段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

高雄新興高中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

單一選擇題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、填充題 9 題共 10 格（每格 7 分，共 70 分）、計算題 1 題（共 10 分，請寫出計算過程）；合計 100 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單一選擇題：每題 5 分，共 20 分

r

，

s

為實數且

r < s

，則下列哪一個選項最大？

(A) $\frac{r + s}{2}$
(B) $\frac{3 r + 1 s}{4}$
(C) $\frac{2 r + 3 s}{5}$
(D) $\frac{3 r + 4 s}{7}$

設

a = 31 - 251

，則

a

在哪兩個連續整數之間？

(A) $0$ 與 $1$
(B) $1$ 與 $2$
(C) $2$ 與 $3$
(D) $3$ 與 $4$
(E) $4$ 與 $5$

計算

1 0^{l o g 3} + 1 0^{l o g 4} - 1 0^{l o g 5}

的值為何？

(A) $0$
(B) $2$
(C) $4$
(D) $6$
(E) $8$

將

0. \overline{72}

化成最簡分數，得

0. \overline{72} = \frac{n}{m}

（

m

，

n

為正整數且

m

，

n

互質），則

m + n =

？

(A) $171$
(B) $72$
(C) $57$
(D) $19$
(E) $11$

二、填充題：每格 7 分，共 70 分（本頁第 5～14 題依序為原卷填充第 1、2、3、4、5、6、7(1)、7(2)、8、9 題）

設數線上三點

A

、

P

、

B

，已知

A

、

B

的坐標分別為

- 7

、

5

，且

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 3

，則

P

點的坐標為何 ____。

設

a

，

b

為實數，若

∣3 x - a ∣ \leq b

的解為

- 2 \leq x \leq 4

，則

(a, b) =

____。

解不等式：

1 \leq ∣2 x - 5∣ < 9

____。

若實數

x

滿足

x + \frac{1}{x} = 5

，試求

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

____。

若

19 - 83

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，則

\frac{1}{b - 1} + \frac{1}{3 - b} =

____。

化簡

\frac{( \frac{32}{243} ) ^{0.6} \times ( \frac{8}{27} ) ^{- \frac{2}{3}}}{8 ^{- \frac{4}{3}}} =

____。

填充題 7（第 11～12 題）　設於某項實驗中，細菌數

1

日後增加

a

倍，且已知

3

日後細菌數為

20

，

5

日後細菌數為

1000

，試求：

(1)

7

日後的細菌數為 ____。

(2) 細菌數為

2500000

時需 ____ 日。

已知

a

、

b

為正實數，且

a^{2} + 4 b^{2} = 20

，則

ab

的最大值為

M

，最小值為

m

，試求

(M, m) =

____。

有一農夫想用長

12

公尺長的圍籬在牆邊圍出一個直角三角形的菜圃（如圖），請問這位農夫可以圍出最大的菜圃面積是多少 ____。

載入中...

三、計算題：共 10 分（請寫出計算過程）（本頁第 15 題）

牛頓冷卻定律是描述一個物體在常溫環境下溫度的變化，物體的原始溫度為

θ_{1}

，經過

t

分鐘冷卻後溫度為

θ

，假定溫度變化滿足

θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) (\frac{1}{2})^{k t}

，其中

θ_{0}

表示物體周圍環境的固定溫度，常數

k

是物質的特性所給定的數。某天寒流來襲環境溫度為

10

℃，數學老師利用下課泡了碗麵想在上班時吃，泡完當下測得泡麵溫度

90

℃，同時因為味道太香怕被來問問題的同學發現所以不好意思吃，放著

5

分鐘後測得泡麵溫度剩下

50

℃。請問再經過

10

分鐘之後，去測量泡麵溫度為多少℃？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(D)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題

- \frac{11}{5}

或

- 31

（卷面沒有說 P 在 A、B 之間；P 在線段 AB 上是前者，P 在 A 的左邊是後者）

第 6 題

(3, 9)

