段考詳解範圍：分布與統計（離散型隨機變數、期望值、變異數與標準差、二項分布、幾何分布）

高雄新興高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

單選題 10 題（每題 4 分，共 40 分）、填充題 7 題共 10 個答案（每個答案 5 分，共 50 分）、混合題 1 題共 2 小題（每小題 5 分，共 10 分），合計 100 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、單選題（每題 4 分，共 40 分）

袋中有大小相同的紅球

1

顆、白球

3

顆，每次從袋中任取一球，取後不放回，直到取到紅球才停止，稱此為一輪操作。已知每顆球被取到的機會均等，並令隨機變數

X

表示一輪操作中所取出的總球數。試選出下列敘述錯誤的選項。

(A) 最多取球 $4$ 次就會停止取球
(B) 第一次取球後就停止取球的機率為 $\frac{1}{4}$
(C) $P (X = 2) = P (X = 3)$
(D) $P (X = 4) > P (X = 3)$
(E) 機率 $P (X \leq 2) = \frac{1}{2}$

鍋子中有

5

顆湯圓，其中

3

顆內餡包花生，

2

顆內餡包芝麻，自鍋子中任撈出兩顆湯圓，且每顆湯圓被撈出的機會均等，並令隨機變數

X

表示撈出花生口味湯圓的顆數，求

X

的期望值。

(A) $\frac{2}{5}$
(B) $\frac{3}{5}$
(C) $\frac{6}{5}$
(D) $\frac{2}{3}$
(E) $\frac{16}{15}$

某超商推出購物摸彩打折的活動，摸彩箱中裝有標示

3, 5, 7, 9

折的球分別各有

1, 2, 3, 4

顆。從箱中取出一球，且每球被取到的機會均等。設隨機變數

X

表示取出球所代表的折扣數（例如標示

5

折的球所對應的

X

為

5

），求

X

的標準差。

(A) $2$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $3$
(E) $5$

已知隨機變數

X

，若

E (- 2 X + 1) = 7

，

Var (- 2 X + 1) = 16

，則下列選項何者正確？

(A) $E (X + 1) = 8$
(B) $E (- 2 X) = 7$
(C) $Var (X) = - 8$
(D) $Var (X) = - \frac{15}{2}$
(E) $Var (X) = 4$

有一顆均勻的特殊骰子，其六個面的點數分別為

1, 1, 1, 2, 2, 3

。擲此骰子一次，當出現

1

點時，可得

100

元；出現

2

點時，可得

200

元；出現

3

點時，可得

k

元。設隨機變數

X

表示擲骰子一次所得的金額。已知

X

的期望值為

200

元，求

k

的值。

(A) $100$
(B) $200$
(C) $300$
(D) $400$
(E) $500$

袋中有大小相同的紅球

2

顆、白球

1

顆。每次從袋中取出兩球，觀察顏色後再放回袋中。設每一次取球都為獨立事件，且每球被取到的機會均等。求直到第

3

次才取到一紅球與一白球的機率。

(A) $\frac{2}{27}$
(B) $\frac{4}{27}$
(C) $\frac{8}{729}$
(D) $\frac{64}{729}$
(E) $\frac{98}{729}$

重複「同時擲兩粒公正骰子」

36

次，觀察所出現的點數，並令隨機變數

X

表示兩粒骰子點數不相同的次數，求

X

的變異數。

(A) $5$
(B) $6$
(C) $9$
(D) $25$
(E) $36$

袋中有大小相同的紅球

2

顆、白球

1

顆。每次從袋中取出一球，觀察顏色後再放回袋中。設每一次取球都為獨立事件，且每球被取到的機會均等。求直到第

3

次才取到紅球的機率。

(A) $\frac{2}{27}$
(B) $\frac{4}{27}$
(C) $\frac{8}{729}$
(D) $\frac{64}{729}$
(E) $\frac{98}{729}$

袋中有大小相同的紅球

3

顆、白球

2

顆。每次從袋中取出一球，觀察顏色後再放回袋中，共取球

600

次。設每一次取球都為獨立事件，且每球被取到的機會均等。求取到紅球次數的標準差。

(A) $8$
(B) $10$
(C) $12$
(D) $610$
(E) $415$

一箱子中有編碼分別為

1, 2, 3, 4

的四張卡片，重複抽出一張卡片再放入箱子中，每張卡片被抽到的機會均等，直到抽出

3

號卡片為止。求抽出卡片總次數的變異數。

(A) $2$
(B) $3$
(C) $6$
(D) $12$
(E) $30$

二、填充題（每個答案 5 分，共 50 分）（本頁第 11～13 題為原卷填充第 1～3 題；第 14、15 題為原卷填充第 4 題的 ①②；第 16 題為原卷填充第 5 題；第 17、18 題為原卷填充第 6 題的 (1)(2)；第 19、20 題為原卷填充第 7 題的 (1)(2)）

