段考詳解範圍：複數的運算、共軛複數、負數的平方根、實係數多項式方程式與虛根成對

高雄新興高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高雄新興高中 113 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高雄新興高中 113 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題三個負數的平方根要先各自寫成 i 乘以正數的平方根再相乘，不能先把根號裡的數乘起來。第 3 題選項 A 沒有說 a、b 是實數，不能直接比對實部虛部；兩個非實數的複數也不能比大小。第 11 題要先由實部、虛部的條件把兩個複數都求出來再相除。第 12 題平方等於 3+4i 的複數有兩個，要兩組都寫。第 17 題只有一個實根，所以函數圖形與 x 軸只有一個交點。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

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題原卷全文

則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 6 分，共 12 分）、多重選擇題 2 題（每題 6 分，共 12 分）、填充題 8 格（答對 1～8 格依序得 8、16、24、32、38、44、50、54 分）、計算題 2 題共 5 小題（共 22 分，各小題配分印在題末），合計 100 分。原卷各大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 3、4 題是多選第 1、2 題，第 5～12 題是填充第 1～8 題，第 13、14 題是計算第 1 題的 (1)(2)，第 15～17 題是計算第 2 題的 (1)(2)(3)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：（每題 6 分，共 12 分）

試求

i^{24} + i^{25} + i^{26} + \dots + i^{360} =

(A) $i$
(B) $- i$
(C) $1$
(D) $- 1$
(E) $0$

化簡

- 2 \times - 3 \times - 4

後結果為

(A) $26$
(B) $- 26$
(C) $26 i$
(D) $- 26 i$
(E) $2 + 6 i$

二、多重選擇題：（每題 6 分，共 12 分，答錯 1 個選項給 4 分，答錯 2 個選項給 2 分，答錯 3 個以上不給分）

關於複數與方程式的敘述，下列哪些正確？

(A) 若 $a + 2 i = 3 + bi$ ，則 $a = 3$ 且 $b = 2$
(B) $i - 2$ 的共軛複數為 $i + 2$
(C) $6 + 3 i > - 2 + 3 i$
(D) $5$ 次實係數方程式必有 $5$ 個複數根
(E) 實係數三次多項式方程式至少有 $1$ 個實根

設

α

、

β

為方程式

x^{2} + 3 x + 1 = 0

的二根，下列敘述哪些正確？

(A) $α + β = 3$
(B) $α β = 1$
(C) $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = - 3$
(D) $α^{2} + β^{2} = 7$
(E) $α^{2} + 3 α = - 1$

三、填充題：（依配分表給分，共 54 分）

3 i - 6

的共軛複數為 ____。

設

a

、

b

為實數且

(a + bi) (2 + 6 i) = - 80

，試求數對

(a, b) =

____。

解方程式

3 x^{2} + 2 x + 1 = 0

得兩根為 ____。

設

a

為實數，複數

z = \frac{3 a - i}{1 - 2 i}

的虛部為

0

，試求實數

a

之值為 ____。

已知方程式

x^{2} + 4 x + (3 + k) = 0

有實根，則

K

的範圍為 ____。（本站補註：卷面此處印大寫

K

，即題中的

k

）

設

z = 3 - 4 i

，請計算

(z \times \overline{z}) + (z - \overline{z}) =

____。

設複數

z_{1}

的虛部為

- 1

，

z_{2}

的實部為

2

，

z_{1} + z_{2}

的虛部為

3

，

z_{1} \times z_{2}

的實部為

8

，則

\frac{z _{1}}{z _{2}}

的實部

=

____。

設複數

z = a + bi

（

a

，

b

為實數）滿足

(a + bi)^{2} = 3 + 4 i

，試求

a

，

b

的值為 ____。

四、計算題：（依配分，兩題共 22 分）

第 13～14 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 13～14 題）　設

f (x) = 3 x^{3} - 16 x^{2} + 18 x + 20

，且已知

3 + i

為

f (x) = 0

的一根，

(1) 請寫出另一個複數根（3 分）

(2) 請求出另一個實根（7 分）

第 15～17 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 15～17 題）　已知實係數方程式

x^{3} - x^{2} + a x + b = 0

有一根

1 + 2 i

，

(1) 請求出數對

(a, b) =

。（6 分）

(2) 此方程式的實根

=

?（4 分）

(3) 若將題目之方程式表示為一函數

f (x) = x^{3} - x^{2} + a x + b

，由此可知此函數

f (x)

