段考詳解範圍：分布與統計（離散型隨機變數、期望值、變異數與標準差、二項分布、幾何分布、檢定）、複數與多項式方程式

高雄新興高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高雄新興高中 112 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高雄新興高中 112 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題的選項 C 要實際算出兩個機率，會發現恰好相等而不是大於。第 4 題的選項 D 要看實根的正負，實根是負數時就找不到實數。第 13 題的方程式判別式是負的，兩根是虛數，不能直接套用根號相乘的規則。第 20 題的拒絕域要從表的最左邊往右累加機率，加到不超過 0.05 為止。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

0.0

則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

多選題 4 題（每題 6 分，共 24 分，錯一個選項扣 2 分，扣完為止）、填充題 10 題共 12 格（每格 5 分，共 60 分）、計算題 2 題共 5 小題（共 16 分，各小題配分印在題末），合計 100 分。本頁全卷連續編號：第 5 題是原卷填充第 1 題，第 6、7 題是填充第 2 題的 (1)(2)，第 8～10 題是填充第 3～5 題，第 11、12 題是填充第 6 題的 (1)(2)，第 13～16 題是填充第 7～10 題；第 17～19 題是原卷計算第 1 題的 (1)(2)(3)，第 20、21 題是計算第 2 題的 (1)(2)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題：每題 6 分，共 24 分（錯一個選項扣 2 分，扣完為止）

已知

i = - 1

，試判斷下列敘述何者正確？

(A) $2 + 3 i > 1 + 5 i$
(B) $\frac{- 3}{2} = \frac{- 3}{2}$
(C) $- 4 \times - 9 = 6$
(D) 已知 $a$ ， $b$ 為複數，若 $a^{2} + b^{2} = 0$ ，則 $a = 0$ ， $b = 0$
(E) $i^{10} + i^{11} + i^{12} + \dots + i^{85} = 0$

若

X

為離散型隨機變數，

X

的機率分布表如下：

x_{k} P (X = x_{k}) - 2 0.4 - 1 0.1 0 0.1 1 0.3 2 0.1

則下列敘述哪些是正確的？

(A) $P (X > 1) = 0.1$
(B) $P (∣ X ∣ = 1) = 0.3$
(C) $E (X) = 0.4$
(D) $E (X^{2}) = 0.16$
(E) $σ (X) = 2.24$

一袋中有

3

個紅球、

2

個白球及

3

個黑球，今從袋中每次隨機取出

2

個球，取後放回，共取

7

次。令隨機變數

X

表示抽到兩球為同色球的次數，試問下列何者為真？

(A) 隨機變數 $X$ 可能取值為 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$
(B) $P (X = 2) = C_{2}^{7} (\frac{1}{4})^{2}$
(C) $P (X = 2) > P (X = 1)$
(D) $X$ 的期望值為 $\frac{7}{4}$ 次
(E) $X$ 的標準差為 $\frac{21}{4}$ 次。

設

f (x)

為三次實係數多項式，且知

i

為

f (x) = 0

的一根，試問下列哪些選項是正確的？

(A) 函數 $f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸有 $3$ 個交點
(B) $f (i^{3}) = 0$
(C) 有實數滿足 $f (x) - x = 0$
(D) 有實數滿足 $f (x^{2}) = 0$
(E) 若 $f (2) > 0$ 且 $f (4) < 0$ ，則 $f (3) = 0$

二、填充題：每格 5 分，12 格，共 60 分（本頁第 5～16 題為原卷填充第 1～10 題的 12 格）

設

X

為一隨機變數，若

E (X) = 2

，

E (X^{2}) = 9

，試求

E (- 2 X) + Var (- 2 x + 3) =

____（卷面

Var

內印作小寫

x

，依題意為隨機變數

X

）

第 6～7 題為題組（原卷填充第 2 題）（第 6～7 題）　設隨機變數

X

的機率分布表如下，且令

Y = 3 X + 2

，則：

x p (x) - 1 2 a^{2} 0 a 1 3 a^{2} 2 a^{2}

(1)

E (Y) =

____

(2)