第 7 題

- 2 < x \leq 2

或

3 \leq x < 7

第 8 題

110

第 9 題

- 1

第 10 題

\frac{32}{3}

第 11 題

50000

第 12 題

9

第 13 題

M = 5

，

m

不存在（卷面條件是「正實數」，沒有最小值；若為「實數」則是 (5, −5)，見詳解）

第 14 題

18

平方公尺

第 15 題

20

℃

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：比大小、根式的估計、對數的定義、循環小數

第 1 題答案 (C)。用相減比較，已知

s - r > 0

。(C) 減 (A)：

\frac{2 r + 3 s}{5} - \frac{r + s}{2} = \frac{( 4 r + 6 s ) - ( 5 r + 5 s )}{10} = \frac{s - r}{10} > 0

。(C) 減 (D)：

\frac{2 r + 3 s}{5} - \frac{3 r + 4 s}{7} = \frac{( 14 r + 21 s ) - ( 15 r + 20 s )}{35} = \frac{s - r}{35} > 0

。(A) 減 (B)：

\frac{r + s}{2} - \frac{3 r + s}{4} = \frac{( 2 r + 2 s ) - ( 3 r + s )}{4} = \frac{s - r}{4} > 0

。所以 (C) 比 (A)、(D) 都大，(A) 又比 (B) 大，最大的是 (C)。

四個式子都是

r

和

s

的加權平均，

s

所占的比例依序是

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{4}

、

\frac{3}{5}

、

\frac{4}{7}

；

s

比較大，

s

占得越多值就越大，

\frac{3}{5}

最大。原卷這一題只有四個選項。

第 2 題答案 (D)。

1 5^{2} = 225 < 251 < 256 = 1 6^{2}

，所以

15 < 251 < 16

，於是

15 < 31 - 251 < 16

。而

3^{2} = 9 < 15

，

16 = 4^{2}

，所以

9 < 31 - 251 < 16

，開根號得

3 < a < 4

。

第 3 題答案 (B)。

lo g 3

是「

10

的幾次方等於

3

」的那個次方，所以

1 0^{l o g 3} = 3

；同理

1 0^{l o g 4} = 4

，

1 0^{l o g 5} = 5

。原式

= 3 + 4 - 5 = 2

。

第 4 題答案 (D)。令

x = 0. \overline{72}

，則

100 x = 72. \overline{72}

，相減得

99 x = 72

，

x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}

。

8

與

11

互質，所以

n = 8

，

m = 11

，

m + n = 19

。

沒有約分就相加會得到

72 + 99 = 171

，那是選項 (A)。

比較兩個式子的大小，相減後看差的正負是最穩的做法。

02填充 1～3（第 5～7 題）：分點、絕對值不等式

第 5 題設

P

的坐標為

x

，

\overline{A B} = 5 - (- 7) = 12

。題目沒有說

P

在

A

、

B

之間，分兩種位置。第一種，

P

在線段

A B

上：

\overline{P A} = 12 \times \frac{2}{2 + 3} = \frac{24}{5}

，

x = - 7 + \frac{24}{5} = - \frac{11}{5}

。第二種，

P

在線段

A B

外：因為

\overline{P A} < \overline{P B}

，

P

比較靠近

A

，在

A

的左邊；設

\overline{P A} = 2 k

，

\overline{P B} = 3 k

，則

\overline{A B} = 3 k - 2 k = k = 12

，

\overline{P A} = 24

，

x = - 7 - 24 = - 31

。所以

P

的坐標是

- \frac{11}{5}

或

- 31

。

題目把三點寫成「

A

、

P

、

B

」，若把它讀成

P

在

A

、

B

之間，答案只有

- \frac{11}{5}

；卷面沒有明說，所以兩個都列出來。檢查：

x = - 31

時

\overline{P A} = 24

，

\overline{P B} = 36