某超市推出購物滿千元抽折價券的活動，已知箱中有折價券面額

200

元

1

張、

100

元

3

張、

50

元

n

張。從箱中取出一張折價券，且每張折價券被取到的機會均等，並令隨機變數

X

表示取出一張折價券的面額。已知

X

的期望值為

80

元，求

n

的值為 ____。

遺傳學中外觀是由一對基因所決定，若

A

表示有酒窩的基因，

a

表示無酒窩的基因，則當這對基因為

AA

或

A a

時，外觀是有酒窩；當這對基因為

aa

時，外觀是無酒窩。小孩的基因是分別從父母親隨機各取一個基因組成，且取得

A

或

a

的機率相等，已知一對夫婦的基因皆為

A a

，他們計畫生

4

個小孩，且每個小孩從父母親取得基因皆為獨立事件，求最多

2

個小孩是有酒窩的機率為 ____。

袋中有大小相同的紅、藍、綠球各

1

顆，每次從袋中取出一球，觀察顏色後再放回袋中，共取球

5

次。已知每次取球都為獨立事件，且每球被取到的機率均等，求恰有

3

次取到紅球的機率為 ____。

第 14～15 題為題組（原卷填充第 4 題）（第 14～15 題）　袋中有大小相同的紅球

3

顆，白球

2

顆。每次從袋中同時取出兩球，觀察顏色後再放回袋中，直到取到兩球皆為同色為止。已知每次取球都為獨立事件，且每球被取到的機率均等，求：

① 取球總次數的期望值為 ____ 次。

② 取球總次數的標準差為 ____ 次。

重複擲一粒公正骰子

162

次，觀察所出現的點數，若紅色點（

1

點或

4

點）出現次數的期望值為

μ

次、標準差為

σ

次，則數對

(μ, σ) =

____。

第 17～18 題為題組（原卷填充第 6 題）（第 17～18 題）　籤筒中有若干支籤，其中有

9

支為有獎籤，籤筒中每支籤被取的機會均等。今從籤筒中每次取

1

支籤，取後放回，直到取出有獎籤停止，令隨機變數

X

表示取籤的次數，已知

X

的變異數是

56

，則

(1) 籤筒中有 ____ 支籤。

(2)

X

的期望值是 ____ 次。

第 19～20 題為題組（原卷填充第 7 題）（第 19～20 題）　袋中有

1

個白球，若干個紅球，每球被取的機會均等。每次從袋中取兩球，取後放回，假設直到取出“兩球同色”為止所需次數的變異數是

2

。

(1) 每次取出“兩球同色”的機率是 ____。

(2) 袋中有 ____ 個紅球。

三、混合題（每小題 5 分，共 10 分）※計算題請詳列計算過程，否則不予計分（本頁第 21、22 題為原卷混合題第 1 題的 (1)(2)）

第 21～22 題為題組（原卷混合題第 1 題）（第 21～22 題）　一款密室脫逃遊戲中，屋內共有六扇門，每扇門均有五把鑰匙供選擇，其中只有一把鑰匙開得了相對應的門。玩家每次於門前隨機地選擇其中一把鑰匙開門，六扇門要全部開啟才算脫逃成功。試回答下列問題：

(1) 下列哪個選項為玩家玩一回合遊戲，沒有脫逃成功的機率？（單選題）

(A) $\frac{4}{5}$
(B) $(\frac{1}{5})^{6}$
(C) $(\frac{4}{5})^{6}$
(D) $1 - (\frac{1}{5})^{6}$
(E) $1 - (\frac{4}{5})^{6}$

(2) 假設某玩家共玩

250

回合，令隨機變數

X

表示脫逃成功的次數，則

X

的期望值

E (X) =

____ 次。（非選擇題）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(A)

第 4 題(E)

第 5 題(E)

第 6 題(A)

第 7 題(A)

第 8 題(A)

第 9 題(C)

第 10 題(D)

第 11 題

6

第 12 題

\frac{67}{256}

第 13 題

\frac{40}{243}

第 14 題

\frac{5}{2}

第 15 題

\frac{15}{2}

第 16 題

(54, 6)

第 17 題

72

第 18 題

8

第 19 題

\frac{1}{2}

第 20 題

3

第 21 題(D)

第 22 題

\frac{2}{125}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：機率分布、期望值、標準差與一次變換

第 1 題答案 (D)。

X = k

表示前

k - 1

次都取到白球、第

k

次取到紅球。

P (X = 1) = \frac{1}{4}

；

P (X = 2) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}

；

P (X = 3) = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

；

P (X = 4) = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{4}

。(A) 袋中只有

4

顆球，最慢第

4

次一定取到紅球，正確。(B)

P (X = 1) = \frac{1}{4}

，正確。(C) 兩者都是

\frac{1}{4}

，正確。(D)

P (X = 4) = P (X = 3) = \frac{1}{4}

，兩者相等，不是大於，錯誤。(E)

P (X \leq 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

，正確。本題要選錯誤的敘述，選 (D)。

也可以這樣看：把

4

顆球排成一列依序取出，紅球排在第

1

、

2

、

3

、

4

個位置的機會一樣，所以每個

P (X = k)