Var (X) =

____

袋中有

4

個紅球，

5

個白球，設每球被取出的機會均相等，自袋中任取

3

球，令隨機變數

X

表示取到紅球的個數，則

E (X) =

____ 個。

已知

b

是實數，若複數

\frac{1 + bi}{3 + 2 i}

的實部與虛部相等，則

b =

____

袋中有大小相同的紅球

4

顆及黑球

x

顆，每次從袋中任取一球，觀察顏色後再放回袋中，共取球

n

次，設每顆球被取到的機率均等且每一次取球都為獨立事件。已知取得紅球的次數之期望值為

20

次，標準差為

4

次，則數對

(x, n) =

____

第 11～12 題為題組（原卷填充第 6 題）（第 11～12 題）　甲、乙兩人一起玩剪刀石頭布猜拳遊戲，兩人一起出拳，若每人每次出拳為剪刀、石頭、布的機率相等，每次猜拳結果互不影響，求

(1) 若兩人猜拳直到一人勝出就結束遊戲，求在第四次猜拳後結束遊戲的機率為 ____

(2) 若兩人一起猜拳

15

次，設隨機變數

X

表恰有一人勝出的次數，試求

X

的變異數為 ____

設

α

、

β

為方程式

x^{2} + 3 x + 16 = 0

的兩根，試求

(α + β)^{2} =

____

擲兩顆公正骰子，直到兩顆骰子點數和為

7

才停止，設投擲次數的期望值為

x

次，標準差為

y

次，求

(x, y) =

____

從

6

張分別寫有

1

，

2

，

2

，

3

，

3

，

3

的紙牌中隨機取兩張，每張紙牌被取到的機會均等，依據所取的兩張紙牌數字和

k

給予獎金

10 k

，設隨機變數

X

表示得到的總獎金，求

P (X \leq 40) =

____

已知實係數多項式

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

滿足

f (0) < 0

，

f (2) > 0

，

f (7) < 0

，

f (12) > 0

。又方程式

f (x) = 0

的三根均為整數，求

a + b + c =

____

三、計算題：16 分（視過程部分給分，只有答案沒寫算式不予給分）（本頁第 17～21 題為原卷計算第 1、2 題的各小題）

第 17～19 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 17～19 題）　已知

3 + i

為實係數方程式

f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + a x^{2} + 26 x + b = 0

的一個根，求

(1)

a

與

b

的值（5 分）

(2)

f (x) = 0

所有的根。（4 分）

(3) 函數

f (x)

的圖形與

x

軸有幾個交點？（2 分）

第 20～21 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 20～21 題）　小愷宣稱他在三分線投籃的命中率至少

70%

，為了驗證小愷所說是否屬實，小白到籃球場看小愷表演，在三分線投

10

球，設定檢定標準

α = 0.05

。

X \sim B (10, 0.7) 的機率分布表

X = k P (X = k) 0 0.0000 1 0.0001 2 0.0014 3 0.0090 4 0.0368 5 0.1029

X = k P (X = k) 6 0.2001 7 0.2668 8 0.2335 9 0.1211 10 0.0282

假設隨機變數

X

的取值為小愷在三分線投籃

10

次進球的總次數，求

(1) 顯著水準為

0.05

的拒絕域？（3 分）

(2) 若小愷擲出

6

個正面，是否拒絕小愷宣稱他在三分線投籃的命中率至少

70%

的說法？（2 分）（卷面印作「擲出

6

個正面」，依題意為投進

6

球）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(E)

第 2 題(A)(E)

第 3 題(D)(E)

第 4 題(B)(C)

第 5 題

16

第 6 題

3

第 7 題

\frac{8}{9}

第 8 題

\frac{4}{3}

第 9 題

5

第 10 題

(16, 100)

第 11 題

\frac{2}{81}

第 12 題

\frac{10}{3}

第 13 題

5

（平方根取主值；若把兩根當成負數套公式會得 −11，見詳解）

第 14 題

(6, 30)

