段考詳解範圍：對數與對數律、換底公式、對數函數的圖形、指數與對數的應用

高雄新興高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單一選擇題 2 題（每題 4 分，共 8 分）、多重選擇題 3 題（每題 6 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個或三個以上的選項得 0 分）、填充題 11 格（每格 5 分）、計算題 2 題（共 19 分：第 1 題 (1) 3 分、(2) 6 分；第 2 題 (1) 6 分、(2) 4 分），合計 100 分。原卷各大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 3～5 題是多選第 1～3 題，第 6～16 題是填充第 1～11 題，第 17～20 題是計算第 1、2 題的各小題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單一選擇題（每題 4 分，共 8 分）

試問下列哪一個圖形最有可能是函數

y = \frac{lo g \frac{1}{x}}{lo g 2}

圖形的一部分？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

設

a = lo g_{2} 3

，

b = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

，

c = lo g_{4} 7

，則下列敘述何者正確？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$
(E) $c > a > b$ 。

二、多重選擇題 (每題 6 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個或三個以上的選項得 0 分)

下列哪些選項正確？

(A) $lo g_{2} 1 = 0$
(B) $lo g_{0.01} 100 = - 2$
(C) $lo g_{9} 33 = \frac{3}{4}$
(D) $lo g_{8} 32 = 4$
(E) $3^{2 l o g_{3} 4} = 4$ 。

關於常用對數函數

y = lo g x

的圖形，試問下列哪些選項是正確的？

(A) 過點 $(1, 0)$
(B) 由左而右逐漸上升
(C) 與任一鉛直線 $x = h$ 恰交於一點
(D) 與 $y = - lo g x$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(E) 與 $y = 1 0^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$ 。

若

(a, b)

是對數函數

y = lo g_{3} x

圖形上一點，則下列哪個選項中的點也在該對數函數的圖形上？

(A) $(a + 1, b + 1)$
(B) $(3 a, b + 1)$
(C) $(\frac{1}{a}, - b)$
(D) $(9 a, 2 b)$
(E) $(a^{2}, 2 b)$ 。

三、填充題 (每格 5 分)

3^{l o g_{3} 4} + \frac{lo g _{7} 8}{lo g _{7} 2} =

____。

若

x

，

y

為兩正實數，且滿足

x^{\frac{- 1}{3}} y^{4} = 1

及

2 lo g_{3} y = 1

，則

\frac{x - y ^{4}}{10} =

____。

設

lo g_{(x + 1)} (5 - 2 x)

有意義，則

x

的範圍為 ____。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則以

a

、

b

表示得

lo g_{8} 15 =

____。

若

2 \leq lo g a \leq 2 + lo g 5

，試問這樣的正整數

a

共有 ____ 個。

由電腦科學的理論知道，若要將

n

筆資料按小到大進行排序，只要作大約

\frac{n lo g n}{0.4343}

次比較即可。已知作一次比較需要

1 0^{- 7}

秒，，則十萬筆資料排序的時間是一萬筆資料排序的時間的 ____ 倍。

方程式

2 lo g (x + 1) = 2 + lo g 4

的解為 ____。

根據某研究機構指出，新興高中學生學習數B的能力每經過一節認真的數學課可變為原本的

1.015

倍，問至少需要上 ____ 節認真的數學課，新興高中學生學習數B的能力才會變成原本的兩倍。（無條件進入至整數位，已知：

lo g 1.015 \approx 0.0064

，

lo g 1.5 \approx 0.1761

）

某公司為了響應節能減碳政策，決定每年依固定的比率逐年減少

20%

二氧化碳排放量，則至少要 ____ 年（無條件進入至整數位），該公司的二氧化碳排放量才會低於目前排放量的三分之一。

已知

(2, lo g 2)

，

(4, lo g 4)

，

(6, lo g a)

三點共線，則

a

之值為 ____。

根據地震學家古騰堡（Gutenberg）的公式，地震所釋放的能量

E

（單位：爾格，erg）與芮氏地震規模（Richter Magnitude Scale）

M

的關係為：

lo g E = 11.8 + 1.5 M

。資料顯示，2016 年 2 月 6 日，高雄市美濃區發生芮氏規模

6.6

的地震，其所釋放出的能量為

E_{1}

，而 2022 年 3 月 27 日，臺東縣長濱鄉發生規模

4.3

的地震，其所釋放出的能量為

E_{2}

，則

\frac{E _{1}}{E _{2}}

約為 ____。（已知：

1 0^{0.45} \approx 2.8184

，

1 0^{0.3} \approx 1.9953

）（四捨五入至整數位）

四、計算題 (共 19 分，請詳列計算過程，否則不予計分)

第 17～18 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 17～18 題）　日常生活裡，常用分貝數的大小來表示聲音的強弱。將測得的聲音強度

I

，代入關係式

d (I) = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

，可得到此聲音強度

I

的分貝數

d (I)

。其中，聲音強度的單位是「瓦特／平方公尺」

(W / m^{2})

，

I_{0} = 1 0^{- 12} (W / m^{2})

