段考詳解範圍：隨機變數與機率分布、期望值、變異數與標準差、二項分布、以二項分布做檢定

高雄新興高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

多選題 4 題（每題 6 分，共 24 分，錯一個選項扣 2 分，扣完為止）、填充題 9 題共 12 格（每格 5 分，共 60 分）、計算題 2 題共 5 小題（共 16 分，各小題配分印在題末），合計 100 分。本頁全卷連續編號：第 5、6 題是原卷填充第 1 題的 (1)(2)，第 7、8 題是填充第 2、3 題，第 9、10 題是填充第 4 題的 (1)(2)，第 11～13 題是填充第 5～7 題，第 14、15 題是填充第 8 題的 (1)(2)，第 16 題是填充第 9 題；第 17～19 題是原卷計算第 1 題的 (1)(2)(3)，第 20、21 題是計算第 2 題的 (1)(2)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題：每題 6 分，共 24 分（錯一個選項扣 2 分，扣完為止）

在重複丟一個均勻硬幣

20

次的試驗中，下列敘述何者是正確的？

(A) 可能出現 $20$ 次正面
(B) 出現 $10$ 次正面的機率最大
(C) 恰出現 $10$ 次正面的機率為 $\frac{1}{2}$
(D) 出現正面次數的期望值為 $10$ 次
(E) 出現 $2$ 次正面的機率與出現 $18$ 次正面的機率相等

若

X

為離散型隨機變數，

X

的機率分布表如下：

x_{k} P (X = x_{k}) - 2 0.4 - 1 0.1 0 0.1 1 0.3 2 0.1

則下列敘述哪些是正確的？

(A) $P (X > 1) = 0.1$
(B) $P (∣ X ∣ = 1) = 0.3$
(C) $E (X) = 0.4$
(D) $E (X^{2}) = 0.16$
(E) $σ (X) = 2.24$

有兩粒公正的特殊骰子：一顆為四面分別標示

1

，

2

，

3

，

4

的正四面體骰子

A

，另一顆為六面分別標示

1

，

2

，

3

，

4

，

5

，

6

的正六面體骰子

B

。同時擲兩顆骰子，設隨機變數

X

為

A

出現的點數，隨機變數

Y

為

B

出現的點數，下列敘述何者正確？

(A) $X^{2}$ 為一隨機變數
(B) 隨機變數 $X + Y$ 可能取值有 $24$ 個
(C) $E (- X) = - \frac{5}{2}$
(D) $Var (2 X) = 2 Var (X)$
(E) $P (X + Y = 4) = \frac{1}{8}$

一袋中有

3

個紅球、

2

個白球及

3

個黑球，今從袋中每次隨機取出

2

個球，取後放回，共取

7

次。令隨機變數

X

表示抽到兩球為同色球的次數，試問下列何者為真？

(A) 隨機變數 $X$ 可能取值為 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$
(B) $P (X = 2) = C_{2}^{7} (\frac{1}{4})^{2}$
(C) $P (X = 2) > P (X = 1)$
(D) $X$ 的期望值為 $\frac{7}{4}$ 次
(E) $X$ 的標準差為 $\frac{21}{4}$ 次。

二、填充題：每格 5 分，12 格，共 60 分

第 5～6 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 5～6 題）　設隨機變數

X

的機率分布表如下，且令

Y = 3 X + 2

，則

x p (x) - 1 2 a^{2} 0 a 1 3 a^{2} 2 a^{2}

(1)

E (Y) =

____。

(2)

Var (X) =

____。

設

X

為一隨機變數，若

E (X) = 2

，

E (X^{2}) = 9

，試求

E (- 2 X) + Var (- 2 x + 3) =

____。（卷面第二項括號內印小寫

x

，依題意為

X

）

甲站在坐標平面上原點處，今投擲一公正骰子，出現奇數點時，他向上移動一單位，出現偶數點時，向右移動一單位，則他投了

5

次骰子後移動到

(2, 3)

的機率為 ____。

第 9～10 題為題組（原卷填充第 4 題）（第 9～10 題）　已知一枚不均勻硬幣，出現正面的機率為

\frac{2}{3}

，出現反面的機率為

\frac{1}{3}

，今擲此硬幣

6

次，試求

(1) 至少出現

2

次正面的機率為 ____。

(2) 恰在第

6

次出現第

4

次正面的機率為 ____。

袋中有大小相同的紅球

4

顆及黑球

x

顆，每次從袋中任取一球，觀察顏色後再放回袋中，共取球

n

次，設每顆球被取到的機率均等且每一次取球都為獨立事件。已知取得紅球的次數之期望值為

20

次，標準差為

4

次，則數對

(x, n) =

____。

某球袋中裝有紅球

3

顆，白球

6

顆，球大小一致，每球被取出機會均等且每一次取球都為獨立事件，今自袋中取球

36

次，每次取

2

球，先取

1

球，放回後再取第

2

球，隨機變數

X

表示至少有

1

個白球的次數，試求

X

的期望值為 ____。

一箱中裝有

9

個燈泡，其中有

2

個是壞的。今從箱中逐一取出檢驗，取出後不再放回，直到取出一個好的燈泡為止。令隨機變數

X

表示取出的燈泡數，求

P (X > 1) =

____。

第 14～15 題為題組（原卷填充第 8 題）（第 14～15 題）　甲、乙兩人一起玩剪刀石頭布猜拳遊戲，兩人一起出拳，若每人每次出拳為剪刀、石頭、布的機率相等，每次猜拳結果互不影響，試求