與 X 軸會有幾個交點?（2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(D)

第 3 題(D)(E)（若視

a

、

b

為實數，則為 (A)(D)(E)）

第 4 題(B)(C)(D)(E)

第 5 題

- 6 - 3 i

第 6 題

(- 4, 12)

第 7 題

\frac{- 1 \pm 2 i}{3}

第 8 題

\frac{1}{6}

第 9 題

k \leq 1

第 10 題

25 - 8 i

第 11 題

0

第 12 題

a = 2, b = 1

或

a = - 2, b = - 1

第 13 題

3 - i

第 14 題

- \frac{2}{3}

第 15 題

(3, 5)

第 16 題

- 1

第 17 題

1

個

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選第 1、2 題：i 的乘冪、負數的平方根

第 1 題答案 (C)。

i^{1} = i

，

i^{2} = - 1

，

i^{3} = - i

，

i^{4} = 1

，四個一循環，而且連續四項的和

i^{k} + i^{k + 1} + i^{k + 2} + i^{k + 3} = i^{k} (1 + i - 1 - i) = 0

。從

i^{24}

到

i^{360}

360 - 24 + 1 = 337

項。把第一項

i^{24}

單獨拿出來，剩下

i^{25}

到

i^{360}

共

336

項，正好是

84

組連續四項，和為

0

。所以原式

= i^{24} = (i^{4})^{6} = 1

。

項數是「末項指數減首項指數再加

1

」，不要漏掉加

1

。

第 2 題答案 (D)。負數的平方根先寫成

i

乘以正數的平方根：

- 2 = 2 i

，

- 3 = 3 i

，

- 4 = 2 i

。相乘得

2 \times 3 \times 2 \times i^{3} = 26 \times (- i) = - 26 i

。

不能先寫成

(- 2) (- 3) (- 4) = - 24 = 26 i

；根號相乘可以合併的規則只對非負的數成立，這樣做正負號會錯，得到選項 (C)。

遇到負數的平方根，第一步一律改寫成

i

的形式再運算。

02多重選擇第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：複數的觀念、根與係數的關係

第 3 題

答案 (D)(E)。

(A) 錯誤。 題目沒有說 $a$ 、 $b$ 是實數，就不能直接比對實部與虛部。例如 $a = 3 + i$ 、 $b = 3$ 時， $a + 2 i = 3 + 3 i = 3 + bi$ 也成立，但 $a \neq = 3$ 、 $b \neq = 2$ 。

(B) 錯誤。 $i - 2 = - 2 + i$ ，共軛複數是 $- 2 - i$ ，不是 $i + 2$ 。

(D) 正確。 依代數基本定理， $n$ 次複係數方程式在複數範圍內恰有 $n$ 個根（重根按重數計算），所以 $5$ 次實係數方程式必有 $5$ 個複數根。

(E) 正確。 實係數方程式的虛根成對出現（ $z$ 是根則 $\overline{z}$ 也是根），三次方程式共有 $3$ 個根，虛根的個數只能是 $0$ 或 $2$ ，所以至少有 $1$ 個實根。

選項 (A) 題目沒寫

a

、

b

為實數，本站判為錯誤；若命題時默認

a

、

b

為實數，(A) 會變成正確，答案為 (A)(D)(E)。選項 (D) 依課本慣例「重根按重數計算」判為正確。

第 4 題

答案 (B)(C)(D)(E)。由根與係數的關係， $α + β = - 3$ ， $α β = 1$ 。

(A) 錯誤。 $α + β = - 3$ ，不是 $3$ 。

(B) 正確。 $α β = 1$ 。

(D) 正確。 $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 9 - 2 = 7$ 。

(E) 正確。 $α$ 是方程式的根，代入得 $α^{2} + 3 α + 1 = 0$ ，所以 $α^{2} + 3 α = - 1$ 。

複數相等要先確定兩邊的字母都是實數，才能比對實部與虛部；兩根的對稱式都可以化成

α + β

與

α β

來算。

03填充第 1～4 題（本頁第 5～8 題）：共軛複數、複數的除法、虛根

第 5 題

3 i - 6 = - 6 + 3 i

，共軛複數把虛部變號：

- 6 - 3 i

。

第 6 題

$a + bi = \frac{- 80}{2 + 6 i}$ ，分子分母同乘分母的共軛 $2 - 6 i$ ：

$a + bi = \frac{- 80 ( 2 - 6 i )}{( 2 + 6 i ) ( 2 - 6 i )} = \frac{- 80 ( 2 - 6 i )}{4 + 36} = - 2 (2 - 6 i) = - 4 + 12 i$