。試回答下列問題：

(1) 機車製造廠測試發現，某新車以每小時

50

公里速度行駛時，會產生

72

分貝的噪音，試問此時機車的聲音強度是多少？（3 分）

(2) 若球場上

1

位啦啦隊隊員大聲加油的喊叫聲為

85

分貝，且

30

位啦啦隊隊員大聲加油的喊叫聲的聲音強度為

1

位啦啦隊隊員大聲加油的喊叫聲的聲音強度的

30

倍，試問

30

位啦啦隊隊員大聲加油的喊叫聲為多少分貝？（6 分）（四捨五入至小數點後第一位）

第 19～20 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 19～20 題）　海棉再過

6

個月就要讀小學了，海棉的媽媽和爸爸分別為海棉做了理財規劃，

(1) 海綿的爸爸打算把

200

萬元存入銀行，等三年後作為海棉的教育基金，現有以下兩種方案：方案一：以單利計算，每年計息一次，年利率為

2.5%

。方案二：以複利計算，每年計息一次，年利率為

2%

。請幫海棉爸爸計算這兩種方案在三年後相差多少元？（6 分）

(2) 海棉的媽媽想幫他存錢，等

16

年後作為海棉的創業基金，於是將現有的

100

萬元放入銀行生利息，若銀行半年算一次利息且為複利計算，銀行的年利率為

2%

，則

16

年後，可以領出多少千元讓海棉創業？（4 分）（已知：

(1.02)^{16} \approx 1.3728

，

(1.02)^{32} \approx 1.8845

，

(1.01)^{16} \approx 1.1726

，

(1.01)^{32} \approx 1.3749

）（四捨五入至千位數）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(C)

第 3 題(A)(C)

第 4 題(A)(B)(E)

第 5 題(B)(C)(E)

第 6 題

7

第 7 題

72

第 8 題

- 1 < x < \frac{5}{2}

且

x \neq = 0

第 9 題

\frac{1 - a + b}{3 a}

第 10 題

401

第 11 題

12.5

第 12 題

x = 19

第 13 題

48

（題目未給 log2，以 0.3010 計算）

第 14 題

5

第 15 題

8

第 16 題

2818

第 17 題

1 0^{- 4.8} (W / m^{2})

第 18 題

99.8

分貝

第 19 題

27584

元（方案一較多）

第 20 題

1375

千元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：對數函數的圖形、對數比較大小

第 1 題

答案 (E)。由換底公式， $\frac{lo g \frac{1}{x}}{lo g 2} = lo g_{2} \frac{1}{x} = lo g_{2} x^{- 1} = - lo g_{2} x$ ，所以 $y = - lo g_{2} x$ 。

定義域是 $x > 0$ ，圖形只在 $y$ 軸右邊，(A)(B)(C) 不可能。

$x = 1$ 時 $y = - lo g_{2} 1 = 0$ ，圖形過 $(1, 0)$ 。 $y = lo g_{2} x$ 由左而右上升，取負號後 $y = - lo g_{2} x$ 由左而右下降，所以 (D) 不對、(E) 符合。

y = - lo g_{2} x

也可以寫成

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

，底數小於

1

的對數函數遞減。

第 2 題

答案 (C)。

$b = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$ ：因為 $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ ，所以 $b = 2$ 。

$a = lo g_{2} 3$ ： $2^{1} < 3 < 2^{2}$ ，所以 $1 < a < 2$ 。

$c = lo g_{4} 7 = \frac{lo g _{2} 7}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} 7 = lo g_{2} 7$ 。

$7 < 3$ ，而 $y = lo g_{2} x$ 遞增，所以 $c < a$ 。又 $a < 2 = b$ ，得 $b > a > c$ 。

近似值：

a \approx 1.585

，

c \approx 1.404

。

對數比較大小，先化成同一個底數，再看真數；化簡函數式時記得

lo g \frac{1}{x} = - lo g x

。

02多選第 1～3 題（本頁第 3～5 題）：對數的計算、常用對數函數的圖形、圖形上的點

第 3 題

答案 (A)(C)。

(A) 正確。 任何合法底數的 $0$ 次方都是 $1$ ： $(2)^{0} = 1$ ，所以 $lo g_{2} 1 = 0$ 。

(B) 錯誤。 $0.01 = 1 0^{- 2}$ ， $100 = 1 0^{2} = (1 0^{- 2})^{- 1}$ ，所以 $lo g_{0.01} 100 = - 1$ ，不是 $- 2$ 。

(C) 正確。 $9 = 3^{2}$ ， $33 = 3^{\frac{3}{2}}$ 。設 $lo g_{9} 33 = t$ ，則 $3^{2 t} = 3^{\frac{3}{2}}$ ， $t = \frac{3}{4}$ 。

(D) 錯誤。 $8 = 2^{3}$ ， $32 = 2^{5}$ ，設 $lo g_{8} 32 = t$ ，則 $2^{3 t} = 2^{5}$ ， $t = \frac{5}{3}$ ，不是 $4$ 。

(E) 錯誤。 $2 lo g_{3} 4 = lo g_{3} 4^{2} = lo g_{3} 16$ ，所以 $3^{2 l o g_{3} 4} = 3^{l o g_{3} 16} = 16$ ，不是 $4$ 。

第 4 題

答案 (A)(B)(E)。

(A) 正確。 $lo g 1 = 0$ ，圖形過 $(1, 0)$ 。

(B) 正確。 底數 $10 > 1$ ，函數遞增，圖形由左而右逐漸上升。

(D) 錯誤。 點 $(x, y)$ 在 $y = lo g x$ 上時， $(x, - y)$ 在 $y = - lo g x$ 上，兩圖形對稱於 $x$ 軸，不是 $y$ 軸。

