段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

高雄新興高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高雄新興高中 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高雄新興高中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要先從圖形靠近 y 軸的程度認出三條曲線各是哪個底數，再注意 2 的 x 次方與 x 平方在負數那邊還有一個交點；第 4 題最後一個選項要用指數與對數圖形對稱於 y=x 把交點一對一對過去；第 13 題對數不等式常漏掉真數要大於 0 的條件；第 14 題只畫 x 很小的範圍會漏掉最右邊的交點；第 19 題底數小於 1，最小值出現在真數最大的地方。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（每題 6 分，共 24 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個或三個以上的選項得 0 分）、填充題 11 格（每格 5 分，共 55 分）、計算題 2 題（共 21 分：第 1 題第 (1) 小題 3 分、第 (2) 小題 6 分，第 2 題兩小題各 6 分），合計 100 分。本頁全卷連續編號：第 1～4 題為多選第 1～4 題，第 5～15 題為填充第 1～11 題，第 16、17 題為計算第 1 題的 (1)(2)，第 18、19 題為計算第 2 題的 (1)(2)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多重選擇題 (每題 6 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個或三個以上的選項得 0 分)

已知如下圖為

y = f (x) = a^{x} + b

的部分圖形，請問下列哪些選項是正確的？

(A) $a < 1$
(B) $y = f (x)$ 與任一鉛直線 $x = h$ 都恰有一交點
(C) $b = 1$
(D) $a^{x} + b = 2024$ 恰有一個實數解
(E) $y = f (x)$ 與 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 至少有一個交點

載入中...

下列哪些選項正確？

(A) $3^{2 l o g_{3} 4} = 4$
(B) $1 0^{l o g (l o g 2) + l o g (l o g 5)} = 1$
(C) $lo g_{2^{a}} 2^{b} = \frac{b}{a}$
(D) 設 $x$ 為非零實數， $lo g x^{2} = 2 lo g x$
(E) $(lo g_{2} 3)^{3} (lo g_{3} 4)^{3} = 8$

y = 2^{x}

、

y = 5^{x}

、

y = 1 0^{x}

之圖形皆在下圖中，水平線

y = k

，

k > 1

分別交

Γ_{1}

、

Γ_{2}

、

Γ_{3}

於

A

、

B

、

C

三點，請選出正確的選項。

(A) $Γ_{1}$ 為 $y = 2^{x}$ 之圖形
(B) $B$ 點坐標為 $(\frac{lo g k}{lo g 5}, k)$
(C) $1 0^{- 2.4} > 5^{- 2.4} > 2^{- 2.4}$
(D) $Γ_{3}$ 與 $y = x^{2}$ 恰有兩個相異的交點
(E) 若點 $(2 s, t)$ 在 $Γ_{2}$ 上，則點 $(s \cdot lo g 25, t)$ 在 $Γ_{1}$ 上

載入中...

已知

a > 1

，設函數

f (x) = a^{x}

與

g (x) = lo g_{a} x

，請選出正確的選項。

(A) $y = f (x)$ 的圖形與 $y = g (x)$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(B) $y = f (x)$ 的圖形與 $y = g (x)$ 的圖形沒有交點
(C) 若 $x_{1} \neq = x_{2}$ ， $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) < \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}$
(D) 若 $x_{1} \neq = x_{2}$ ， $g (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) < \frac{g ( x _{1} ) + g ( x _{2} )}{2}$
(E) 若直線 $y = 5 x$ 與 $y = f (x)$ 的圖形有兩個交點，則直線 $y = \frac{1}{5} x$ 與 $y = g (x)$ 的圖形也有兩個交點

二、填充題 (每格 5 分)

設

x

，

y

為正實數，已知

lo g x = 3.1

，

lo g y = 2.3

，則

lo g (x^{2} + y^{3})

最接近的整數為 ____。

lo g_{2} (1 - \frac{1}{3}) + lo g_{2} (1 - \frac{1}{4}) + lo g_{2} (1 - \frac{1}{5}) + \dots\dots + lo g_{2} (1 - \frac{1}{512}) =