$a$ 、 $b$ 為實數，比對實部與虛部得 $(a, b) = (- 4, 12)$ 。

檢查：

(- 4 + 12 i) (2 + 6 i) = - 8 - 24 i + 24 i + 72 i^{2} = - 8 - 72 = - 80

。

第 7 題

判別式 $2^{2} - 4 \times 3 \times 1 = - 8 < 0$ ，兩根為共軛虛根。由公式解：

$x = \frac{- 2 \pm - 8}{6} = \frac{- 2 \pm 2 2 i}{6} = \frac{- 1 \pm 2 i}{3}$

第 8 題

分子分母同乘 $1 + 2 i$ ：

$z = \frac{( 3 a - i ) ( 1 + 2 i )}{( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i )} = \frac{3 a + 6 ai - i - 2 i ^{2}}{5} = \frac{( 3 a + 2 ) + ( 6 a - 1 ) i}{5}$

虛部 $\frac{6 a - 1}{5} = 0$ ，所以 $a = \frac{1}{6}$ 。

此時

z = \frac{3 \times \frac{1}{6} + 2}{5} = \frac{1}{2}

，確實是實數。

04填充第 5～8 題（本頁第 9～12 題）：判別式、共軛複數、複數相等

第 9 題二次方程式有實根，判別式要大於或等於

0

：

4^{2} - 4 \times 1 \times (3 + k) \geq 0

，即

16 - 12 - 4 k \geq 0

，

4 - 4 k \geq 0

，所以

k \leq 1

。

「有實根」包含兩相等實根，所以等號要取。卷面問的是大寫

K

，指的就是題中的

k

。

第 10 題

\overline{z} = 3 + 4 i

。

z \times \overline{z} = (3 - 4 i) (3 + 4 i) = 9 + 16 = 25

；

z - \overline{z} = (3 - 4 i) - (3 + 4 i) = - 8 i

。所以原式

= 25 - 8 i

。

第 11 題

設 $z_{1} = a - i$ ， $z_{2} = 2 + c i$ （ $a$ 、 $c$ 為實數）。

$z_{1} + z_{2} = (a + 2) + (c - 1) i$ ，虛部 $c - 1 = 3$ ，所以 $c = 4$ ， $z_{2} = 2 + 4 i$ 。

$z_{1} \times z_{2} = (a - i) (2 + 4 i) = 2 a + 4 ai - 2 i - 4 i^{2} = (2 a + 4) + (4 a - 2) i$ ，實部 $2 a + 4 = 8$ ，所以 $a = 2$ ， $z_{1} = 2 - i$ 。

$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{2 - i}{2 + 4 i} = \frac{( 2 - i ) ( 2 - 4 i )}{( 2 + 4 i ) ( 2 - 4 i )} = \frac{4 - 8 i - 2 i + 4 i ^{2}}{20} = \frac{- 10 i}{20} = - \frac{1}{2} i$

所以實部為 $0$ 。

第 12 題

$(a + bi)^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 abi = 3 + 4 i$ ， $a$ 、 $b$ 為實數，比對實部與虛部： $a^{2} - b^{2} = 3$ ， $ab = 2$ 。

由 $ab = 2$ 得 $b = \frac{2}{a}$ ，代入 $a^{2} - \frac{4}{a ^{2}} = 3$ ，同乘 $a^{2}$ ： $a^{4} - 3 a^{2} - 4 = 0$ ， $(a^{2} - 4) (a^{2} + 1) = 0$ 。 $a$ 是實數， $a^{2} = 4$ ， $a = \pm 2$ 。

$a = 2$ 時 $b = 1$ ； $a = - 2$ 時 $b = - 1$ 。所以 $a = 2, b = 1$ 或 $a = - 2, b = - 1$ 。

檢查：

(2 + i)^{2} = 4 + 4 i - 1 = 3 + 4 i

，

(- 2 - i)^{2} = (2 + i)^{2} = 3 + 4 i

，兩組都對。

兩個複數相等，只有在字母都是實數時，才能拆成「實部相等、虛部相等」兩個方程式。

05計算第 1 題（本頁第 13、14 題）：虛根成對與多項式除法

第 13 題

f (x)