都是

\frac{1}{4}

。

第 2 題答案 (C)。從

5

顆任取

2

顆共

C_{2}^{5} = 10

種。

P (X = 0) = \frac{C _{2}^{2}}{10} = \frac{1}{10}

，

P (X = 1) = \frac{C _{1}^{3} C _{1}^{2}}{10} = \frac{6}{10}

，

P (X = 2) = \frac{C _{2}^{3}}{10} = \frac{3}{10}

。

E (X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}

。

第 3 題答案 (A)。共

1 + 2 + 3 + 4 = 10

顆球，

X

取

3, 5, 7, 9

的機率依序為

\frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{10}

。

E (X) = \frac{3 + 10 + 21 + 36}{10} = 7

。

E (X^{2}) = \frac{9 \times 1 + 25 \times 2 + 49 \times 3 + 81 \times 4}{10} = \frac{530}{10} = 53

。

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 53 - 49 = 4

，標準差

= 4 = 2

。

第 4 題答案 (E)。

E (- 2 X + 1) = - 2 E (X) + 1 = 7

，得

E (X) = - 3

。

Var (- 2 X + 1) = (- 2)^{2} Var (X) = 4 Var (X) = 16

，得

Var (X) = 4

。(A)

E (X + 1) = - 3 + 1 = - 2

，錯。(B)

E (- 2 X) = - 2 \times (- 3) = 6

，錯。(C)(D) 變異數不會是負的，且

Var (X) = 4

，錯。(E) 對。

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

：加上常數不影響變異數，乘上

a

要乘

a^{2}

。

第 5 題答案 (E)。六個面中

1

點有

3

面、

2

點有

2

面、

3

點有

1

面，機率依序為

\frac{3}{6}, \frac{2}{6}, \frac{1}{6}

。

E (X) = 100 \times \frac{3}{6} + 200 \times \frac{2}{6} + k \times \frac{1}{6} = \frac{700 + k}{6} = 200

，所以

700 + k = 1200

，

k = 500

。

先把隨機變數每個取值的機率列出來，期望值、變異數都從這張表算；一次變換時期望值照代、變異數只乘係數的平方。

02單選 6～10：幾何分布與二項分布

第 6 題答案 (A)。從

3

顆球取

2

顆共

C_{2}^{3} = 3

種：兩紅

1

種、一紅一白

2

種。所以每次取到一紅一白的機率是

\frac{2}{3}

，沒有取到的機率是

\frac{1}{3}

。直到第

3

次才取到，表示前兩次都沒有、第

3

次取到：

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}

。

第 7 題答案 (A)。同時擲兩粒骰子共

36

種結果，點數相同有

6

種，所以點數不相同的機率

p = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}

。重複

36

次，

X

服從

n = 36

、

p = \frac{5}{6}

的二項分布，

Var (X) = n p (1 - p) = 36 \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = 5

。

第 8 題答案 (A)。每次取到紅球的機率是

\frac{2}{3}

，取到白球的機率是

\frac{1}{3}

。直到第

3

次才取到紅球，表示前兩次都是白球、第

3

次是紅球：

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}

。

第 6 題與本題的情境不同（一次取兩球、一次取一球），但單次成功的機率剛好都是

\frac{2}{3}

，所以答案相同。

第 9 題答案 (C)。每次取到紅球的機率

p = \frac{3}{5}

，取球

600

次，取到紅球的次數服從

n = 600

、

p = \frac{3}{5}

的二項分布。變異數

= n p (1 - p) = 600 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = 144

，標準差

= 144 = 12

。

第 10 題答案 (D)。每次抽到

3

號卡片的機率

p = \frac{1}{4}

，抽到為止的總次數服從幾何分布。變異數

= \frac{1 - p}{p ^{2}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{16}} = 12

。

幾何分布（成功機率

p

）：期望值

\frac{1}{p}

，變異數

\frac{1 - p}{p ^{2}}

。本題期望值是

4

次。

固定做 n 次、數成功幾次是二項分布；做到第一次成功為止、數做了幾次是幾何分布。兩種都要先算出單次成功的機率。

03填充 11～13（原卷填充 1～3）：期望值反求未知數、二項分布的機率

第 11 題箱中共有

1 + 3 + n = n + 4

張，

X

取

200

、

100

、

50

的機率依序為

\frac{1}{n + 4}

、

\frac{3}{n + 4}

、

\frac{n}{n + 4}

。

E (X) = \frac{200 + 300 + 50 n}{n + 4} = 80

，所以

500 + 50 n = 80 n + 320

，

30 n = 180

，

n = 6

。

驗算：

n = 6

時共

10

張，

E (X) = \frac{200 + 300 + 300}{10} = 80

。

第 12 題父母各給

A

或

a

的機率都是

\frac{1}{2}

，小孩的基因是

aa

（無酒窩）的機率為

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

，所以有酒窩的機率是

\frac{3}{4}

。

4

個小孩中有酒窩的人數服從

n = 4

、

p = \frac{3}{4}

的二項分布。最多

2

個有酒窩，即

0

、

1

、

2

個：

(\frac{1}{4})^{4} + C_{1}^{4} (\frac{3}{4}) (\frac{1}{4})^{3} + C_{2}^{4} (\frac{3}{4})^{2} (\frac{1}{4})^{2} = \frac{1 + 12 + 54}{256} = \frac{67}{256}