____。

設正實數

b

滿足

(lo g_{3} 27) (lo g b^{2}) - lo g_{8} 2 + lo g b = 2

，則

b =

____。

不等式

(\frac{1}{5})^{x^{2} - 3 x} \leq (\frac{1}{3 5})^{x + 8}

的解為 ____。

牛奶保鮮時間因儲藏時的溫度不同而不同。若牛奶放在

0^{\circ} C

的冰箱中，保鮮時間是

200

小時，而在

2 4^{\circ} C

的廚房中是

25

小時。假設保鮮時間

y

（小時）與儲藏溫度

x

（

^{\circ} C

）的函數關係是

y = k \cdot a^{x}

（

a

、

k

是正實數）。則儲藏溫度在

1 6^{\circ} C

時的保鮮時間為 ____ 小時。

載入中...

設

a = \frac{3}{2}

，

b = lo g_{3} 5

，

c = lo g_{5} 12

，

d = lo g_{2} 3

，則此四數的大小順序為 ____。(由大至小)

社會學家在研究兩變數

x

與

y

的關係時，將收集到的資料以數對

(x, lo g_{2} y)

方式繪製在方格紙上，發現各資料點皆落在過

(1, 1)

且斜率為

lo g_{2} 6

的直線上。進而推論得到

x

與

y

會滿足

y = k \times a^{x}

，則數對

(k, a) =

____。

由電腦科學的理論知道，若要將

n

筆資料按小到大進行排序，只要作大約

\frac{n lo g n}{0.4343}

次比較即可。已知作一次比較需要

1 0^{- 7}

秒，，則十萬筆資料排序的時間是一萬筆資料排序的時間的 ____ 倍。

不等式

lo g_{2} (3 - x) + lo g_{2} (x + 4) > 1 + lo g_{2} (x + 2)

的解為 ____。

方程式

5 \cdot ∣ lo g_{2} x ∣ = x + 3

有 ____ 個實數解。

指數方程式

1 0^{x + 1} = 6^{x}

的解

x \approx

____。(四捨五入至小數點後第一位)

三、計算題 (共 21 分，請詳列計算過程，否則不予計分)

第 16、17 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 16～17 題）　日常生活裡，常用分貝數的大小來表示聲音的強弱。將測得的聲音強度

I

，代入關係式

d (I) = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

，可得到此聲音強度

I

的分貝數

d (I)

。其中，聲音強度的單位是「瓦特／平方公尺」

(W / m^{2})

，

I_{0} = 1 0^{- 12} (W / m^{2})

。試回答下列問題：

(1) 機車製造廠測試發現，某新車以每小時

50

公里速度行駛時，會產生

72

分貝的噪音，試問此時機車的聲音強度是多少？ (3 分)

(2) 若球場上

1

位啦啦隊隊員大聲加油的喊叫聲為

85

分貝，且

30

位啦啦隊隊員大聲加油的喊叫聲的聲音強度為

1

位啦啦隊隊員大聲加油的喊叫聲的聲音強度的

30

倍，試問

30

位啦啦隊隊員大聲加油的喊叫聲為多少分貝？ (6 分)(四捨五入至小數點後第一位)

第 18、19 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 18～19 題）　設

1 \leq x \leq 4

，

(1) 若

f (x) = - 4^{x + 1} + 3 \cdot 2^{x + 3} - 4

，則

f (x)

的最大值為何？此時，

x =

？ (6 分)

(2) 若

g (x) = lo g_{\frac{1}{2}} (- 4 x^{2} + 24 x - 4)

，則

g (x)

的最小值為何？此時，

x =

？ (6 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 2 題(C)(E)

第 3 題(B)(E)

第 4 題(A)(C)(E)

第 5 題

7

第 6 題

- 8

第 7 題

310

第 8 題

x \leq - \frac{2}{3}

或

x \geq 4

第 9 題

50

第 10 題

c > a > b > d

第 11 題

(\frac{1}{3}, 6)

第 12 題

12.5

第 13 題

- 2 < x < \frac{- 3 + 41}{2}

第 14 題

3

第 15 題

- 4.5

第 16 題

1 0^{- 4.8}

(W / m^{2})

