高雄新興高中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

${\log }_{a}b$ 有意義的條件：底數 $a>0$ 且 $a\ne 1$，真數 $b>0$。

(A) 有意義。 底數 $0.5$、真數 $1$ 都合條件，${\log }_{0.5}1=0$。

(B) 有意義。 底數 $2$，真數 $\sqrt[3]{5}>0$，值是 $\frac{1}{3}{\log }_{2}5$。

(C) 無意義。 底數 $-2$ 是負數（真數 $-8$ 也是負數）。雖然 $(-2{)}^3=-8$，但對數的底數必須是正數。

(D) 無意義。 底數是 $1$，$1$ 的任何次方都是 $1$，不可能等於 $7$。

(E) 有意義。 底數 $2^{-3}=\frac{1}{8}$，真數 $(-3{)}^2=9>0$，值是 ${\log }_{\frac{1}{8}}9=-\frac{2}{3}{\log }_{2}3$。

選 (C)(D)。

(A) 無實數解。 $x\le 0$ 時 $3^x>0\ge x$。$x>0$ 時，取正整數 $n$ 使 $n-1<x\le n$，則 $3^x>3^{n-1}\ge n\ge x$（$3^0=1\ge 1$、$3^1=3\ge 2$、$3^2=9\ge 3$，之後每次乘 $3$ 都比加 $1$ 快）。所以 $3^x$ 永遠大於 $x$。

(B) 有實數解。 $x>0$ 時 $y=x$ 遞增、$y={\log }_{0.3}x$ 遞減，兩圖形最多交一次；$x=0.3$ 時 $x=0.3<1={\log }_{0.3}0.3$，$x=1$ 時 $x=1>0={\log }_{0.3}1$，兩個高低順序對調，中間一定相交。

(C) 有實數解。 $x>0$ 時 $y=x^2$ 遞增、$y={\log }_{0.3}x$ 遞減。$x=0.3$ 時 $0.09<1$；$x=1$ 時 $1>0$，同理兩圖形在 $0.3$ 與 $1$ 之間相交。

(D) 有實數解。 $x=0$ 代入：右邊 ${\log }_{1.1}1=0$，等於左邊。

(E) 有實數解。 $y=1.1^x$ 與 $y={\log }_{1.1}x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y=x$。先看 $1.1^x=x$：$x=1$ 時 $1.1>1$；$x=10$ 時 $1.1^{10}=1.21^5\approx 2.59<10$，所以兩圖形在 $1$ 與 $10$ 之間交於某點 $(x_0,x_0)$。這點在直線 $y=x$ 上，對稱過去還是自己，所以也在 $y={\log }_{1.1}x$ 上，即 $1.1^{x_0}=x_0={\log }_{1.1}{x}_0$，是原方程式的解。

選 (B)(C)(D)(E)。

指數函數 $f(x)=a^x$ 的底數規定 $a>0$ 且 $a\ne 1$，分成 $a>1$（遞增）與 $0<a<1$（遞減）兩種，選項要兩種都成立才算特徵。

(A) 正確。 $a^0=1$，圖形一定通過 $(0,1)$。

(B) 正確。 兩種底數的圖形都凹口向上：圖形上任取兩點連線段，線段都在圖形上方。

(C) 錯誤。 $a>1$ 時，$x$ 愈小 $a^x$ 愈接近 $0$；但 $0<a<1$ 時，$x$ 愈小 $a^x$ 愈大。例如 $a=\frac{1}{2}$，$x=-10$ 時 $f(x)=1024$。

(D) 錯誤。 $a^x$ 永遠是正數，水平線 $y=0$ 或 $y=-1$ 與圖形沒有交點；只有 $k>0$ 時恰交一點。

(E) 錯誤。 $y=a^x$ 與 $y={\log }_{a}x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y=x$（即 $x-y=0$），不是 $x+y=0$。例如 $a=2$：$(1,2)$ 在 $y=2^x$ 上，它對直線 $x+y=0$ 的對稱點是 $(-2,-1)$，而 ${\log }_{2}x$ 在 $x=-2$ 沒有定義。

