段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

高雄新興高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（每題 8 分，共 32 分）、填充題 7 題共 9 格（每格 5 分，共 45 分）、計算題 2 題共 6 小題（共 23 分），合計 100 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、多重選擇題：32%（每題 8 分；錯一個得 5 分，錯兩個得 3 分，錯三個全錯）

設

a > 0

，令

A (a)

表示

x

軸、

y

軸、直線

x = a

與函數

y = 3 - 2 sin x

的圖形所圍成的面積，如右圖，試選出正確的選項。

(A) $A (a + 2 π) = A (a)$ 恆成立
(B) $A (π) < 10$
(C) $A (4 π) = 2 A (2 π)$
(D) $A (π) + A (3 π) = 2 A (2 π)$
(E) $A (2 π) = 6 π$

載入中...

關於三角函數值的大小，下列哪些選項是正確的？

(A) $sin 2 > sin 1$
(B) $cos 2 > cos 1$
(C) $cos^{2} \frac{5 π}{8} - sin^{2} \frac{5 π}{8} > cos \frac{4}{3} π$
(D) $\frac{tan 2}{1 - tan ^{2} 2} > \frac{1}{2}$
(E) $cos π^{2} > 0$

關於函數

y = f (x) = 2 cos (\frac{π}{3} - x) - 2 cos x + 3 = a sin (x) + b cos (x) + d

，請問下列各敘述何者為真？

(A) 函數週期為 $π$
(B) 振幅 $= 2$
(C) 函數 $y = f (x)$ 恆大於 $0$
(D) 在 $\frac{2 π}{3} \leq x \leq π$ 時， $y = f (x)$ 的圖形為遞減
(E) $y = f (x)$ 的圖形對稱於直線 $x = \frac{13 π}{6}$

如圖為

f (x) = a sin (c x) + b cos (c x) + d

圖形之一部分，其點中

A

點

(\frac{π}{8}, 2 + 1)

為波峰，

B

點

(\frac{5 π}{8}, 1 - 2)

為波谷且

c > 0

。請問下列何者正確？

(A) $a = 2$
(B) $c = 2$
(C) $f (x) = f (x + 3 π)$ 恆成立
(D) 由 $y = 2 sin (c x) + 1$ 向左平移 $\frac{π}{4}$ 可得 $y = f (x)$ 的圖形
(E) 由 $y = 2 cos (c x) + 1$ 向右平移 $\frac{π}{8}$ 可得 $y = f (x)$ 的圖形

載入中...

二、填充題：45%（每格 5 分，共 9 格）（本頁第 5、6 題為原卷填充第 1 題的 (1)(2)；第 7、8 題為原卷填充第 2 題的 (1)(2)；第 9～13 題依序為原卷填充第 3～7 題）

第 5～6 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 5～6 題）　試求下列各式之值：

(1)

sin 22 π + cos \frac{27}{4} π + tan \frac{10}{3} π =

____。

(2)

\frac{sin 7. 5 ^{\circ}}{sin 22. 5 ^{\circ}} + \frac{cos 7. 5 ^{\circ}}{cos 22. 5 ^{\circ}} =

____。

第 7～8 題為題組（原卷填充第 2 題）（第 7～8 題）　如圖，圓內接四邊形

A B C D

，

\overline{A C} = 40

，

cos ∠ A D C = \frac{3}{5}

，

sin ∠ C D B = \frac{3}{5}

，則

(1)

sin ∠ A D B =

____。

載入中...

(2)

\overline{A B} =

____。

如右圖，在坐標平面上，已知

O (0, 0)

，

A (5, 12)

為兩定點，且直線

L

為直線

O A

與

x

軸的銳夾角平分線，試求直線

L

的斜率

=

____。

載入中...

如圖，有一個作等速率圓周運動的大風車，其半徑為

10

公尺，逆時針方向旋轉一圈需時

14

分鐘，最低點離地面

2

公尺，若風車翼片的一個端點

P

離地面的距離

h

（公尺）與時間

t

（分）之間的函數關係是

h (t) = a sin (b t - \frac{π}{2}) + c

，

a > 0

且

b > 0

，求序組

(a, b, c) =

____。

載入中...