(E) 正確。 $y = lo g x$ 與 $y = 1 0^{x}$ 互為反函數： $(p, q)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上，就是 $q = 1 0^{p}$ ，也就是 $p = lo g q$ ，所以 $(q, p)$ 在 $y = lo g x$ 上，兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

第 5 題

答案 (B)(C)(E)。 $(a, b)$ 在圖形上，所以 $a > 0$ 且 $b = lo g_{3} a$ 。逐項檢查點的 $y$ 坐標是否等於 $lo g_{3}$ （ $x$ 坐標）。

(A) 錯誤。 $lo g_{3} (a + 1)$ 一般不等於 $b + 1 = lo g_{3} (3 a)$ 。例如 $a = 1$ 、 $b = 0$ ： $lo g_{3} 2 \neq = 1$ 。

(B) 正確。 $lo g_{3} (3 a) = lo g_{3} 3 + lo g_{3} a = 1 + b$ 。

(D) 錯誤。 $lo g_{3} (9 a) = 2 + b$ ，一般不等於 $2 b$ 。例如 $a = 1$ 、 $b = 0$ ：點 $(9, 0)$ ，但 $lo g_{3} 9 = 2 \neq = 0$ 。

(E) 正確。 $a > 0$ ， $lo g_{3} a^{2} = 2 lo g_{3} a = 2 b$ 。

對數函數圖形上的點：

x

坐標乘

3

時

y

坐標加

1

，

x

坐標取倒數時

y

坐標變號，

x

坐標平方時

y

坐標變兩倍。

03填充第 1～5 題（本頁第 6～10 題）：對數的計算、有意義的條件、換底、整數解個數

第 6 題

由對數的定義， $3^{l o g_{3} 4} = 4$ 。由換底公式， $\frac{lo g _{7} 8}{lo g _{7} 2} = lo g_{2} 8 = 3$ 。

所以和為 $4 + 3 = 7$ 。

第 7 題

由 $2 lo g_{3} y = 1$ ， $lo g_{3} y = \frac{1}{2}$ ， $y = 3^{\frac{1}{2}} = 3$ ，所以 $y^{4} = 9$ 。

代入 $x^{\frac{- 1}{3}} y^{4} = 1$ ： $x^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{9}$ ，兩邊取倒數得 $x^{\frac{1}{3}} = 9$ ，兩邊三次方得 $x = 729$ 。

所以 $\frac{x - y ^{4}}{10} = \frac{729 - 9}{10} = 72$ 。

第 8 題

$lo g_{(x + 1)} (5 - 2 x)$ 有意義要同時滿足：

底數 $x + 1 > 0$ 且 $x + 1 \neq = 1$ ，即 $x > - 1$ 且 $x \neq = 0$ ；

真數 $5 - 2 x > 0$ ，即 $x < \frac{5}{2}$ 。

取交集： $- 1 < x < \frac{5}{2}$ 且 $x \neq = 0$ 。

容易漏掉「底數不等於

1

」這個條件；

x = 0

時底數是

1

，沒有意義。

第 9 題

換底成常用對數： $lo g_{8} 15 = \frac{lo g 15}{lo g 8}$ 。

$lo g 15 = lo g \frac{30}{2} = lo g 3 + lo g 10 - lo g 2 = b + 1 - a$ ； $lo g 8 = lo g 2^{3} = 3 a$ 。

所以 $lo g_{8} 15 = \frac{1 - a + b}{3 a}$ 。

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - a

是常用的轉換。

第 10 題

$2 = lo g 100$ ， $2 + lo g 5 = lo g 100 + lo g 5 = lo g 500$ 。不等式變成 $lo g 100 \leq lo g a \leq lo g 500$ 。

常用對數底數 $10 > 1$ ，函數遞增，所以 $100 \leq a \leq 500$ 。

正整數 $a$ 共有 $500 - 100 + 1 = 401$ 個。

把常數也寫成同底的對數（

2 = lo g 100

），就能把對數的式子化成真數的大小比較；對數有意義要同時檢查底數與真數。

04填充第 6～11 題（本頁第 11～16 題）：對數方程式與指數、對數的應用

第 11 題

每次比較的時間相同，所以時間比等於比較次數的比。

十萬筆： $n = 1 0^{5}$ ，比較次數約 $\frac{1 0 ^{5} \times lo g 1 0 ^{5}}{0.4343} = \frac{5 \times 1 0 ^{5}}{0.4343}$ 。

一萬筆： $n = 1 0^{4}$ ，比較次數約 $\frac{1 0 ^{4} \times lo g 1 0 ^{4}}{0.4343} = \frac{4 \times 1 0 ^{4}}{0.4343}$ 。

兩者相除： $\frac{5 \times 1 0 ^{5}}{4 \times 1 0 ^{4}} = 12.5$ （倍）。

0.4343

與

1 0^{- 7}

秒在相除時都約掉了，不必代入。

第 12 題

先列真數條件： $x + 1 > 0$ ，即 $x > - 1$ 。

$2 lo g (x + 1) = lo g (x + 1)^{2}$ ， $2 + lo g 4 = lo g 100 + lo g 4 = lo g 400$ 。所以 $(x + 1)^{2} = 400$ ， $x + 1 = 20$ 或 $x + 1 = - 20$ 。

$x + 1 > 0$ ，只取 $x + 1 = 20$ ，解為 $x = 19$ 。

x = - 21

時

lo g (x + 1) = lo g (- 20)