。

「最多

2

個」包含

0

個、

1

個、

2

個三種情形，不是只有恰

2

個。

第 13 題每次取到紅球的機率是

\frac{1}{3}

，取

5

次中取到紅球的次數服從

n = 5

、

p = \frac{1}{3}

的二項分布。恰有

3

次：

C_{3}^{5} (\frac{1}{3})^{3} (\frac{2}{3})^{2} = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} = \frac{40}{243}

。

04填充 14～16（原卷填充 4、5）：幾何分布與二項分布的期望值、標準差

第 14 題從

5

顆球同時取

2

顆共

C_{2}^{5} = 10

種，兩球同色有

C_{2}^{3} + C_{2}^{2} = 3 + 1 = 4

種，所以每次取到兩球同色的機率

p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

。取球總次數服從成功機率

\frac{2}{5}

的幾何分布，期望值

= \frac{1}{p} = \frac{5}{2}

（次）。

第 15 題承上，

p = \frac{2}{5}

，變異數

= \frac{1 - p}{p ^{2}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{25}} = \frac{15}{4}

，標準差

= \frac{15}{4} = \frac{15}{2}

（次）。

第 16 題每次擲出

1

點或

4

點的機率

p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

，擲

162

次，出現次數服從

n = 162

、

p = \frac{1}{3}

的二項分布。

μ = n p = 162 \times \frac{1}{3} = 54

；變異數

= n p (1 - p) = 162 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 36

，

σ = 36 = 6

。所以

(μ, σ) = (54, 6)

。

05填充 17～20（原卷填充 6、7）：由幾何分布的變異數反求成功機率

第 17 題設每次取出有獎籤的機率為

p

（

0 < p \leq 1

），

X

服從幾何分布，

Var (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}} = 56

，即

56 p^{2} + p - 1 = 0

，

(8 p - 1) (7 p + 1) = 0

，

p = \frac{1}{8}

或

p = - \frac{1}{7}

（不合）。設籤筒中共有

N

支籤，

\frac{9}{N} = \frac{1}{8}

，

N = 72

。

第 18 題承上，

p = \frac{1}{8}

，

E (X) = \frac{1}{p} = 8

（次）。

第 19 題設每次取出兩球同色的機率為

p

（

0 < p \leq 1

），所需次數服從幾何分布，變異數

\frac{1 - p}{p ^{2}} = 2

，即

2 p^{2} + p - 1 = 0

，

(2 p - 1) (p + 1) = 0

，

p = \frac{1}{2}

或

p = - 1

（不合）。所以機率是

\frac{1}{2}

。

第 20 題設袋中有

n

個紅球，共

n + 1

個球。白球只有

1

個，兩球同色只能是兩個紅球：

p = \frac{C _{2}^{n}}{C _{2}^{n + 1}} = \frac{n ( n - 1 )}{( n + 1 ) n} = \frac{n - 1}{n + 1}

。由

\frac{n - 1}{n + 1} = \frac{1}{2}

得

2 n - 2 = n + 1

，

n = 3

。

驗算：

3

紅

1

白取兩球共

C_{2}^{4} = 6

種，兩紅有

C_{2}^{3} = 3

種，機率

\frac{1}{2}

。

幾何分布的變異數只跟成功機率有關，列出方程式後解一元二次方程式，機率要在 0 與 1 之間，負根捨去。

06混合題 21～22（原卷混合題 1）：密室脫逃

第 21 題答案 (D)。每扇門選到正確鑰匙的機率是

\frac{1}{5}

，六扇門各自獨立，全部開啟（脫逃成功）的機率是

(\frac{1}{5})^{6}

。沒有脫逃成功是它的餘事件，機率為

1 - (\frac{1}{5})^{6}

。

(\frac{4}{5})^{6}

是六扇門全部都沒打開的機率；只要有一扇沒打開就算沒有成功，所以要用餘事件算。

第 22 題題幹說玩家於每扇門前隨機選一把鑰匙開門，即每扇門只選一次鑰匙，選對的機率是

\frac{1}{5}

。每一回合脫逃成功的機率

p = (\frac{1}{5})^{6} = \frac{1}{15625}

，各回合互相獨立，玩

250

回合，成功次數

X

服從

n = 250

、

p = \frac{1}{15625}

的二項分布。

E (X) = n p = \frac{250}{15625} = \frac{2}{125}

（次），即

0.016

次。

期望值不一定是整數，也可以小於

1

：平均要玩

15625

回合才成功

1

次，

250

回合平均只有

0.016

次。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

高雄新興高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題取後不放回，每個取球數的機率其實都一樣，容易誤以為越後面機率越小。第 6 題與第 8 題數字相同但一次取兩球與一次取一球的成功事件不同，要各自先算單次成功的機率。第 12 題的最多 2 個要把 0、1、2 個三種情形都加起來。第 17 到 20 題由幾何分布的變異數反推成功機率，解出的負根要捨去。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：分布與統計（離散型隨機變數、期望值、變異數與標準差、二項分布、幾何分布）

