x) = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 的定義域是 $x > 0$ ； $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 就是 $(\frac{1}{3})^{y} = x$ 。

(A) 錯誤。 $(\frac{1}{3})^{- 2} = 9$ ，所以 $f (9) = - 2$ ，不是 $- 3$ 。

(B) 錯誤。 真數 $- 27$ 不是正數， $f (- 27)$ 沒有意義。

(D) 錯誤。 真數 $0$ 不是正數， $f (0)$ 沒有意義。

(E) 正確。 $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ ，所以 $f (\frac{1}{9}) = 2$ 。

(\frac{1}{3})^{- 3} = 27

，所以

f (27) = - 3

；(A) 把

9

和

27

弄混了。

lo g_{a} b

有意義要同時滿足

a > 0

、

a \neq = 1

、

b > 0

；指數函數不論底數大小都過

(0, 1)

、凹口向上，升降看底數比

1

大還是小。

03填充-基礎第 1～6 題（本頁第 6～11 題）：對數的定義、換底公式、對數律

第 6 題

125 = 5^{3}

，所以

lo g_{5} 125 = 3

。

第 7 題

2 = 2^{\frac{1}{2}}

，

32 = 2^{5} = (2^{\frac{1}{2}})^{10}

，所以

lo g_{2} 32 = 10

。

第 8 題

9 = 3^{2}

、

27 = 3^{3}

。設

lo g_{9} 27 = t

，則

9^{t} = 27

，

3^{2 t} = 3^{3}

，

t = \frac{3}{2}

。

第 9 題

用換底公式全部換成常用對數：

$lo g_{3} 32 \times lo g_{4} 125 \times lo g_{25} 9 = \frac{5 lo g 2}{lo g 3} \times \frac{3 lo g 5}{2 lo g 2} \times \frac{2 lo g 3}{2 lo g 5}$

約分後 $lo g 2$ 、 $lo g 3$ 、 $lo g 5$ 都消掉，剩下 $\frac{5 \times 3 \times 2}{2 \times 2} = \frac{15}{2}$ 。

第 10 題

lo g 8^{3} + lo g 12 5^{3} = lo g (8 \times 125)^{3} = lo g 100 0^{3} = lo g 1 0^{9} = 9

。

也可以寫成

3 (lo g 8 + lo g 125) = 3 lo g 1000 = 3 \times 3 = 9

。

第 11 題

343 = 7^{3}

，所以

lo g_{7} 343 = 3

。

對數連乘先用換底公式化成常用對數，把真數與底數都寫成質數的次方再約分。

04填充第 1～3 題（本頁第 12～16 題）：指數與對數方程式、指數的最小值、比較大小

第 12 題由對數的定義，

2 x - 1 = 5^{2} = 25

，

x = 13

。檢查真數：

2 \times 13 - 1 = 25 > 0

，合。

第 13 題

125 = 5^{3}

，所以

5^{3 x - 9} = 5^{3}

，指數相等：

3 x - 9 = 3

，

x = 4

。

第 14 題底數

5 > 1

，指數愈小值愈小，所以只要找指數

x^{2} + 6 x + 5

的最小值。配方：

x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 4

，最小值是

- 4

（在

x = - 3

）。所求最小值為

5^{- 4} = \frac{1}{625}

。

第 15 題

全部化成以 $2$ 為底：

$a = 4^{\frac{3}{2}} = (2^{2})^{\frac{3}{2}} = 2^{3} = 8$ ； $b = (\frac{1}{2})^{- 2} = 2^{2} = 4$ ；

$c = 8^{\frac{2}{3}} = (2^{3})^{\frac{2}{3}} = 2^{2} = 4$ ； $d = (\frac{1}{4})^{- 2} = 4^{2} = 2^{4} = 16$ 。

所以 $d > a > b = c$ 。

b

與

c

相等，大小關係要寫出等號（寫

b = c

或

c = b

都可以）。

第 16 題

逐一化成分數：

$p = (\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27}$ ； $q = (\frac{8}{27})^{- 2} = (\frac{27}{8})^{2} = \frac{729}{64}$ ；

$r = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$ ； $s = (\frac{4}{9})^{2} = \frac{16}{81}$ 。