(1) 若兩人猜拳直到一人勝出就結束遊戲，求在第四次猜拳後結束遊戲的機率為 ____。

(2) 若兩人一起猜拳

15

次，設隨機變數

X

表恰有一人勝出的次數，試求

X

的變異數為 ____。

甲乙兩人約定比賽桌球，先贏

2

場的人可得獎金

360

元，甲的實力比乙好，平均

3

場會贏

2

場，今第一場因甲失誤而輸了，但是比賽因故終止，試問甲應分配多少獎金才公平？ ____ 元

三、計算題：16 分（視過程部分給分，只有答案沒寫算式不予給分）

第 17～19 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 17～19 題）　從

6

張分別寫有

1

，

2

，

2

，

3

，

3

，

3

的紙牌中隨機取兩張，每張紙牌被取到的機會均等，依據所取的兩張紙牌數字和

k

給予獎金

10 k

，設隨機變數

X

表示得到的總獎金，試求

(1) 隨機變數

X

的機率分布表（4 分）

(2)

P (X > 40) =

____（2 分）

(3) 若玩一次抽牌遊戲需付

50

元，請問參加抽牌遊戲對參加者而言是否有利？（請說明理由）（4 分）

第 20～21 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 20～21 題）　甲手持一枚硬幣，宣稱其正面出現的機率為

0.6

。為了驗證甲所說是否屬實，乙設定檢定標準

α = 0.05

，並連續投擲此枚硬幣

15

次，計算正面出現的次數。

X \sim B (15, 0.6)

的機率分布表：

X = k P (X = k) P (X \leq k) P (X \geq k) 0 0.0000 0.0000 1.0000 1 0.0000 0.0000 1.0000 2 0.0003 0.0003 1.0000 3 0.0016 0.0019 0.9997 4 0.0074 0.0093 0.9981 5 0.0245 0.0338 0.9907 6 0.0612 0.0950 0.9662 7 0.1181 0.2131 0.9050

X = k P (X = k) P (X \leq k) P (X \geq k) 8 0.1771 0.3902 0.7869 9 0.2066 0.5968 0.6098 10 0.1859 0.7827 0.4032 11 0.1268 0.9095 0.2173 12 0.0634 0.9729 0.0905 13 0.0219 0.9948 0.0271 14 0.0047 0.9995 0.0052 15 0.0005 1.0000 0.0005

(1) 求顯著水準為

0.05

的拒絕域？（4 分）

(2) 若乙擲出

13

個正面，是否拒絕硬幣出現正面的機率為

0.6

的說法？（2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(D)(E)

第 2 題(A)(E)

第 3 題(A)(C)(E)

第 4 題(D)(E)

第 5 題

3

第 6 題

\frac{8}{9}

第 7 題

16

第 8 題

\frac{5}{16}

第 9 題

\frac{716}{729}

第 10 題

\frac{160}{729}

第 11 題

(16, 100)

第 12 題

32

第 13 題

\frac{2}{9}

第 14 題

\frac{2}{81}

第 15 題

\frac{10}{3}

第 16 題

160

第 17 題

P (X = 30) = \frac{2}{15}

，

P (X = 40) = \frac{4}{15}

，

P (X = 50) = \frac{6}{15}

，

P (X = 60) = \frac{3}{15}

第 18 題

\frac{3}{5}

第 19 題不利；獎金的期望值是

\frac{140}{3}

元（約

46.7

元），比

50

元少

第 20 題

X \leq 4

或

X \geq 14

（正面出現

0

～

4

次或

14

、

15

次）

第 21 題不拒絕（

13

不在拒絕域內）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：二項分布的性質、由機率分布表求各量

第 1 題答案 (A)(B)(D)(E)。正面次數

X \sim B (20, \frac{1}{2})

，

P (X = k) = C_{k}^{20} (\frac{1}{2})^{20}

。(A) ○：

20

次都是正面的機率是

(\frac{1}{2})^{20} > 0

，可能發生。(B) ○：各個

k

的機率只差在

C_{k}^{20}

，而

C_{k}^{20}

在

k = 10

時最大。(C) ×：

P (X = 10) = \frac{C _{10}^{20}}{2 ^{20}} = \frac{184756}{1048576} \approx 0.176

，不是

\frac{1}{2}

。(D) ○：期望值

n p = 20 \times \frac{1}{2} = 10

。(E) ○：

C_{2}^{20} = C_{18}^{20} = 190

，所以兩個機率相等。

期望值是

10

次，不表示恰好

10

次的機率有一半；

10

次只是所有次數裡機率最大的一個。

第 2 題答案 (A)(E)。(A) ○：比

1

大的值只有

2

，

P (X > 1) = P (X = 2) = 0.1

。(B) ×：

P (∣ X ∣ = 1) = P (X = - 1) + P (X = 1) = 0.1 + 0.3 = 0.4

。(C) ×：

E (X) = (- 2) \times 0.4 + (- 1) \times 0.1 + 0 \times 0.1 + 1 \times 0.3 + 2 \times 0.1 = - 0.8 - 0.1 + 0.3 + 0.2 = - 0.4

