段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

高雄新興高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

多重選擇題 5 題（每題 6 分，共 30 分，錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上不給分）、填充題 10 題（每題 6 分，共 60 分，第 1 題兩小題各 3 分）、計算題 1 題（共 10 分，兩小題各 5 分，第 (1) 小題只寫出哪種方案者僅可得 1 分），合計 100 分。卷首印有參考數值：log2≈0.3010；log3≈0.4771；log7≈0.8451；√2≈1.414；√3≈1.732。填充第 1 題兩小題在題目卷上都印作 (2)，答案卷印作 (1)(2)；填充第 8 題右邊的減 1 印得不清楚，本站讀作減 1。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多重選擇題（每題6分，共30分）※錯一個選項得4分，錯兩個選項得2分，錯三個選項以上不給分

設

0 < a < 1

，關於函數

f (x) = a^{x}

，選出正確的選項：

(A) $f (2) > 1$
(B) $f (x)$ 的圖形在 $x$ 軸的上方
(C) 若 $f (x) = f (2)$ ，則 $x = 2$
(D) $f (x)$ 的圖形凹口向上
(E) 若 $α < β$ ，則 $f (\frac{α + β}{2}) < \frac{f ( α ) + f ( β )}{2}$

設

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，試選出正確的選項。

(A) $lo g 12 = 2 a + b$
(B) $lo g 5 = a + b$
(C) $lo g_{5} 60 = \frac{ab + 1}{1 - a}$
(D) $lo g_{2} 6 = \frac{a + b}{2 a}$
(E) $lo g_{5} 1.2 = \frac{2 a + b - 1}{1 - a}$

若

x = 6^{20}

，則下列哪些敘述為真？

(A) $x$ 為 $15$ 位數
(B) $x$ 為 $16$ 位數
(C) $x$ 的首位數字 $3$
(D) $x$ 的首位數字 $4$
(E) $\frac{1}{x}$ 化為小數後，在小數點後第 $15$ 位始出現不為 $0$ 的數字

關於指數函數與對數函數圖形的性質，下列選項哪些是錯誤的？

(A) $y = 2^{x}$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} (- x)$ 的圖形都是嚴格遞增
(B) $y = 2^{x}$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的圖形都是凹口向上
(C) $y = - 2^{x}$ 與 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 的圖形對稱於原點
(D) $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的圖形對稱於直線 $x = y$
(E) $y = lo g_{2} x$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的圖形對稱於 $y$ 軸

已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

。測量聲音大小的分貝（

d

）與聲音強度（

I

）有下列關係式：

d (I) = 10 \times lo g_{10} \frac{I}{I _{0}}

其中

I_{0} = 1 0^{- 12}

（瓦特/平方公尺）為人類能聽到的最低聲音強度。如果一般人的交談音量約為

60

分貝，請選出正確的選項。

(A) 處於聲音強度 $I = 2 \times 1 0^{- 5}$ （瓦特/平方公尺）的中一中教室，其聲音介於 $75$ 到 $80$ 分貝
(B) 當 $100$ 個人同時以一般人的交談音量發聲時，被測得的聲音約為 $100$ 分貝（設 $n$ 個人的聲音強度是一個人的 $n$ 倍）
(C) 跨年演唱會中測得聲音約為 $120$ 分貝，此跨年演唱會聲音強度是一般人交談聲音強度的 $1 0^{6}$ 倍
(D) 分貝增加 $10$ 時，聲音強度增加為原來的 $10$ 倍
(E) 分貝增加 $100$ 時，聲音強度增加為原來的 $100$ 倍

二、填充題（每題6分，共60分）

第 6、7 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 6～7 題）　解下列各方程式和不等式：

(2)

9^{x} + 3^{x + 1} - 18 = 0

。 (3 分)（本站補註：題目卷兩小題都印作 (2)，答案卷印作 (1)，這是第一小題）

(2)

2^{1 - 2 x} - 9 \times 2^{- x} + 4 \leq 0

。 (3 分)

已設

lo g_{2} 11 = a

，

lo g_{b} 27 = 3

，則

4^{a} + b^{2} =

____。

已知

x

為任意實數，求

3^{- x^{2} + 2 x + 2}

之最大值為 ____。

下圖為

y = 3^{x}

的圖形。設

P

、

Q

分別為直線

y = 2

，

y = 6

與

y = 3^{x}

的交點，求

\overline{P Q}

的長為 ____。

載入中...

