段考詳解範圍：複數與多項式方程式（複數的運算、根與係數關係、實係數方程式虛根成對），以及高一高二複習（多項式除法、三次函數、圓與直線、正弦定理與餘弦定理）

高雄新興高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高雄新興高中 113 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高雄新興高中 113 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要先決定兩個實根包不包含兩根相等，k 的個數會差 2（k＝±2 這兩個）。第 8 題的係數只說是實數，不能用整數的因數來想。第 13 題要先由對稱中心與 g(0)＝0 找出 g 的三個根，再注意 f(100) 的正負要看 a 有多小，而 f 在對稱中心附近近似的直線斜率是負 a。第 10 題同一距離要看兩條平行線各和圓交幾點。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、多選題 8 題（每題 6 分，共 48 分；錯一個選項得 3 分、錯 2 個選項得 1 分，錯 3 個選項以上者不給分）、填充題 5 題（第 1～3 題每題 5 分、第 4、5 題每題 6 分，共 27 分），合計 100 分。本頁全卷連續編號：第 6～13 題是多選第 1～8 題，第 14～18 題是填充第 1～5 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題（每題 5 分，共 25 分）

已知

α

、

β

為方程式

2 x^{2} + 4 x + 5 = 0

的兩根，選出下列正確的選項。

(A) $α + β > 0$
(B) $α β > 0$
(C) $α^{2} + β^{2} > 0$
(D) $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} > 0$
(E) $α$ 、 $β$ 為相異實根

設二次方程式

(1 + i) x^{2} + (a + 2 i) x + (2 + ai) = 0

有實根，則實數

a

之值為何？

(A) $1$
(B) $2$
(C) $- 3$
(D) $- 2$
(E) $- 1$

k

為實數，若

α, β

是

x^{2} - (k - 2) x + (k^{2} + 3 k + 5) = 0

的兩實根，則

α^{2} + β^{2}

的最大值為

(A) $19$
(B) $18$
(C) $15$
(D) $12$
(E) $9$

設

k

為整數，若方程式

x^{2} + 3 k x + 9 = 0

有兩個實根，方程式

x^{2} - (k - 1) x + 8 = 0

有兩個虛根，則

k

值有幾種可能？

(A) $4$
(B) $6$
(C) $8$
(D) $10$
(E) $12$

若

1 + i

為實係數方程式

x^{3} + b x^{2} + c x - 30 = 0

的一根，則此方程式的實根為

(A) $2$
(B) $5$
(C) $6$
(D) $10$
(E) $15$

二、多選題（每題 6 分，錯一個選項得 3 分、錯 2 個選項得 1 分，錯 3 個選項以上者不給分）

選出正確的選項

(A) $- 4 = 2 i$
(B) $- 4 + 5 i$ 的實部為 $- 4$ ，虛部為 $5 i$
(C) $2 + i > 2 - i$
(D) $\frac{1}{2 + i} = \frac{2 - i}{3}$
(E) $(2 - 3 i)^{2} = 1 - 43 i$

下列哪些選項是正確的？

(A) 設 $a$ ， $b$ 為複數，若 $a + bi = 0$ ，則 $a = b = 0$
(B) 二次方程式 $x^{2} - 2 x + 7 = 0$ 有兩個共軛虛根
(C) 實係數 $n$ 次方程式必有 $n$ 個實數根
(D) $n$ 次方程式必有虛根成對
(E) 五次實係數方程式必有實根

已知實係數三次多項式

f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形與

x

軸交於一點

(4, 0)

，如圖所示，選出正確的選項：

(A) $f (4 + 2) f (4 - 2) < 0$
(B) 方程式 $f (x) = 0$ 有三個實根
(C) $4$ 是 $d$ 的因數
(D) 若 $f (x)$ 可因式分解為 $(x - 4) (x^{2} + e x + f)$ ，則 $e^{2} - 4 f > 0$
(E) 若方程式 $f (x) = 0$ 有一根為 $2 + 3 i$ ，則必有另一根為 $2 - 3 i$

載入中...