第 15 題

\frac{2}{5}

第 16 題

- 1

第 17 題

a = - 3

，

b = - 10

第 18 題

3 + i

，

3 - i

，

- 1 + 2

，

- 1 - 2

第 19 題

2

個

第 20 題

X \leq 4

（進球數為

0, 1, 2, 3, 4

）

第 21 題不拒絕

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～4：複數、機率分布、二項分布、實係數三次方程式

第 1 題答案 (B)(E)。(A) 錯：虛數不能比較大小，

2 + 3 i

與

1 + 5 i

都不是實數，不等式沒有意義。(B) 對：左邊

\frac{- 3}{2} = \frac{3 i}{2} = \frac{3}{2} i

；右邊

\frac{- 3}{2} = \frac{3}{2} i

，兩邊相等。(C) 錯：

- 4 \times - 9 = 2 i \times 3 i = 6 i^{2} = - 6

。(D) 錯：取

a = 1

，

b = i

，則

a^{2} + b^{2} = 1 + (- 1) = 0

，但

a

、

b

都不是

0

。(E) 對：從

i^{10}

到

i^{85}

共

85 - 10 + 1 = 76

項，連續四項的和

i^{k} + i^{k + 1} + i^{k + 2} + i^{k + 3} = i^{k} (1 + i - 1 - i) = 0

，

76 = 4 \times 19

，剛好分成

19

組，總和為

0

。

a < 0

、

b < 0

時

a \times b = - ab

；負數的平方根一律先寫成

∣ a ∣ i

再運算。「平方和為

0

則兩數都是

0

」只對實數成立。

第 2 題答案 (A)(E)。(A) 對：

X > 1

只有

X = 2

，機率

0.1

。(B) 錯：

∣ X ∣ = 1

即

X = - 1

或

X = 1

，機率

0.1 + 0.3 = 0.4

。(C) 錯：

E (X) = (- 2) (0.4) + (- 1) (0.1) + 0 (0.1) + 1 (0.3) + 2 (0.1) = - 0.8 - 0.1 + 0.3 + 0.2 = - 0.4

，差一個負號。(D) 錯：

E (X^{2}) = 4 (0.4) + 1 (0.1) + 0 + 1 (0.3) + 4 (0.1) = 1.6 + 0.1 + 0.3 + 0.4 = 2.4

；

0.16

是

(E (X))^{2}

。(E) 對：

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 2.4 - 0.16 = 2.24

，

σ (X) = 2.24

。

第 3 題答案 (D)(E)。袋中共

8

個球，任取

2

個有

C_{2}^{8} = 28

種，兩球同色有

C_{2}^{3} + C_{2}^{2} + C_{2}^{3} = 3 + 1 + 3 = 7

種，所以每次取到同色的機率

p = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}

。取後放回共

7

次，

X

服從

n = 7

、

p = \frac{1}{4}

的二項分布。(A) 錯：也可能

7

次都不同色，

X

的取值是

0, 1, 2, \dots, 7

，少了

0

。(B) 錯：

P (X = 2) = C_{2}^{7} (\frac{1}{4})^{2} (\frac{3}{4})^{5}

，少了另外

5

次不同色的機率。(C) 錯：

P (X = 2) = \frac{21 \times 3 ^{5}}{4 ^{7}} = \frac{5103}{4 ^{7}}

，

P (X = 1) = \frac{7 \times 3 ^{6}}{4 ^{7}} = \frac{5103}{4 ^{7}}

，兩者相等，不是大於。(D) 對：

E (X) = n p = 7 \times \frac{1}{4} = \frac{7}{4}

。(E) 對：

Var (X) = n p (1 - p) = 7 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{21}{16}

，標準差

= \frac{21}{4}

。

第 4 題答案 (B)(C)。

f (x)

是實係數多項式，

i

是根，所以

- i

也是根；三次方程式共三個根，第三個根

r

必為實數。可設

f (x) = k (x^{2} + 1) (x - r)

，

k \neq = 0

。(A) 錯：實根只有

r

一個，圖形與

x

軸只有

1

個交點。(B) 對：

i^{3} = - i

，而

- i

是根，所以

f (i^{3}) = 0

。(C) 對：

f (x) - x

仍是三次實係數多項式，虛根成對出現，三個根不可能全是虛根，所以至少有一個實根。(D) 錯：

f (x^{2}) = 0

表示

x^{2} = i

、

x^{2} = - i

或

x^{2} = r

，實數

x

只可能滿足

x^{2} = r

；當

r < 0

時（例如

f (x) = (x^{2} + 1) (x + 1)