。(D) ×：

E (X^{2}) = 4 \times 0.4 + 1 \times 0.1 + 0 \times 0.1 + 1 \times 0.3 + 4 \times 0.1 = 2.4

。(E) ○：

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 2.4 - 0.16 = 2.24

，

σ (X) = 2.24

。

選項 (C) 少了負號；選項 (D) 的

0.16

是

(E (X))^{2}

，不是

E (X^{2})

。

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

，標準差是變異數的正平方根。

02多選第 3、4 題：隨機變數的運算、一次取兩球的二項分布

第 3 題答案 (A)(C)(E)。兩顆骰子共有

4 \times 6 = 24

種等機率的結果。(A) ○：每個結果都對應到一個實數

X^{2}

（可能值

1, 4, 9, 16

），所以

X^{2}

也是隨機變數。(B) ×：

X + Y

最小是

1 + 1 = 2

，最大是

4 + 6 = 10

，可能值是

2, 3, \dots, 10

，共

9

個；

24

是樣本點的個數。(C) ○：

E (X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{5}{2}

，

E (- X) = - E (X) = - \frac{5}{2}

。(D) ×：

Var (2 X) = 2^{2} Var (X) = 4 Var (X)

，而

Var (X) = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{4} - (\frac{5}{2})^{2} = \frac{5}{4} \neq = 0

，所以兩邊不相等。(E) ○：

X + Y = 4

的結果有

(X, Y) = (1, 3), (2, 2), (3, 1)

三種，機率

\frac{3}{24} = \frac{1}{8}

。

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

，係數要平方。

第 4 題答案 (D)(E)。袋中共

8

球，一次取

2

球有

C_{2}^{8} = 28

種取法，兩球同色有

C_{2}^{3} + C_{2}^{2} + C_{2}^{3} = 3 + 1 + 3 = 7

種，所以每次取到同色的機率是

\frac{7}{28} = \frac{1}{4}

。取後放回，各次互不影響，

X \sim B (7, \frac{1}{4})

。(A) ×：

7

次都不同色時

X = 0

，可能值是

0, 1, 2, \dots, 7

。(B) ×：

P (X = 2) = C_{2}^{7} (\frac{1}{4})^{2} (\frac{3}{4})^{5}

，選項少了

(\frac{3}{4})^{5}

。(C) ×：

P (X = 2) = \frac{21 \times 3 ^{5}}{4 ^{7}} = \frac{5103}{16384}

，

P (X = 1) = \frac{7 \times 3 ^{6}}{4 ^{7}} = \frac{5103}{16384}

，兩者相等，不是大於。(D) ○：期望值

7 \times \frac{1}{4} = \frac{7}{4}

。(E) ○：變異數

7 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{21}{16}

，標準差

\frac{21}{4}

。

選項 (C) 不能只憑感覺判斷，要把兩個機率實際算出來比。

X \sim B (n, p)

：可能值是

0

到

n

，

P (X = k) = C_{k}^{n} p^{k} (1 - p)^{n - k}

，期望值

n p

，變異數

n p (1 - p)

。

03填充第 1、2 題（本頁第 5～7 題）：期望值與變異數的運算

第 5 題機率總和為

1

：

2 a^{2} + a + 3 a^{2} + a^{2} = 1

，即

6 a^{2} + a - 1 = 0

，

(3 a - 1) (2 a + 1) = 0

。機率不能是負的，所以

a = \frac{1}{3}

，四個機率依序是

\frac{2}{9}

，

\frac{3}{9}

，

\frac{3}{9}

，

\frac{1}{9}

。

E (X) = (- 1) \times \frac{2}{9} + 0 \times \frac{3}{9} + 1 \times \frac{3}{9} + 2 \times \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

，所以

E (Y) = 3 E (X) + 2 = 3 \times \frac{1}{3} + 2 = 3

。

a = - \frac{1}{2}

會讓

P (X = 0) = a

變成負的，要捨去。

第 6 題

E (X^{2}) = 1 \times \frac{2}{9} + 0 \times \frac{3}{9} + 1 \times \frac{3}{9} + 4 \times \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1

，所以

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

。

這一格問的是

X

的變異數，不是

Y

的；

Var (Y) = 3^{2} \times \frac{8}{9} = 8

。

第 7 題

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 9 - 2^{2} = 5

。

E (- 2 X) = - 2 E (X) = - 4

，

Var (- 2 X + 3) = (- 2)^{2} Var (X) = 4 \times 5 = 20

。所求

= - 4 + 20 = 16

。

卷面第二項印

Var (- 2 x + 3)

，小寫

x

依題意就是隨機變數

X

。加上常數

3

不改變變異數。

E (a X + b) = a E (X) + b

，

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

。

04填充第 3、4 題（本頁第 8～10 題）：重複試驗的機率

第 8 題每次出現奇數點、偶數點的機率各是

\frac{1}{2}

。

5

次後到

(2, 3)

，表示向右

2

次（偶數點）、向上

3

次（奇數點）。

5

次中選哪

2

次是偶數點有

C_{2}^{5} = 10

種，機率

= 10 \times (\frac{1}{2})^{5} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}

。

第 9 題正面次數

X \sim B (6, \frac{2}{3})