設

f (x)

為三次實係數多項式，且複數

1 + i

為方程式

f (x) = 0

的一根。選出正確的選項：

(A) $f (1 - i) = 0$
(B) $f (3 + 2 i) \neq = 0$
(C) 方程式 $f (x) = 0$ 沒有實根
(D) 函數 $f (x)$ 的圖形與 $x$ 軸恰有一個交點
(E) 多項式 $f (x)$ 可被 $x^{2} - 2 x + 2$ 整除

設

Γ : x^{2} + y^{2} - 10 x + 9 = 0

為坐標平面上的圓。試問下列哪些選項是正確的？

(A) $Γ$ 的圓心坐標為 $(5, 0)$
(B) $Γ$ 上的點與直線 $L : 3 x + 4 y - 15 = 0$ 的最遠距離等於 $6$
(C) 直線 $L_{1} : 3 x + 4 y + 15 = 0$ 與 $Γ$ 相切
(D) $Γ$ 上恰有兩個點與直線 $L_{2} : 3 x + 4 y = 0$ 的距離等於 $2$
(E) $Γ$ 上恰有四個點與直線 $L_{3} : 3 x + 4 y - 5 = 0$ 的距離等於 $2$

已知多項式

f (x)

除以

x^{2} - 1

的餘式為

2 x + 1

。試選出正確的選項

(A) $f (0) = 1$
(B) $f (1) = 3$
(C) $f (x)$ 不可能為一次式
(D) $f (x)$ 可能為 $4 x^{4} + 2 x^{3} - 3$
(E) $f (x)$ 可能為 $4 x^{4} + 2 x^{2} - 3$

坐標平面上，

△ A B C

三頂點的坐標分別為

A (0, 2)

，

B (1, 0)

，

C (4, 1)

，試選出正確的選項

(A) $△ A B C$ 的三邊中， $\overline{A C}$ 最長
(B) $sin A < sin C$
(C) $△ A B C$ 為銳角三角形
(D) $sin B = \frac{7 2}{10}$
(E) $△ A B C$ 的外接圓半徑比 $2$ 小

給定一實係數三次多項式函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 3

。令

g (x) = f (- x) - 3

，已知

y = g (x)

圖形的對稱中心為

(1, 0)

且

g (- 1) < 0

。試選出正確的選項

(A) $a < 0$
(B) $g (x) = 0$ 有三相異整數根
(C) $y = f (x)$ 圖形的對稱中心為 $(- 1, - 3)$
(D) $f (100) < 0$
(E) $y = f (x)$ 的圖形在點 $(- 1, f (- 1))$ 附近會近似於一條斜率為 $a$ 的直線

三、填充題（共 27 分）

a, b

為實數，若

\frac{3}{a + bi} = 4 - 3 i

，則數對

(a, b) =

____。（5 分）

設二次方程式

a x^{2} + 5 x + b = 0

的二根和為

5

，二根之積為

10

，則數對

(a, b) =

____。（5 分）

若使方程式

2 x^{2} + (a + 3) x + 5 = 0

有兩相等實根的

a

值有兩個，則這兩個

a

值的和為 ____。（5 分）

若方程式

x^{2} + a x + b = 0

的兩根為

α

，

β

，且

x^{2} - 4 x - 3 = 0

的兩根為

α + 1

，

β + 1

，則數對

(a, b) =

____。（6 分）

已知

f (x) = x^{4} + 4 x^{3} + a x^{2} + b x - 15

為實係數多項式，且

2 i - 1

為方程式

f (x) = 0

的一根，則不等式

f (x) < 0

的解為 ____。（6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(C)

第 3 題(B)

第 4 題(C)（兩個實根含兩根相等；若指相異實根則為 (B)）

第 5 題(E)

第 6 題(A)(E)

第 7 題(B)(E)

第 8 題(A)(E)

第 9 題(A)(B)(D)(E)

第 10 題(A)(D)

第 11 題(B)(D)

第 12 題(A)(D)

第 13 題(A)(B)

第 14 題

(\frac{12}{25}, \frac{9}{25})

第 15 題

(- 1, - 10)

第 16 題

- 6

第 17 題

(- 2, - 6)