，比是

2 : 3

。

第 6 題若

b < 0

則不等式無解，所以

b \geq 0

。

∣3 x - a ∣ \leq b

就是

- b \leq 3 x - a \leq b

，即

\frac{a - b}{3} \leq x \leq \frac{a + b}{3}

。和

- 2 \leq x \leq 4

對照：

a - b = - 6

，

a + b = 12

，解得

a = 3

，

b = 9

。

檢查：

∣3 x - 3∣ \leq 9

即

∣ x - 1∣ \leq 3

，解是

- 2 \leq x \leq 4

。

第 7 題

∣2 x - 5∣ \geq 1

而且

∣2 x - 5∣ < 9

，表示

2 x - 5

落在

1 \leq 2 x - 5 < 9

或

- 9 < 2 x - 5 \leq - 1

。前者：

6 \leq 2 x < 14

，

3 \leq x < 7

。後者：

- 4 < 2 x \leq 4

，

- 2 < x \leq 2

。所以解是

- 2 < x \leq 2

或

3 \leq x < 7

。

等號要跟著原式走：

1 \leq

那一邊有等號，所以

x = 2

、

x = 3

算在內；

< 9

那一邊沒有等號，所以

x = - 2

、

x = 7

不算。

絕對值不等式

∣ X ∣ \leq b

先改寫成

- b \leq X \leq b

，再解出

x

的範圍。

03填充 4～6（第 8～10 題）：乘法公式、雙重根號、指數律

第 8 題由

(p + q)^{3} = p^{3} + q^{3} + 3 pq (p + q)

，取

p = x

，

q = \frac{1}{x}

，

pq = 1

：

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 5^{3} - 3 \times 5 = 125 - 15 = 110

。

第 9 題

83 = 248

，所以

19 - 83 = 19 - 248

。和

19

、積

48

的兩數是

16

和

3

，所以它等於

16 - 3 = 4 - 3

。

1 < 3 < 2

，所以

2 < 4 - 3 < 3

，整數部分

a = 2

，小數部分

b = 4 - 3 - 2 = 2 - 3

。代入：

b - 1 = 1 - 3

，

3 - b = 1 + 3

，

\frac{1}{1 - 3} + \frac{1}{1 + 3} = \frac{( 1 + 3 ) + ( 1 - 3 )}{( 1 - 3 ) ( 1 + 3 )} = \frac{2}{1 - 3} = - 1

。

雙重根號

19 - 248

要寫成「大的減小的」

16 - 3

，結果才是正數。

第 10 題

\frac{32}{243} = (\frac{2}{3})^{5}

，

0.6 = \frac{3}{5}

，所以

(\frac{32}{243})^{0.6} = (\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27}

。

\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^{3}

，所以

(\frac{8}{27})^{- \frac{2}{3}} = (\frac{2}{3})^{- 2} = \frac{9}{4}

。分子是

\frac{8}{27} \times \frac{9}{4} = \frac{2}{3}

。分母

8^{- \frac{4}{3}} = (2^{3})^{- \frac{4}{3}} = 2^{- 4} = \frac{1}{16}

。所以原式

= \frac{2}{3} \div \frac{1}{16} = \frac{32}{3}

。

分數指數的計算，先把底數寫成某個數的次方，再用指數律把次方相乘。

04填充 7（第 11、12 題）：每天成長固定倍數的細菌數

第 11 題(1) 細菌數每過

1

日都變成前一日的固定倍數，設這個倍數是

r

（

r > 0

）。從第

3

日到第

5

日過了

2

日：

20 \times r^{2} = 1000

，

r^{2} = 50

。從第

5

日到第

7

日又過了

2

日，細菌數是

1000 \times r^{2} = 1000 \times 50 = 50000

。

不必求出

r

本身，只需要「每

2

日變成

50

倍」。題目的「增加

a

倍」不論讀成「變成

a

倍」或「變成

1 + a

倍」，每日的倍數都是固定的，答案相同。

第 12 題(2)