。「至少

2

次正面」的反面是「

0

次或

1

次正面」：

P (X = 0) = (\frac{1}{3})^{6} = \frac{1}{729}

，

P (X = 1) = C_{1}^{6} \times \frac{2}{3} \times (\frac{1}{3})^{5} = \frac{12}{729}

。所求

= 1 - \frac{1}{729} - \frac{12}{729} = \frac{716}{729}

。

第 10 題「恰在第

6

次出現第

4

次正面」表示前

5

次恰有

3

次正面，而且第

6

次是正面。前

5

次恰

3

正的機率是

C_{3}^{5} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3})^{2} = \frac{80}{243}

，再乘上第

6

次正面的

\frac{2}{3}

，得

\frac{80}{243} \times \frac{2}{3} = \frac{160}{729}

。

不是「

6

次中恰

4

次正面」的

C_{4}^{6} (\frac{2}{3})^{4} (\frac{1}{3})^{2} = \frac{240}{729}

；那樣算會把第

4

次正面提早出現的情形也算進去。

「至少」先看反面；「第幾次才出現第幾次成功」拆成前面幾次的二項機率乘上最後一次成功。

05填充第 5～7 題（本頁第 11～13 題）：二項分布的反求與期望值、逐一取出的機率

第 11 題每次取到紅球的機率

p = \frac{4}{4 + x}

，取後放回，紅球次數服從

B (n, p)

。期望值

n p = 20

，變異數

n p (1 - p) = 4^{2} = 16

。兩式相除得

1 - p = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}

，

p = \frac{1}{5}

。代回

n \times \frac{1}{5} = 20

，

n = 100

；又

\frac{4}{4 + x} = \frac{1}{5}

，

4 + x = 20

，

x = 16

。所以

(x, n) = (16, 100)

。

題目給的是標準差

4

，要先平方成變異數

16

再代公式。

第 12 題每次取

2

球是「取

1

球、放回、再取

1

球」，兩球各自取到紅球的機率都是

\frac{3}{9} = \frac{1}{3}

。「至少有

1

個白球」的反面是「兩球都是紅球」，機率

(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}

，所以每次至少有

1

個白球的機率是

1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

。

36

次互相獨立，

X \sim B (36, \frac{8}{9})

，期望值

= 36 \times \frac{8}{9} = 32

。

第 13 題

X > 1

表示第

1

個取出的不是好燈泡（所以還要繼續取），也就是第

1

個取到壞的。

9

個燈泡中有

2

個壞的，

P (X > 1) = \frac{2}{9}

。

也可以用

1 - P (X = 1) = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}

。

X

的可能值是

1, 2, 3

，機率依序是

\frac{7}{9}

，

\frac{2}{9} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{36}

，

\frac{2}{9} \times \frac{1}{8} \times 1 = \frac{1}{36}

，總和是

1

。

二項分布反求：先用變異數除以期望值求出

1 - p

，再用

n p

求

n

。

06填充第 8、9 題（本頁第 14～16 題）：猜拳、公平分配獎金

第 14 題兩人各出一拳共

3 \times 3 = 9

種等機率的結果，其中平手（兩人出一樣）有

3

種，分出勝負有

6

種。所以每次平手的機率是

\frac{1}{3}

，有一人勝出的機率是

\frac{2}{3}

。第四次猜拳後結束，表示前三次都平手、第四次分出勝負：

(\frac{1}{3})^{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{81}

。

第 15 題每次「恰有一人勝出」的機率是

\frac{2}{3}

，各次互不影響，

X \sim B (15, \frac{2}{3})

。變異數

= 15 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{10}{3}

。

兩人猜拳只要不是平手就恰有一人勝出。

第 16 題甲每場獲勝的機率是

\frac{2}{3}

，乙是

\frac{1}{3}

。目前乙

1

勝、甲

0

勝，先贏

2

場的人得獎。如果比下去，甲要拿到獎金必須接下來連贏

2

場（中間只要輸一場，乙就先到

2

勝），機率

\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

。公平的分法是照各自得獎金的期望值分：甲應得

360 \times \frac{4}{9} = 160

元（乙得

200

元）。

不是照實力

2 : 1

分，也不是照已經贏的場數分，而是照「如果比完，各自得獎的機率」分。乙得獎的機率是

\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{9}

，與

1 - \frac{4}{9}

相符。

比賽中止的獎金分配：算出「繼續比完」時各人得獎的機率，照獎金的期望值分。

07計算第 1 題（本頁第 17～19 題）：抽牌獎金的機率分布與期望值

第 17 題把

6

張牌看成不同的

6

張，取兩張共

C_{2}^{6} = 15

種等機率的取法。依兩張的數字分類：

1

與

2

有

1 \times 2 = 2

種，和為

3

；

1

與

3

有

1 \times 3 = 3

種，和為

4

；兩張都是

2

有

C_{2}^{2} = 1

種，和為

4

；

2

與

3

有

2 \times 3 = 6

種，和為

5

；兩張都是

3

有

C_{2}^{3} = 3

種，和為

6

（合計

2 + 3 + 1 + 6 + 3 = 15

）。獎金

X = 10 k

，所以機率分布表為

X 機率 30 \frac{2}{15} 40 \frac{4}{15} 50 \frac{6}{15} 60 \frac{3}{15}

數字和為

4

有兩種來源（

1 + 3

與

2 + 2

），要合併成

3 + 1 = 4

種。

第 18 題

P (X > 40) = P (X = 50) + P (X = 60) = \frac{6}{15} + \frac{3}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}