第 18 題

- 3 < x < 1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：根與係數關係與實根條件

第 1 題

判別式 $4^{2} - 4 \times 2 \times 5 = - 24 < 0$ ，所以 $α$ 、 $β$ 是一對共軛虛根。由根與係數關係， $α + β = - 2$ ， $α β = \frac{5}{2}$ 。

(A) $α + β = - 2$ ，錯誤。

(B) $α β = \frac{5}{2} > 0$ ，正確。

(D) $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{α + β}{α β} = - \frac{4}{5}$ ，錯誤。

(E) 兩根是虛根，錯誤。答案是 (B)。

兩個虛根的平方和可以是負數，不能用「平方一定不小於 0」來判斷。

第 2 題

設實根為 $x$ ，把方程式按實部、虛部整理：

$(x^{2} + a x + 2) + (x^{2} + 2 x + a) i = 0$

$x$ 、 $a$ 都是實數，所以 $x^{2} + a x + 2 = 0$ 且 $x^{2} + 2 x + a = 0$ 。兩式相減： $(a - 2) x + (2 - a) = 0$ ，即 $(a - 2) (x - 1) = 0$ 。

若 $a = 2$ ，兩式都是 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ ，判別式 $4 - 8 < 0$ ，沒有實根，不合。所以 $x = 1$ ，代入得 $1 + a + 2 = 0$ ， $a = - 3$ 。再代回第二式： $1 + 2 - 3 = 0$ ，成立。答案是 (C)。

第 3 題

兩根是實根，判別式要大於或等於 $0$ ：

$(k - 2)^{2} - 4 (k^{2} + 3 k + 5) = - 3 k^{2} - 16 k - 16 \geq 0$

即 $(3 k + 4) (k + 4) \leq 0$ ，所以 $- 4 \leq k \leq - \frac{4}{3}$ 。

由根與係數關係， $α + β = k - 2$ ， $α β = k^{2} + 3 k + 5$ ：

$α^{2} + β^{2} = (k - 2)^{2} - 2 (k^{2} + 3 k + 5) = - k^{2} - 10 k - 6 = - (k + 5)^{2} + 19$

頂點在 $k = - 5$ ，不在範圍內；在 $- 4 \leq k \leq - \frac{4}{3}$ 上， $k$ 離 $- 5$ 越近值越大，所以 $k = - 4$ 時最大，值為 $- 16 + 40 - 6 = 18$ 。答案是 (B)。

19

是

k = - 5

時的值，但那時方程式沒有實根，是陷阱。

k = - 4

時方程式是

(x + 3)^{2} = 0

，

α^{2} + β^{2} = 9 + 9 = 18

。

用根與係數關係算兩根的式子之前，先寫出判別式的限制。

02單選 4～5：判別式與虛根成對

第 4 題

$x^{2} + 3 k x + 9 = 0$ 有兩個實根：判別式 $9 k^{2} - 36 \geq 0$ ， $k^{2} \geq 4$ ，即 $k \leq - 2$ 或 $k \geq 2$ 。

$x^{2} - (k - 1) x + 8 = 0$ 有兩個虛根：判別式 $(k - 1)^{2} - 32 < 0$ ， $(k - 1)^{2} < 32$ 。 $k$ 是整數， $(k - 1)^{2}$ 只能是 $0, 1, 4, 9, 16, 25$ ，所以 $- 5 \leq k - 1 \leq 5$ ， $- 4 \leq k \leq 6$ 。