當

0 \leq x \leq 2 π

，求方程式

1 + x = ∣ tan x ∣

，有 ____ 個實數解。

設

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

，若

3 cos x - sin x = 2

，則

x =

____。

設

0 \leq x \leq 2 π

，滿足

cos 2 x + 4 sin^{2} x - cos x - 2 \geq 0

，則

x

範圍為 ____。

三、計算題：23%（計算題請詳列計算過程，否則不予計分）（本頁第 14～16 題為原卷計算第 1 題的 (1)(2)(3)，配分 2%、4%、4%；第 17～19 題為原卷計算第 2 題的 (1)(2)(3)，配分 3%、5%、5%）

第 14～16 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 14～16 題）　如右圖，以

\overline{A B} = 2

為直徑畫一半圓，

O

為圓心，二弦

\overline{C D}

、

\overline{E F}

均平行於直徑

\overline{A B}

，已知

\overline{C D} = 1

，

\overline{E F} = 3

，求：

(1)

∠ E O F =

　（2%）

載入中...

(2) 陰影部分周長　（4%）

(3) 陰影部分面積　（4%）

第 17～19 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 17～19 題）　設

- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4}

，考慮函數

y = f (x) = 2 cos x (cos x - sin x)

，試問

(1) 將

f (x)

化成

a sin (b x + c) + d

型式，其中

a > 0

，

0 \leq c < 2 π

　（3%）

(2) 當

x = α

時，

f (x)

有最大值

M

，則數對

(α, M) =

　（5%）

(3) 當

x = β

時，

y

有最小值

m

，則數對

(β, m) =

　（5%）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)(E)

第 2 題(A)(D)

第 3 題(B)(C)(D)

第 4 題(B)(C)(E)

第 5 題

3 - \frac{2}{2}

第 6 題

2

第 7 題

\frac{7}{25}

第 8 題

14

第 9 題

\frac{2}{3}

第 10 題

(10, \frac{π}{7}, 12)

第 11 題

4

第 12 題

\frac{π}{12}

或

- \frac{5 π}{12}

第 13 題

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

第 14 題

\frac{2 π}{3}

（即

12 0^{\circ}

）

第 15 題

1 + 3 + \frac{π}{3}

第 16 題

\frac{π}{6}

第 17 題

f (x) = 2 sin (2 x + \frac{3 π}{4}) + 1

（若取

b = - 2

，也可寫成

2 sin (- 2 x + \frac{π}{4}) + 1

）

第 18 題

(- \frac{π}{8}, 2 + 1)

第 19 題

(\frac{π}{4}, 0)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1、2 題）：圖形下的面積、用弧度比大小

第 1 題答案 (B)(C)(E)。

y = 3 - 2 sin x

的週期是

2 π

，值在

1

到

5

之間，圖形都在

x

軸上方。先看一個週期：在

0 \leq x \leq π

圖形比直線

y = 3

低

2 sin x

，在

π \leq x \leq 2 π

比

y = 3

高

2∣ sin x ∣

，而

sin (x + π) = - sin x

，低下去與高出來的兩塊全等，所以一個週期下方的面積等於底

2 π

、高

3

的長方形：

A (2 π) = 6 π

，(E) 對。(A) 錯：每多一個週期，面積多

6 π

，

A (a + 2 π) = A (a) + 6 π

。(B) 對：

0 < x < π

時

y < 3

，所以

A (π) < 3 π < 10

。(C) 對：

A (4 π)

是兩個週期，等於

12 π = 2 A (2 π)

。(D) 錯：

A (3 π) = A (2 π) + A (π) = 6 π + A (π)

，左式

= 6 π + 2 A (π)

；右式

= 12 π

；兩者相等要

A (π) = 3 π

，但

A (π) < 3 π

。

只用到圖形的週期與對稱，不必真的算出

A (π)

。（實際上

A (π) = 3 π - 4 \approx 5.42

。）

第 2 題答案 (A)(D)。

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，

2

弧度約

114. 6^{\circ}

。(A) 對：

sin 2 = sin (π - 2)

，

π - 2 \approx 1.14

，而

0 < 1 < 1.14 < \frac{π}{2}

，正弦在這段遞增，所以

sin 2 > sin 1

。(B) 錯：

2

弧度在第二象限，

cos 2 < 0 < cos 1

。(C) 錯：左式用倍角公式

= cos \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2} \approx - 0.707

，右式

cos \frac{4 π}{3} = - \frac{1}{2}

，左式比較小。(D) 對：

\frac{tan 2}{1 - tan ^{2} 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 tan 2}{1 - tan ^{2} 2} = \frac{1}{2} tan 4