。

第 19 題

E (X) = 30 \times \frac{2}{15} + 40 \times \frac{4}{15} + 50 \times \frac{6}{15} + 60 \times \frac{3}{15} = \frac{60 + 160 + 300 + 180}{15} = \frac{700}{15} = \frac{140}{3} \approx 46.7

（元）。玩一次要付

50

元，平均只拿回約

46.7

元，期望值比費用少

\frac{10}{3}

元，所以對參加者不利。

雖然拿到

50

元以上的機率有

\frac{3}{5}

，但判斷有利與否要看期望值，不是看機率是否過半。

判斷遊戲是否有利：比較獎金的期望值與參加費用。

08計算第 2 題（本頁第 20、21 題）：以二項分布做檢定

第 20 題要檢驗的說法是「正面的機率是

0.6

」。先假設它成立，此時

15

次中的正面次數

X \sim B (15, 0.6)

，期望值是

9

次。正面次數太少或太多都會讓人懷疑這個說法，所以拒絕域取在兩端，形如

X \leq a

或

X \geq b

，兩端的機率各不超過

\frac{α}{2} = 0.025

。查表：左端

P (X \leq 4) = 0.0093 \leq 0.025

，

P (X \leq 5) = 0.0338 > 0.025

，所以

a = 4

；右端

P (X \geq 14) = 0.0052 \leq 0.025

，

P (X \geq 13) = 0.0271 > 0.025

，所以

b = 14

。拒絕域是

X \leq 4

或

X \geq 14

，也就是正面出現

0, 1, 2, 3, 4

次或

14, 15

次。

假設成立時落入拒絕域的機率是

0.0093 + 0.0052 = 0.0145

，不超過

0.05

。如果把

5

與

13

也放進去，機率變成

0.0338 + 0.0271 = 0.0609

，就超過

0.05

了。本頁採用課本「兩端各不超過

0.025

」的做法；課堂上若有不同的規定，以學校的為準。

第 21 題

X = 13

不在拒絕域（

X \leq 4

或

X \geq 14

）內，所以不拒絕「正面的機率為

0.6

」的說法。

P (X \geq 13) = 0.0271

比

0.025

大一點，所以

13

沒有被放進拒絕域。不拒絕並不表示證明了機率就是

0.6

，只是這次的結果還不足以推翻它。

檢驗機率等於某個值的說法時，拒絕域取在兩端，每一端的機率各自和顯著水準的一半比較。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

高雄新興高中 112 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 112 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 4 題的選項 C 要實際算出兩個機率，會發現恰好相等而不是大於；選項 A 漏了零次。第 10 題恰在第六次出現第四次正面，是前五次恰有三次正面再乘上第六次是正面。第 16 題要從還沒比完的場次往下推，甲已經輸一場，必須連贏兩場才拿得到獎金。第 20 題的拒絕域兩端各自和零點零二五比，正面十三次以上的機率比零點零二五多一點，所以十三次不在拒絕域裡。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 112 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：隨機變數與機率分布、期望值、變異數與標準差、二項分布、以二項分布做檢定

高雄新興高中 112 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

一、多選題：每題 6 分，共 24 分（錯一個選項扣 2 分，扣完為止）

在重複丟一個均勻硬幣

20

次的試驗中，下列敘述何者是正確的？

(A) 可能出現 $20$ 次正面
(B) 出現 $10$ 次正面的機率最大
(C) 恰出現 $10$ 次正面的機率為 $\frac{1}{2}$
(D) 出現正面次數的期望值為 $10$ 次
(E) 出現 $2$ 次正面的機率與出現 $18$ 次正面的機率相等

若

X

為離散型隨機變數，

X

的機率分布表如下：

x_{k} P (X = x_{k}) - 2 0.4 - 1 0.1 0 0.1 1 0.3 2 0.1

則下列敘述哪些是正確的？

(A) $P (X > 1) = 0.1$
(B) $P (∣ X ∣ = 1) = 0.3$
(C) $E (X) = 0.4$
(D) $E (X^{2}) = 0.16$
(E) $σ (X) = 2.24$

有兩粒公正的特殊骰子：一顆為四面分別標示

1

，

2

，

3

，

4

的正四面體骰子

A

，另一顆為六面分別標示

1

，

2

，

3

，

4

，

5

，

6

的正六面體骰子

B

。同時擲兩顆骰子，設隨機變數

X

為

A

出現的點數，隨機變數

Y

為

B

出現的點數，下列敘述何者正確？

(A) $X^{2}$ 為一隨機變數
(B) 隨機變數 $X + Y$ 可能取值有 $24$ 個
(C) $E (- X) = - \frac{5}{2}$
(D) $Var (2 X) = 2 Var (X)$
(E) $P (X + Y = 4) = \frac{1}{8}$

一袋中有

3

個紅球、

2

個白球及

3

個黑球，今從袋中每次隨機取出

2

個球，取後放回，共取

7

次。令隨機變數

X

表示抽到兩球為同色球的次數，試問下列何者為真？

(A) 隨機變數 $X$ 可能取值為 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$
(B) $P (X = 2) = C_{2}^{7} (\frac{1}{4})^{2}$
(C) $P (X = 2) > P (X = 1)$
(D) $X$ 的期望值為 $\frac{7}{4}$ 次
(E) $X$ 的標準差為 $\frac{21}{4}$ 次。