兩者同時成立的整數： $k = - 4, - 3, - 2, 2, 3, 4, 5, 6$ ，共 $8$ 個。答案是 (C)。

這裡把「兩個實根」讀成包含兩根相等（

k = \pm 2

時是重根）。若題意是兩相異實根，判別式要大於

0

，

k = \pm 2

不算，只剩

6

個，答 (B)。

第 5 題

方程式是實係數， $1 + i$ 是根，它的共軛 $1 - i$ 也是根。設實根為 $r$ ，由根與係數關係，三根之積

$(1 + i) (1 - i) \cdot r = - (- 30) = 30$

$(1 + i) (1 - i) = 2$ ，所以 $r = 15$ 。答案是 (E)。

驗算：

(x^{2} - 2 x + 2) (x - 15) = x^{3} - 17 x^{2} + 32 x - 30

，常數項確實是

- 30

。

實係數方程式有一個虛根，它的共軛也一定是根。

03多選 1～2：複數的基本性質與方程式的根

6 (A)正確。負數的平方根規定為

- 4 = 4 i = 2 i

。

6 (B)錯誤。

- 4 + 5 i

的實部是

- 4

，虛部是

5

（虛部是實數，不帶

i

）。

6 (C)錯誤。

2 + i

與

2 - i

都不是實數，虛數之間不能比大小。

6 (D)

錯誤。分子分母同乘以 $2 - i$ ：

$\frac{1}{2 + i} = \frac{2 - i}{( 2 + i ) ( 2 - i )} = \frac{2 - i}{5}$

分母是 $5$ ，不是 $3$ 。

6 (E)正確。

(2 - 3 i)^{2} = 4 - 43 i + 3 i^{2} = 4 - 3 - 43 i = 1 - 43 i

。

7 (A)錯誤。

a

、

b

是複數時不能比較實部虛部。例如

a = i

，

b = - 1

，

a + bi = i - i = 0

，但

a \neq = 0

。只有

a

、

b

都是實數時，才能推得

a = b = 0

。

7 (B)正確。判別式

(- 2)^{2} - 4 \times 7 = - 24 < 0

，係數是實數，所以兩根是一對共軛虛根

1 \pm 6 i

。

7 (C)錯誤。例如

x^{2} + 1 = 0

是實係數二次方程式，兩根

\pm i

都不是實數。

n

次方程式在複數中有

n

個根（重根照重數計），但不一定都是實根。

7 (D)錯誤。例如

x^{2} - 1 = 0

的兩根都是實數，沒有虛根；又如

x - i = 0

只有一個虛根

i

，沒有成對。虛根成對只對實係數方程式成立，而且方程式可能根本沒有虛根。

7 (E)正確。實係數方程式的虛根成對出現，五次方程式有

5

個根，虛根的個數是偶數，所以至少有一個實根。

虛根成對要先確認係數是實數；虛部是實數，不帶 i。

04多選 3：由圖形判斷三次方程式的根

8 (A)正確。由圖，圖形只在

(4, 0)

穿過

x

軸，

x < 4

時圖形在

x

軸下方，

x > 4

時在上方。

4 + 2 > 4

，

f (4 + 2) > 0

；

4 - 2 < 4

，

f (4 - 2) < 0

。兩者相乘小於

0

。

8 (B)錯誤。圖形與

x

軸只有一個交點，而且在

(4, 0)

是穿過去的；圖上平緩的那一段在

x = 4

的左邊，不在

(4, 0)

，所以

4

不是三重根。實根只有

4

一個，另外兩根是一對共軛虛根。

8 (C)

錯誤。題目只說係數是實數， $d$ 不一定是整數，「因數」沒有意義。例如

$f (x) = (x - 4) (x^{2} + x + \frac{1}{2})$

$x^{2} + x + \frac{1}{2}$ 的判別式 $1 - 2 < 0$ ，圖形與 $x$ 軸也只交於 $(4, 0)$ ，這時 $d = - 4 \times \frac{1}{2} = - 2$ ， $4$ 不是 $- 2$ 的因數。

8 (D)錯誤。

x^{2} + e x + f

的兩根就是

f (x) = 0

的另外兩根，由 (B) 它們是虛根，所以判別式

e^{2} - 4 f < 0

。

8 (E)正確。

f (x)

是實係數多項式，若

2 + 3 i

是根，它的共軛

2 - 3 i

也一定是根。

三次實係數方程式的實根個數，就是圖形與 x 軸交點的個數（重根照重數計）。

05多選 4：三次實係數方程式的一個虛根

9 (A)正確。

f

是實係數，

1 + i

是根，它的共軛

1 - i

也是根，

f (1 - i) = 0

。

9 (B)正確。三次方程式有三個根：

1 + i

、

1 - i

與一個實根

r

（虛根成對，剩下的一根必須是實數）。

3 + 2 i

不在這三個根裡，所以

f (3 + 2 i) \neq = 0

。

9 (C)錯誤。由 (B)，第三個根

r

是實數，方程式有實根。

9 (D)正確。實根只有

r

一個，所以圖形與

x

軸恰有一個交點

(r, 0)