所以 $q > r > p > s$ 。

也可以全部寫成以

\frac{2}{3}

為底：

p = (\frac{2}{3})^{3}

、

q = (\frac{2}{3})^{- 6}

、

r = (\frac{2}{3})^{- 2}

、

s = (\frac{2}{3})^{4}

；底數小於

1

，指數愈小值愈大，指數由小到大是

- 6

、

- 2

、

3

、

4

，大小關係相同。

比較指數的大小，先化成同一個底數：底數大於

1

時指數大的值大，底數小於

1

時反過來。

05填充第 4～7 題（本頁第 17～20 題）：對數不等式、換底、交點連線的斜率、七二法則

第 17 題

先列真數的限制： $x + 3 > 0$ 且 $8 - x > 0$ ，即 $- 3 < x < 8$ 。

與 $- 3 < x < 8$ 取交集，解為 $- 3 < x \leq - 2$ 。

代

x = - 2

檢查：左邊

1 + lo g 1 = 1

，右邊

lo g 10 = 1

，等號成立；

x = - 3

時

lo g 0

沒有意義，不能取。

第 18 題

換底成常用對數： $lo g_{6} 30 = \frac{lo g 30}{lo g 6}$ 。

$lo g 30 = lo g (3 \times 10) = lo g 3 + 1 = 1 + b$ ； $lo g 6 = lo g (2 \times 3) = lo g 2 + lo g 3 = a + b$ 。

所以 $lo g_{6} 30 = \frac{1 + b}{a + b}$ 。

第 19 題

$P$ 在 $y = 3^{x}$ 上且 $y = 4$ ，所以 $P (lo g_{3} 4, 4)$ ； $Q$ 在 $y = 3^{x}$ 上且 $y = 36$ ，所以 $Q (lo g_{3} 36, 36)$ 。

$x$ 坐標的差： $lo g_{3} 36 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} \frac{36}{4} = lo g_{3} 9 = 2$ 。

斜率 $= \frac{36 - 4}{2} = 16$ 。

第 20 題年利率

4%

，每期一年，

x = 4

。由七二法則，本利和變成兩倍（

300

萬變成

600

萬）大約需要

\frac{72}{4} = 18

期，也就是約

18

年。

若不用估計：

1.0 4^{n} = 2

，

n = \frac{lo g 2}{lo g 1.04} \approx 17.7

，七二法則的估計

18

年很接近。

解對數不等式先列「真數為正」，化成同底比較真數，最後和真數的範圍取交集。

06混合題第 1 題（本頁第 21、22 題）：藥物的殘留量

第 21 題

$t = 1.5 = \frac{3}{2}$ 代入：

$f (\frac{3}{2}) = 1000 \times (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}} = 1000 \times (\frac{1}{2})^{3} = 1000 \times \frac{1}{8} = 125$ （克）。

(\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}}

先開平方得

\frac{1}{2}

，再三次方得

\frac{1}{8}

。

第 22 題

殘留量小於 $1$ 克： $1000 \times (\frac{1}{4})^{k} < 1$ ，兩邊同乘 $4^{k}$ （正數）得 $4^{k} > 1000$ 。

$4^{4} = 256$ ，比 $1000$ 小； $4^{5} = 1024$ ，比 $1000$ 大。函數 $4^{k}$ 遞增，所以 $k$ 的最小整數值為 $5$ 。

k = 4

時殘留量是

\frac{1000}{256} \approx 3.9

克，還沒有小於

1

；

k = 5

時是

\frac{1000}{1024} \approx 0.98

克。

衰減模型問「何時小於某值」，把不等式改寫成

4^{k} > 1000

這類形式，再用整數次方夾出最小整數。

07混合題第 2 題（本頁第 23～25 題）：換元解聯立方程式

第 23 題

$3^{x + 1} = 3 \times 3^{x} = 3 a$ ； $y$ 要大於 $0$ ， $lo g_{10} y^{4} = 4 lo g_{10} y = 4 b$ 。代入兩個方程式：

第一式 $3^{x} + 2 lo g_{10} y = 7$ 改寫為 $a + 2 b = 7$ ；

第二式 $3^{x + 1} + lo g_{10} y^{4} = 17$ 改寫為 $3 a + 4 b = 17$ 。

第 24 題

第一式乘以 $2$ ： $2 a + 4 b = 14$ 。與第二式 $3 a + 4 b = 17$ 相減，得 $a = 3$ 。代回 $a + 2 b = 7$ ： $2 b = 4$ ， $b = 2$ 。

所以 $a = 3$ ， $b = 2$ 。

a = 3^{x}

必須是正數，

a = 3

符合。

第 25 題

$3^{x} = a = 3$ ，所以 $x = 1$ ； $lo g_{10} y = b = 2$ ，所以 $y = 1 0^{2} = 100$ 。

$lo g_{10} x y = lo g_{10} (1 \times 100) = lo g_{10} 100 = 2$ 。

也可以用對數律：

lo g_{10} x y = lo g_{10} x + lo g_{10} y = 0 + 2 = 2

。

同時含

3^{x}

與

lo g y

的方程式，令兩個新未知數換元，就化成二元一次聯立方程式。

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高雄新興高中 114 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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高雄新興高中 114 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

高雄新興高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

高雄新興高中 114 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

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