解下列方程式：

lo g_{2} (2^{x} + 8) = \frac{x}{2} + lo g_{2} 9

。

化簡

4^{l o g_{2} 7} + 2 lo g_{2} 3 + lo g_{4} (\frac{1}{25}) + (lo g_{2} 7) (lo g_{7} 5 - lo g_{7} (3^{2})) =

____。

將

f (x) = lo g_{3} x

的圖形，向右平移

2

單位，再向上平移

3

單位，得

g (x) = lo g_{3} (a x + b)

的圖形，求數對

(a, b) =

____。

lo g_{\frac{1}{3}} (x + 2) > lo g_{\frac{1}{3}} x - 1

的解為 ____。（本站補註：卷面

x

後面的減

1

印得走樣，本站讀作

- 1

）

設

a = lo g_{2} 3

、

b = lo g_{4} 3

、

c = lo g_{\frac{1}{2}} 30

、

d = lo g_{64} 125

，則

a

、

b

、

c

、

d

的大小關係為 ____。

解方程式

4 (4^{x} + 4^{- x}) - 25 (2^{x} + 2^{- x}) + 42 = 0

，得

x =

____。

三、計算題(共10分)

第 17、18 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 17～18 題）　小瑜打算籌備出國留學的經費。她想參加銀行的基金存款，銀行的理財專員介紹了兩種方案：甲方案：每年年初存

1

萬元，年利率

2%

，共存

10

年。乙方案：準備本金

10

萬元，定存

10

年，年利率

1%

。（已知

1.0 2^{10} \approx 1.2189944

，

1.0 2^{11} \approx 1.2433743

，

1.0 1^{10} \approx 1.1046221

，

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 1.125 \approx 0.0512

）

(1) 請同學幫小瑜算一算，哪個方案對她比較好？____。 (5 分) (請記綠兩種方案的計算過程，只寫出哪種方案者僅可得 1 分)

(2) 後來朋友建議投資股票型基金，假設年利率

12.5%

，依複利計算，則小瑜需至少存款 ____ 年，本利和才會超過本金的兩倍（取整數）。(5 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)(D)(E)

第 2 題(A)(E)

第 3 題(B)(C)

第 4 題(E)

第 5 題(C)(D)

第 6 題

x = 1

第 7 題

- 2 \leq x \leq 1

第 8 題

130

第 9 題

27

第 10 題

17

第 11 題

x = 0

或

x = 6

第 12 題

49

第 13 題

(27, - 54)

第 14 題

x > 1

（若讀作

lo g_{\frac{1}{3}} (x + 2) > lo g_{\frac{1}{3}} x

則無解）

第 15 題

a > d > b > c

第 16 題

x = 0

或

x = \pm 2

第 17 題甲方案

第 18 題

6

年

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1～3 題）：指數函數性質、對數表示法、位數與首位數字

第 1 題

$0 < a < 1$ 時， $y = a^{x}$ 是遞減函數，值域是所有正數，圖形凹口向上。

(A) 錯誤。 $f (2) = a^{2}$ ，而 $0 < a < 1$ ，所以 $0 < a^{2} < 1$ 。

(B) 正確。 對每個實數 $x$ ， $a^{x} > 0$ ，圖形都在 $x$ 軸上方。

(D) 正確。 指數函數不論底數大於 $1$ 或介於 $0$ 與 $1$ 之間，圖形都凹口向上。

(E) 正確。 令 $u = a^{\frac{α}{2}}$ ， $v = a^{\frac{β}{2}}$ ，因為 $α \neq = β$ ，所以 $u \neq = v$ 。

$\frac{f ( α ) + f ( β )}{2} - f (\frac{α + β}{2}) = \frac{u ^{2} + v ^{2}}{2} - uv = \frac{( u - v ) ^{2}}{2} > 0$