第 17 題

99.8

分貝

第 18 題最大值

32

，此時

x = lo g_{2} 3

第 19 題最小值

- 5

，此時

x = 3

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1、2 題）：由圖形判斷係數、指數與對數的運算

第 1 題

圖形與 $y$ 軸交於 $2$ ，而且往右愈來愈貼近虛線 $y = 1$ 。

$x$ 很大時 $a^{x} + b$ 貼近 $b$ ，所以 $b = 1$ ； $f (0) = a^{0} + b = 1 + b = 2$ ，也得 $b = 1$ 。圖形由左往右下降，所以 $0 < a < 1$ 。

(A) 正確。 $0 < a < 1$ 。

(B) 正確。 $a^{x}$ 對每個實數 $x$ 都有定義，所以任一鉛直線 $x = h$ 都與圖形恰交於一點 $(h, a^{h} + 1)$ 。

(D) 正確。 $a^{x} + 1 = 2024$ 即 $a^{x} = 2023$ 。 $y = a^{x}$ 遞減，而且值域是所有正數，所以恰有一個 $x$ 使 $a^{x} = 2023$ 。

(E) 正確。 令 $q (x) = x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)$ 。 $x = 1$ 時 $f (1) = a + 1 > 1 > 0 = q (1)$ ； $x = 3$ 時 $f (3) = a^{3} + 1 < 2 < 12 = q (3)$ 。在 $1$ 與 $3$ 之間兩圖形高低對調，所以至少有一個交點。

選 (A)(B)(C)(D)(E)。

(E) 只要找到兩個

x

值，一個

f

比較高、一個

q

比較高，兩條連續的曲線中間一定相交。

第 2 題

(A) 錯誤。 $3^{2 l o g_{3} 4} = (3^{l o g_{3} 4})^{2} = 4^{2} = 16$ ，不是 $4$ 。

(B) 錯誤。 $lo g (lo g 2) + lo g (lo g 5) = lo g (lo g 2 \times lo g 5)$ ，所以原式 $= lo g 2 \times lo g 5$ 。 $lo g 2$ 與 $lo g 5$ 都介於 $0$ 與 $1$ 之間，乘積小於 $1$ （約 $0.21$ ），不是 $1$ 。

(C) 正確。 底數 $2^{a}$ 要不等於 $1$ ，所以式子有意義時 $a \neq = 0$ 。令 $lo g_{2^{a}} 2^{b} = t$ ，則 $(2^{a})^{t} = 2^{b}$ ，即 $2^{a t} = 2^{b}$ ， $a t = b$ ， $t = \frac{b}{a}$ 。

(D) 錯誤。 $x$ 是負數時 $lo g x$ 沒有意義。例如 $x = - 10$ ：左邊 $lo g 100 = 2$ ，右邊 $2 lo g (- 10)$ 沒有定義。正確的寫法是 $lo g x^{2} = 2 lo g ∣ x ∣$ 。

(E) 正確。 $lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 4 = \frac{lo g 3}{lo g 2} \times \frac{lo g 4}{lo g 3} = \frac{lo g 4}{lo g 2} = 2$ ，所以原式 $= (lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 4)^{3} = 2^{3} = 8$ 。

選 (C)(E)。

02多選題（第 3、4 題）：不同底數的指數圖形、指數與對數函數的關係

第 3 題

$x > 0$ 時底數愈大，函數值愈大、圖形愈靠近 $y$ 軸。圖上 $x > 0$ 的部分由靠近 $y$ 軸往外依序是 $Γ_{1}$ 、 $Γ_{2}$ 、 $Γ_{3}$ ，所以 $Γ_{1}$ 是 $y = 1 0^{x}$ ， $Γ_{2}$ 是 $y = 5^{x}$ ， $Γ_{3}$ 是 $y = 2^{x}$ 。

(A) 錯誤。 $Γ_{1}$ 是 $y = 1 0^{x}$ 。

(B) 正確。 $B$ 在 $Γ_{2}$ ： $y = 5^{x}$ 上，且 $y = k$ 。 $5^{x} = k$ ，兩邊取常用對數得 $x lo g 5 = lo g k$ ， $x = \frac{lo g k}{lo g 5}$ 。所以 $B (\frac{lo g k}{lo g 5}, k)$ 。