。

9 (E)正確。

(x - 1 - i) (x - 1 + i) = (x - 1)^{2} + 1 = x^{2} - 2 x + 2

，

f (x)

有

x - (1 + i)

與

x - (1 - i)

兩個因式，所以可被

x^{2} - 2 x + 2

整除。

一個虛根 p＋qi 帶出因式 x²－2px＋p²＋q²。

06多選 5：圓與直線的距離

10 (A)正確。配方：

(x - 5)^{2} + y^{2} = 16

，圓心

(5, 0)

，半徑

4

。

10 (B)錯誤。圓心到

L

的距離是

\frac{∣15 + 0 - 15∣}{5} = 0

，

L

通過圓心。圓上的點到

L

的最遠距離是半徑

4

，不是

6

。

10 (C)錯誤。圓心到

L_{1}

的距離是

\frac{∣15 + 15∣}{5} = 6

，大於半徑

4

，

L_{1}

與圓不相交，不是相切。

10 (D)正確。到

L_{2}

距離為

2

的點落在兩條平行線

3 x + 4 y = 10

與

3 x + 4 y = - 10

上。圓心到它們的距離分別是

\frac{∣15 - 10∣}{5} = 1

與

\frac{∣15 + 10∣}{5} = 5

。第一條距離小於半徑，與圓交於

2

點；第二條距離大於半徑，沒有交點。合計恰有

2

點。

10 (E)錯誤。到

L_{3}

距離為

2

的點落在

3 x + 4 y - 15 = 0

與

3 x + 4 y + 5 = 0

上。圓心到前者的距離是

0

，交於

2

點；到後者的距離是

\frac{∣15 + 5∣}{5} = 4

，等於半徑，相切於

1

點。合計

3

點，不是

4

點。

圓上到直線距離為 k 的點，改成看兩條平行線各和圓交幾點。

07多選 6：除法原理與餘式

11 (A)錯誤。由除法原理，

f (x) = (x^{2} - 1) q (x) + 2 x + 1

。

f (0) = - q (0) + 1

，與商式有關，不一定是

1

。例如

f (x) = 4 x^{4} + 2 x^{3} - 3

（見 (D)）時

f (0) = - 3

。

11 (B)正確。代

x = 1

：

f (1) = 0 \cdot q (1) + 2 + 1 = 3

。

11 (C)錯誤。商式

q (x) = 0

時，

f (x) = 2 x + 1

就是一次式，除以

x^{2} - 1

的餘式是它自己。

11 (D)正確。除以

x^{2} - 1

的餘式是一次以下，由

f (1)

與

f (- 1)

決定：餘式

2 x + 1

等價於

f (1) = 3

且

f (- 1) = - 1

。

4 x^{4} + 2 x^{3} - 3

在

x = 1

的值是

4 + 2 - 3 = 3

，在

x = - 1

的值是

4 - 2 - 3 = - 1

，兩個都符合，所以餘式正是

2 x + 1

。

11 (E)錯誤。

4 x^{4} + 2 x^{2} - 3

在

x = - 1

的值是

4 + 2 - 3 = 3

，但要等於

- 1

，所以餘式不是

2 x + 1

。（實際餘式是常數

3

。）

除式是 x²－1 時，餘式由 f(1) 與 f(－1) 兩個值決定。

08多選 7：由坐標判斷三角形的邊角

12 (A)

正確。三邊長：

$\overline{A B} = 1 + 4 = 5, \overline{B C} = 9 + 1 = 10, \overline{A C} = 16 + 1 = 17$

$\overline{A C}$ 最長。

12 (B)錯誤。由正弦定理，

sin A : sin C = \overline{B C} : \overline{A B} = 10 : 5

，所以

sin A > sin C

。

12 (C)錯誤。最長邊

\overline{A C}

對的角是

B

。

\overline{A C}^{2} = 17

，

\overline{A B}^{2} + \overline{B C}^{2} = 15

，

17 > 15

，所以

∠ B

是鈍角，

△ A B C

是鈍角三角形。

12 (D)

