高雄新興高中 114 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

設 $z=a+bi$，由圖 $a>0$、$b>0$；$w$ 在單位圓與正虛軸的交點上，所以 $w=i$。逐項看：

(A) $z+w=a+(b+1)i$，實部、虛部都是正的，在第一象限，錯誤。

(B) $z-w=a+(b-1)i$，實部是正的，不論虛部正負都不在第二象限，錯誤。

(C) $zw=(a+bi)i=-b+ai$，實部負、虛部正，在第二象限，錯誤。

(D) $\frac{z}{w}=\frac{a+bi}{i}=\frac{(a+bi)(-i)}{1}=b-ai$，實部正、虛部負，在第四象限，正確。

(E) $\frac{1}{z}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$，實部正、虛部負，在第四象限，錯誤。

答案是 (D)。

把 $y$ 配方：$y^2-4y+4=-8x-44+4$，即

$$(y-2{)}^2=-8(x+5)$$

這是開口向左的拋物線，頂點 $V(-5,2)$。由 $4c=-8$ 得 $c=-2$，焦點 $F(-5-2,2)=(-7,2)$，準線 $x=-5+2=-3$，正焦弦長 $|4c|=8$。

(A) 頂點是 $(-5,2)$，錯誤。(B) 開口向左，錯誤。(C) 正焦弦長是 $8$，錯誤。(D) 準線是 $x+3=0$，錯誤。(E) 焦點是 $(-7,2)$，正確。答案是 (E)。

錯誤。卷面方程式等號兩邊都有 $x$，移項得 $-22x=12y^2+29$，即

$$y^2=-\frac{11}{6}x-\frac{29}{12}=-\frac{11}{6}\left(x+\frac{29}{22}\right)$$

正焦弦長是 $\frac{11}{6}$，不是 $12$。

正確。左邊是點 $(x,y)$ 到點 $(4,-5)$ 的距離，右邊是點 $(x,y)$ 到直線 $3x-4y-2=0$ 的距離。點 $(4,-5)$ 到這條直線的距離是

$$\frac{|3\times 4-4\times (-5)-2|}{5}=\frac{30}{5}=6\ne 0$$

點不在直線上，所以圖形是以 $(4,-5)$ 為焦點、這條直線為準線的拋物線。焦點到準線的距離是 $2|c|=6$，$|c|=3$，正焦弦長 $|4c|=12$。

正確。準線是 $y$ 軸，點 $(4,5)$ 到焦點的距離要等於它到 $y$ 軸的距離 $4$，點 $(9,-7)$ 到焦點的距離要等於 $9$。兩點之間的距離是

$$\sqrt{5^2+12^2}=13=4+9$$

焦點到兩點的距離和恰好等於兩點的距離，焦點只能在兩點連成的線段上，而且到 $(4,5)$ 的距離是 $4$，位置唯一確定：

$$F=(4,5)+\frac{4}{13}(5,-12)=\left(\frac{72}{13},\frac{17}{13}\right)$$

焦點不在 $y$ 軸上，所以恰好一條拋物線。

頂點 $(0,2)$、焦點 $(0,5)$，$c=3$，拋物線開口向上：$x^2=12(y-2)$，準線是 $y=-1$。

$Q$ 在 $P$ 的正下方，所以 $\overline{PQ}$ 是鉛直方向。若 $P$ 不高於焦點（$b\le 5$），$\overrightarrow{PF}$ 不朝下，$\angle FPQ\ge 90^{\circ }$；所以 $b>5$。過 $F$ 作水平線交直線 $PQ$ 於 $H(a,5)$，$△PHF$ 在 $H$ 是直角，$\angle HPF=60^{\circ }$，所以

$$\overline{PF}=2\overline{PH}=2(b-5)$$

另一方面，由拋物線的定義，$\overline{PF}$ 等於 $P$ 到準線 $y=-1$ 的距離 $b+1$。所以 $2(b-5)=b+1$，得 $b=11$。

$\overline{OA}$ 的中點是 $\left(1,\frac{1}{2}\right)$，$\overline{OA}$ 的方向是 $(2,1)$，所以垂直平分線是

$$2(x-1)+\left(y-\frac{1}{2}\right)=0$$

即 $2x+y=\frac{5}{2}$。

$y^2=2px$ 寫成 $y^2=4\cdot \frac{p}{2}\cdot x$，焦點是 $\left(\frac{p}{2},0\right)$。代入垂直平分線：$2\cdot \frac{p}{2}=\frac{5}{2}$，得 $p=\frac{5}{2}$，焦點 $\left(\frac{5}{4},0\right)$，準線是 $x=-\frac{5}{4}$（也就是 $4x+5=0$）。

先把每個因式化成 $\cos \theta +i\sin \theta$ 的形式：

$\cos 20^{\circ }-i\sin 20^{\circ }=\cos (-20^{\circ })+i\sin (-20^{\circ })$，五次方由棣美弗定理是 $\cos (-100^{\circ })+i\sin (-100^{\circ })$；

$\sin 40^{\circ }+i\cos 40^{\circ }=\cos 50^{\circ }+i\sin 50^{\circ }$。

乘法輻角相加、除法輻角相減：

$$z=2[\cos (-100^{\circ }+50^{\circ }-10^{\circ })+i\sin (-100^{\circ }+50^{\circ }-10^{\circ })]=2[\cos (-60^{\circ })+i\sin (-60^{\circ })]$$

主輻角要在 $0^{\circ }$ 到 $360^{\circ }$ 之間（含 $0^{\circ }$），$-60^{\circ }+360^{\circ }=300^{\circ }$。