；

tan 4 = tan (4 - π)

，

4 - π \approx 0.858

介於

\frac{π}{4} \approx 0.785

與

\frac{π}{2}

之間，所以

tan 4 > 1

，

\frac{1}{2} tan 4 > \frac{1}{2}

。(E) 錯：

3 π < π^{2} < 3 π + \frac{π}{2}

（因為

3 < π < 3.5

），

π^{2}

與

π^{2} - 2 π

同界，後者在

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角，

cos π^{2} < 0

。

(E) 照原卷讀作「

π^{2}

的餘弦」；數值上

π^{2} \approx 9.87

，

cos π^{2} \approx - 0.903

。

02多重選擇題（第 3、4 題）：疊合後看週期、振幅、增減與對稱

第 3 題答案 (B)(C)(D)。

2 cos (\frac{π}{3} - x) = 2 (\frac{1}{2} cos x + \frac{3}{2} sin x) = cos x + 3 sin x

，所以

f (x) = 3 sin x - cos x + 3

（

a = 3

、

b = - 1

、

d = 3

）。疊合：

3 sin x - cos x = 2 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

，

f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{6}) + 3

。(A) 錯：週期是

2 π

。(B) 對：振幅

2

。(C) 對：最小值

- 2 + 3 = 1 > 0

。(D) 對：

\frac{2 π}{3} \leq x \leq π

時

\frac{π}{2} \leq x - \frac{π}{6} \leq \frac{5 π}{6}

，正弦在這段遞減。(E) 錯：對稱軸要通過波峰或波谷，但

x = \frac{13 π}{6}

時

x - \frac{π}{6} = 2 π

，

sin 2 π = 0

，這裡是圖形與中心線

y = 3

的交點，不是對稱軸。

對稱軸是

x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2} + k π

，即

x = \frac{2 π}{3} + k π

（

k

為整數）。

第 4 題答案 (B)(C)(E)。波峰高

1 + 2

、波谷高

1 - 2

，所以中心線

d = 1

，振幅

2

。相鄰的波峰與波谷相差半個週期：

\frac{5 π}{8} - \frac{π}{8} = \frac{π}{2}

，週期

π

，

c = \frac{2 π}{π} = 2

，(B) 對。把

f

寫成

2 sin (2 x + φ) + 1

，波峰在

x = \frac{π}{8}

：

\frac{π}{4} + φ = \frac{π}{2}

，

φ = \frac{π}{4}

。展開

2 sin (2 x + \frac{π}{4}) = sin 2 x + cos 2 x

，所以

f (x) = sin 2 x + cos 2 x + 1

，

a = 1

、

b = 1

，(A) 錯。（檢查：

f (0) = 2

、

f (π) = 2

，與圖上兩點相符。）(C) 對：

3 π

是週期

π

的整數倍。(D) 錯：

y = 2 sin 2 x + 1

向左平移

\frac{π}{4}

得

2 sin (2 x + \frac{π}{2}) + 1

，不是

f

；要向左平移

\frac{π}{8}

才是。(E) 對：

y = 2 cos 2 x + 1

向右平移

\frac{π}{8}

得

2 cos (2 x - \frac{π}{4}) + 1 = 2 sin (2 x - \frac{π}{4} + \frac{π}{2}) + 1 = 2 sin (2 x + \frac{π}{4}) + 1 = f (x)

。

平移時換掉的是

x

本身：向左平移

\frac{π}{4}

是把

x

換成

x + \frac{π}{4}

，括號裡多出來的是

2 \times \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

。(E) 也可以直接看：

y = 2 cos 2 x + 1

的波峰在

x = 0

，向右移

\frac{π}{8}

後波峰在

x = \frac{π}{8}

，與

f

的波峰重合，振幅、週期、中心線也都相同。

03填充題（第 5、6 題，原卷填充第 1 題）：同界角求值、通分後用公式

第 5 題

sin 22 π = sin 0 = 0

。

\frac{27 π}{4} = 6 π + \frac{3 π}{4}

，

cos \frac{27 π}{4} = cos \frac{3 π}{4} = - \frac{2}{2}

。

\frac{10 π}{3} = 3 π + \frac{π}{3}

，正切的週期是

π

，

tan \frac{10 π}{3} = tan \frac{π}{3} = 3

。三項相加得

3 - \frac{2}{2}

。

也可以寫成

\frac{2 3 - 2}{2}

，約

1.025

。

第 6 題通分：原式

= \frac{sin 7. 5 ^{\circ} cos 22. 5 ^{\circ} + cos 7. 5 ^{\circ} sin 22. 5 ^{\circ}}{sin 22. 5 ^{\circ} cos 22. 5 ^{\circ}}