二、填充題：每格 5 分，12 格，共 60 分

第 5～6 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 5～6 題）　設隨機變數

X

的機率分布表如下，且令

Y = 3 X + 2

，則

x p (x) - 1 2 a^{2} 0 a 1 3 a^{2} 2 a^{2}

(1)

E (Y) =

____。

(2)

Var (X) =

____。

設

X

為一隨機變數，若

E (X) = 2

，

E (X^{2}) = 9

，試求

E (- 2 X) + Var (- 2 x + 3) =

____。（卷面第二項括號內印小寫

x

，依題意為

X

）

甲站在坐標平面上原點處，今投擲一公正骰子，出現奇數點時，他向上移動一單位，出現偶數點時，向右移動一單位，則他投了

5

次骰子後移動到

(2, 3)

的機率為 ____。

第 9～10 題為題組（原卷填充第 4 題）（第 9～10 題）　已知一枚不均勻硬幣，出現正面的機率為

\frac{2}{3}

，出現反面的機率為

\frac{1}{3}

，今擲此硬幣

6

次，試求

(1) 至少出現

2

次正面的機率為 ____。

(2) 恰在第

6

次出現第

4

次正面的機率為 ____。

袋中有大小相同的紅球

4

顆及黑球

x

顆，每次從袋中任取一球，觀察顏色後再放回袋中，共取球

n

次，設每顆球被取到的機率均等且每一次取球都為獨立事件。已知取得紅球的次數之期望值為

20

次，標準差為

4

次，則數對

(x, n) =

____。

某球袋中裝有紅球

3

顆，白球

6

顆，球大小一致，每球被取出機會均等且每一次取球都為獨立事件，今自袋中取球

36

次，每次取

2

球，先取

1

球，放回後再取第

2

球，隨機變數

X

表示至少有

1

個白球的次數，試求

X

的期望值為 ____。

一箱中裝有

9

個燈泡，其中有

2

個是壞的。今從箱中逐一取出檢驗，取出後不再放回，直到取出一個好的燈泡為止。令隨機變數

X

表示取出的燈泡數，求

P (X > 1) =

____。

(1) 若兩人猜拳直到一人勝出就結束遊戲，求在第四次猜拳後結束遊戲的機率為 ____。

(2) 若兩人一起猜拳

15

次，設隨機變數

X

表恰有一人勝出的次數，試求

X

的變異數為 ____。

甲乙兩人約定比賽桌球，先贏

2

場的人可得獎金

360

元，甲的實力比乙好，平均

3

場會贏

2

場，今第一場因甲失誤而輸了，但是比賽因故終止，試問甲應分配多少獎金才公平？ ____ 元

三、計算題：16 分（視過程部分給分，只有答案沒寫算式不予給分）

第 17～19 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 17～19 題）　從

6

張分別寫有

1

，

2

，

2

，

3

，

3

，

3

的紙牌中隨機取兩張，每張紙牌被取到的機會均等，依據所取的兩張紙牌數字和

k

給予獎金

10 k

，設隨機變數

X

表示得到的總獎金，試求

(1) 隨機變數

X

的機率分布表（4 分）

(2)

P (X > 40) =

____（2 分）

(3) 若玩一次抽牌遊戲需付

50

元，請問參加抽牌遊戲對參加者而言是否有利？（請說明理由）（4 分）

第 20～21 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 20～21 題）　甲手持一枚硬幣，宣稱其正面出現的機率為

0.6

。為了驗證甲所說是否屬實，乙設定檢定標準

α = 0.05

，並連續投擲此枚硬幣

15

次，計算正面出現的次數。

X \sim B (15, 0.6)

的機率分布表：

X = k P (X = k) P (X \leq k) P (X \geq k) 0 0.0000 0.0000 1.0000 1 0.0000 0.0000 1.0000 2 0.0003 0.0003 1.0000 3 0.0016 0.0019 0.9997 4 0.0074 0.0093 0.9981 5 0.0245 0.0338 0.9907 6 0.0612 0.0950 0.9662 7 0.1181 0.2131 0.9050

X = k P (X = k) P (X \leq k) P (X \geq k) 8 0.1771 0.3902 0.7869 9 0.2066 0.5968 0.6098 10 0.1859 0.7827 0.4032 11 0.1268 0.9095 0.2173 12 0.0634 0.9729 0.0905 13 0.0219 0.9948 0.0271 14 0.0047 0.9995 0.0052 15 0.0005 1.0000 0.0005

(1) 求顯著水準為

0.05

的拒絕域？（4 分）

(2) 若乙擲出

13

個正面，是否拒絕硬幣出現正面的機率為

0.6

的說法？（2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(D)(E)

第 2 題(A)(E)

第 3 題(A)(C)(E)

第 4 題(D)(E)

第 5 題

3

第 6 題

\frac{8}{9}

第 7 題

16

第 8 題

\frac{5}{16}

第 9 題

\frac{716}{729}

第 10 題

\frac{160}{729}

第 11 題

(16, 100)