的係數都是實數，實係數方程式的虛根成對出現，

3 + i

是根，所以它的共軛複數

3 - i

也是根。另一個複數根為

3 - i

。

第 14 題

$3 + i$ 與 $3 - i$ 都是根，兩根和為 $6$ 、兩根積為 $(3 + i) (3 - i) = 10$ ，所以 $x^{2} - 6 x + 10$ 是 $f (x)$ 的因式。用長除法：

$3 x^{3} - 16 x^{2} + 18 x + 20 = (x^{2} - 6 x + 10) (3 x + 2)$

（展開檢查： $3 x^{3} - 18 x^{2} + 30 x + 2 x^{2} - 12 x + 20 = 3 x^{3} - 16 x^{2} + 18 x + 20$ 。）

令 $3 x + 2 = 0$ ，得另一個實根 $x = - \frac{2}{3}$ 。

也可以用根與係數的關係：三根之積

= - \frac{20}{3}

，

10 \times r = - \frac{20}{3}

，

r = - \frac{2}{3}

。

實係數方程式知道一個虛根，就同時知道它的共軛根，兩者合成一個實係數二次因式。

06計算第 2 題（本頁第 15～17 題）：由虛根求係數與實根

第 15 題

方程式是實係數， $1 + 2 i$ 是根，所以 $1 - 2 i$ 也是根。兩根和 $2$ 、兩根積 $(1 + 2 i) (1 - 2 i) = 5$ ，所以 $x^{2} - 2 x + 5$ 是 $x^{3} - x^{2} + a x + b$ 的因式。設另一個因式為 $x + c$ ：

$(x^{2} - 2 x + 5) (x + c) = x^{3} + (c - 2) x^{2} + (5 - 2 c) x + 5 c$

比較 $x^{2}$ 項係數： $c - 2 = - 1$ ， $c = 1$ 。再比較其餘係數： $a = 5 - 2 c = 3$ ， $b = 5 c = 5$ 。所以 $(a, b) = (3, 5)$ 。

檢查：

(1 + 2 i)^{2} = - 3 + 4 i

，

(1 + 2 i)^{3} = (- 3 + 4 i) (1 + 2 i) = - 11 - 2 i

，代入

- 11 - 2 i - (- 3 + 4 i) + 3 (1 + 2 i) + 5 = 0

，成立。

第 16 題由上一題，

x^{3} - x^{2} + 3 x + 5 = (x^{2} - 2 x + 5) (x + 1)

。

x^{2} - 2 x + 5 = 0

的判別式

4 - 20 < 0

，兩根是虛根

1 \pm 2 i

；實根由

x + 1 = 0

得

x = - 1

。

第 17 題函數

y = f (x)

的圖形與

x

軸的交點，就是方程式

f (x) = 0

的實根。三個根

1 + 2 i

、

1 - 2 i

、

- 1

中只有

- 1

是實數，所以

f (x)

的圖形與

x

軸只有

1

個交點，就是點

(- 1, 0)

。

虛根不會出現在坐標平面的

x

軸上，所以只數實根。

圖形與

x

軸的交點個數＝方程式相異實根的個數。

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第 2 題三個負數的平方根要先各自寫成 i 乘以正數的平方根再相乘，不能先把根號裡的數乘起來。第 3 題選項 A 沒有說 a、b 是實數，不能直接比對實部虛部；兩個非實數的複數也不能比大小。第 11 題要先由實部、虛部的條件把兩個複數都求出來再相除。第 12 題平方等於 3+4i 的複數有兩個，要兩組都寫。第 17 題只有一個實根，所以函數圖形與 x 軸只有一個交點。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自高雄新興高中 113 學年度上學期高三第二次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：複數的運算、共軛複數、負數的平方根、實係數多項式方程式與虛根成對

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數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

一、單選題：（每題 6 分，共 12 分）

試求

i^{24} + i^{25} + i^{26} + \dots + i^{360} =

(A) $i$
(B) $- i$
(C) $1$
(D) $- 1$
(E) $0$

化簡

- 2 \times - 3 \times - 4

後結果為

(A) $26$
(B) $- 26$
(C) $26 i$
(D) $- 26 i$
(E) $2 + 6 i$

二、多重選擇題：（每題 6 分，共 12 分，答錯 1 個選項給 4 分，答錯 2 個選項給 2 分，答錯 3 個以上不給分）

關於複數與方程式的敘述，下列哪些正確？

(A) 若 $a + 2 i = 3 + bi$ ，則 $a = 3$ 且 $b = 2$
(B) $i - 2$ 的共軛複數為 $i + 2$
(C) $6 + 3 i > - 2 + 3 i$
(D) $5$ 次實係數方程式必有 $5$ 個複數根
(E) 實係數三次多項式方程式至少有 $1$ 個實根

