高雄新興高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)。前兩項與後兩項分別提出公因式：

$$x^3-x^2+4x-4=x^2(x-1)+4(x-1)=(x-1)(x^2+4)$$

所以解是 $x=1$ 或 $x^2=-4$，也就是 $x=1$，$2i$，$-2i$。選項中只有 $-2i$ 是解。

答案 (E)。逐一計算：

(A) $z_1+z_2=4-2i$，實部 $4$。

(B) $z_2-z_1=2-6i$，實部 $2$。

(C) $z_1{z}_2=(1+2i)(3-4i)=3-4i+6i-8i^2=11+2i$，實部 $11$。

(D) 分子分母同乘 $z_2$ 的共軛 $3+4i$：

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(1+2i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{-5+10i}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$

實部 $-\frac{1}{5}$。

(E) 分子分母同乘 $z_1$ 的共軛 $1-2i$：

$$\frac{z_2}{z_1}=\frac{(3-4i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{-5-10i}{5}=-1-2i$$

實部 $-1$。

五個實部中 $-1$ 最小。

答案 (A)(C)(D)(E)。$f(x)$ 是實係數，$1+i$ 是根，它的共軛 $1-i$ 也是根，所以 $f(x)$ 有因式

$$(x-1-i)(x-1+i)=(x-1{)}^2+1=x^2-2x+2$$

三次式可寫成 $f(x)=(x^2-2x+2)(px+q)$。由餘式定理：

$f(4)=10\times (4p+q)=10$，得 $4p+q=1$；

$f(-2)=10\times (-2p+q)=-50$，得 $-2p+q=-5$。

兩式相減得 $6p=6$，$p=1$，$q=-3$，所以 $f(x)=(x^2-2x+2)(x-3)$。

(A) 正確。$x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1>0$ 沒有實根，$f(x)=0$ 的實根只有 $x=3$，圖形與 $x$ 軸恰交於一點 $(3,0)$。

(B) 錯誤。$f(1)=(1-2+2)\times (1-3)=-2<0$。

(C) 正確。$f(4)$ 就是除以 $x-4$ 的餘式 $10$，大於 $0$。

(D) 正確。實係數方程式的虛根成對，$1-i$ 也是根。

(E) 正確。$f(3)=0$，由因式定理 $x-3$ 是因式。

答案 (A)(B)(C)。負數的平方根規定為：$p>0$ 時 $\sqrt{-p}=\sqrt{p}i$。

(A) 正確。設 $a=-p$（$p>0$），則 $\sqrt{a}=\sqrt{p}i$。左邊

$$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{p}i}=\frac{\sqrt{b}\cdot (-i)}{\sqrt{p}i\cdot (-i)}=-\sqrt{\frac{b}{p}}i$$

而 $\frac{b}{a}=-\frac{b}{p}<0$，所以 $\sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{\frac{b}{p}}i$，右邊 $-\sqrt{\frac{b}{a}}=-\sqrt{\frac{b}{p}}i$，兩邊相等。

(B) 正確。設 $b=-q$（$q>0$），左邊 $\sqrt{a}\cdot \sqrt{q}i=\sqrt{aq}i$；而 $ab=-aq<0$，右邊 $\sqrt{ab}=\sqrt{aq}i$，兩邊相等。

(C) 正確。設 $a=x+yi$（$x$，$y$ 為實數），$\overline{a}=a$ 表示 $x-yi=x+yi$，得 $y=0$，$a$ 是實數。

(D) 錯誤。反例：$a=1$，$b=i$，$a^2+b^2=1+(-1)=0$，但 $a$，$b$ 都不是 $0$。

(E) 錯誤。反例：$a=1+i$，$b=i$，$c=-i$，則 $a+c=1$，$b+c=0$，$1>0$ 成立；但 $a$，$b$ 都不是實數，不能比較大小，「$a>b$」沒有意義。

答案 (B)(C)(D)。$f(x)=x(x-1)(x+1)=x^3-x$。

(A) 錯誤。$f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2}-1\right)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}<0$。

(B) 正確。$f(x^2)=x^2(x^2-1)(x^2+1)=0$，得 $x=0$，$1$，$-1$（以及 $\pm i$），有有理根。

(C) 正確。$x^3-x=x^2+1$ 整理成 $x^3-x^2-x-1=0$，這是實係數三次方程式，虛根成對，三個根不可能全是虛根，所以至少有一個實根。

(D) 正確。$x^3-x=x$ 整理成 $x^3-2x=x(x^2-2)=0$，根是 $0$，$\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$，有無理根。