。分子是正弦的和角公式：

sin (7. 5^{\circ} + 22. 5^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。分母用倍角公式：

sin 22. 5^{\circ} cos 22. 5^{\circ} = \frac{1}{2} sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{4}

。所以原式

= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{4}} = \frac{2}{2} = 2

。

04填充題（第 7、8 題，原卷填充第 2 題）：圓內接四邊形

第 7 題由圖，

B

在弧

A C

上（四點依

A

、

B

、

C

、

D

的順序），

\overline{D B}

在

∠ A D C

的內部，所以

∠ A D B = ∠ A D C - ∠ C D B

。

cos ∠ A D C = \frac{3}{5} > 0

，

∠ A D C

是銳角，

sin ∠ A D C = \frac{4}{5}

；

∠ C D B

比

∠ A D C

小，也是銳角，

cos ∠ C D B = \frac{4}{5}

。差角公式：

sin ∠ A D B = sin ∠ A D C cos ∠ C D B - cos ∠ A D C sin ∠ C D B = \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{16 - 9}{25} = \frac{7}{25}

。

∠ C D B

的餘弦取正，是因為它是銳角

∠ A D C

的一部分。

第 8 題設外接圓半徑為

R

。

△ A C D

中用正弦定理：

\frac{A C}{sin ∠ A D C} = 2 R

，

2 R = \frac{40}{\frac{4}{5}} = 50

。

△ A B D

與它內接於同一個圓，

\overline{A B}

所對的角是

∠ A D B

：

\overline{A B} = 2 R sin ∠ A D B = 50 \times \frac{7}{25} = 14

。

同一個圓裡，弦長

= 2 R \times

（這條弦所對圓周角的正弦）。同樣可得

\overline{B C} = 50 \times \frac{3}{5} = 30

。

05填充題（第 9～11 題，原卷填充第 3～5 題）：半角的正切、風車、解的個數

第 9 題設直線

O A

與

x

軸正向的夾角為

θ

（銳角），

\overline{O A} = 5^{2} + 1 2^{2} = 13

，所以

sin θ = \frac{12}{13}

、

cos θ = \frac{5}{13}

。

L

是角平分線，斜角為

\frac{θ}{2}

，斜率

= tan \frac{θ}{2} = \frac{sin θ}{1 + cos θ} = \frac{\frac{12}{13}}{1 + \frac{5}{13}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}

。

也可以用正切的倍角公式：設

t = tan \frac{θ}{2}

，

\frac{2 t}{1 - t ^{2}} = \frac{12}{5}

，整理得

6 t^{2} + 5 t - 6 = 0

，

(3 t - 2) (2 t + 3) = 0

；

\frac{θ}{2}

是銳角，取

t = \frac{2}{3}

。

第 10 題最低點離地

2

公尺、半徑

10

公尺，所以圓心離地

12

公尺，最高點離地

22

公尺。

h

在

2

與

22

之間變動：中心

c = 12

，振幅

a = 10

。轉一圈

14

分鐘，週期

\frac{2 π}{b} = 14

，

b = \frac{π}{7}

。所以

(a, b, c) = (10, \frac{π}{7}, 12)