設

α

、

β

為方程式

x^{2} + 3 x + 1 = 0

的二根，下列敘述哪些正確？

(A) $α + β = 3$
(B) $α β = 1$
(C) $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = - 3$
(D) $α^{2} + β^{2} = 7$
(E) $α^{2} + 3 α = - 1$

三、填充題：（依配分表給分，共 54 分）

3 i - 6

的共軛複數為 ____。

設

a

、

b

為實數且

(a + bi) (2 + 6 i) = - 80

，試求數對

(a, b) =

____。

解方程式

3 x^{2} + 2 x + 1 = 0

得兩根為 ____。

設

a

為實數，複數

z = \frac{3 a - i}{1 - 2 i}

的虛部為

0

，試求實數

a

之值為 ____。

已知方程式

x^{2} + 4 x + (3 + k) = 0

有實根，則

K

的範圍為 ____。（本站補註：卷面此處印大寫

K

，即題中的

k

）

設

z = 3 - 4 i

，請計算

(z \times \overline{z}) + (z - \overline{z}) =

____。

設複數

z_{1}

的虛部為

- 1

，

z_{2}

的實部為

2

，

z_{1} + z_{2}

的虛部為

3

，

z_{1} \times z_{2}

的實部為

8

，則

\frac{z _{1}}{z _{2}}

的實部

=

____。

設複數

z = a + bi

（

a

，

b

為實數）滿足

(a + bi)^{2} = 3 + 4 i

，試求

a

，

b

的值為 ____。

四、計算題：（依配分，兩題共 22 分）

第 13～14 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 13～14 題）　設

f (x) = 3 x^{3} - 16 x^{2} + 18 x + 20

，且已知

3 + i

為

f (x) = 0

的一根，

(1) 請寫出另一個複數根（3 分）

(2) 請求出另一個實根（7 分）

第 15～17 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 15～17 題）　已知實係數方程式

x^{3} - x^{2} + a x + b = 0

有一根

1 + 2 i

，

(1) 請求出數對

(a, b) =

。（6 分）

(2) 此方程式的實根

=

?（4 分）

(3) 若將題目之方程式表示為一函數

f (x) = x^{3} - x^{2} + a x + b

，由此可知此函數

f (x)

與 X 軸會有幾個交點?（2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(D)

第 3 題(D)(E)（若視

a

、

b

為實數，則為 (A)(D)(E)）

第 4 題(B)(C)(D)(E)

第 5 題

- 6 - 3 i

第 6 題

(- 4, 12)

第 7 題

\frac{- 1 \pm 2 i}{3}

第 8 題

\frac{1}{6}

第 9 題

k \leq 1

第 10 題

25 - 8 i

第 11 題

0

第 12 題

a = 2, b = 1

或

a = - 2, b = - 1

第 13 題

3 - i

第 14 題

- \frac{2}{3}

第 15 題

(3, 5)