沒有意義，要捨去。

第 13 題

設上 $n$ 節課後能力變成原本的兩倍： $1.01 5^{n} \geq 2$ 。兩邊取常用對數： $n lo g 1.015 \geq lo g 2$ 。

用 $lo g 2 \approx 0.3010$ 、 $lo g 1.015 \approx 0.0064$ ： $n \geq \frac{0.3010}{0.0064} \approx 47.03$ 。

無條件進入至整數位，至少需要 $48$ 節。

題目給的

lo g 1.5 \approx 0.1761

這題用不到，要用的

lo g 2 \approx 0.3010

題目沒有給。若用更精確的

lo g 1.015 \approx 0.006466

，算得

n \geq 46.56

，

47

節就夠；本頁照題目給的近似值算出

48

。

第 14 題

每年減少 $20%$ ，每年變為前一年的 $0.8$ 倍， $n$ 年後是目前的 $0. 8^{n}$ 倍。要 $0. 8^{n} < \frac{1}{3}$ 。

兩邊取常用對數： $n lo g 0.8 < - lo g 3$ 。 $lo g 0.8 = lo g \frac{8}{10} = 3 lo g 2 - 1 \approx - 0.0969$ 是負數，除過去不等號變向：

$n > \frac{lo g 3}{1 - 3 lo g 2} \approx \frac{0.4771}{0.0969} \approx 4.92$

所以至少要 $5$ 年。

檢查：

0. 8^{4} = 0.4096

還比

\frac{1}{3}

大；

0. 8^{5} = 0.32768

比

\frac{1}{3} \approx 0.333

小。

第 15 題

三點共線，前兩點與後兩點連線的斜率相同：

$\frac{lo g 4 - lo g 2}{4 - 2} = \frac{lo g a - lo g 4}{6 - 4}$

兩邊分母都是 $2$ ，所以 $lo g a - lo g 4 = lo g 4 - lo g 2 = lo g 2$ ， $lo g a = lo g 8$ ， $a = 8$ 。

第 16 題

$lo g E_{1} = 11.8 + 1.5 \times 6.6$ ， $lo g E_{2} = 11.8 + 1.5 \times 4.3$ 。相減：

$lo g \frac{E _{1}}{E _{2}} = lo g E_{1} - lo g E_{2} = 1.5 \times (6.6 - 4.3) = 1.5 \times 2.3 = 3.45$ 。

所以 $\frac{E _{1}}{E _{2}} = 1 0^{3.45} = 1 0^{3} \times 1 0^{0.45} \approx 1000 \times 2.8184 = 2818.4$ ，四捨五入至整數位約為 $2818$ 。

題目給的

1 0^{0.3}

這題用不到。

應用題先列出指數式，再兩邊取常用對數；比值問題相減後常數會消去。

05計算第 1 題（本頁第 17、18 題）：分貝與聲音強度

第 17 題

$d (I) = 72$ ： $10 lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 72$ ， $lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 7.2$ 。

由對數的定義， $\frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{7.2}$ ，所以 $I = 1 0^{7.2} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 4.8}$ 。

此時機車的聲音強度是 $1 0^{- 4.8}$ （ $W / m^{2}$ ）。

第 18 題

設 $1$ 位隊員喊叫聲的強度為 $I_{1}$ ，則 $10 lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} = 85$ 。 $30$ 位的強度是 $30 I_{1}$ ，分貝數為

$10 lo g \frac{30 I _{1}}{I _{0}} = 10 (lo g 30 + lo g \frac{I _{1}}{I _{0}}) = 10 lo g 30 + 85$

$lo g 30 = lo g 3 + 1 \approx 0.4771 + 1 = 1.4771$ ，所以分貝數約為 $14.771 + 85 = 99.771$ ，四捨五入至小數點後第一位為 $99.8$ 分貝。

題目沒有給

lo g 3

，這裡用常用近似值

0.4771

。強度變成

30

倍，分貝數只增加

10 lo g 30 \approx 14.8

。

分貝公式裡強度乘上

k

倍，分貝數就加上

10 lo g k

。

06計算第 2 題（本頁第 19、20 題）：單利、複利與本利和

第 19 題

方案一（單利）：每年利息都是 $2000000 \times 2.5% = 50000$ 元，三年後本利和 $2000000 + 3 \times 50000 = 2150000$ 元。

方案二（複利）：三年後本利和 $2000000 \times 1.0 2^{3}$ 。 $1.0 2^{2} = 1.0404$ ， $1.0 2^{3} = 1.0404 \times 1.02 = 1.061208$ ，本利和 $2000000 \times 1.061208 = 2122416$ 元。

相差 $2150000 - 2122416 = 27584$ 元（方案一較多）。

(1) 問相差多少元，算到元即可，不必再取整。

第 20 題

年利率 $2%$ 、半年計息一次，每期利率 $1%$ ； $16$ 年共有 $16 \times 2 = 32$ 期。

本利和 $1000000 \times 1.0 1^{32} \approx 1000000 \times 1.3749 = 1374900$ 元。

四捨五入至千位數約為 $1375000$ 元，也就是 $1375$ 千元。

要用

(1.01)^{32}

，不是

(1.02)^{16}

；題目給的其他三個近似值是對照用的。

複利一年計息數次時，每期利率是年利率除以次數，期數是年數乘以次數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