正確。由餘弦定理

$cos B = \frac{5 + 10 - 17}{2 5 \cdot 10} = \frac{- 2}{10 2} = - \frac{2}{10}$

$sin B = 1 - \frac{2}{100} = \frac{98}{100} = \frac{7 2}{10}$ （ $B$ 是三角形的內角， $sin B > 0$ ）。

12 (E)

錯誤。由正弦定理，外接圓半徑

$R = \frac{A C}{2 sin B} = \frac{17}{2 \cdot \frac{7 2}{10}} = \frac{5 34}{14}$

比較 $534$ 與 $28$ ：平方後 $850 > 784$ ，所以 $R > 2$ 。

R \approx 2.08

，只比

2

大一點，要用平方比較才不會看錯。

三角形的邊角比較：大邊對大角，正弦值的比等於對邊的比。

09多選 8：三次函數的對稱中心

13 (A)

正確。先找 $g (x)$ 。 $g (x) = f (- x) - 3 = - a x^{3} + b x^{2} - c x$ ，是三次函數，而且 $g (0) = f (0) - 3 = 0$ 。

$y = g (x)$ 的圖形對稱於點 $(1, 0)$ ：點 $(0, 0)$ 在圖形上，它對 $(1, 0)$ 的對稱點 $(2, 0)$ 也在圖形上；對稱中心本身也在圖形上，所以 $g (1) = 0$ 。於是 $g (x)$ 有 $0, 1, 2$ 三個根，最高次項係數是 $- a$ ：

$g (x) = - a x (x - 1) (x - 2)$

$g (- 1) = - a \cdot (- 1) (- 2) (- 3) = 6 a < 0$ ，所以 $a < 0$ 。

13 (B)正確。由 (A)，

g (x) = 0

的根是

0

、

1

、

2

，三個相異整數。

13 (C)錯誤。

f (x) = g (- x) + 3

。

y = g (- x)

是

y = g (x)

對

y

軸的鏡射，對稱中心變成

(- 1, 0)

；再往上平移

3

，對稱中心是

(- 1, 3)

，不是

(- 1, - 3)

。

13 (D)

錯誤。由 (A)，

$f (x) = g (- x) + 3 = - a (- x) (- x - 1) (- x - 2) + 3 = a x (x + 1) (x + 2) + 3$

所以 $f (100) = 100 \times 101 \times 102 a + 3 = 1030200 a + 3$ 。題目只知道 $a < 0$ ，沒有限制 $a$ 的大小：例如 $a = - \frac{1}{1 0 ^{7}}$ 時， $f (100) = 3 - 0.10302 > 0$ 。所以 $f (100) < 0$ 不一定成立。

只有

a < - \frac{3}{1030200}

時

f (100)

才是負的。本卷沒有學校公布的答案，本站依題目條件判斷此選項不一定成立。

13 (E)

錯誤。以對稱中心為準，令 $t = x + 1$ ，則 $x = t - 1$ ， $x + 2 = t + 1$ ：

$f (x) = a (t - 1) t (t + 1) + 3 = a t^{3} - a t + 3$

在 $t$ 接近 $0$ （也就是點 $(- 1, 3)$ 附近）時， $a t^{3}$ 比 $a t$ 小得多，圖形近似直線 $y = - a t + 3$ ，斜率是 $- a$ 。 $a \neq = 0$ ，所以 $- a \neq = a$ ，斜率不是 $a$ 。

三次函數寫成 a(x－h)³＋p(x－h)＋k，對稱中心是 (h,k)，那裡近似的直線斜率是 p。

10填充 1～3（第 14～16 題）：複數相除與根與係數關係

第 14 題

取倒數：

$a + bi = \frac{3}{4 - 3 i} = \frac{3 ( 4 + 3 i )}{( 4 - 3 i ) ( 4 + 3 i )} = \frac{12 + 9 i}{25}$