第 16 題

- 1

第 17 題

1

個

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：i 的乘冪、負數的平方根

第 1 題答案 (C)。

i^{1} = i

，

i^{2} = - 1

，

i^{3} = - i

，

i^{4} = 1

，四個一循環，而且連續四項的和

i^{k} + i^{k + 1} + i^{k + 2} + i^{k + 3} = i^{k} (1 + i - 1 - i) = 0

。從

i^{24}

到

i^{360}

360 - 24 + 1 = 337

項。把第一項

i^{24}

單獨拿出來，剩下

i^{25}

到

i^{360}

共

336

項，正好是

84

組連續四項，和為

0

。所以原式

= i^{24} = (i^{4})^{6} = 1

。

項數是「末項指數減首項指數再加

1

」，不要漏掉加

1

。

第 2 題答案 (D)。負數的平方根先寫成

i

乘以正數的平方根：

- 2 = 2 i

，

- 3 = 3 i

，

- 4 = 2 i

。相乘得

2 \times 3 \times 2 \times i^{3} = 26 \times (- i) = - 26 i

。

不能先寫成

(- 2) (- 3) (- 4) = - 24 = 26 i

；根號相乘可以合併的規則只對非負的數成立，這樣做正負號會錯，得到選項 (C)。

遇到負數的平方根，第一步一律改寫成

i

的形式再運算。

02多重選擇第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：複數的觀念、根與係數的關係

第 3 題

答案 (D)(E)。

(B) 錯誤。 $i - 2 = - 2 + i$ ，共軛複數是 $- 2 - i$ ，不是 $i + 2$ 。

(D) 正確。 依代數基本定理， $n$ 次複係數方程式在複數範圍內恰有 $n$ 個根（重根按重數計算），所以 $5$ 次實係數方程式必有 $5$ 個複數根。

選項 (A) 題目沒寫

a

、

b

為實數，本站判為錯誤；若命題時默認

a

、

b

為實數，(A) 會變成正確，答案為 (A)(D)(E)。選項 (D) 依課本慣例「重根按重數計算」判為正確。

第 4 題

答案 (B)(C)(D)(E)。由根與係數的關係， $α + β = - 3$ ， $α β = 1$ 。

(A) 錯誤。 $α + β = - 3$ ，不是 $3$ 。

(B) 正確。 $α β = 1$ 。

(D) 正確。 $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 9 - 2 = 7$ 。

(E) 正確。 $α$ 是方程式的根，代入得 $α^{2} + 3 α + 1 = 0$ ，所以 $α^{2} + 3 α = - 1$ 。

複數相等要先確定兩邊的字母都是實數，才能比對實部與虛部；兩根的對稱式都可以化成

α + β

與

α β

來算。

03填充第 1～4 題（本頁第 5～8 題）：共軛複數、複數的除法、虛根

第 5 題

3 i - 6 = - 6 + 3 i

，共軛複數把虛部變號：

- 6 - 3 i

。

第 6 題

$a + bi = \frac{- 80}{2 + 6 i}$ ，分子分母同乘分母的共軛 $2 - 6 i$ ：

$a + bi = \frac{- 80 ( 2 - 6 i )}{( 2 + 6 i ) ( 2 - 6 i )} = \frac{- 80 ( 2 - 6 i )}{4 + 36} = - 2 (2 - 6 i) = - 4 + 12 i$

$a$ 、 $b$ 為實數，比對實部與虛部得 $(a, b) = (- 4, 12)$ 。

檢查：

(- 4 + 12 i) (2 + 6 i) = - 8 - 24 i + 24 i + 72 i^{2} = - 8 - 72 = - 80

。

第 7 題

判別式 $2^{2} - 4 \times 3 \times 1 = - 8 < 0$ ，兩根為共軛虛根。由公式解：

$x = \frac{- 2 \pm - 8}{6} = \frac{- 2 \pm 2 2 i}{6} = \frac{- 1 \pm 2 i}{3}$

第 8 題

分子分母同乘 $1 + 2 i$ ：

$z = \frac{( 3 a - i ) ( 1 + 2 i )}{( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i )} = \frac{3 a + 6 ai - i - 2 i ^{2}}{5} = \frac{( 3 a + 2 ) + ( 6 a - 1 ) i}{5}$

虛部 $\frac{6 a - 1}{5} = 0$ ，所以 $a = \frac{1}{6}$ 。

此時

z = \frac{3 \times \frac{1}{6} + 2}{5} = \frac{1}{2}

，確實是實數。

04填充第 5～8 題（本頁第 9～12 題）：判別式、共軛複數、複數相等

第 9 題二次方程式有實根，判別式要大於或等於

0

：

4^{2} - 4 \times 1 \times (3 + k) \geq 0

，即

16 - 12 - 4 k \geq 0

，

4 - 4 k \geq 0

，所以

k \leq 1

。

「有實根」包含兩相等實根，所以等號要取。卷面問的是大寫

K

，指的就是題中的

k

。

第 10 題

\overline{z} = 3 + 4 i

。

z \times \overline{z} = (3 - 4 i) (3 + 4 i) = 9 + 16 = 25

；

z - \overline{z} = (3 - 4 i) - (3 + 4 i) = - 8 i

。所以原式

= 25 - 8 i

。

第 11 題

設 $z_{1} = a - i$ ， $z_{2} = 2 + c i$ （ $a$ 、 $c$ 為實數）。

$z_{1} + z_{2} = (a + 2) + (c - 1) i$ ，虛部 $c - 1 = 3$ ，所以 $c = 4$ ， $z_{2} = 2 + 4 i$ 。