高雄新興高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

一、單選題（每題 4 分，共 40 分）

袋中有大小相同的紅球

1

顆、白球

3

顆，每次從袋中任取一球，取後不放回，直到取到紅球才停止，稱此為一輪操作。已知每顆球被取到的機會均等，並令隨機變數

X

表示一輪操作中所取出的總球數。試選出下列敘述錯誤的選項。

(A) 最多取球 $4$ 次就會停止取球
(B) 第一次取球後就停止取球的機率為 $\frac{1}{4}$
(C) $P (X = 2) = P (X = 3)$
(D) $P (X = 4) > P (X = 3)$
(E) 機率 $P (X \leq 2) = \frac{1}{2}$

鍋子中有

5

顆湯圓，其中

3

顆內餡包花生，

2

顆內餡包芝麻，自鍋子中任撈出兩顆湯圓，且每顆湯圓被撈出的機會均等，並令隨機變數

X

表示撈出花生口味湯圓的顆數，求

X

的期望值。

(A) $\frac{2}{5}$
(B) $\frac{3}{5}$
(C) $\frac{6}{5}$
(D) $\frac{2}{3}$
(E) $\frac{16}{15}$

某超商推出購物摸彩打折的活動，摸彩箱中裝有標示

3, 5, 7, 9

折的球分別各有

1, 2, 3, 4

顆。從箱中取出一球，且每球被取到的機會均等。設隨機變數

X

表示取出球所代表的折扣數（例如標示

5

折的球所對應的

X

為

5

），求

X

的標準差。

(A) $2$
(B) $3$
(C) $4$
(D) $3$
(E) $5$

已知隨機變數

X

，若

E (- 2 X + 1) = 7

，

Var (- 2 X + 1) = 16

，則下列選項何者正確？

(A) $E (X + 1) = 8$
(B) $E (- 2 X) = 7$
(C) $Var (X) = - 8$
(D) $Var (X) = - \frac{15}{2}$
(E) $Var (X) = 4$

有一顆均勻的特殊骰子，其六個面的點數分別為

1, 1, 1, 2, 2, 3

。擲此骰子一次，當出現

1

點時，可得

100

元；出現

2

點時，可得

200

元；出現

3

點時，可得

k

元。設隨機變數

X

表示擲骰子一次所得的金額。已知

X

的期望值為

200

元，求

k

的值。

(A) $100$
(B) $200$
(C) $300$
(D) $400$
(E) $500$

袋中有大小相同的紅球

2

顆、白球

1

顆。每次從袋中取出兩球，觀察顏色後再放回袋中。設每一次取球都為獨立事件，且每球被取到的機會均等。求直到第

3

次才取到一紅球與一白球的機率。

(A) $\frac{2}{27}$
(B) $\frac{4}{27}$
(C) $\frac{8}{729}$
(D) $\frac{64}{729}$
(E) $\frac{98}{729}$

重複「同時擲兩粒公正骰子」

36

次，觀察所出現的點數，並令隨機變數

X

表示兩粒骰子點數不相同的次數，求

X

的變異數。

(A) $5$
(B) $6$
(C) $9$
(D) $25$
(E) $36$

袋中有大小相同的紅球

2

顆、白球

1

顆。每次從袋中取出一球，觀察顏色後再放回袋中。設每一次取球都為獨立事件，且每球被取到的機會均等。求直到第

3

次才取到紅球的機率。

(A) $\frac{2}{27}$
(B) $\frac{4}{27}$
(C) $\frac{8}{729}$
(D) $\frac{64}{729}$
(E) $\frac{98}{729}$