。

檢查：

t = 0

時

h = 10 sin (- \frac{π}{2}) + 12 = 2

，是從最低點開始計時；

t = 7

時

h = 10 sin \frac{π}{2} + 12 = 22

，在最高點。

第 11 題在同一個坐標平面畫

y = ∣ tan x ∣

與

y = 1 + x

，數交點。

y = ∣ tan x ∣

在

0 \leq x \leq 2 π

被

x = \frac{π}{2}

、

x = \frac{3 π}{2}

分成四段：①

0 \leq x < \frac{π}{2}

，由

0

上升到無限大；②

\frac{π}{2} < x \leq π

，由無限大下降到

0

；③

π \leq x < \frac{3 π}{2}

，由

0

上升到無限大；④

\frac{3 π}{2} < x \leq 2 π

，由無限大下降到

0

。直線

y = 1 + x

在這個範圍的高度由

1

上升到

1 + 2 π

，都是正的有限值。②、④ 兩段：

∣ tan x ∣

遞減、直線遞增，

∣ tan x ∣

由比直線高變到比直線低，恰好交一點。①、③ 兩段：

∣ tan x ∣ = tan x

由比直線低（起點是

0

）上升到比直線高，所以有交點；而

tan x

的圖形在這兩段處處不比斜率

1

的直線平緩，超過直線以後不會再被直線追上，所以也恰好交一點。共

4

個實數解。

四個解大約是

x \approx 1.13

、

1.90

、

4.53

、

4.88

。在

x = 0

、

π

、

2 π

這些

∣ tan x ∣ = 0

的地方，直線的高度是正的，所以交點都不在這些點上。

06填充題（第 12、13 題，原卷填充第 6、7 題）：疊合解方程式、化成餘弦的不等式

第 12 題疊合：

3 cos x - sin x = 2 (\frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x) = 2 cos (x + \frac{π}{6})

。方程式成為

cos (x + \frac{π}{6}) = \frac{2}{2}

。

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

時

- \frac{π}{3} < x + \frac{π}{6} < \frac{2 π}{3}

，這個範圍內餘弦等於

\frac{2}{2}

的角有

\frac{π}{4}

與

- \frac{π}{4}

兩個。所以

x = \frac{π}{4} - \frac{π}{6} = \frac{π}{12}

或

x = - \frac{π}{4} - \frac{π}{6} = - \frac{5 π}{12}

。

兩個解都在題目給的範圍裡（

- \frac{5 π}{12} = - 7 5^{\circ}

，

\frac{π}{12} = 1 5^{\circ}

），都要寫。代回檢查：

x = - 7 5^{\circ}

時

3 cos 7 5^{\circ} + sin 7 5^{\circ} = 2 sin (7 5^{\circ} + 6 0^{\circ}) = 2 sin 13 5^{\circ} = 2

。

第 13 題全部換成

cos x

：

cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1

，

4 sin^{2} x = 4 - 4 cos^{2} x

。原式

= 2 cos^{2} x - 1 + 4 - 4 cos^{2} x - cos x - 2 = - 2 cos^{2} x - cos x + 1

。不等式成為

- 2 cos^{2} x - cos x + 1 \geq 0

，即

2 cos^{2} x + cos x - 1 \leq 0

，

(2 cos x - 1) (cos x + 1) \leq 0

，所以

- 1 \leq cos x \leq \frac{1}{2}

。

cos x \geq - 1

恆成立，只剩

cos x \leq \frac{1}{2}

。在

0 \leq x \leq 2 π

內，

cos x = \frac{1}{2}

於

x = \frac{π}{3}

與

\frac{5 π}{3}

，兩者之間餘弦值不超過

\frac{1}{2}

，所以

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5 π}{3}

。

不等式兩邊同乘

- 1

時，不等號要變方向。

07計算題一（第 14～16 題，原卷計算第 1 題）：半圓裡兩條平行弦

第 14 題半徑

\overline{O E} = \overline{O F} = 1

。

△ O E F

中用餘弦定理：

cos ∠ E O F = \frac{1 ^{2} + 1 ^{2} - ( 3 ) ^{2}}{2 \times 1 \times 1} = - \frac{1}{2}

，所以

∠ E O F = \frac{2 π}{3}

（

12 0^{\circ}

）。

也可以由

O

向

\overline{E F}

作垂線平分弦：半弦長

\frac{3}{2}

、斜邊

1

，半個圓心角是

\frac{π}{3}

。

第 15 題

△ O C D

三邊都是

1

，是正三角形，

∠ C O D = \frac{π}{3}

。兩弦都平行於直徑，圖形對稱於過

O

且垂直

\overline{A B}

的直線，所以

∠ E O C = ∠ D O F = \frac{1}{2} (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{3}) = \frac{π}{6}

。半徑為

1

，弧

C E

與弧

D F

的長都是

1 \times \frac{π}{6} = \frac{π}{6}

。陰影的邊界是

\overline{C D}

、弧

D F

、

\overline{E F}

、弧

E C

：周長

= 1 + \frac{π}{6} + 3 + \frac{π}{6} = 1 + 3 + \frac{π}{3}

。

弧長

= r θ

的

θ

要用弧度。周長約

3.78

。

第 16 題陰影

=

（弦

\overline{E F}

上方的弓形）

-

（弦

\overline{C D}

上方的弓形）。弓形

=

扇形

-

三角形：弦

\overline{E F}

的弓形

= \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times sin \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3} - \frac{3}{4}