$\frac{i{z}_1}{z_2}$ 的主輻角是 $\frac{\pi }{2}$，表示它是正的純虛數，設 $\frac{i{z}_1}{z_2}=ti$（$t>0$），兩邊除以 $i$ 得 $\frac{z_1}{z_2}=t$，即 $z_1=t{z}_2$。取絕對值：$|z_1|=t|z_2|$，與 $|z_1|=3|z_2|$ 比較得 $t=3$。所以

$$a+3i=3(4-bi)=12-3bi$$

比較實部與虛部：$a=12$，$3=-3b$，$b=-1$。$(a,b)=(12,-1)$。

設 $\theta =\angle AOB$。$\tan \theta =\frac{4}{3}>0$，$\theta$ 是三角形的內角，所以是銳角，$\cos \theta =\frac{3}{5}$，$\sin \theta =\frac{4}{5}$。

$O$、$A$、$B$ 依順時針方向排列，表示從 $\overrightarrow{OA}$ 順時針轉 $\theta$ 到 $\overrightarrow{OB}$；長度變成 $2$ 倍。用複數表示，$A$ 對應 $2+2i$，順時針轉 $\theta$ 是乘以 $\cos \theta -i\sin \theta$：

$$B=2(2+2i)\left(\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i\right)=2\cdot \frac{(6+8)+(6-8)i}{5}=\frac{28}{5}-\frac{4}{5}i$$

所以 $B\left(\frac{28}{5},-\frac{4}{5}\right)$。

最遠的點是從圓心 $C(1,1)$ 往「遠離 $D$」的方向走半徑 $2$。$\overrightarrow{CD}=(6,8)$，單位向量是 $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$，所以

$$z=(1,1)-2\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)=\left(-\frac{1}{5},-\frac{3}{5}\right)$$

即 $z=-\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i$。

$\omega$ 滿足 ${\omega }^7=1$，所以最後一個因式 $1+{\omega }^7=2$。

$\omega ,{\omega }^2,\cdots ,{\omega }^6$ 是 $x^7-1=0$ 除了 $1$ 以外的六個根，也就是 $x^6+x^5+\cdots +x+1=0$ 的六個根，所以

$$x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x-\omega )(x-{\omega }^2)\cdots (x-{\omega }^6)$$

代 $x=-1$：左邊 $=1-1+1-1+1-1+1=1$，右邊 $=(-1{)}^6(1+\omega )(1+{\omega }^2)\cdots (1+{\omega }^6)$。所以前六個因式的乘積是 $1$，全部乘積 $=1\times 2=2$。

先配方：兩邊乘以 $4$，$4x=y^2-6y+29$，即

$$(y-3{)}^2=4x-20=4(x-5)$$

頂點 $(5,3)$。直線 $4x-3y+9=0$ 的方向向量是 $(3,4)$，往右上方的單位向量是 $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$，平移 $10$ 單位就是整個圖形移動 $(6,8)$。新頂點 $(11,11)$，開口與形狀不變：

$$\Gamma :(y-11{)}^2=4(x-11)$$

$y^2=8x$ 的 $4c=8$，$c=2$，焦點 $F(2,0)$，準線 $x=-2$。點 $A(5,4)$ 代入：$4^2=16<8\times 5=40$，$A$ 在拋物線開口的內側。

由定義，$\overline{PF}$ 等於 $P$ 到準線的距離 $\overline{PH}$（$H$ 是 $P$ 在準線上的垂足），所以

$$\overline{PA}+\overline{PF}=\overline{PA}+\overline{PH}\ge 7$$

右邊的 $7$ 是 $A$ 到準線 $x=-2$ 的距離。

等號在 $A$、$P$、$H$ 共線時成立，也就是 $P$ 在過 $A$ 的水平線 $y=4$ 上。代入 $y^2=8x$ 得 $x=2$，所以 $P(2,4)$。

以拱門底部的中點為原點、底部所在的直線為 $x$ 軸、對稱軸為 $y$ 軸建立坐標。拋物線開口向下、對稱軸是 $y$ 軸，設為

$$y=k-a{x}^2(a>0)$$

底部寬 $6$ 公尺，所以點 $(3,0)$ 在拋物線上：$0=k-9a$，即 $k=9a$。

距底部 $\frac{3}{2}$ 公尺高處寬 $5$ 公尺，所以點 $\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)$ 在拋物線上：$\frac{3}{2}=k-\frac{25}{4}a=9a-\frac{25}{4}a=\frac{11}{4}a$，得 $a=\frac{6}{11}$，$k=\frac{54}{11}$。

貨車寬 $2$ 公尺，從正中央通過時，車的兩側在 $x=\pm 1$，那裡的拱高最高可以容許：

$$y=\frac{54}{11}-\frac{6}{11}\times 1^2=\frac{48}{11}$$

貨車偏離中央時兩側中有一側離中央更遠，拱高更低，所以最大高度是 $\frac{48}{11}$ 公尺。

把 $27i$ 化成極式：$27i=27(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })$。設 $z^3=27i$，$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$，由棣美弗定理

$$r^3(\cos 3\theta +i\sin 3\theta )=27(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })$$

得 $r=3$，$3\theta =90^{\circ }+360^{\circ }k$，$\theta =30^{\circ }+120^{\circ }k$，取 $k=0,1,2$：

$k=0$：$z=3(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ })=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i$。

$k=1$：$z=3(\cos 150^{\circ }+i\sin 150^{\circ })=-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i$。

$k=2$：$z=3(\cos 270^{\circ }+i\sin 270^{\circ })=-3i$。