2500000 = 50000 \times 50

，是第

7

日的

50

倍，也就是再過

2

日，所以需

9

日。

檢查：第

3

、

5

、

7

、

9

日依序是

20

、

1000

、

50000

、

2500000

，每一步都乘以

50

。

05填充 8、9（第 13、14 題）：算幾不等式求極值

第 13 題最大值：

a^{2}

和

4 b^{2}

都是正數，由算幾不等式

\frac{a ^{2} + 4 b ^{2}}{2} \geq a^{2} \times 4 b^{2} = 2 ab

，即

10 \geq 2 ab

，

ab \leq 5

。等號在

a^{2} = 4 b^{2} = 10

，也就是

a = 10

、

b = \frac{10}{2}

時成立，所以

M = 5

。最小值：

a

、

b

都是正數，所以

ab > 0

。另一方面由

a^{2} = 20 - 4 b^{2} < 20

得

a < 20 < 5

，所以

ab < 5 b

；

b

取得越小（例如

b = 0.001

時

ab < 0.005

），

ab

就越接近

0

，但永遠不會等於

0

。所以在「正實數」的條件下

ab

沒有最小值。

如果條件是「

a

、

b

為實數」，由

(a + 2 b)^{2} \geq 0

得

a^{2} + 4 b^{2} + 4 ab \geq 0

，

4 ab \geq - 20

，

ab \geq - 5

，等號在

a = - 2 b

（例如

a = 10

、

b = - \frac{10}{2}

）時成立，這時

(M, m) = (5, - 5)

。卷面印的是「正實數」，本頁答案照卷面的條件寫。

第 14 題照圖，牆當直角三角形的斜邊，兩段圍籬是兩股。設兩股長為

x

、

y

公尺（

x > 0

，

y > 0

），

x + y = 12

，面積是

\frac{1}{2} x y

。由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y

，得

x y \leq 6

，

x y \leq 36

，面積

\frac{1}{2} x y \leq 18

。等號在

x = y = 6

時成立，所以最大面積是

18

平方公尺。

圖中直角不在牆上，所以靠牆的是斜邊，圍籬只圍兩股。兩數的和固定時，兩數相等時乘積最大；這時菜圃是等腰直角三角形。

用算幾不等式求極值，最後要確認等號成立的條件做得到；題目問最小值時，也要先確認最小值真的存在。

06計算題（第 15 題）：牛頓冷卻定律

第 15 題環境溫度

θ_{0} = 10

，原始溫度

θ_{1} = 90

，所以

θ = 10 + 80 (\frac{1}{2})^{k t}

。先求

k

：

t = 5

時

θ = 50

，

50 = 10 + 80 (\frac{1}{2})^{5 k}

，

(\frac{1}{2})^{5 k} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}

，所以

5 k = 1

，

k = \frac{1}{5}

。再經過

10

分鐘，從泡完算起是

t = 5 + 10 = 15

分鐘：

(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5} \times 15} = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

，

θ = 10 + 80 \times \frac{1}{8} = 10 + 10 = 20

。所以這時泡麵的溫度是

20

℃。

「再經過

10

分鐘」是從第

5

分鐘再往後算，

t

要代

15

；若代

t = 10

會得到

30

℃。也可以這樣看：泡麵與環境的溫差每

5

分鐘減半，

80 \to 40 \to 20 \to 10

，

15

分鐘後溫差剩

10

℃。

指數模型的題目，先用已知的一組數據求出常數，再代入要問的時間；時間要從公式規定的起點算起。

同一次段考的其他學校

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高雄新興高中 111 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 1 題（本頁第 5 題）卷面沒有說 P 在 A、B 之間，線段內與線段外兩種位置都要算；填充第 5 題（本頁第 9 題）的雙重根號要寫成大的減小的，再判斷整數部分；填充第 8 題（本頁第 13 題）在正實數的條件下沒有最小值；計算題的再經過 10 分鐘，時間要從泡完算起代 15 分鐘。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自高雄新興高中 111 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高一