選 (B)(C)(D)(E)。

(E) 就是「凹口向上」的意思：兩點連線的中點落在圖形上方。

第 2 題

先記住 $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - a$ 。

(A) 正確。 $lo g 12 = lo g (2^{2} \times 3) = 2 lo g 2 + lo g 3 = 2 a + b$ 。

(B) 錯誤。 $lo g 5 = 1 - a$ ； $a + b = lo g 6$ 。

(C) 錯誤。 $lo g_{5} 60 = \frac{lo g 60}{lo g 5} = \frac{lo g ( 2 \times 3 \times 10 )}{1 - a} = \frac{a + b + 1}{1 - a}$ ，分子是 $a + b + 1$ ，不是 $ab + 1$ 。

(D) 錯誤。 $lo g_{2} 6 = \frac{lo g 6}{lo g 2} = \frac{a + b}{\frac{1}{2} a} = \frac{2 ( a + b )}{a}$ ，不是 $\frac{a + b}{2 a}$ 。

(E) 正確。 $1.2 = \frac{12}{10}$ ， $lo g 1.2 = 2 a + b - 1$ ，所以 $lo g_{5} 1.2 = \frac{2 a + b - 1}{1 - a}$ 。

選 (A)(E)。

第 3 題

$lo g x = 20 lo g 6 = 20 (lo g 2 + lo g 3) \approx 20 \times 0.7781 = 15.562$ 。

所以 $x = 1 0^{15.562} = 1 0^{0.562} \times 1 0^{15}$ 。

(A) 錯誤。 (B) 正確。 $lo g x$ 的整數部分是 $15$ ， $x$ 是 $16$ 位數。

首位數字看 $1 0^{0.562}$ ： $lo g 3 \approx 0.4771 < 0.562 < 0.6020 \approx lo g 4$ ，所以 $3 < 1 0^{0.562} < 4$ 。

(E) 錯誤。 $lo g \frac{1}{x} \approx - 15.562 = - 16 + 0.438$ ，所以 $\frac{1}{x} \approx 1 0^{0.438} \times 1 0^{- 16}$ ，其中 $1 < 1 0^{0.438} < 10$ 。小數點後第 $16$ 位才出現不為 $0$ 的數字，不是第 $15$ 位。

選 (B)(C)。

1 0^{0.438} \approx 2.74

，所以

\frac{1}{x} \approx 0.000 \dots 0274

（小數點後先有

15

個

0

）。

02多選題（第 4、5 題）：圖形的性質、分貝與聲音強度

第 4 題

本題選錯誤的敘述。

(A) 敘述正確，不選。 $y = 2^{x}$ 底數大於 $1$ ，遞增。 $y = lo g_{\frac{1}{2}} (- x)$ 的定義域是 $x < 0$ ： $x$ 變大時 $- x$ 變小，而 $lo g_{\frac{1}{2}} t$ 隨 $t$ 變小而變大，所以也是遞增。

(B) 敘述正確，不選。指數函數的圖形都凹口向上； $lo g_{\frac{1}{2}} x = - lo g_{2} x$ ，是凹口向下的 $y = lo g_{2} x$ 對 $x$ 軸翻過來，所以凹口向上。

(C) 敘述正確，不選。 $(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}$ 。點 $(p, q)$ 在 $y = - 2^{x}$ 上，即 $q = - 2^{p}$ ；它對原點的對稱點 $(- p, - q)$ 滿足 $- q = 2^{p} = 2^{- (- p)}$ ，在 $y = 2^{- x}$ 上。

(D) 敘述正確，不選。 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(E) 錯誤（要選）。 $lo g_{\frac{1}{2}} x = \frac{lo g x}{lo g \frac{1}{2}} = - lo g_{2} x$ ，兩圖形是上下翻轉，對稱於 $x$ 軸，不是 $y$ 軸。再看定義域：兩者都只在 $x > 0$ 有圖形，不可能對稱於 $y$ 軸。

選 (E)。

第 5 題

$d = 10 lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} = 10 (lo g I + 12)$ 。

(A) 錯誤。 $d = 10 (lo g (2 \times 1 0^{- 5}) + 12) = 10 (0.3010 - 5 + 12) = 73.01$ ，不在 $75$ 到 $80$ 之間。