$z_{1} \times z_{2} = (a - i) (2 + 4 i) = 2 a + 4 ai - 2 i - 4 i^{2} = (2 a + 4) + (4 a - 2) i$ ，實部 $2 a + 4 = 8$ ，所以 $a = 2$ ， $z_{1} = 2 - i$ 。

$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{2 - i}{2 + 4 i} = \frac{( 2 - i ) ( 2 - 4 i )}{( 2 + 4 i ) ( 2 - 4 i )} = \frac{4 - 8 i - 2 i + 4 i ^{2}}{20} = \frac{- 10 i}{20} = - \frac{1}{2} i$

所以實部為 $0$ 。

第 12 題

$(a + bi)^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 abi = 3 + 4 i$ ， $a$ 、 $b$ 為實數，比對實部與虛部： $a^{2} - b^{2} = 3$ ， $ab = 2$ 。

$a = 2$ 時 $b = 1$ ； $a = - 2$ 時 $b = - 1$ 。所以 $a = 2, b = 1$ 或 $a = - 2, b = - 1$ 。

檢查：

(2 + i)^{2} = 4 + 4 i - 1 = 3 + 4 i

，

(- 2 - i)^{2} = (2 + i)^{2} = 3 + 4 i

，兩組都對。

兩個複數相等，只有在字母都是實數時，才能拆成「實部相等、虛部相等」兩個方程式。

05計算第 1 題（本頁第 13、14 題）：虛根成對與多項式除法

第 13 題

f (x)

的係數都是實數，實係數方程式的虛根成對出現，

3 + i

是根，所以它的共軛複數

3 - i

也是根。另一個複數根為

3 - i

。

第 14 題

$3 + i$ 與 $3 - i$ 都是根，兩根和為 $6$ 、兩根積為 $(3 + i) (3 - i) = 10$ ，所以 $x^{2} - 6 x + 10$ 是 $f (x)$ 的因式。用長除法：

$3 x^{3} - 16 x^{2} + 18 x + 20 = (x^{2} - 6 x + 10) (3 x + 2)$

（展開檢查： $3 x^{3} - 18 x^{2} + 30 x + 2 x^{2} - 12 x + 20 = 3 x^{3} - 16 x^{2} + 18 x + 20$ 。）

令 $3 x + 2 = 0$ ，得另一個實根 $x = - \frac{2}{3}$ 。

也可以用根與係數的關係：三根之積

= - \frac{20}{3}

，

10 \times r = - \frac{20}{3}

，

r = - \frac{2}{3}

。

實係數方程式知道一個虛根，就同時知道它的共軛根，兩者合成一個實係數二次因式。

06計算第 2 題（本頁第 15～17 題）：由虛根求係數與實根

第 15 題

$(x^{2} - 2 x + 5) (x + c) = x^{3} + (c - 2) x^{2} + (5 - 2 c) x + 5 c$

比較 $x^{2}$ 項係數： $c - 2 = - 1$ ， $c = 1$ 。再比較其餘係數： $a = 5 - 2 c = 3$ ， $b = 5 c = 5$ 。所以 $(a, b) = (3, 5)$ 。

檢查：

(1 + 2 i)^{2} = - 3 + 4 i

，

(1 + 2 i)^{3} = (- 3 + 4 i) (1 + 2 i) = - 11 - 2 i

，代入

- 11 - 2 i - (- 3 + 4 i) + 3 (1 + 2 i) + 5 = 0

，成立。

第 16 題由上一題，

x^{3} - x^{2} + 3 x + 5 = (x^{2} - 2 x + 5) (x + 1)

。

x^{2} - 2 x + 5 = 0

的判別式

4 - 20 < 0

，兩根是虛根

1 \pm 2 i

；實根由

x + 1 = 0

得

x = - 1

。

第 17 題函數

y = f (x)

的圖形與

x

軸的交點，就是方程式

f (x) = 0

的實根。三個根

1 + 2 i

、

1 - 2 i

、

- 1

中只有

- 1

是實數，所以

f (x)

的圖形與

x

軸只有

1

個交點，就是點

(- 1, 0)

。

虛根不會出現在坐標平面的

x

軸上，所以只數實根。

圖形與

x

軸的交點個數＝方程式相異實根的個數。

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