段考詳解範圍：數與式（實數與根式、乘法公式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

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數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 15 題，照原卷順序

一、單一選擇題：每題 5 分，共 20 分

r

，

s

為實數且

r < s

，則下列哪一個選項最大？

(A) $\frac{r + s}{2}$
(B) $\frac{3 r + 1 s}{4}$
(C) $\frac{2 r + 3 s}{5}$
(D) $\frac{3 r + 4 s}{7}$

設

a = 31 - 251

，則

a

在哪兩個連續整數之間？

(A) $0$ 與 $1$
(B) $1$ 與 $2$
(C) $2$ 與 $3$
(D) $3$ 與 $4$
(E) $4$ 與 $5$

計算

1 0^{l o g 3} + 1 0^{l o g 4} - 1 0^{l o g 5}

的值為何？

(A) $0$
(B) $2$
(C) $4$
(D) $6$
(E) $8$

將

0. \overline{72}

化成最簡分數，得

0. \overline{72} = \frac{n}{m}

（

m

，

n

為正整數且

m

，

n

互質），則

m + n =

？

(A) $171$
(B) $72$
(C) $57$
(D) $19$
(E) $11$

二、填充題：每格 7 分，共 70 分（本頁第 5～14 題依序為原卷填充第 1、2、3、4、5、6、7(1)、7(2)、8、9 題）

設數線上三點

A

、

P

、

B

，已知

A

、

B

的坐標分別為

- 7

、

5

，且

\overline{P A} : \overline{P B} = 2 : 3

，則

P

點的坐標為何 ____。

設

a

，

b

為實數，若

∣3 x - a ∣ \leq b

的解為

- 2 \leq x \leq 4

，則

(a, b) =

____。

解不等式：

1 \leq ∣2 x - 5∣ < 9

____。

若實數

x

滿足

x + \frac{1}{x} = 5

，試求

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} =

____。

若

19 - 83

的整數部分為

a

，小數部分為

b

，則

\frac{1}{b - 1} + \frac{1}{3 - b} =

____。

化簡

\frac{( \frac{32}{243} ) ^{0.6} \times ( \frac{8}{27} ) ^{- \frac{2}{3}}}{8 ^{- \frac{4}{3}}} =

____。

填充題 7（第 11～12 題）　設於某項實驗中，細菌數

1

日後增加

a

倍，且已知

3

日後細菌數為

20

，

5

日後細菌數為

1000

，試求：

(1)

7

日後的細菌數為 ____。

(2) 細菌數為

2500000

時需 ____ 日。

已知

a

、

b

為正實數，且

a^{2} + 4 b^{2} = 20

，則

ab

的最大值為

M

，最小值為

m

，試求

(M, m) =

____。

有一農夫想用長

12

公尺長的圍籬在牆邊圍出一個直角三角形的菜圃（如圖），請問這位農夫可以圍出最大的菜圃面積是多少 ____。

載入中...

三、計算題：共 10 分（請寫出計算過程）（本頁第 15 題）

牛頓冷卻定律是描述一個物體在常溫環境下溫度的變化，物體的原始溫度為

θ_{1}

，經過

t

分鐘冷卻後溫度為

θ

，假定溫度變化滿足

θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) (\frac{1}{2})^{k t}

，其中

θ_{0}

表示物體周圍環境的固定溫度，常數

k

是物質的特性所給定的數。某天寒流來襲環境溫度為

10

℃，數學老師利用下課泡了碗麵想在上班時吃，泡完當下測得泡麵溫度

90

℃，同時因為味道太香怕被來問問題的同學發現所以不好意思吃，放著

5

分鐘後測得泡麵溫度剩下

50

℃。請問再經過

10

分鐘之後，去測量泡麵溫度為多少℃？

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(D)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題