(D) 錯誤。 $Γ_{3}$ 是 $y = 2^{x}$ 。 $x = 2$ 時 $2^{2} = 4 = 2^{2}$ ， $x = 4$ 時 $2^{4} = 16 = 4^{2}$ ，已有兩個交點；另外 $x = - 1$ 時 $2^{- 1} = \frac{1}{2} < 1 = (- 1)^{2}$ ， $x = 0$ 時 $2^{0} = 1 > 0 = 0^{2}$ ，在 $- 1$ 與 $0$ 之間還有一個交點。至少三個，不是恰有兩個。

(E) 正確。 $(2 s, t)$ 在 $y = 5^{x}$ 上： $t = 5^{2 s} = 2 5^{s}$ 。而 $1 0^{s \cdot l o g 25} = (1 0^{l o g 25})^{s} = 2 5^{s} = t$ ，所以 $(s \cdot lo g 25, t)$ 在 $Γ_{1}$ ： $y = 1 0^{x}$ 上。

選 (B)(E)。

(D) 的負數交點約在

x \approx - 0.767

。

y = 2^{x}

與

y = x^{2}

共有三個交點。

第 4 題

(A) 正確。 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 互為反函數：點 $(p, q)$ 在 $y = a^{x}$ 上，等價於 $(q, p)$ 在 $y = lo g_{a} x$ 上，所以兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(B) 錯誤。 舉例 $a = 2$ ： $f (2) = (2)^{2} = 2$ ， $g (2) = lo g_{2} 2 = 2$ ，兩圖形交於 $(2, 2)$ 。

(C) 正確。 $y = a^{x}$ 的圖形凹口向上：取圖形上兩點 $P (x_{1}, f (x_{1}))$ 、 $Q (x_{2}, f (x_{2}))$ ，線段 $P Q$ 的中點是 $(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2})$ ，它在圖形上方。也可以直接算：令 $u = a^{\frac{x _{1}}{2}}$ ， $v = a^{\frac{x _{2}}{2}}$ ， $u \neq = v$ ，則

$\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} - f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) = \frac{u ^{2} + v ^{2}}{2} - uv = \frac{( u - v ) ^{2}}{2} > 0$

(D) 錯誤。 $a > 1$ 時 $y = lo g_{a} x$ 的圖形凹口向下，弦的中點在圖形下方，不等號方向相反。例如取 $x_{1} = 1$ 、 $x_{2} = a^{2}$ ：右邊 $\frac{0 + 2}{2} = 1$ ；左邊 $lo g_{a} \frac{1 + a ^{2}}{2}$ ，而 $\frac{1 + a ^{2}}{2} - a = \frac{( a - 1 ) ^{2}}{2} > 0$ ，所以左邊 $> lo g_{a} a = 1$ ，不等式不成立。

(E) 正確。 設 $y = 5 x$ 與 $y = a^{x}$ 交於 $(p, 5 p)$ 、 $(q, 5 q)$ 兩點。把這兩點對直線 $y = x$ 對稱過去得 $(5 p, p)$ 、 $(5 q, q)$ ：由 (A) 它們在 $y = lo g_{a} x$ 上，又滿足 $y = \frac{1}{5} x$ ，所以是兩個交點。反過來， $y = \frac{1}{5} x$ 與 $y = lo g_{a} x$ 的每個交點對稱回去都是 $y = 5 x$ 與 $y = a^{x}$ 的交點，所以交點個數一樣，恰有兩個。

選 (A)(C)(E)。

直線

y = 5 x

對直線

y = x

對稱後是

x = 5 y

，即

y = \frac{1}{5} x

；指數圖形對稱後是對數圖形，交點跟著一對一對稱。

03填充題（第 5～8 題，原卷填充第 1～4 題）：估算、對數律、指數不等式

第 5 題

$x^{2} = 1 0^{6.2}$ ， $y^{3} = 1 0^{6.9}$ 。

$x^{2} + y^{3} = 1 0^{6.2} + 1 0^{6.9} = 1 0^{6.2} (1 + 1 0^{0.7})$

$lo g 5 \approx 0.699$ ，所以 $1 0^{0.7} \approx 5$ ， $1 + 1 0^{0.7} \approx 6$ 。

$lo g (x^{2} + y^{3}) \approx 6.2 + lo g 6 \approx 6.2 + 0.778 = 6.978$

最接近的整數為 $7$ 。

不可以寫成

lo g x^{2} + lo g y^{3} = 6.2 + 6.9

：那是

lo g (x^{2} y^{3})