高雄新興高中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題要先把函數化成以二為底的對數再取負號；第 4 題鉛直線在 y 軸左邊時和對數圖形沒有交點；第 8 題底數除了大於零還不能等於一；第 13 題題目只給 log1.015 與 log1.5，要自己用 log2 約 0.3010 才算得出，再無條件進入；第 19 題單利與複利要分開算到元。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

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題目取自高雄新興高中 113 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：對數與對數律、換底公式、對數函數的圖形、指數與對數的應用

高雄新興高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單一選擇題（每題 4 分，共 8 分）

試問下列哪一個圖形最有可能是函數

y = \frac{lo g \frac{1}{x}}{lo g 2}

圖形的一部分？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

設

a = lo g_{2} 3

，

b = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}

，

c = lo g_{4} 7

，則下列敘述何者正確？

(A) $a > b > c$
(B) $a > c > b$
(C) $b > a > c$
(D) $b > c > a$
(E) $c > a > b$ 。

二、多重選擇題 (每題 6 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個或三個以上的選項得 0 分)

下列哪些選項正確？

(A) $lo g_{2} 1 = 0$
(B) $lo g_{0.01} 100 = - 2$
(C) $lo g_{9} 33 = \frac{3}{4}$
(D) $lo g_{8} 32 = 4$
(E) $3^{2 l o g_{3} 4} = 4$ 。

關於常用對數函數

y = lo g x

的圖形，試問下列哪些選項是正確的？

(A) 過點 $(1, 0)$
(B) 由左而右逐漸上升
(C) 與任一鉛直線 $x = h$ 恰交於一點
(D) 與 $y = - lo g x$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(E) 與 $y = 1 0^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$ 。

若

(a, b)

是對數函數

y = lo g_{3} x

圖形上一點，則下列哪個選項中的點也在該對數函數的圖形上？

(A) $(a + 1, b + 1)$
(B) $(3 a, b + 1)$
(C) $(\frac{1}{a}, - b)$
(D) $(9 a, 2 b)$
(E) $(a^{2}, 2 b)$ 。

三、填充題 (每格 5 分)

3^{l o g_{3} 4} + \frac{lo g _{7} 8}{lo g _{7} 2} =

____。

若

x

，

y

為兩正實數，且滿足

x^{\frac{- 1}{3}} y^{4} = 1

及

2 lo g_{3} y = 1

，則

\frac{x - y ^{4}}{10} =

____。

設

lo g_{(x + 1)} (5 - 2 x)

有意義，則

x

的範圍為 ____。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則以

a

、

b

表示得

lo g_{8} 15 =

____。

若

2 \leq lo g a \leq 2 + lo g 5

，試問這樣的正整數

a

共有 ____ 個。

由電腦科學的理論知道，若要將

n

筆資料按小到大進行排序，只要作大約

\frac{n lo g n}{0.4343}

次比較即可。已知作一次比較需要

1 0^{- 7}

秒，，則十萬筆資料排序的時間是一萬筆資料排序的時間的 ____ 倍。

方程式

2 lo g (x + 1) = 2 + lo g 4

的解為 ____。

根據某研究機構指出，新興高中學生學習數B的能力每經過一節認真的數學課可變為原本的

1.015

倍，問至少需要上 ____ 節認真的數學課，新興高中學生學習數B的能力才會變成原本的兩倍。（無條件進入至整數位，已知：

lo g 1.015 \approx 0.0064

，

lo g 1.5 \approx 0.1761

）

某公司為了響應節能減碳政策，決定每年依固定的比率逐年減少

20%

二氧化碳排放量，則至少要 ____ 年（無條件進入至整數位），該公司的二氧化碳排放量才會低於目前排放量的三分之一。

已知

(2, lo g 2)

，

(4, lo g 4)

，

(6, lo g a)

三點共線，則

a

之值為 ____。

根據地震學家古騰堡（Gutenberg）的公式，地震所釋放的能量

E

（單位：爾格，erg）與芮氏地震規模（Richter Magnitude Scale）

M

的關係為：

lo g E = 11.8 + 1.5 M

。資料顯示，2016 年 2 月 6 日，高雄市美濃區發生芮氏規模

6.6

的地震，其所釋放出的能量為

E_{1}

，而 2022 年 3 月 27 日，臺東縣長濱鄉發生規模

4.3

的地震，其所釋放出的能量為

E_{2}

，則

\frac{E _{1}}{E _{2}}

約為 ____。（已知：

1 0^{0.45} \approx 2.8184

，

1 0^{0.3} \approx 1.9953

）（四捨五入至整數位）

四、計算題 (共 19 分，請詳列計算過程，否則不予計分)

第 17～18 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 17～18 題）　日常生活裡，常用分貝數的大小來表示聲音的強弱。將測得的聲音強度

I

，代入關係式

d (I) = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

，可得到此聲音強度

I

的分貝數

d (I)

。其中，聲音強度的單位是「瓦特／平方公尺」

(W / m^{2})

，

I_{0} = 1 0^{- 12} (W / m^{2})