- \frac{11}{5}

或

- 31

（卷面沒有說 P 在 A、B 之間；P 在線段 AB 上是前者，P 在 A 的左邊是後者）

第 6 題

(3, 9)

第 7 題

- 2 < x \leq 2

或

3 \leq x < 7

第 8 題

110

第 9 題

- 1

第 10 題

\frac{32}{3}

第 11 題

50000

第 12 題

9

第 13 題

M = 5

，

m

不存在（卷面條件是「正實數」，沒有最小值；若為「實數」則是 (5, −5)，見詳解）

第 14 題

18

平方公尺

第 15 題

20

℃

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：比大小、根式的估計、對數的定義、循環小數

第 1 題答案 (C)。用相減比較，已知

s - r > 0

。(C) 減 (A)：

\frac{2 r + 3 s}{5} - \frac{r + s}{2} = \frac{( 4 r + 6 s ) - ( 5 r + 5 s )}{10} = \frac{s - r}{10} > 0

。(C) 減 (D)：

\frac{2 r + 3 s}{5} - \frac{3 r + 4 s}{7} = \frac{( 14 r + 21 s ) - ( 15 r + 20 s )}{35} = \frac{s - r}{35} > 0

。(A) 減 (B)：

\frac{r + s}{2} - \frac{3 r + s}{4} = \frac{( 2 r + 2 s ) - ( 3 r + s )}{4} = \frac{s - r}{4} > 0