；弦

\overline{C D}

的弓形

= \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times sin \frac{π}{3} = \frac{π}{6} - \frac{3}{4}

。相減：陰影面積

= (\frac{π}{3} - \frac{3}{4}) - (\frac{π}{6} - \frac{3}{4}) = \frac{π}{6}

。

△ O E F

與

△ O C D

的面積都是

\frac{3}{4}

，剛好消掉，所以陰影面積等於兩個圓心角

\frac{π}{6}

的扇形

O E C

、

O D F

的面積和。

08計算題二（第 17～19 題，原卷計算第 2 題）：降次、疊合、在範圍內求極值

第 17 題展開：

f (x) = 2 cos^{2} x - 2 sin x cos x

。用倍角公式降次：

2 cos^{2} x = 1 + cos 2 x

，

2 sin x cos x = sin 2 x

，所以

f (x) = - sin 2 x + cos 2 x + 1

。疊合：

- sin 2 x + cos 2 x = 2 (- \frac{2}{2} sin 2 x + \frac{2}{2} cos 2 x)

，取

cos c = - \frac{2}{2}

、

sin c = \frac{2}{2}

，即

c = \frac{3 π}{4}

，得

f (x) = 2 sin (2 x + \frac{3 π}{4}) + 1

。所以

a = 2

、

b = 2

、

c = \frac{3 π}{4}

、

d = 1

。

題目沒有限制

b

的正負；若取

b = - 2

，同一個函數也可以寫成

2 sin (- 2 x + \frac{π}{4}) + 1

，同樣符合

a > 0

、

0 \leq c < 2 π

。後兩小題的結果與寫法無關。

第 18 題

- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4}

時，

\frac{π}{4} \leq 2 x + \frac{3 π}{4} \leq \frac{5 π}{4}

。這段角度包含

\frac{π}{2}

，正弦的最大值是

1

，發生在

2 x + \frac{3 π}{4} = \frac{π}{2}

，即

x = - \frac{π}{8}

。最大值

M = 2 \times 1 + 1 = 2 + 1

。所以

(α, M) = (- \frac{π}{8}, 2 + 1)

。

第 19 題角度

2 x + \frac{3 π}{4}

在

\frac{π}{4}

到

\frac{5 π}{4}

之間，走不到

\frac{3 π}{2}

，所以最小值在端點：左端

sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2}

，右端

sin \frac{5 π}{4} = - \frac{2}{2}

，右端較小。右端是

x = \frac{π}{4}

，最小值

m = 2 \times (- \frac{2}{2}) + 1 = 0

。所以

(β, m) = (\frac{π}{4}, 0)

。

直接代原式檢查：

f (\frac{π}{4}) = 2 cos \frac{π}{4} (cos \frac{π}{4} - sin \frac{π}{4}) = 0

。最小值不是

1 - 2

，因為範圍內到不了波谷。

求極值先整理成單一正弦（疊合），再看角度的範圍走不走得到波峰、波谷；走不到的那一邊，極值在端點。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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高雄新興高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題不用積分，靠週期與對稱就能判斷每個週期下方的面積是 6π；第 2 題的選項 D 要先化成二分之一 tan 4 再估角度；第 4 題的平移量要除以 x 的係數 2；第 12 題在題目給的範圍裡有兩個解，容易漏掉負的那一個；第 19 題角度走不到波谷，最小值在端點。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自高雄新興高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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03填充題（第 5、6 題，原卷填充第 1 題）：同界角求值、通分後用公式

04填充題（第 7、8 題，原卷填充第 2 題）：圓內接四邊形

05填充題（第 9～11 題，原卷填充第 3～5 題）：半角的正切、風車、解的個數

06填充題（第 12、13 題，原卷填充第 6、7 題）：疊合解方程式、化成餘弦的不等式

07計算題一（第 14～16 題，原卷計算第 1 題）：半圓裡兩條平行弦

08計算題二（第 17～19 題，原卷計算第 2 題）：降次、疊合、在範圍內求極值

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高雄新興高中 113 上
高二第一次段考
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