選 (A)(B)。

兩圖形都通過 $(0,1)$：$f(0)={\log }_{a}r=1$，所以 $r=a$；$g(0)={\log }_{b}s=1$，所以 $s=b$。

於是 $f(x)={\log }_a\left(a(x+1)\right)=1+{\log }_a(x+1)$，$g(x)=1+{\log }_b(x+1)$。兩圖形都由左往右下降，所以 $0<a<1$、$0<b<1$。

看與 $x$ 軸的交點：$f(x)=0$ 時 ${\log }_a(x+1)=-1$，$x+1=\frac{1}{a}$；$g(x)=0$ 時 $x+1=\frac{1}{b}$。圖上 $y=f(x)$ 與 $x$ 軸的交點在 $y=g(x)$ 的右邊，所以 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$，得 $a<b$。

(A) 正確。 如上，$a<b$。

(B) 正確。 $r=a$、$s=b$，所以 $r<s$。

(C) 錯誤。 $a=r$，不是 $a<r$。

(D) 正確。 $s=b$。

(E) 錯誤。 $r=a<1$。

選 (A)(B)(D)。

${\log }_{4}8=\frac{{\log }_2{2}^3}{{\log }_2{2}^2}=\frac{3}{2}$；${\log }_{5}16=4{\log }_{5}2$；${\log }_{9}25=\frac{2\log 5}{2\log 3}={\log }_{3}5$。

$${\log }_{2}3\times \frac{3}{2}\times 4{\log }_{5}2\times {\log }_{3}5=6\times \left({\log }_{2}3\times {\log }_{3}5\times {\log }_{5}2\right)=6\times {\log }_{2}2=6$$

$2^{2{\log }_{2}3}={\left(2^{{\log }_{2}3}\right)}^2=3^2=9$。

$0.25=2^{-2}$，所以 $0.25^{{\log }_{2}3}=2^{-2{\log }_{2}3}={\left(2^{{\log }_{2}3}\right)}^{-2}=3^{-2}=\frac{1}{9}$。

相加得 $9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$。

化成以 $2$ 為底：$4^{x+1}=2^{2x+2}$，$8^{x+2}=2^{3x+6}$。交點滿足 $2x+2=3x+6$，得 $x=-4$，$y=4^{-3}=\frac{1}{64}$。

交點坐標為 $\left(-4,\frac{1}{64}\right)$。

化成同底 $0.3$：$b={\left(0.3^2\right)}^{\sqrt{5}}=0.3^{2\sqrt{5}}$，$c={\left(0.3^3\right)}^{\sqrt{2}}=0.3^{3\sqrt{2}}$。

比指數：$4=\sqrt{16}$，$2\sqrt{5}=\sqrt{20}$，$3\sqrt{2}=\sqrt{18}$，所以 $4<3\sqrt{2}<2\sqrt{5}$。

底數 $0.3<1$，$y=0.3^x$ 遞減，指數愈大值愈小，所以 $a>c>b$。

先算 ${\log }_{2}3$：$2<3<4$，所以 $1<{\log }_{2}3<2$。

$b={\log }_2\sqrt{3}=\frac{1}{2}{\log }_{2}3$，介於 $\frac{1}{2}$ 與 $1$ 之間，$b<1=a$。

$c={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}=\frac{\log \frac{1}{3}}{\log \frac{1}{2}}=\frac{-\log 3}{-\log 2}={\log }_{2}3>1$。

$d={\log }_{\frac{1}{2}}3=-{\log }_{2}3<0$。

所以 $c>a>b$；連 $d$ 一起比是 $c>a>b>d$。

換底：${\log }_{12}45=\frac{\log 45}{\log 12}$。

分子：$\log 45=\log (9\times 5)=2\log 3+\log 5=2a+b$。

分母：$\log 12=\log (4\times 3)=2\log 2+\log 3$，而 $\log 2=\log \frac{10}{5}=1-\log 5=1-b$，所以 $\log 12=2(1-b)+a=a-2b+2$。

$${\log }_{12}45=\frac{2a+b}{a-2b+2}$$

$a$ 是對數的底數，所以 $a$ 是正整數且 $a\ne 1$，即 $a\ge 2$。

$4{\log }_{a}9=8{\log }_{a}3$。設它等於正整數 $n$，則 ${\log }_{a}3=\frac{n}{8}$，$a^{\frac{n}{8}}=3$，$a=3^{\frac{8}{n}}$。