(B) 錯誤。 強度變成 $100$ 倍，分貝增加 $10 lo g 100 = 20$ ，約為 $60 + 20 = 80$ 分貝，不是 $100$ 分貝。

(D) 正確。 分貝增加 $10$ ： $10 lo g \frac{I _{2}}{I _{1}} = 10$ ， $\frac{I _{2}}{I _{1}} = 10$ 。

(E) 錯誤。 分貝增加 $100$ ： $lo g \frac{I _{2}}{I _{1}} = 10$ ，強度是原來的 $1 0^{10}$ 倍。

選 (C)(D)。

分貝每增加

10

，強度乘

10

；分貝是「加」，強度是「乘」。

03填充題（第 6～10 題，原卷填充第 1～4 題）：指數方程式與不等式、對數的定義、極值、距離

第 6 題

令 $t = 3^{x} > 0$ ， $9^{x} = t^{2}$ ， $3^{x + 1} = 3 t$ ：

$t^{2} + 3 t - 18 = 0, (t + 6) (t - 3) = 0$

$t > 0$ ，所以 $t = 3$ ，即 $3^{x} = 3$ ， $x = 1$ 。

t = - 6

不合，因為

3^{x}

恆為正數。

第 7 題

令 $t = 2^{- x} > 0$ ， $2^{1 - 2 x} = 2 \times (2^{- x})^{2} = 2 t^{2}$ ：

$2 t^{2} - 9 t + 4 \leq 0, (2 t - 1) (t - 4) \leq 0$

得 $\frac{1}{2} \leq t \leq 4$ ，即 $2^{- 1} \leq 2^{- x} \leq 2^{2}$ 。底數 $2 > 1$ ， $- 1 \leq - x \leq 2$ ，所以 $- 2 \leq x \leq 1$ 。

第 8 題

$lo g_{2} 11 = a$ 表示 $2^{a} = 11$ ，所以 $4^{a} = (2^{a})^{2} = 121$ 。

$lo g_{b} 27 = 3$ 表示 $b^{3} = 27$ ， $b = 3$ ， $b^{2} = 9$ 。

$4^{a} + b^{2} = 121 + 9 = 130$ 。

第 9 題

指數 $- x^{2} + 2 x + 2 = - (x - 1)^{2} + 3 \leq 3$ ， $x = 1$ 時等號成立。

底數 $3 > 1$ ， $y = 3^{t}$ 遞增，指數最大時函數值最大：最大值為 $3^{3} = 27$ 。

第 10 題

$P$ 在 $y = 2$ 上： $3^{x} = 2$ ， $x = lo g_{3} 2$ ， $P (lo g_{3} 2, 2)$ 。

$Q$ 在 $y = 6$ 上： $3^{x} = 6$ ， $x = lo g_{3} 6$ ， $Q (lo g_{3} 6, 6)$ 。

水平差 $lo g_{3} 6 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} 3 = 1$ ，鉛直差 $6 - 2 = 4$ ：

$\overline{P Q} = 1^{2} + 4^{2} = 17$

不必算出

lo g_{3} 2

的近似值，兩個

x

坐標相減用對數律就消成

1

。

04填充題（第 11～13 題，原卷填充第 5～7 題）：對數方程式、化簡、圖形平移

第 11 題

$\frac{x}{2} = lo g_{2} 2^{\frac{x}{2}}$ ，右邊 $= lo g_{2} (9 \times 2^{\frac{x}{2}})$ 。兩邊底數相同，真數相等：

$2^{x} + 8 = 9 \times 2^{\frac{x}{2}}$

令 $t = 2^{\frac{x}{2}} > 0$ ， $2^{x} = t^{2}$ ： $t^{2} - 9 t + 8 = 0$ ， $(t - 1) (t - 8) = 0$ ， $t = 1$ 或 $t = 8$ 。