袋中有大小相同的紅球

3

顆、白球

2

顆。每次從袋中取出一球，觀察顏色後再放回袋中，共取球

600

次。設每一次取球都為獨立事件，且每球被取到的機會均等。求取到紅球次數的標準差。

(A) $8$
(B) $10$
(C) $12$
(D) $610$
(E) $415$

一箱子中有編碼分別為

1, 2, 3, 4

的四張卡片，重複抽出一張卡片再放入箱子中，每張卡片被抽到的機會均等，直到抽出

3

號卡片為止。求抽出卡片總次數的變異數。

(A) $2$
(B) $3$
(C) $6$
(D) $12$
(E) $30$

某超市推出購物滿千元抽折價券的活動，已知箱中有折價券面額

200

元

1

張、

100

元

3

張、

50

元

n

張。從箱中取出一張折價券，且每張折價券被取到的機會均等，並令隨機變數

X

表示取出一張折價券的面額。已知

X

的期望值為

80

元，求

n

的值為 ____。

遺傳學中外觀是由一對基因所決定，若

A

表示有酒窩的基因，

a

表示無酒窩的基因，則當這對基因為

AA

或

A a

時，外觀是有酒窩；當這對基因為

aa

時，外觀是無酒窩。小孩的基因是分別從父母親隨機各取一個基因組成，且取得

A

或

a

的機率相等，已知一對夫婦的基因皆為

A a

，他們計畫生

4

個小孩，且每個小孩從父母親取得基因皆為獨立事件，求最多

2

個小孩是有酒窩的機率為 ____。

袋中有大小相同的紅、藍、綠球各

1

顆，每次從袋中取出一球，觀察顏色後再放回袋中，共取球

5

次。已知每次取球都為獨立事件，且每球被取到的機率均等，求恰有

3

次取到紅球的機率為 ____。

第 14～15 題為題組（原卷填充第 4 題）（第 14～15 題）　袋中有大小相同的紅球

3

顆，白球

2

顆。每次從袋中同時取出兩球，觀察顏色後再放回袋中，直到取到兩球皆為同色為止。已知每次取球都為獨立事件，且每球被取到的機率均等，求：

① 取球總次數的期望值為 ____ 次。

② 取球總次數的標準差為 ____ 次。

重複擲一粒公正骰子

162

次，觀察所出現的點數，若紅色點（

1

點或

4

點）出現次數的期望值為

μ

次、標準差為

σ

次，則數對

(μ, σ) =

____。

第 17～18 題為題組（原卷填充第 6 題）（第 17～18 題）　籤筒中有若干支籤，其中有

9

支為有獎籤，籤筒中每支籤被取的機會均等。今從籤筒中每次取

1

支籤，取後放回，直到取出有獎籤停止，令隨機變數

X

表示取籤的次數，已知

X

的變異數是

56

，則

(1) 籤筒中有 ____ 支籤。

(2)

X

的期望值是 ____ 次。

第 19～20 題為題組（原卷填充第 7 題）（第 19～20 題）　袋中有

1

個白球，若干個紅球，每球被取的機會均等。每次從袋中取兩球，取後放回，假設直到取出“兩球同色”為止所需次數的變異數是

2

。

(1) 每次取出“兩球同色”的機率是 ____。

(2) 袋中有 ____ 個紅球。

三、混合題（每小題 5 分，共 10 分）※計算題請詳列計算過程，否則不予計分（本頁第 21、22 題為原卷混合題第 1 題的 (1)(2)）

(1) 下列哪個選項為玩家玩一回合遊戲，沒有脫逃成功的機率？（單選題）

(A) $\frac{4}{5}$
(B) $(\frac{1}{5})^{6}$
(C) $(\frac{4}{5})^{6}$
(D) $1 - (\frac{1}{5})^{6}$
(E) $1 - (\frac{4}{5})^{6}$

(2) 假設某玩家共玩

250

回合，令隨機變數

X

表示脫逃成功的次數，則

X

的期望值

E (X) =

____ 次。（非選擇題）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(C)

第 3 題(A)

第 4 題(E)

第 5 題(E)

第 6 題(A)

第 7 題(A)

第 8 題(A)

第 9 題(C)

第 10 題(D)

第 11 題

6

第 12 題

\frac{67}{256}

第 13 題

\frac{40}{243}

第 14 題

\frac{5}{2}

第 15 題

\frac{15}{2}

第 16 題

(54, 6)

第 17 題

72

第 18 題

8

第 19 題

\frac{1}{2}

第 20 題

3

第 21 題(D)

第 22 題

\frac{2}{125}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：機率分布、期望值、標準差與一次變換

第 1 題答案 (D)。

X = k

表示前

k - 1

次都取到白球、第

k

次取到紅球。

P (X = 1) = \frac{1}{4}

；

P (X = 2) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}

；

P (X = 3) = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

；

P (X = 4) = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{4}

。(A) 袋中只有

4

顆球，最慢第

4

次一定取到紅球，正確。(B)

P (X = 1) = \frac{1}{4}

，正確。(C) 兩者都是

\frac{1}{4}

，正確。(D)

P (X = 4) = P (X = 3) = \frac{1}{4}

，兩者相等，不是大於，錯誤。(E)

P (X \leq 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

，正確。本題要選錯誤的敘述，選 (D)。

也可以這樣看：把

4

顆球排成一列依序取出，紅球排在第

1

、

2

、

3

、

4

個位置的機會一樣，所以每個

P (X = k)