，不是和的對數。實際值約

6.979

。

第 6 題

$1 - \frac{1}{n} = \frac{n - 1}{n}$ ，各項相加等於真數相乘：

$lo g_{2} (\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \dots \times \frac{511}{512}) = lo g_{2} \frac{2}{512} = lo g_{2} \frac{1}{256} = - 8$

相鄰兩項的分子分母一一約掉，只剩第一個分子

2

與最後一個分母

512

。

第 7 題

$lo g_{3} 27 = 3$ ， $lo g b^{2} = 2 lo g b$ ， $lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$ （因為 $8^{\frac{1}{3}} = 2$ ）。

代入： $3 \times 2 lo g b - \frac{1}{3} + lo g b = 2$ ， $7 lo g b = \frac{7}{3}$ ， $lo g b = \frac{1}{3}$ 。

所以 $b = 1 0^{\frac{1}{3}} = 310$ 。

第 8 題

都化成以 $5$ 為底： $(\frac{1}{5})^{x^{2} - 3 x} = 5^{- (x^{2} - 3 x)}$ ， $(\frac{1}{3 5})^{x + 8} = 5^{- \frac{x + 8}{3}}$ 。

底數 $5 > 1$ ， $y = 5^{x}$ 遞增，不等號方向不變：

$- (x^{2} - 3 x) \leq - \frac{x + 8}{3}$

兩邊乘 $- 3$ （不等號反向）： $3 x^{2} - 9 x \geq x + 8$ ， $3 x^{2} - 10 x - 8 \geq 0$ ， $(3 x + 2) (x - 4) \geq 0$ 。

解為 $x \leq - \frac{2}{3}$ 或 $x \geq 4$ 。

若保留底數

\frac{1}{5}

來比，底數小於

1

時函數遞減，比指數時不等號要反向，結果相同。

04填充題（第 9～12 題，原卷填充第 5～8 題）：指數模型、比大小、半對數圖、排序時間

第 9 題

$x = 0$ 時 $y = 200$ ： $k \cdot a^{0} = k = 200$ 。

$x = 24$ 時 $y = 25$ ： $200 a^{24} = 25$ ， $a^{24} = \frac{1}{8}$ 。

所求 $y = 200 a^{16}$ ，而 $a^{16} = (a^{24})^{\frac{2}{3}} = (\frac{1}{8})^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{4}$ 。

保鮮時間為 $200 \times \frac{1}{4} = 50$ 小時。

也可以想成每升溫

8^{\circ} C

保鮮時間乘上

a^{8} = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

：

0^{\circ} C

是

200

，

8^{\circ} C

是

100

，

1 6^{\circ} C

是

50

，

2 4^{\circ} C

是

25

。

第 10 題

每個數都和 $\frac{3}{2}$ 比較。

$b = lo g_{3} 5$ 與 $\frac{3}{2} = lo g_{3} 3^{\frac{3}{2}} = lo g_{3} 27$ 比： $5 = 25 < 27$ ，底數 $3 > 1$ ，所以 $b < \frac{3}{2}$ 。又 $5 > 3$ ， $b > 1$ 。

$c = lo g_{5} 12$ 與 $\frac{3}{2} = lo g_{5} 125$ 比： $12 = 144 > 125$ ，所以 $c > \frac{3}{2}$ 。

$d = lo g_{2} 3 = \frac{1}{2} lo g_{2} 3$ ，而 $lo g_{2} 3 < lo g_{2} 4 = 2$ ，所以 $d < 1$ 。

大小順序為 $c > a > b > d$ 。

數值：

c \approx 1.544

，

a = 1.5

，

b \approx 1.465

，

d \approx 0.792

。

第 11 題

直線過 $(1, 1)$ 、斜率 $lo g_{2} 6$ ：

$lo g_{2} y = 1 + (x - 1) lo g_{2} 6$

依對數的定義： $y = 2^{1 + (x - 1) l o g_{2} 6} = 2 \times (2^{l o g_{2} 6})^{x - 1} = 2 \times 6^{x - 1} = \frac{2}{6} \times 6^{x} = \frac{1}{3} \times 6^{x}$ 。