$t = 1$ ： $\frac{x}{2} = 0$ ， $x = 0$ ； $t = 8$ ： $\frac{x}{2} = 3$ ， $x = 6$ 。

兩個解代回時真數 $2^{x} + 8$ 都是正數，所以 $x = 0$ 或 $x = 6$ 。

檢查：

x = 0

時左邊

lo g_{2} 9

，右邊

0 + lo g_{2} 9

；

x = 6

時左邊

lo g_{2} 72

，右邊

3 + lo g_{2} 9 = lo g_{2} 72

。

第 12 題

逐項化簡：

$4^{l o g_{2} 7} = (2^{l o g_{2} 7})^{2} = 7^{2} = 49$ 。

$2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9$ 。

$lo g_{4} \frac{1}{25} = \frac{lo g _{2} 5 ^{- 2}}{lo g _{2} 4} = \frac{- 2 lo g _{2} 5}{2} = - lo g_{2} 5$ 。

$(lo g_{2} 7) (lo g_{7} 5 - lo g_{7} 9) = lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 5 - lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 9 = lo g_{2} 5 - lo g_{2} 9$ 。

相加： $49 + lo g_{2} 9 - lo g_{2} 5 + lo g_{2} 5 - lo g_{2} 9 = 49$ 。

換底：

lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 5 = \frac{lo g 7}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 5}{lo g 7} = lo g_{2} 5

。

第 13 題

向右平移 $2$ 單位： $x$ 換成 $x - 2$ ，得 $y = lo g_{3} (x - 2)$ ；再向上平移 $3$ 單位： $y = lo g_{3} (x - 2) + 3$ 。

$3 = lo g_{3} 27$ ，所以 $y = lo g_{3} (x - 2) + lo g_{3} 27 = lo g_{3} (27 (x - 2)) = lo g_{3} (27 x - 54)$ 。

$(a, b) = (27, - 54)$ 。

檢查：原圖形過

(1, 0)

，平移後應過

(3, 3)

；

lo g_{3} (27 \times 3 - 54) = lo g_{3} 27 = 3

，相符。

05填充題（第 14～16 題，原卷填充第 8～10 題）：對數不等式、比大小、代換解方程式

第 14 題

真數條件： $x + 2 > 0$ 且 $x > 0$ ，所以 $x > 0$ 。

右邊 $lo g_{\frac{1}{3}} x - 1 = lo g_{\frac{1}{3}} x + lo g_{\frac{1}{3}} 3 = lo g_{\frac{1}{3}} (3 x)$ （因為 $lo g_{\frac{1}{3}} 3 = - 1$ ）。

底數 $\frac{1}{3} < 1$ ， $y = lo g_{\frac{1}{3}} t$ 遞減，比真數時不等號反向：

$x + 2 < 3 x, x > 1$

與 $x > 0$ 取交集，解為 $x > 1$ 。

卷面

x

後面的減

1

印得走樣。若讀作

lo g_{\frac{1}{3}} (x + 2) > lo g_{\frac{1}{3}} x

，則要

x + 2 < x

，不可能成立，無解；本站採有解的讀法。

第 15 題

都化成以 $2$ 為底：

$a = lo g_{2} 3$ ；

$b = lo g_{4} 3 = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} 3 = lo g_{2} 3$ ；

$c = lo g_{\frac{1}{2}} 30 = \frac{lo g _{2} 30}{lo g _{2} \frac{1}{2}} = - lo g_{2} 30$ ，是負數；

$d = lo g_{64} 125 = \frac{lo g _{2} 5 ^{3}}{lo g _{2} 2 ^{6}} = \frac{3}{6} lo g_{2} 5 = lo g_{2} 5$ 。

底數 $2 > 1$ ，真數愈大值愈大： $3 > 5 > 3 > 0$ ，所以 $a > d > b > 0 > c$ 。

大小關係為 $a > d > b > c$ 。

數值：

a \approx 1.585

，

d \approx 1.161

，

b \approx 0.792

，

c \approx - 4.907

。

第 16 題

令 $u = 2^{x} + 2^{- x}$ ，則 $u^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}$ ，所以 $4^{x} + 4^{- x} = u^{2} - 2$ 。又由算幾不等式 $u \geq 2$ 。

$4 (u^{2} - 2) - 25 u + 42 = 0, 4 u^{2} - 25 u + 34 = 0, (u - 2) (4 u - 17) = 0$

$u = 2$ 或 $u = \frac{17}{4}$ ，兩者都 $\geq 2$ 。

$u = 2$ ： $2^{x} + 2^{- x} = 2$ ，令 $t = 2^{x}$ ， $t^{2} - 2 t + 1 = 0$ ， $t = 1$ ， $x = 0$ 。