(E) 錯誤。$f(-a)=(-a{)}^3-(-a)=-(a^3-a)=-f(a)=-2$，不是 $2$。

$x$，$y$ 是實數，$x-y-1$ 與 $2x+y-5$ 都是實數，複數等於 $0$ 表示實部與虛部都是 $0$：

$$x-y-1=0,2x+y-5=0$$

兩式相加得 $3x=6$，$x=2$，代回得 $y=1$。數對 $(x,y)=(2,1)$。

實係數二次方程式有實根，判別式要大於或等於 $0$：

$$(2-k{)}^2-4(3k-11)=k^2-16k+48=(k-4)(k-12)\ge 0$$

所以 $k\le 4$ 或 $k\ge 12$。

用立方差公式：

$$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)=0$$

$x=3$，或由 $x^2+3x+9=0$ 的公式解：

$$x=\frac{-3\pm \sqrt{9-36}}{2}=\frac{-3\pm 3\sqrt{3}i}{2}$$

所以解為 $3$，$\frac{-3+3\sqrt{3}i}{2}$，$\frac{-3-3\sqrt{3}i}{2}$。

$x=1$ 是根，代入得

$$1+(a-4)+(2a-3)+3a=6a-6=0$$

所以 $a=1$。

$a=1$ 時方程式是 $x^3-3x^2-x+3=0$。分組提出公因式：

$$x^2(x-3)-(x-3)=(x-3)(x^2-1)=(x-3)(x-1)(x+1)=0$$

根是 $1$，$3$，$-1$，所以其他兩根為 $3$，$-1$。

每個負數的平方根先寫成 $i$ 的倍數：

$$\sqrt{-2}\sqrt{-3}\sqrt{-4}\sqrt{-6}\sqrt{-8}=\left(\sqrt{2}i\right)\left(\sqrt{3}i\right)\left(2i\right)\left(\sqrt{6}i\right)\left(2\sqrt{2}i\right)$$

實數部分相乘：

$$\sqrt{2}\times \sqrt{3}\times 2\times \sqrt{6}\times 2\sqrt{2}=4\sqrt{2\times 3\times 6\times 2}=4\sqrt{72}=4\times 6\sqrt{2}=24\sqrt{2}$$

再乘以 $i^5=i^4\cdot i=i$，結果為 $24\sqrt{2}i$。

方程式是實係數，$3-2i$ 是根，它的共軛 $3+2i$ 也是根。由根與係數的關係，兩根之積

$$k=(3-2i)(3+2i)=9+4=13$$

實係數多項式 $f(x)$ 代入共軛複數，函數值也是共軛：因為共軛的和等於和的共軛、共軛的積等於積的共軛，而實數係數的共軛還是自己，所以 $f(\overline{z})=\overline{f(z)}$。

$3+2i$ 是 $3-2i$ 的共軛，所以 $f(3+2i)=\overline{-4+5i}=-4-5i$。

$-1-6i$ 是 $-1+6i$ 的共軛，所以 $g(-1-6i)=\overline{-4}=-4$。

相乘：

$$f(3+2i)\cdot g(-1-6i)=(-4-5i)(-4)=16+20i$$

展開 $(a+bi{)}^2=a^2-b^2+2abi=15-8i$，$a$，$b$ 是實數，比較實部與虛部：

$$a^2-b^2=15,2ab=-8$$

由第二式 $b=-\frac{4}{a}$，代入第一式：

$$a^2-\frac{16}{a^2}=15\Rightarrow a^4-15a^2-16=0\Rightarrow (a^2-16)(a^2+1)=0$$

$a$ 是實數，$a^2+1>0$，所以 $a^2=16$，$a=4$ 或 $-4$。

$a=4$ 時 $b=-1$；$a=-4$ 時 $b=1$。所以 $z=4-i$ 或 $-4+i$。

$a$，$b$ 是實數，方程式是實係數，$1+3i$ 是根，它的共軛 $1-3i$ 也是根，所以 $f(x)$ 有因式

$$(x-1-3i)(x-1+3i)=(x-1{)}^2+9=x^2-2x+10$$

$f(x)$ 的最高次項係數是 $1$、常數項是 $-30$，設 $f(x)=(x^2-2x+10)(x+c)$，比較常數項得 $10c=-30$，$c=-3$。展開：

$$(x^2-2x+10)(x-3)=x^3-5x^2+16x-30$$

比較係數得 $a=-5$，$b=16$。

由上一小題 $f(x)=(x^2-2x+10)(x-3)=0$，$x^2-2x+10=0$ 的根是 $1\pm 3i$，另一根是 $3$。所以方程式的解為

$$x=1+3i,1-3i,3$$

由根與係數的關係，$\alpha +\beta =-7$，$\alpha \beta =4$。判別式 $49-16=33>0$，兩根是相異實根；兩根之積是正數、和是負數，所以 $\alpha$，$\beta$ 都是負數。

設 $\alpha =-p$，$\beta =-q$（$p$，$q>0$），則 $\sqrt{\alpha }=\sqrt{p}i$，$\sqrt{\beta }=\sqrt{q}i$，

$$\sqrt{\alpha }\sqrt{\beta }=\sqrt{p}\sqrt{q}{i}^2=-\sqrt{pq}=-\sqrt{\alpha \beta }=-2$$

所以

$${\left(\sqrt{\alpha }+\sqrt{\beta }\right)}^2=\alpha +\beta +2\sqrt{\alpha }\sqrt{\beta }=-7+2\times (-2)=-11$$

用立方和的公式：

$${\alpha }^3+{\beta }^3=(\alpha +\beta {)}^3-3\alpha \beta (\alpha +\beta )=(-7{)}^3-3\times 4\times (-7)=-343+84=-259$$

先求平方和：${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =49-8=41$。再平方：

$${\alpha }^4+{\beta }^4={\left({\alpha }^2+{\beta }^2\right)}^2-2(\alpha \beta {)}^2=41^2-2\times 16=1681-32=1649$$