第 12 題

32

第 13 題

\frac{2}{9}

第 14 題

\frac{2}{81}

第 15 題

\frac{10}{3}

第 16 題

160

第 17 題

P (X = 30) = \frac{2}{15}

，

P (X = 40) = \frac{4}{15}

，

P (X = 50) = \frac{6}{15}

，

P (X = 60) = \frac{3}{15}

第 18 題

\frac{3}{5}

第 19 題不利；獎金的期望值是

\frac{140}{3}

元（約

46.7

元），比

50

元少

第 20 題

X \leq 4

或

X \geq 14

（正面出現

0

～

4

次或

14

、

15

次）

第 21 題不拒絕（

13

不在拒絕域內）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：二項分布的性質、由機率分布表求各量

第 1 題答案 (A)(B)(D)(E)。正面次數

X \sim B (20, \frac{1}{2})

，

P (X = k) = C_{k}^{20} (\frac{1}{2})^{20}

。(A) ○：

20

次都是正面的機率是

(\frac{1}{2})^{20} > 0

，可能發生。(B) ○：各個

k

的機率只差在

C_{k}^{20}

，而

C_{k}^{20}

在

k = 10

時最大。(C) ×：

P (X = 10) = \frac{C _{10}^{20}}{2 ^{20}} = \frac{184756}{1048576} \approx 0.176

，不是

\frac{1}{2}

。(D) ○：期望值

n p = 20 \times \frac{1}{2} = 10

。(E) ○：

C_{2}^{20} = C_{18}^{20} = 190

，所以兩個機率相等。

期望值是

10

次，不表示恰好

10

次的機率有一半；

10

次只是所有次數裡機率最大的一個。

第 2 題答案 (A)(E)。(A) ○：比

1

大的值只有

2

，

P (X > 1) = P (X = 2) = 0.1

。(B) ×：

P (∣ X ∣ = 1) = P (X = - 1) + P (X = 1) = 0.1 + 0.3 = 0.4

。(C) ×：

E (X) = (- 2) \times 0.4 + (- 1) \times 0.1 + 0 \times 0.1 + 1 \times 0.3 + 2 \times 0.1 = - 0.8 - 0.1 + 0.3 + 0.2 = - 0.4

。(D) ×：

E (X^{2}) = 4 \times 0.4 + 1 \times 0.1 + 0 \times 0.1 + 1 \times 0.3 + 4 \times 0.1 = 2.4

。(E) ○：

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 2.4 - 0.16 = 2.24

，

σ (X) = 2.24

。

選項 (C) 少了負號；選項 (D) 的

0.16

是

(E (X))^{2}

，不是

E (X^{2})

。

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

，標準差是變異數的正平方根。

02多選第 3、4 題：隨機變數的運算、一次取兩球的二項分布

第 3 題答案 (A)(C)(E)。兩顆骰子共有

4 \times 6 = 24

種等機率的結果。(A) ○：每個結果都對應到一個實數

X^{2}

（可能值

1, 4, 9, 16

），所以

X^{2}

也是隨機變數。(B) ×：

X + Y

最小是

1 + 1 = 2

，最大是

4 + 6 = 10

，可能值是

2, 3, \dots, 10

，共

9

個；

24

是樣本點的個數。(C) ○：

E (X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{5}{2}

，

E (- X) = - E (X) = - \frac{5}{2}

。(D) ×：

Var (2 X) = 2^{2} Var (X) = 4 Var (X)

，而

Var (X) = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{4} - (\frac{5}{2})^{2} = \frac{5}{4} \neq = 0

，所以兩邊不相等。(E) ○：

X + Y = 4

的結果有

(X, Y) = (1, 3), (2, 2), (3, 1)

三種，機率

\frac{3}{24} = \frac{1}{8}

。

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

，係數要平方。

第 4 題答案 (D)(E)。袋中共

8

球，一次取

2

球有

C_{2}^{8} = 28

種取法，兩球同色有

C_{2}^{3} + C_{2}^{2} + C_{2}^{3} = 3 + 1 + 3 = 7

種，所以每次取到同色的機率是

\frac{7}{28} = \frac{1}{4}

。取後放回，各次互不影響，

X \sim B (7, \frac{1}{4})

。(A) ×：

7

次都不同色時

X = 0

，可能值是

0, 1, 2, \dots, 7

。(B) ×：

P (X = 2) = C_{2}^{7} (\frac{1}{4})^{2} (\frac{3}{4})^{5}

，選項少了

(\frac{3}{4})^{5}

。(C) ×：

P (X = 2) = \frac{21 \times 3 ^{5}}{4 ^{7}} = \frac{5103}{16384}

，

P (X = 1) = \frac{7 \times 3 ^{6}}{4 ^{7}} = \frac{5103}{16384}

，兩者相等，不是大於。(D) ○：期望值

7 \times \frac{1}{4} = \frac{7}{4}

。(E) ○：變異數

7 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{21}{16}

，標準差

\frac{21}{4}

。

選項 (C) 不能只憑感覺判斷，要把兩個機率實際算出來比。

X \sim B (n, p)

：可能值是

0

到

n

，

P (X = k) = C_{k}^{n} p^{k} (1 - p)^{n - k}

，期望值

n p

，變異數

n p (1 - p)