。所以 (C) 比 (A)、(D) 都大，(A) 又比 (B) 大，最大的是 (C)。

四個式子都是

r

和

s

的加權平均，

s

所占的比例依序是

\frac{1}{2}

、

\frac{1}{4}

、

\frac{3}{5}

、

\frac{4}{7}

；

s

比較大，

s

占得越多值就越大，

\frac{3}{5}

最大。原卷這一題只有四個選項。

第 2 題答案 (D)。

1 5^{2} = 225 < 251 < 256 = 1 6^{2}

，所以

15 < 251 < 16

，於是

15 < 31 - 251 < 16

。而

3^{2} = 9 < 15

，

16 = 4^{2}

，所以

9 < 31 - 251 < 16

，開根號得

3 < a < 4

。

第 3 題答案 (B)。

lo g 3

是「

10

的幾次方等於

3

」的那個次方，所以

1 0^{l o g 3} = 3

；同理

1 0^{l o g 4} = 4

，

1 0^{l o g 5} = 5

。原式

= 3 + 4 - 5 = 2

。

第 4 題答案 (D)。令

x = 0. \overline{72}

，則

100 x = 72. \overline{72}

，相減得

99 x = 72

，

x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}

。

8

與

11

互質，所以

n = 8

，

m = 11

，

m + n = 19

。

沒有約分就相加會得到

72 + 99 = 171

，那是選項 (A)。

比較兩個式子的大小，相減後看差的正負是最穩的做法。

02填充 1～3（第 5～7 題）：分點、絕對值不等式

第 5 題設

P

的坐標為

x

，

\overline{A B} = 5 - (- 7) = 12

。題目沒有說

P

在

A

、

B

之間，分兩種位置。第一種，

P

在線段

A B

上：

\overline{P A} = 12 \times \frac{2}{2 + 3} = \frac{24}{5}

，

x = - 7 + \frac{24}{5} = - \frac{11}{5}

。第二種，

P

在線段

A B

外：因為

\overline{P A} < \overline{P B}

，

P

比較靠近

A

，在

A

的左邊；設

\overline{P A} = 2 k

，

\overline{P B} = 3 k

，則

\overline{A B} = 3 k - 2 k = k = 12

，

\overline{P A} = 24

，

x = - 7 - 24 = - 31

。所以

P

的坐標是

- \frac{11}{5}

或

- 31

。

題目把三點寫成「

A

、

P

、

B

」，若把它讀成

P

在

A

、

B

之間，答案只有

- \frac{11}{5}

；卷面沒有明說，所以兩個都列出來。檢查：

x = - 31

時

\overline{P A} = 24

，

\overline{P B} = 36

，比是

2 : 3

。

第 6 題若

b < 0

則不等式無解，所以

b \geq 0

。

∣3 x - a ∣ \leq b

就是

- b \leq 3 x - a \leq b

，即

\frac{a - b}{3} \leq x \leq \frac{a + b}{3}

。和

- 2 \leq x \leq 4

對照：

a - b = - 6

，

a + b = 12

，解得

a = 3

，

b = 9

。

檢查：

∣3 x - 3∣ \leq 9

即

∣ x - 1∣ \leq 3

，解是

- 2 \leq x \leq 4

。

第 7 題

∣2 x - 5∣ \geq 1

而且

∣2 x - 5∣ < 9

，表示

2 x - 5

落在

1 \leq 2 x - 5 < 9

或

- 9 < 2 x - 5 \leq - 1

。前者：

6 \leq 2 x < 14

，

3 \leq x < 7

。後者：

- 4 < 2 x \leq 4

，

- 2 < x \leq 2

。所以解是

- 2 < x \leq 2

或

3 \leq x < 7

。

等號要跟著原式走：

1 \leq

那一邊有等號，所以

x = 2

、

x = 3

算在內；

< 9

那一邊沒有等號，所以

x = - 2

、

x = 7

不算。

絕對值不等式

∣ X ∣ \leq b

先改寫成

- b \leq X \leq b

，再解出

x

的範圍。

03填充 4～6（第 8～10 題）：乘法公式、雙重根號、指數律

第 8 題由

(p + q)^{3} = p^{3} + q^{3} + 3 pq (p + q)

，取

p = x

，

q = \frac{1}{x}

，

pq = 1

：

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3 (x + \frac{1}{x}) = 5^{3} - 3 \times 5 = 125 - 15 = 110

。

第 9 題

83 = 248

，所以

19 - 83 = 19 - 248

。和

19

、積

48

的兩數是

16

和

3

，所以它等於

16 - 3 = 4 - 3

。

1 < 3 < 2

，所以

2 < 4 - 3 < 3

，整數部分

a = 2

，小數部分

b = 4 - 3 - 2 = 2 - 3

。代入：

b - 1 = 1 - 3

，

3 - b = 1 + 3

，

\frac{1}{1 - 3} + \frac{1}{1 + 3} = \frac{( 1 + 3 ) + ( 1 - 3 )}{( 1 - 3 ) ( 1 + 3 )} = \frac{2}{1 - 3} = - 1

。

雙重根號

19 - 248

要寫成「大的減小的」

16 - 3

，結果才是正數。

第 10 題

\frac{32}{243} = (\frac{2}{3})^{5}

，

0.6 = \frac{3}{5}

，所以

(\frac{32}{243})^{0.6} = (\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27}

。

\frac{8}{27} = (\frac{2}{3})^{3}

，所以

(\frac{8}{27})^{- \frac{2}{3}} = (\frac{2}{3})^{- 2} = \frac{9}{4}

。分子是

\frac{8}{27} \times \frac{9}{4} = \frac{2}{3}

。分母

8^{- \frac{4}{3}} = (2^{3})^{- \frac{4}{3}} = 2^{- 4} = \frac{1}{16}

。所以原式

= \frac{2}{3} \div \frac{1}{16} = \frac{32}{3}

。

分數指數的計算，先把底數寫成某個數的次方，再用指數律把次方相乘。

04填充 7（第 11、12 題）：每天成長固定倍數的細菌數

第 11 題(1) 細菌數每過

1

日都變成前一日的固定倍數，設這個倍數是

r

（

r > 0

）。從第

3

日到第

5

日過了

2

日：

20 \times r^{2} = 1000

，

r^{2} = 50

。從第

5

日到第

7

日又過了

2

日，細菌數是

1000 \times r^{2} = 1000 \times 50 = 50000

。

不必求出

r

本身，只需要「每

2

日變成

50

倍」。題目的「增加

a

倍」不論讀成「變成

a

倍」或「變成

1 + a

倍」，每日的倍數都是固定的，答案相同。

第 12 題(2)