。試回答下列問題：

(1) 機車製造廠測試發現，某新車以每小時

50

公里速度行駛時，會產生

72

分貝的噪音，試問此時機車的聲音強度是多少？（3 分）

(2) 若球場上

1

位啦啦隊隊員大聲加油的喊叫聲為

85

分貝，且

30

位啦啦隊隊員大聲加油的喊叫聲的聲音強度為

1

位啦啦隊隊員大聲加油的喊叫聲的聲音強度的

30

倍，試問

30

位啦啦隊隊員大聲加油的喊叫聲為多少分貝？（6 分）（四捨五入至小數點後第一位）

第 19～20 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 19～20 題）　海棉再過

6

個月就要讀小學了，海棉的媽媽和爸爸分別為海棉做了理財規劃，

(1) 海綿的爸爸打算把

200

萬元存入銀行，等三年後作為海棉的教育基金，現有以下兩種方案：方案一：以單利計算，每年計息一次，年利率為

2.5%

。方案二：以複利計算，每年計息一次，年利率為

2%

。請幫海棉爸爸計算這兩種方案在三年後相差多少元？（6 分）

(2) 海棉的媽媽想幫他存錢，等

16

年後作為海棉的創業基金，於是將現有的

100

萬元放入銀行生利息，若銀行半年算一次利息且為複利計算，銀行的年利率為

2%

，則

16

年後，可以領出多少千元讓海棉創業？（4 分）（已知：

(1.02)^{16} \approx 1.3728

，

(1.02)^{32} \approx 1.8845

，

(1.01)^{16} \approx 1.1726

，

(1.01)^{32} \approx 1.3749

）（四捨五入至千位數）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(C)

第 3 題(A)(C)

第 4 題(A)(B)(E)

第 5 題(B)(C)(E)

第 6 題

7

第 7 題

72

第 8 題

- 1 < x < \frac{5}{2}

且

x \neq = 0

第 9 題

\frac{1 - a + b}{3 a}

第 10 題

401

第 11 題

12.5

第 12 題

x = 19

第 13 題

48

（題目未給 log2，以 0.3010 計算）

第 14 題

5

第 15 題

8

第 16 題

2818

第 17 題

1 0^{- 4.8} (W / m^{2})

第 18 題

99.8

分貝

第 19 題

27584

元（方案一較多）

第 20 題

1375

千元

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：對數函數的圖形、對數比較大小

第 1 題

答案 (E)。由換底公式， $\frac{lo g \frac{1}{x}}{lo g 2} = lo g_{2} \frac{1}{x} = lo g_{2} x^{- 1} = - lo g_{2} x$ ，所以 $y = - lo g_{2} x$ 。

定義域是 $x > 0$ ，圖形只在 $y$ 軸右邊，(A)(B)(C) 不可能。

$x = 1$ 時 $y = - lo g_{2} 1 = 0$ ，圖形過 $(1, 0)$ 。 $y = lo g_{2} x$ 由左而右上升，取負號後 $y = - lo g_{2} x$ 由左而右下降，所以 (D) 不對、(E) 符合。

y = - lo g_{2} x

也可以寫成

y = lo g_{\frac{1}{2}} x

，底數小於

1

的對數函數遞減。

第 2 題

答案 (C)。

$b = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}$ ：因為 $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ ，所以 $b = 2$ 。

$a = lo g_{2} 3$ ： $2^{1} < 3 < 2^{2}$ ，所以 $1 < a < 2$ 。

$c = lo g_{4} 7 = \frac{lo g _{2} 7}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} 7 = lo g_{2} 7$ 。

$7 < 3$ ，而 $y = lo g_{2} x$ 遞增，所以 $c < a$ 。又 $a < 2 = b$ ，得 $b > a > c$ 。

近似值：

a \approx 1.585

，

c \approx 1.404

。

對數比較大小，先化成同一個底數，再看真數；化簡函數式時記得

lo g \frac{1}{x} = - lo g x

。

02多選第 1～3 題（本頁第 3～5 題）：對數的計算、常用對數函數的圖形、圖形上的點

第 3 題

答案 (A)(C)。

(A) 正確。 任何合法底數的 $0$ 次方都是 $1$ ： $(2)^{0} = 1$ ，所以 $lo g_{2} 1 = 0$ 。

(B) 錯誤。 $0.01 = 1 0^{- 2}$ ， $100 = 1 0^{2} = (1 0^{- 2})^{- 1}$ ，所以 $lo g_{0.01} 100 = - 1$ ，不是 $- 2$ 。

(C) 正確。 $9 = 3^{2}$ ， $33 = 3^{\frac{3}{2}}$ 。設 $lo g_{9} 33 = t$ ，則 $3^{2 t} = 3^{\frac{3}{2}}$ ， $t = \frac{3}{4}$ 。

(D) 錯誤。 $8 = 2^{3}$ ， $32 = 2^{5}$ ，設 $lo g_{8} 32 = t$ ，則 $2^{3 t} = 2^{5}$ ， $t = \frac{5}{3}$ ，不是 $4$ 。

(E) 錯誤。 $2 lo g_{3} 4 = lo g_{3} 4^{2} = lo g_{3} 16$ ，所以 $3^{2 l o g_{3} 4} = 3^{l o g_{3} 16} = 16$ ，不是 $4$ 。

第 4 題

答案 (A)(B)(E)。

(A) 正確。 $lo g 1 = 0$ ，圖形過 $(1, 0)$ 。

(B) 正確。 底數 $10 > 1$ ，函數遞增，圖形由左而右逐漸上升。

(D) 錯誤。 點 $(x, y)$ 在 $y = lo g x$ 上時， $(x, - y)$ 在 $y = - lo g x$ 上，兩圖形對稱於 $x$ 軸，不是 $y$ 軸。

第 5 題

答案 (B)(C)(E)。 $(a, b)$ 在圖形上，所以 $a > 0$ 且 $b = lo g_{3} a$ 。逐項檢查點的 $y$ 坐標是否等於 $lo g_{3}$ （ $x$ 坐標）。