）就沒有實數滿足，所以不一定成立。(E) 錯：由勘根定理只能知道

2

與

4

之間有實根，也就是

2 < r < 4

，不一定是

3

；例如

f (x) = - (x^{2} + 1) (x - 2.5)

滿足

f (2) > 0

、

f (4) < 0

，但

f (3) \neq = 0

。

實係數方程式的虛根一定成對，所以奇數次的實係數方程式至少有一個實根。

02填充 5～8（原卷填充 1～3）：期望值與變異數

第 5 題

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 9 - 4 = 5

。

E (- 2 X) = - 2 E (X) = - 4

；

Var (- 2 X + 3) = (- 2)^{2} Var (X) = 4 \times 5 = 20

。所求

= - 4 + 20 = 16

。

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

：加上常數不影響變異數，乘上

a

要乘

a^{2}

。

第 6 題機率總和為

1

：

2 a^{2} + a + 3 a^{2} + a^{2} = 1

，即

6 a^{2} + a - 1 = 0

，

(3 a - 1) (2 a + 1) = 0

，

a = \frac{1}{3}

或

a = - \frac{1}{2}

；

a

本身是

X = 0

的機率，不能是負的，所以

a = \frac{1}{3}

。

X

取

- 1, 0, 1, 2

的機率依序為

\frac{2}{9}, \frac{3}{9}, \frac{3}{9}, \frac{1}{9}

。

E (X) = \frac{- 2 + 0 + 3 + 2}{9} = \frac{1}{3}

，所以

E (Y) = 3 E (X) + 2 = 1 + 2 = 3

。

第 7 題承上，

E (X^{2}) = 1 \times \frac{2}{9} + 0 \times \frac{3}{9} + 1 \times \frac{3}{9} + 4 \times \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1

。

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

。

第 8 題從

9

球任取

3

球共

C_{3}^{9} = 84

種。

P (X = 0) = \frac{C _{3}^{5}}{84} = \frac{10}{84}

，

P (X = 1) = \frac{C _{1}^{4} C _{2}^{5}}{84} = \frac{40}{84}

，

P (X = 2) = \frac{C _{2}^{4} C _{1}^{5}}{84} = \frac{30}{84}

，

P (X = 3) = \frac{C _{3}^{4}}{84} = \frac{4}{84}

。

E (X) = \frac{0 \times 10 + 1 \times 40 + 2 \times 30 + 3 \times 4}{84} = \frac{112}{84} = \frac{4}{3}

（個）。

檢查：四個機率的分子

10 + 40 + 30 + 4 = 84

，總和為

1

。

03填充 9～12（原卷填充 4～6）：複數相除、二項分布與幾何分布

第 9 題分子分母同乘

3 - 2 i

：

\frac{1 + bi}{3 + 2 i} = \frac{( 1 + bi ) ( 3 - 2 i )}{13} = \frac{( 3 + 2 b ) + ( 3 b - 2 ) i}{13}

。實部與虛部相等：

3 + 2 b = 3 b - 2

，得

b = 5

。

驗算：

b = 5

時

\frac{1 + 5 i}{3 + 2 i} = \frac{13 + 13 i}{13} = 1 + i

，實部與虛部都是

1

。

第 10 題每次取到紅球的機率

p = \frac{4}{4 + x}

，取到紅球的次數服從二項分布。期望值

n p = 20

，變異數

n p (1 - p) = 4^{2} = 16

。兩式相除得

1 - p = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}

，

p = \frac{1}{5}

，所以

n = \frac{20}{p} = 100

。再由

\frac{4}{4 + x} = \frac{1}{5}

得

4 + x = 20

，

x = 16

。所以

(x, n) = (16, 100)

。

第 11 題兩人各出一拳共

3 \times 3 = 9

種情形，平手（出一樣的拳）有

3

種，分出勝負有

6

種，所以每次有一人勝出的機率是

\frac{6}{9} = \frac{2}{3}

，平手的機率是

\frac{1}{3}

。在第四次猜拳後結束，表示前三次都平手、第四次分出勝負：

(\frac{1}{3})^{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{81}

。

第 12 題每次恰有一人勝出的機率

p = \frac{2}{3}

，猜拳

15

次，

X

服從

n = 15

、

p = \frac{2}{3}

的二項分布。

Var (X) = n p (1 - p) = 15 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{10}{3}