都是

\frac{1}{4}

。

第 2 題答案 (C)。從

5

顆任取

2

顆共

C_{2}^{5} = 10

種。

P (X = 0) = \frac{C _{2}^{2}}{10} = \frac{1}{10}

，

P (X = 1) = \frac{C _{1}^{3} C _{1}^{2}}{10} = \frac{6}{10}

，

P (X = 2) = \frac{C _{2}^{3}}{10} = \frac{3}{10}

。

E (X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}

。

第 3 題答案 (A)。共

1 + 2 + 3 + 4 = 10

顆球，

X

取

3, 5, 7, 9

的機率依序為

\frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{10}

。

E (X) = \frac{3 + 10 + 21 + 36}{10} = 7

。

E (X^{2}) = \frac{9 \times 1 + 25 \times 2 + 49 \times 3 + 81 \times 4}{10} = \frac{530}{10} = 53

。

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 53 - 49 = 4

，標準差

= 4 = 2

。

第 4 題答案 (E)。

E (- 2 X + 1) = - 2 E (X) + 1 = 7

，得

E (X) = - 3

。

Var (- 2 X + 1) = (- 2)^{2} Var (X) = 4 Var (X) = 16

，得

Var (X) = 4

。(A)

E (X + 1) = - 3 + 1 = - 2

，錯。(B)

E (- 2 X) = - 2 \times (- 3) = 6

，錯。(C)(D) 變異數不會是負的，且

Var (X) = 4

，錯。(E) 對。

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

：加上常數不影響變異數，乘上

a

要乘

a^{2}

。

第 5 題答案 (E)。六個面中

1

點有

3

面、

2

點有

2

面、

3

點有

1

面，機率依序為

\frac{3}{6}, \frac{2}{6}, \frac{1}{6}

。

E (X) = 100 \times \frac{3}{6} + 200 \times \frac{2}{6} + k \times \frac{1}{6} = \frac{700 + k}{6} = 200

，所以

700 + k = 1200

，

k = 500

。

先把隨機變數每個取值的機率列出來，期望值、變異數都從這張表算；一次變換時期望值照代、變異數只乘係數的平方。

02單選 6～10：幾何分布與二項分布

第 6 題答案 (A)。從

3

顆球取

2

顆共

C_{2}^{3} = 3

種：兩紅

1

種、一紅一白

2

種。所以每次取到一紅一白的機率是

\frac{2}{3}

，沒有取到的機率是

\frac{1}{3}

。直到第

3

次才取到，表示前兩次都沒有、第

3

次取到：

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}

。

第 7 題答案 (A)。同時擲兩粒骰子共

36

種結果，點數相同有

6

種，所以點數不相同的機率

p = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}

。重複

36

次，

X

服從

n = 36

、

p = \frac{5}{6}

的二項分布，

Var (X) = n p (1 - p) = 36 \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = 5

。

第 8 題答案 (A)。每次取到紅球的機率是

\frac{2}{3}

，取到白球的機率是

\frac{1}{3}

。直到第

3

次才取到紅球，表示前兩次都是白球、第

3

次是紅球：

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}

。

第 6 題與本題的情境不同（一次取兩球、一次取一球），但單次成功的機率剛好都是

\frac{2}{3}

，所以答案相同。

第 9 題答案 (C)。每次取到紅球的機率

p = \frac{3}{5}

，取球

600

次，取到紅球的次數服從

n = 600

、

p = \frac{3}{5}

的二項分布。變異數

= n p (1 - p) = 600 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = 144

，標準差

= 144 = 12

。

第 10 題答案 (D)。每次抽到

3

號卡片的機率

p = \frac{1}{4}

，抽到為止的總次數服從幾何分布。變異數

= \frac{1 - p}{p ^{2}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{16}} = 12

。

幾何分布（成功機率

p

）：期望值

\frac{1}{p}

，變異數

\frac{1 - p}{p ^{2}}

。本題期望值是

4

次。

固定做 n 次、數成功幾次是二項分布；做到第一次成功為止、數做了幾次是幾何分布。兩種都要先算出單次成功的機率。

03填充 11～13（原卷填充 1～3）：期望值反求未知數、二項分布的機率

第 11 題箱中共有

1 + 3 + n = n + 4

張，

X

取

200

、

100

、

50

的機率依序為

\frac{1}{n + 4}

、

\frac{3}{n + 4}

、

\frac{n}{n + 4}

。

E (X) = \frac{200 + 300 + 50 n}{n + 4} = 80

，所以

500 + 50 n = 80 n + 320

，

30 n = 180

，

n = 6

。

驗算：

n = 6

時共

10

張，

E (X) = \frac{200 + 300 + 300}{10} = 80

。

第 12 題父母各給

A

或

a

的機率都是

\frac{1}{2}

，小孩的基因是

aa

（無酒窩）的機率為

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

，所以有酒窩的機率是

\frac{3}{4}

。

4

個小孩中有酒窩的人數服從

n = 4

、

p = \frac{3}{4}

的二項分布。最多

2

個有酒窩，即

0

、

1

、

2

個：

(\frac{1}{4})^{4} + C_{1}^{4} (\frac{3}{4}) (\frac{1}{4})^{3} + C_{2}^{4} (\frac{3}{4})^{2} (\frac{1}{4})^{2} = \frac{1 + 12 + 54}{256} = \frac{67}{256}