2500000 = 50000 \times 50

，是第

7

日的

50

倍，也就是再過

2

日，所以需

9

日。

檢查：第

3

、

5

、

7

、

9

日依序是

20

、

1000

、

50000

、

2500000

，每一步都乘以

50

。

05填充 8、9（第 13、14 題）：算幾不等式求極值

第 13 題最大值：

a^{2}

和

4 b^{2}

都是正數，由算幾不等式

\frac{a ^{2} + 4 b ^{2}}{2} \geq a^{2} \times 4 b^{2} = 2 ab

，即

10 \geq 2 ab

，

ab \leq 5

。等號在

a^{2} = 4 b^{2} = 10

，也就是

a = 10

、

b = \frac{10}{2}

時成立，所以

M = 5

。最小值：

a

、

b

都是正數，所以

ab > 0

。另一方面由

a^{2} = 20 - 4 b^{2} < 20

得

a < 20 < 5

，所以

ab < 5 b

；

b

取得越小（例如

b = 0.001

時

ab < 0.005

），

ab

就越接近

0

，但永遠不會等於

0

。所以在「正實數」的條件下

ab

沒有最小值。

如果條件是「

a

、

b

為實數」，由

(a + 2 b)^{2} \geq 0

得

a^{2} + 4 b^{2} + 4 ab \geq 0

，

4 ab \geq - 20

，

ab \geq - 5

，等號在

a = - 2 b

（例如

a = 10

、

b = - \frac{10}{2}

）時成立，這時

(M, m) = (5, - 5)

。卷面印的是「正實數」，本頁答案照卷面的條件寫。

第 14 題照圖，牆當直角三角形的斜邊，兩段圍籬是兩股。設兩股長為

x

、

y

公尺（

x > 0

，

y > 0

），

x + y = 12

，面積是

\frac{1}{2} x y

。由算幾不等式

\frac{x + y}{2} \geq x y

，得

x y \leq 6

，

x y \leq 36

，面積

\frac{1}{2} x y \leq 18

。等號在

x = y = 6

時成立，所以最大面積是

18

平方公尺。

圖中直角不在牆上，所以靠牆的是斜邊，圍籬只圍兩股。兩數的和固定時，兩數相等時乘積最大；這時菜圃是等腰直角三角形。

用算幾不等式求極值，最後要確認等號成立的條件做得到；題目問最小值時，也要先確認最小值真的存在。

06計算題（第 15 題）：牛頓冷卻定律

第 15 題環境溫度

θ_{0} = 10

，原始溫度

θ_{1} = 90

，所以

θ = 10 + 80 (\frac{1}{2})^{k t}

。先求

k

：

t = 5

時

θ = 50

，

50 = 10 + 80 (\frac{1}{2})^{5 k}

，

(\frac{1}{2})^{5 k} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}

，所以

5 k = 1

，

k = \frac{1}{5}

。再經過

10

分鐘，從泡完算起是

t = 5 + 10 = 15

分鐘：

(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5} \times 15} = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

，

θ = 10 + 80 \times \frac{1}{8} = 10 + 10 = 20

。所以這時泡麵的溫度是

20

℃。

「再經過

10

分鐘」是從第

5

分鐘再往後算，

t

要代

15

；若代

t = 10

會得到

30

℃。也可以這樣看：泡麵與環境的溫差每

5

分鐘減半，

80 \to 40 \to 20 \to 10

，

15

分鐘後溫差剩

10

℃。

指數模型的題目，先用已知的一組數據求出常數，再代入要問的時間；時間要從公式規定的起點算起。

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