所以 $(k, a) = (\frac{1}{3}, 6)$ 。

檢查：

x = 1

時

y = \frac{1}{3} \times 6 = 2

，

lo g_{2} 2 = 1

，與點

(1, 1)

相符。

第 12 題

排序時間 $= \frac{n lo g n}{0.4343} \times 1 0^{- 7}$ 秒，與 $n lo g n$ 成正比；兩個時間相除時常數約掉。

十萬筆： $n = 1 0^{5}$ ， $n lo g n = 1 0^{5} \times 5$ ；一萬筆： $n = 1 0^{4}$ ， $n lo g n = 1 0^{4} \times 4$ 。

$\frac{1 0 ^{5} \times 5}{1 0 ^{4} \times 4} = \frac{50}{4} = 12.5$

是 $12.5$ 倍。

資料多

10

倍，時間多於

10

倍，因為

lo g n

也從

4

變成

5

。

05填充題（第 13～15 題，原卷填充第 9～11 題）：對數不等式、交點個數、指數方程式

第 13 題

真數都要正： $3 - x > 0$ ， $x + 4 > 0$ ， $x + 2 > 0$ ，得 $- 2 < x < 3$ 。

右邊 $1 + lo g_{2} (x + 2) = lo g_{2} (2 (x + 2))$ ，左邊 $lo g_{2} ((3 - x) (x + 4))$ 。底數 $2 > 1$ ，比真數：

$(3 - x) (x + 4) > 2 (x + 2)$

$- x^{2} - x + 12 > 2 x + 4$ ， $x^{2} + 3 x - 8 < 0$ ，得 $\frac{- 3 - 41}{2} < x < \frac{- 3 + 41}{2}$ 。

與 $- 2 < x < 3$ 取交集： $\frac{- 3 - 41}{2} < - 2$ ， $\frac{- 3 + 41}{2}$ 介於 $1$ 與 $2$ 之間，所以解為 $- 2 < x < \frac{- 3 + 41}{2}$ 。

41 \approx 6.40

，兩根約為

- 4.70

與

1.70

。真數條件要先寫，否則左端會寫成

- 4.70

。

第 14 題

看 $y = 5 ∣ lo g_{2} x ∣$ 與直線 $y = x + 3$ 的交點個數（ $x > 0$ ）。

$0 < x < 1$ 時： $y = - 5 lo g_{2} x$ 遞減，從很大一路降到 $x = 1$ 的 $0$ ；直線 $y = x + 3$ 從 $3$ 升到 $4$ 。一個遞減、一個遞增，高低對調一次，恰有 $1$ 個交點。

$x \geq 1$ 時： $y = 5 lo g_{2} x$ 的圖形凹口向下，與直線最多交兩點。逐點比較：

$x = 1$ ： $0 < 4$ ； $x = 2$ ： $5 = 5$ ，交點； $x = 8$ ： $15 > 11$ ； $x = 32$ ： $25 < 35$ 。

$x = 2$ 兩邊相等且前後高低對調，是一個交點；在 $8$ 與 $32$ 之間又對調一次，再一個交點。所以 $x \geq 1$ 時恰有 $2$ 個交點。

共 $3$ 個實數解。

三個解約為

x \approx 0.61

、

x = 2

、

x \approx 17.7

。只畫

x

很小的範圍會漏掉最右邊的交點。

第 15 題

兩邊取常用對數： $x + 1 = x lo g 6$ ，所以 $x (1 - lo g 6) = - 1$ ，

$x = \frac{- 1}{1 - lo g 6} = \frac{1}{lo g 6 - 1}$

$lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$ ， $x \approx \frac{1}{- 0.2219} \approx - 4.507$ 。

四捨五入至小數點後第一位： $x \approx - 4.5$ 。

1 0^{x + 1} = 6^{x}

也可以看成

10 \times 1 0^{x} = 6^{x}

，

(\frac{6}{10})^{x} = 10

；底數小於

1

，所以

x

是負數。

06計算題（第 16、17 題，原卷計算第 1 題）：分貝與聲音強度

第 16 題

$d (I) = 72$ ：

$10 lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 72, lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 7.2$