$a$ 、 $b$ 是實數，比較實部與虛部得 $(a, b) = (\frac{12}{25}, \frac{9}{25})$ 。

驗算：

(\frac{12}{25} + \frac{9}{25} i) (4 - 3 i) = \frac{48 + 27}{25} + \frac{36 - 36}{25} i = 3

。

第 15 題由根與係數關係，二根和

- \frac{5}{a} = 5

，得

a = - 1

；二根之積

\frac{b}{a} = 10

，得

b = - 10

。

(a, b) = (- 1, - 10)

。

方程式是

- x^{2} + 5 x - 10 = 0

，判別式

25 - 40 < 0

，兩根是虛根，但和與積仍然是

5

與

10

。

第 16 題

兩相等實根，判別式等於 $0$ ：

$(a + 3)^{2} - 4 \times 2 \times 5 = 0$

$(a + 3)^{2} = 40$ ， $a = - 3 \pm 210$ 。兩個 $a$ 值的和是 $- 6$ 。

根與係數關係對虛根也成立；只要和或積，不必把根解出來。

11填充 4～5（第 17、18 題）：新方程式與高次不等式

第 17 題

$α + 1$ 、 $β + 1$ 是 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 的兩根，所以

$(α + 1) + (β + 1) = 4, (α + 1) (β + 1) = - 3$

由第一式 $α + β = 2$ ；第二式展開 $α β + (α + β) + 1 = - 3$ ，得 $α β = - 6$ 。

$α$ 、 $β$ 是 $x^{2} + a x + b = 0$ 的兩根， $a = - (α + β) = - 2$ ， $b = α β = - 6$ 。 $(a, b) = (- 2, - 6)$ 。

第 18 題

$f$ 是實係數， $- 1 + 2 i$ 是根， $- 1 - 2 i$ 也是根，所以 $f (x)$ 有因式

$(x + 1 - 2 i) (x + 1 + 2 i) = (x + 1)^{2} + 4 = x^{2} + 2 x + 5$

設 $f (x) = (x^{2} + 2 x + 5) (x^{2} + p x + q)$ 。比較常數項： $5 q = - 15$ ， $q = - 3$ ；比較 $x^{3}$ 項： $p + 2 = 4$ ， $p = 2$ 。所以

$f (x) = (x^{2} + 2 x + 5) (x^{2} + 2 x - 3) = (x^{2} + 2 x + 5) (x + 3) (x - 1)$

$x^{2} + 2 x + 5 = (x + 1)^{2} + 4 > 0$ 恆成立，所以 $f (x) < 0$ 等價於 $(x + 3) (x - 1) < 0$ ，解為 $- 3 < x < 1$ 。

順便得到

a = - 3 + 4 + 5 = 6

，

b = - 6 + 10 = 4

，展開檢查：

(x^{2} + 2 x + 5) (x^{2} + 2 x - 3) = x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x - 15

。

高次不等式先把恆正的二次因式拿掉，只看剩下會變號的因式。

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同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 113 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題要先決定兩個實根包不包含兩根相等，k 的個數會差 2（k＝±2 這兩個）。第 8 題的係數只說是實數，不能用整數的因數來想。第 13 題要先由對稱中心與 g(0)＝0 找出 g 的三個根，再注意 f(100) 的正負要看 a 有多小，而 f 在對稱中心附近近似的直線斜率是負 a。第 10 題同一距離要看兩條平行線各和圓交幾點。

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題目取自高雄新興高中 113 學年度上學期高三第二次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 113 上高三第二次段考數學試題、答案與詳解

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每一題，錯在哪一步

01單選 1～3：根與係數關係與實根條件

02單選 4～5：判別式與虛根成對

03多選 1～2：複數的基本性質與方程式的根

04多選 3：由圖形判斷三次方程式的根

05多選 4：三次實係數方程式的一個虛根

06多選 5：圓與直線的距離

07多選 6：除法原理與餘式

08多選 7：由坐標判斷三角形的邊角

09多選 8：三次函數的對稱中心

10填充 1～3（第 14～16 題）：複數相除與根與係數關係

11填充 4～5（第 17、18 題）：新方程式與高次不等式

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高雄新興高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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