。

「最多

2

個」包含

0

個、

1

個、

2

個三種情形，不是只有恰

2

個。

第 13 題每次取到紅球的機率是

\frac{1}{3}

，取

5

次中取到紅球的次數服從

n = 5

、

p = \frac{1}{3}

的二項分布。恰有

3

次：

C_{3}^{5} (\frac{1}{3})^{3} (\frac{2}{3})^{2} = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} = \frac{40}{243}

。

04填充 14～16（原卷填充 4、5）：幾何分布與二項分布的期望值、標準差

第 14 題從

5

顆球同時取

2

顆共

C_{2}^{5} = 10

種，兩球同色有

C_{2}^{3} + C_{2}^{2} = 3 + 1 = 4

種，所以每次取到兩球同色的機率

p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

。取球總次數服從成功機率

\frac{2}{5}

的幾何分布，期望值

= \frac{1}{p} = \frac{5}{2}

（次）。

第 15 題承上，

p = \frac{2}{5}

，變異數

= \frac{1 - p}{p ^{2}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{25}} = \frac{15}{4}

，標準差

= \frac{15}{4} = \frac{15}{2}

（次）。

第 16 題每次擲出

1

點或

4

點的機率

p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

，擲

162

次，出現次數服從

n = 162

、

p = \frac{1}{3}

的二項分布。

μ = n p = 162 \times \frac{1}{3} = 54

；變異數

= n p (1 - p) = 162 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 36

，

σ = 36 = 6

。所以

(μ, σ) = (54, 6)

。

05填充 17～20（原卷填充 6、7）：由幾何分布的變異數反求成功機率

第 17 題設每次取出有獎籤的機率為

p

（

0 < p \leq 1

），

X

服從幾何分布，

Var (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}} = 56

，即

56 p^{2} + p - 1 = 0

，

(8 p - 1) (7 p + 1) = 0

，

p = \frac{1}{8}

或

p = - \frac{1}{7}

（不合）。設籤筒中共有

N

支籤，

\frac{9}{N} = \frac{1}{8}

，

N = 72

。

第 18 題承上，

p = \frac{1}{8}

，

E (X) = \frac{1}{p} = 8

（次）。

第 19 題設每次取出兩球同色的機率為

p

（

0 < p \leq 1

），所需次數服從幾何分布，變異數

\frac{1 - p}{p ^{2}} = 2

，即

2 p^{2} + p - 1 = 0

，

(2 p - 1) (p + 1) = 0

，

p = \frac{1}{2}

或

p = - 1

（不合）。所以機率是

\frac{1}{2}

。

第 20 題設袋中有

n

個紅球，共

n + 1

個球。白球只有

1

個，兩球同色只能是兩個紅球：

p = \frac{C _{2}^{n}}{C _{2}^{n + 1}} = \frac{n ( n - 1 )}{( n + 1 ) n} = \frac{n - 1}{n + 1}

。由

\frac{n - 1}{n + 1} = \frac{1}{2}

得

2 n - 2 = n + 1

，

n = 3

。

驗算：

3

紅

1

白取兩球共

C_{2}^{4} = 6

種，兩紅有

C_{2}^{3} = 3

種，機率

\frac{1}{2}

。

幾何分布的變異數只跟成功機率有關，列出方程式後解一元二次方程式，機率要在 0 與 1 之間，負根捨去。

06混合題 21～22（原卷混合題 1）：密室脫逃

第 21 題答案 (D)。每扇門選到正確鑰匙的機率是

\frac{1}{5}

，六扇門各自獨立，全部開啟（脫逃成功）的機率是

(\frac{1}{5})^{6}

。沒有脫逃成功是它的餘事件，機率為

1 - (\frac{1}{5})^{6}

。

(\frac{4}{5})^{6}

是六扇門全部都沒打開的機率；只要有一扇沒打開就算沒有成功，所以要用餘事件算。

第 22 題題幹說玩家於每扇門前隨機選一把鑰匙開門，即每扇門只選一次鑰匙，選對的機率是

\frac{1}{5}

。每一回合脫逃成功的機率

p = (\frac{1}{5})^{6} = \frac{1}{15625}

，各回合互相獨立，玩

250

回合，成功次數

X

服從

n = 250

、

p = \frac{1}{15625}

的二項分布。

E (X) = n p = \frac{250}{15625} = \frac{2}{125}

（次），即

0.016

次。

期望值不一定是整數，也可以小於

1

：平均要玩

15625

回合才成功

1

次，

250

回合平均只有

0.016

次。

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02單選 6～10：幾何分布與二項分布

03填充 11～13（原卷填充 1～3）：期望值反求未知數、二項分布的機率

04填充 14～16（原卷填充 4、5）：幾何分布與二項分布的期望值、標準差

05填充 17～20（原卷填充 6、7）：由幾何分布的變異數反求成功機率

06混合題 21～22（原卷混合題 1）：密室脫逃

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高三第一次段考
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