$\frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{7.2}$ ，所以 $I = 1 0^{7.2} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 4.8}$ 。

機車的聲音強度是 $1 0^{- 4.8}$ $(W / m^{2})$ 。

1 0^{- 4.8} = 1 0^{0.2} \times 1 0^{- 5} \approx 1.58 \times 1 0^{- 5}

(W / m^{2})

。

第 17 題

設 $1$ 位隊員的聲音強度為 $I_{1}$ ， $10 lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} = 85$ 。

$30$ 位的強度是 $30 I_{1}$ ：

$d (30 I_{1}) = 10 lo g \frac{30 I _{1}}{I _{0}} = 10 (lo g 30 + lo g \frac{I _{1}}{I _{0}}) = 10 lo g 30 + 85$

$lo g 30 = 1 + lo g 3 \approx 1.4771$ ，所以 $d (30 I_{1}) \approx 14.771 + 85 = 99.771$ 。

四捨五入至小數點後第一位： $99.8$ 分貝。

強度變成

30

倍，分貝數不是變成

30

倍，而是加上

10 lo g 30 \approx 14.8

分貝。

07計算題（第 18、19 題，原卷計算第 2 題）：代換後在範圍內求極值

第 18 題

令 $t = 2^{x}$ 。 $1 \leq x \leq 4$ 且 $y = 2^{x}$ 遞增，所以 $2 \leq t \leq 16$ 。

$4^{x + 1} = 4 \times (2^{x})^{2} = 4 t^{2}$ ， $2^{x + 3} = 8 \times 2^{x} = 8 t$ ：

$f (x) = - 4 t^{2} + 24 t - 4 = - 4 (t - 3)^{2} + 32$

$t = 3$ 在 $2 \leq t \leq 16$ 內，所以最大值為 $32$ ，此時 $2^{x} = 3$ ， $x = lo g_{2} 3$ 。

lo g_{2} 3 \approx 1.585

，在

1 \leq x \leq 4

內。代換後一定要換算

t

的範圍再找頂點。

第 19 題

令 $u = - 4 x^{2} + 24 x - 4 = - 4 (x - 3)^{2} + 32$ 。

$1 \leq x \leq 4$ 時： $x = 3$ 時 $u = 32$ 最大； $x = 1$ 時 $u = 16$ ， $x = 4$ 時 $u = 28$ ，所以 $16 \leq u \leq 32$ （真數都是正數）。

底數 $\frac{1}{2} < 1$ ， $lo g_{\frac{1}{2}} u$ 遞減： $u$ 最大時函數值最小。

最小值為 $lo g_{\frac{1}{2}} 32 = - 5$ ，此時 $x = 3$ 。

底數小於

1

時大小要反過來：最小值出現在真數最大的地方。順帶一提，最大值是

lo g_{\frac{1}{2}} 16 = - 4

（在

x = 1

）。

遇到

4^{x}

與

2^{x}

、或對數裡面是二次式，先代換成二次函數，再把範圍換成新變數的範圍；底數小於

1

時，最大與最小要對調。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要先從圖形靠近 y 軸的程度認出三條曲線各是哪個底數，再注意 2 的 x 次方與 x 平方在負數那邊還有一個交點；第 4 題最後一個選項要用指數與對數圖形對稱於 y=x 把交點一對一對過去；第 13 題對數不等式常漏掉真數要大於 0 的條件；第 14 題只畫 x 很小的範圍會漏掉最右邊的交點；第 19 題底數小於 1，最小值出現在真數最大的地方。詳解逐題寫在本頁。

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高雄新興高中 113 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01多選題（第 1、2 題）：由圖形判斷係數、指數與對數的運算

02多選題（第 3、4 題）：不同底數的指數圖形、指數與對數函數的關係

03填充題（第 5～8 題，原卷填充第 1～4 題）：估算、對數律、指數不等式

04填充題（第 9～12 題，原卷填充第 5～8 題）：指數模型、比大小、半對數圖、排序時間

05填充題（第 13～15 題，原卷填充第 9～11 題）：對數不等式、交點個數、指數方程式

06計算題（第 16、17 題，原卷計算第 1 題）：分貝與聲音強度

07計算題（第 18、19 題，原卷計算第 2 題）：代換後在範圍內求極值

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高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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