(A) 錯誤。 $lo g_{3} (a + 1)$ 一般不等於 $b + 1 = lo g_{3} (3 a)$ 。例如 $a = 1$ 、 $b = 0$ ： $lo g_{3} 2 \neq = 1$ 。

(B) 正確。 $lo g_{3} (3 a) = lo g_{3} 3 + lo g_{3} a = 1 + b$ 。

(D) 錯誤。 $lo g_{3} (9 a) = 2 + b$ ，一般不等於 $2 b$ 。例如 $a = 1$ 、 $b = 0$ ：點 $(9, 0)$ ，但 $lo g_{3} 9 = 2 \neq = 0$ 。

(E) 正確。 $a > 0$ ， $lo g_{3} a^{2} = 2 lo g_{3} a = 2 b$ 。

對數函數圖形上的點：

x

坐標乘

3

時

y

坐標加

1

，

x

坐標取倒數時

y

坐標變號，

x

坐標平方時

y

坐標變兩倍。

03填充第 1～5 題（本頁第 6～10 題）：對數的計算、有意義的條件、換底、整數解個數

第 6 題

由對數的定義， $3^{l o g_{3} 4} = 4$ 。由換底公式， $\frac{lo g _{7} 8}{lo g _{7} 2} = lo g_{2} 8 = 3$ 。

所以和為 $4 + 3 = 7$ 。

第 7 題

由 $2 lo g_{3} y = 1$ ， $lo g_{3} y = \frac{1}{2}$ ， $y = 3^{\frac{1}{2}} = 3$ ，所以 $y^{4} = 9$ 。

代入 $x^{\frac{- 1}{3}} y^{4} = 1$ ： $x^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{9}$ ，兩邊取倒數得 $x^{\frac{1}{3}} = 9$ ，兩邊三次方得 $x = 729$ 。

所以 $\frac{x - y ^{4}}{10} = \frac{729 - 9}{10} = 72$ 。

第 8 題

$lo g_{(x + 1)} (5 - 2 x)$ 有意義要同時滿足：

底數 $x + 1 > 0$ 且 $x + 1 \neq = 1$ ，即 $x > - 1$ 且 $x \neq = 0$ ；

真數 $5 - 2 x > 0$ ，即 $x < \frac{5}{2}$ 。

取交集： $- 1 < x < \frac{5}{2}$ 且 $x \neq = 0$ 。

容易漏掉「底數不等於

1

」這個條件；

x = 0

時底數是

1

，沒有意義。

第 9 題

換底成常用對數： $lo g_{8} 15 = \frac{lo g 15}{lo g 8}$ 。

$lo g 15 = lo g \frac{30}{2} = lo g 3 + lo g 10 - lo g 2 = b + 1 - a$ ； $lo g 8 = lo g 2^{3} = 3 a$ 。

所以 $lo g_{8} 15 = \frac{1 - a + b}{3 a}$ 。

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - a

是常用的轉換。

第 10 題

$2 = lo g 100$ ， $2 + lo g 5 = lo g 100 + lo g 5 = lo g 500$ 。不等式變成 $lo g 100 \leq lo g a \leq lo g 500$ 。

常用對數底數 $10 > 1$ ，函數遞增，所以 $100 \leq a \leq 500$ 。

正整數 $a$ 共有 $500 - 100 + 1 = 401$ 個。

把常數也寫成同底的對數（

2 = lo g 100

），就能把對數的式子化成真數的大小比較；對數有意義要同時檢查底數與真數。

04填充第 6～11 題（本頁第 11～16 題）：對數方程式與指數、對數的應用

第 11 題

每次比較的時間相同，所以時間比等於比較次數的比。

十萬筆： $n = 1 0^{5}$ ，比較次數約 $\frac{1 0 ^{5} \times lo g 1 0 ^{5}}{0.4343} = \frac{5 \times 1 0 ^{5}}{0.4343}$ 。

一萬筆： $n = 1 0^{4}$ ，比較次數約 $\frac{1 0 ^{4} \times lo g 1 0 ^{4}}{0.4343} = \frac{4 \times 1 0 ^{4}}{0.4343}$ 。

兩者相除： $\frac{5 \times 1 0 ^{5}}{4 \times 1 0 ^{4}} = 12.5$ （倍）。

0.4343

與

1 0^{- 7}

秒在相除時都約掉了，不必代入。

第 12 題

先列真數條件： $x + 1 > 0$ ，即 $x > - 1$ 。

$2 lo g (x + 1) = lo g (x + 1)^{2}$ ， $2 + lo g 4 = lo g 100 + lo g 4 = lo g 400$ 。所以 $(x + 1)^{2} = 400$ ， $x + 1 = 20$ 或 $x + 1 = - 20$ 。

$x + 1 > 0$ ，只取 $x + 1 = 20$ ，解為 $x = 19$ 。

x = - 21

時

lo g (x + 1) = lo g (- 20)

沒有意義，要捨去。

第 13 題

設上 $n$ 節課後能力變成原本的兩倍： $1.01 5^{n} \geq 2$ 。兩邊取常用對數： $n lo g 1.015 \geq lo g 2$ 。

用 $lo g 2 \approx 0.3010$ 、 $lo g 1.015 \approx 0.0064$ ： $n \geq \frac{0.3010}{0.0064} \approx 47.03$ 。