。

二項分布的期望值與變異數相除就得到 1 − p，可以先求出 p 再求 n。

04填充 13～16（原卷填充 7～10）：虛根、幾何分布、累積機率、勘根

第 13 題由根與係數關係，

α + β = - 3

，

α β = 16

。判別式

3^{2} - 4 \times 16 = - 55 < 0

，所以兩根是共軛虛根

\frac{- 3 \pm 55 i}{2}

，不是負實數。設

α = \frac{- 3 + 55 i}{2}

，找平方等於

α

的複數

p + q i

（

p, q

為實數）：

p^{2} - q^{2} = - \frac{3}{2}

，

2 pq = \frac{55}{2}

，又

p^{2} + q^{2} = ∣ α ∣ = α β = 4

，解得

p^{2} = \frac{5}{4}

，

q^{2} = \frac{11}{4}

，且

p, q

同號，所以平方等於

α

的數是

\pm \frac{5 + 11 i}{2}

；同理平方等於

β

的數是

\pm \frac{5 - 11 i}{2}

。兩個平方根都取實部為正的那一個（一般所說的主值）時，

α + β = 5

，所求

= 5

。

用根與係數寫成

(α + β)^{2} = α + β + 2 α β = - 3 + 2 α β

，其中

α β

的平方是

α β = 16

，所以它是

4

或

- 4

：取主值時是

4

，答案

5

；若兩個平方根一個取正實部、一個取負實部，則是

- 4

，答案

- 11

。課本只定義負實數的平方根（

- a = a i

），沒有定義虛數的平方根，卷面這樣寫並不嚴謹；若把兩根誤當成負實數而套用

α β = - α β

，也會得到

- 3 - 216 = - 11

。這一題很像常見的「兩根都是負數」題型把常數項換成

16

，學校當時的答案若是

- 11

，就是這個原因。本卷沒有學校公布的答案，本頁以主值的

5

作答。

第 14 題擲兩顆骰子共

36

種結果，點數和為

7

有

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

共

6

種，所以每次成功的機率

p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

。投擲次數服從幾何分布：期望值

x = \frac{1}{p} = 6

；變異數

= \frac{1 - p}{p ^{2}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{36}} = 30

，標準差

y = 30

。所以

(x, y) = (6, 30)

。

第 15 題

X = 10 k \leq 40

即數字和

k \leq 4

。從

6

張取

2

張共

C_{2}^{6} = 15

種。和為

3

：一張

1

、一張

2

，有

1 \times 2 = 2

種；和為

4

：一張

1

、一張

3

有

1 \times 3 = 3

種，或兩張

2

有

C_{2}^{2} = 1

種。（和最小就是

3

。）所以

P (X \leq 40) = \frac{2 + 3 + 1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}

。

也可以用餘事件：和為

5

（一張

2

、一張

3

）有

2 \times 3 = 6

種，和為

6

（兩張

3

）有

C_{2}^{3} = 3

種，

1 - \frac{9}{15} = \frac{2}{5}

。

第 16 題

f (0) < 0

且

f (2) > 0

，由勘根定理，

0

與

2

之間有實根；同理

2

與

7

之間、

7

與

12

之間各有實根。三次方程式只有三個根，所以三個根各落在這三個區間內。三根都是整數：

0 < 1 < 2 \approx 1.41

，

2 < 2 < 7 \approx 2.65

，

7 < 3 < 12 \approx 3.46

，每個區間內恰好只有一個整數，所以三根是

1, 2, 3

。

f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6

，

a + b + c = - 6 + 11 - 6 = - 1

。

因為

1

是根，

f (1) = 1 + a + b + c = 0

，可以直接得到

a + b + c = - 1

，不必展開。

05計算 17～19（原卷計算 1）：虛根成對與四次方程式

第 17 題

f (x)