$u = \frac{17}{4}$ ： $t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$ ， $4 t^{2} - 17 t + 4 = 0$ ， $(4 t - 1) (t - 4) = 0$ ， $t = 4$ 或 $t = \frac{1}{4}$ ， $x = 2$ 或 $x = - 2$ 。

所以 $x = 0$ 或 $x = \pm 2$ 。

檢查

x = 2

：

4 (16 + \frac{1}{16}) - 25 (4 + \frac{1}{4}) + 42 = 64.25 - 106.25 + 42 = 0

。

06計算題（第 17、18 題，原卷計算第 1 題）：存款方案比較、翻倍年數

第 17 題

以第 $10$ 年年底的本利和比較（年利率按年複利計算）。

甲方案：每年年初存 $1$ 萬元。第 $1$ 年年初存的錢放了 $10$ 年，本利和 $1.0 2^{10}$ 萬元；第 $2$ 年年初存的放了 $9$ 年，本利和 $1.0 2^{9}$ 萬元；……；第 $10$ 年年初存的放了 $1$ 年，本利和 $1.02$ 萬元。合計是等比級數：

$1.02 + 1.0 2^{2} + \dots + 1.0 2^{10} = \frac{1.02 ( 1.0 2 ^{10} - 1 )}{1.02 - 1} = \frac{1.0 2 ^{11} - 1.02}{0.02}$

用 $1.0 2^{11} \approx 1.2433743$ ： $\frac{1.2433743 - 1.02}{0.02} = \frac{0.2233743}{0.02} \approx 11.1687$ 萬元，約 $111, 687$ 元。

乙方案： $10 \times 1.0 1^{10} \approx 10 \times 1.1046221 = 11.046221$ 萬元，約 $110, 462$ 元。

甲方案的本利和較多，所以甲方案對她比較好。

用

1.02 \times (1.0 2^{10} - 1) \div 0.02 = 51 \times 0.2189944 \approx 11.1687

萬元，結果相同。兩方案本金都是

10

萬元，甲方案利率較高，但前面幾筆錢放得比較久、後面幾筆放得比較短，所以要實際算出來比較。

第 18 題

設本金為 $P$ ，存 $n$ 年後本利和為 $P \times 1.12 5^{n}$ 。要超過兩倍：

$P \times 1.12 5^{n} > 2 P, 1.12 5^{n} > 2$

兩邊取常用對數（底數 $10 > 1$ ，不等號方向不變）：

$n lo g 1.125 > lo g 2, n > \frac{0.3010}{0.0512} \approx 5.88$

$n$ 取整數，至少 $6$ 年。

檢查：

1.12 5^{5} \approx 1.802 < 2

，

1.12 5^{6} \approx 2.027 > 2

。

式子裡同時出現

a^{2 x}

與

a^{x}

（或

2^{x} + 2^{- x}

這種對稱式）就代換成二次式；對數不等式先寫真數條件，底數小於

1

時比真數要把不等號反過來。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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第 3 題最後一個選項要把 1 除以 x 的對數寫成負整數加上 0 到 1 之間的小數，第一個不為 0 的數字在第 16 位；第 4 題要選錯誤的敘述，以 1/2 為底的對數與以 2 為底的對數是上下對稱而不是左右對稱；第 14 題底數小於 1 比真數時不等號要反向，還要先寫真數條件；第 17 題甲方案每年年初存入，第一筆放了 10 年，要用等比級數把十筆的本利和加起來。

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題目取自高雄新興高中 112 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01多選題（第 1～3 題）：指數函數性質、對數表示法、位數與首位數字

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03填充題（第 6～10 題，原卷填充第 1～4 題）：指數方程式與不等式、對數的定義、極值、距離

04填充題（第 11～13 題，原卷填充第 5～7 題）：對數方程式、化簡、圖形平移

05填充題（第 14～16 題，原卷填充第 8～10 題）：對數不等式、比大小、代換解方程式

06計算題（第 17、18 題，原卷計算第 1 題）：存款方案比較、翻倍年數

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高雄新興高中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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