$a$ 是正整數，而 $3$ 的幾次方是整數只發生在指數為非負整數時，所以 $\frac{8}{n}$ 要是正整數，$n$ 是 $8$ 的正因數：$n=1,2,4,8$，對應 $a=3^8=6561$、$3^4=81$、$3^2=9$、$3$。

共 $4$ 種。

先寫條件：$x>0$ 且 $x\ne 1$。換底：${\log }_{x}27=\frac{{\log }_{3}27}{{\log }_{3}x}=\frac{3}{{\log }_{3}x}$。

令 $u={\log }_{3}x$（$u\ne 0$），方程式變成 $u-\frac{3}{u}=2$，同乘 $u$：$u^2-2u-3=0$，$(u-3)(u+1)=0$，$u=3$ 或 $u=-1$。

所以 $x=3^3=27$ 或 $x=3^{-1}=\frac{1}{3}$，都合條件。

真數要正：$x^2+3x>0$，即 $x(x+3)>0$，得 $x<-3$ 或 $x>0$。

底數 $2>1$，${\log }_2$ 遞增：${\log }_2(x^2+3x)<2={\log }_{2}4$，所以 $x^2+3x<4$，$x^2+3x-4<0$，$(x+4)(x-1)<0$，得 $-4<x<1$。

兩個條件取交集：$-4<x<-3$ 或 $0<x<1$。

令 $t=2^x$，則 $t>0$，$4^x=t^2$：

$$f(x)=t^2-t-1={\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{5}{4}$$

$t=\frac{1}{2}$ 在 $t>0$ 的範圍內，所以最小值 $m=-\frac{5}{4}$，此時 $2^x=\frac{1}{2}$，$x=-1$，即 $h=-1$。

$(h,m)=\left(-1,-\frac{5}{4}\right)$。

令 $u=x^2-2x+6=(x-1{)}^2+5$。$0\le x\le 3$ 時，$x=1$ 有最小值 $u=5$；$x=3$ 時 $u=9$，$x=0$ 時 $u=6$，所以 $5\le u\le 9$。

底數 $\frac{1}{3}<1$，${\log }_{\frac{1}{3}}u$ 遞減：$u$ 最小時函數值最大，$u$ 最大時函數值最小。

$M={\log }_{\frac{1}{3}}5=-{\log }_{3}5$，$m={\log }_{\frac{1}{3}}9=-2$。

$$\frac{M}{m}=\frac{-{\log }_{3}5}{-2}=\frac{1}{2}{\log }_{3}5={\log }_{9}5$$

圖上的點排成一直線，通過格子點 $(0,-1)$、$(3,1)$、$(6,3)$。

斜率 $a=\frac{1-(-1)}{3-0}=\frac{2}{3}$，在縱軸的截距 $b=-1$。

所以 $g(t)=\frac{2}{3}t-1$。

由 (1)，$\log y=\frac{2}{3}t-1$。依對數的定義，$y=10^{\frac{2}{3}t-1}$。

所以 $f(t)=10^{\frac{2}{3}t-1}$。

細菌數量超過 $50$ 萬：$10^{\frac{2}{3}t-1}>5\times 10^5$。兩邊取常用對數（$\log$ 遞增，不等號方向不變）：

$$\frac{2}{3}t-1>\log \left(5\times 10^5\right)=5+\log 5$$

$\log 5=\log \frac{10}{2}=1-\log 2\approx 1-0.3010=0.6990$，所以 $\frac{2}{3}t>6.6990$，$t>\frac{3}{2}\times 6.6990=10.0485$。

無條件進位至小數點下第 2 位，得 $10.05$ 小時。

室溫 $16$，$f(0)=97$，所以 $f(t)=16+81\times 10^{kt}$。

$12$ 分鐘後 $70^{\circ }\text{C}$：$16+81\times 10^{12k}=70$，$10^{12k}=\frac{54}{81}=\frac{2}{3}$。

$$10^k={\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{1}{12}}$$

「接著」做了 $36$ 分鐘，從泡好牛奶算起共經過 $12+36=48$ 分鐘。

$$10^{48k}={\left(10^{12k}\right)}^4={\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{16}{81}$$

$$f(48)=16+81\times \frac{16}{81}=16+16=32$$

此時牛奶溫度為 $32^{\circ }\text{C}$。