是實係數多項式，

3 + i

是根，所以

3 - i

也是根。這兩根的和為

6

、積為

(3 + i) (3 - i) = 10

，所以

f (x)

有因式

x^{2} - 6 x + 10

。設

f (x) = (x^{2} - 6 x + 10) (x^{2} + p x + q)

，展開得

x^{4} + (p - 6) x^{3} + (q - 6 p + 10) x^{2} + (10 p - 6 q) x + 10 q

。比較係數：

x^{3}

項

p - 6 = - 4

，得

p = 2

；

x

項

10 p - 6 q = 26

，即

20 - 6 q = 26

，得

q = - 1

；

x^{2}

項

a = q - 6 p + 10 = - 1 - 12 + 10 = - 3

；常數項

b = 10 q = - 10

。所以

a = - 3

，

b = - 10

。

驗算：

(x^{2} - 6 x + 10) (x^{2} + 2 x - 1) = x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 26 x - 10

，與題目的

x^{3}

、

x

係數相符。

第 18 題承上，

f (x) = (x^{2} - 6 x + 10) (x^{2} + 2 x - 1)

。

x^{2} - 6 x + 10 = 0

的根是

3 \pm i

；

x^{2} + 2 x - 1 = 0

的根是

x = \frac{- 2 \pm 4 + 4}{2} = - 1 \pm 2

。所以

f (x) = 0

的四個根是

3 + i

、

3 - i

、

- 1 + 2

、

- 1 - 2

。

第 19 題圖形與

x

軸的交點對應

f (x) = 0

的實根。四個根中只有

- 1 + 2

與

- 1 - 2

是實數，而且兩個不相等，所以圖形與

x

軸有

2

個交點。

實係數方程式有一個虛根，就先用它和共軛根的和與積寫出二次因式，再比較係數。

06計算 20～21（原卷計算 2）：以二項分布檢定命中率

第 20 題要檢驗的說法是「命中率至少

70%

」。先假設命中率是

0.7

，此時

10

球的進球數

X

服從

B (10, 0.7)

。進球數太少才會讓人懷疑這個說法，進球多並不會推翻「至少

70%

」，所以拒絕域只取在進球數少的那一端，形如

X \leq c

，整個

0.05

都放在這一端，不是兩端各取

0.025

，而且在假設成立時落入拒絕域的機率不能超過

α = 0.05

。由表從左邊累加：

P (X \leq 3) = 0.0000 + 0.0001 + 0.0014 + 0.0090 = 0.0105

；

P (X \leq 4) = 0.0105 + 0.0368 = 0.0473 \leq 0.05

；

P (X \leq 5) = 0.0473 + 0.1029 = 0.1502 > 0.05

。所以拒絕域是

X \leq 4

，也就是進球數為

0, 1, 2, 3, 4

。

第 21 題卷面印「擲出

6

個正面」，依題意是

10

球中投進

6

球，即

X = 6

。

6

不在拒絕域

X \leq 4

內，所以不拒絕小愷「命中率至少

70%

」的說法。

不拒絕並不表示證明了命中率至少

70%

，只是這次的結果還不足以推翻它：命中率真的是

0.7

時，進

6

球以下的機率有

0.1502 + 0.2001 = 0.3503

，並不罕見。

拒絕域從最不利於原說法的那一端開始累加機率，加到不超過顯著水準為止。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題的選項 C 要實際算出兩個機率，會發現恰好相等而不是大於。第 4 題的選項 D 要看實根的正負，實根是負數時就找不到實數。第 13 題的方程式判別式是負的，兩根是虛數，不能直接套用根號相乘的規則。第 20 題的拒絕域要從表的最左邊往右累加機率，加到不超過 0.05 為止。

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題目取自高雄新興高中 112 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 112 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多選 1～4：複數、機率分布、二項分布、實係數三次方程式

02填充 5～8（原卷填充 1～3）：期望值與變異數

03填充 9～12（原卷填充 4～6）：複數相除、二項分布與幾何分布

04填充 13～16（原卷填充 7～10）：虛根、幾何分布、累積機率、勘根

05計算 17～19（原卷計算 1）：虛根成對與四次方程式

06計算 20～21（原卷計算 2）：以二項分布檢定命中率

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高雄新興高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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