無條件進入至整數位，至少需要 $48$ 節。

題目給的

lo g 1.5 \approx 0.1761

這題用不到，要用的

lo g 2 \approx 0.3010

題目沒有給。若用更精確的

lo g 1.015 \approx 0.006466

，算得

n \geq 46.56

，

47

節就夠；本頁照題目給的近似值算出

48

。

第 14 題

每年減少 $20%$ ，每年變為前一年的 $0.8$ 倍， $n$ 年後是目前的 $0. 8^{n}$ 倍。要 $0. 8^{n} < \frac{1}{3}$ 。

兩邊取常用對數： $n lo g 0.8 < - lo g 3$ 。 $lo g 0.8 = lo g \frac{8}{10} = 3 lo g 2 - 1 \approx - 0.0969$ 是負數，除過去不等號變向：

$n > \frac{lo g 3}{1 - 3 lo g 2} \approx \frac{0.4771}{0.0969} \approx 4.92$

所以至少要 $5$ 年。

檢查：

0. 8^{4} = 0.4096

還比

\frac{1}{3}

大；

0. 8^{5} = 0.32768

比

\frac{1}{3} \approx 0.333

小。

第 15 題

三點共線，前兩點與後兩點連線的斜率相同：

$\frac{lo g 4 - lo g 2}{4 - 2} = \frac{lo g a - lo g 4}{6 - 4}$

兩邊分母都是 $2$ ，所以 $lo g a - lo g 4 = lo g 4 - lo g 2 = lo g 2$ ， $lo g a = lo g 8$ ， $a = 8$ 。

第 16 題

$lo g E_{1} = 11.8 + 1.5 \times 6.6$ ， $lo g E_{2} = 11.8 + 1.5 \times 4.3$ 。相減：

$lo g \frac{E _{1}}{E _{2}} = lo g E_{1} - lo g E_{2} = 1.5 \times (6.6 - 4.3) = 1.5 \times 2.3 = 3.45$ 。

所以 $\frac{E _{1}}{E _{2}} = 1 0^{3.45} = 1 0^{3} \times 1 0^{0.45} \approx 1000 \times 2.8184 = 2818.4$ ，四捨五入至整數位約為 $2818$ 。

題目給的

1 0^{0.3}

這題用不到。

應用題先列出指數式，再兩邊取常用對數；比值問題相減後常數會消去。

05計算第 1 題（本頁第 17、18 題）：分貝與聲音強度

第 17 題

$d (I) = 72$ ： $10 lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 72$ ， $lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 7.2$ 。

由對數的定義， $\frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{7.2}$ ，所以 $I = 1 0^{7.2} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 4.8}$ 。

此時機車的聲音強度是 $1 0^{- 4.8}$ （ $W / m^{2}$ ）。

第 18 題

設 $1$ 位隊員喊叫聲的強度為 $I_{1}$ ，則 $10 lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} = 85$ 。 $30$ 位的強度是 $30 I_{1}$ ，分貝數為

$10 lo g \frac{30 I _{1}}{I _{0}} = 10 (lo g 30 + lo g \frac{I _{1}}{I _{0}}) = 10 lo g 30 + 85$

$lo g 30 = lo g 3 + 1 \approx 0.4771 + 1 = 1.4771$ ，所以分貝數約為 $14.771 + 85 = 99.771$ ，四捨五入至小數點後第一位為 $99.8$ 分貝。

題目沒有給

lo g 3

，這裡用常用近似值

0.4771

。強度變成

30

倍，分貝數只增加

10 lo g 30 \approx 14.8

。

分貝公式裡強度乘上

k

倍，分貝數就加上

10 lo g k

。

06計算第 2 題（本頁第 19、20 題）：單利、複利與本利和

第 19 題

方案一（單利）：每年利息都是 $2000000 \times 2.5% = 50000$ 元，三年後本利和 $2000000 + 3 \times 50000 = 2150000$ 元。

方案二（複利）：三年後本利和 $2000000 \times 1.0 2^{3}$ 。 $1.0 2^{2} = 1.0404$ ， $1.0 2^{3} = 1.0404 \times 1.02 = 1.061208$ ，本利和 $2000000 \times 1.061208 = 2122416$ 元。

相差 $2150000 - 2122416 = 27584$ 元（方案一較多）。

(1) 問相差多少元，算到元即可，不必再取整。

第 20 題

年利率 $2%$ 、半年計息一次，每期利率 $1%$ ； $16$ 年共有 $16 \times 2 = 32$ 期。

本利和 $1000000 \times 1.0 1^{32} \approx 1000000 \times 1.3749 = 1374900$ 元。

四捨五入至千位數約為 $1375000$ 元，也就是 $1375$ 千元。

要用

(1.01)^{32}

，不是

(1.02)^{16}

；題目給的其他三個近似值是對照用的。

複利一年計息數次時，每期利率是年利率除以次數，期數是年數乘以次數。

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高雄新興高中 113 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1、2 題：對數函數的圖形、對數比較大小

02多選第 1～3 題（本頁第 3～5 題）：對數的計算、常用對數函數的圖形、圖形上的點

03填充第 1～5 題（本頁第 6～10 題）：對數的計算、有意義的條件、換底、整數解個數

04填充第 6～11 題（本頁第 11～16 題）：對數方程式與指數、對數的應用

05計算第 1 題（本頁第 17、18 題）：分貝與聲音強度

06計算第 2 題（本頁第 19、20 題）：單利、複利與本利和

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高二第二次段考
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