。

03填充第 1、2 題（本頁第 5～7 題）：期望值與變異數的運算

第 5 題機率總和為

1

：

2 a^{2} + a + 3 a^{2} + a^{2} = 1

，即

6 a^{2} + a - 1 = 0

，

(3 a - 1) (2 a + 1) = 0

。機率不能是負的，所以

a = \frac{1}{3}

，四個機率依序是

\frac{2}{9}

，

\frac{3}{9}

，

\frac{3}{9}

，

\frac{1}{9}

。

E (X) = (- 1) \times \frac{2}{9} + 0 \times \frac{3}{9} + 1 \times \frac{3}{9} + 2 \times \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

，所以

E (Y) = 3 E (X) + 2 = 3 \times \frac{1}{3} + 2 = 3

。

a = - \frac{1}{2}

會讓

P (X = 0) = a

變成負的，要捨去。

第 6 題

E (X^{2}) = 1 \times \frac{2}{9} + 0 \times \frac{3}{9} + 1 \times \frac{3}{9} + 4 \times \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1

，所以

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

。

這一格問的是

X

的變異數，不是

Y

的；

Var (Y) = 3^{2} \times \frac{8}{9} = 8

。

第 7 題

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 9 - 2^{2} = 5

。

E (- 2 X) = - 2 E (X) = - 4

，

Var (- 2 X + 3) = (- 2)^{2} Var (X) = 4 \times 5 = 20

。所求

= - 4 + 20 = 16

。

卷面第二項印

Var (- 2 x + 3)

，小寫

x

依題意就是隨機變數

X

。加上常數

3

不改變變異數。

E (a X + b) = a E (X) + b

，

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

。

04填充第 3、4 題（本頁第 8～10 題）：重複試驗的機率

第 8 題每次出現奇數點、偶數點的機率各是

\frac{1}{2}

。

5

次後到

(2, 3)

，表示向右

2

次（偶數點）、向上

3

次（奇數點）。

5

次中選哪

2

次是偶數點有

C_{2}^{5} = 10

種，機率

= 10 \times (\frac{1}{2})^{5} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}

。

第 9 題正面次數

X \sim B (6, \frac{2}{3})

。「至少

2

次正面」的反面是「

0

次或

1

次正面」：

P (X = 0) = (\frac{1}{3})^{6} = \frac{1}{729}

，

P (X = 1) = C_{1}^{6} \times \frac{2}{3} \times (\frac{1}{3})^{5} = \frac{12}{729}

。所求

= 1 - \frac{1}{729} - \frac{12}{729} = \frac{716}{729}

。

第 10 題「恰在第

6

次出現第

4

次正面」表示前

5

次恰有

3

次正面，而且第

6

次是正面。前

5

次恰

3

正的機率是

C_{3}^{5} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3})^{2} = \frac{80}{243}

，再乘上第

6

次正面的

\frac{2}{3}

，得

\frac{80}{243} \times \frac{2}{3} = \frac{160}{729}

。

不是「

6

次中恰

4

次正面」的

C_{4}^{6} (\frac{2}{3})^{4} (\frac{1}{3})^{2} = \frac{240}{729}

；那樣算會把第

4

次正面提早出現的情形也算進去。

「至少」先看反面；「第幾次才出現第幾次成功」拆成前面幾次的二項機率乘上最後一次成功。

05填充第 5～7 題（本頁第 11～13 題）：二項分布的反求與期望值、逐一取出的機率

第 11 題每次取到紅球的機率

p = \frac{4}{4 + x}

，取後放回，紅球次數服從

B (n, p)

。期望值

n p = 20

，變異數

n p (1 - p) = 4^{2} = 16

。兩式相除得

1 - p = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}

，

p = \frac{1}{5}

。代回

n \times \frac{1}{5} = 20

，

n = 100

；又

\frac{4}{4 + x} = \frac{1}{5}

，

4 + x = 20

，

x = 16

。所以

(x, n) = (16, 100)

。

題目給的是標準差

4

，要先平方成變異數

16

再代公式。

第 12 題每次取

2

球是「取

1

球、放回、再取

1

球」，兩球各自取到紅球的機率都是

\frac{3}{9} = \frac{1}{3}

。「至少有

1

個白球」的反面是「兩球都是紅球」，機率

(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}

，所以每次至少有

1

個白球的機率是

1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

。

36

次互相獨立，

X \sim B (36, \frac{8}{9})

，期望值

= 36 \times \frac{8}{9} = 32

。

第 13 題

X > 1

表示第

1

個取出的不是好燈泡（所以還要繼續取），也就是第

1

個取到壞的。

9

個燈泡中有

2

個壞的，

P (X > 1) = \frac{2}{9}

。

也可以用

1 - P (X = 1) = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}

。

X

的可能值是

1, 2, 3

，機率依序是

\frac{7}{9}

，

\frac{2}{9} \times \frac{7}{8} = \frac{7}{36}

，

\frac{2}{9} \times \frac{1}{8} \times 1 = \frac{1}{36}

，總和是

1

。

二項分布反求：先用變異數除以期望值求出

1 - p

，再用

n p

求

n

。

06填充第 8、9 題（本頁第 14～16 題）：猜拳、公平分配獎金

第 14 題兩人各出一拳共

3 \times 3 = 9

種等機率的結果，其中平手（兩人出一樣）有

3

種，分出勝負有

6

種。所以每次平手的機率是

\frac{1}{3}

，有一人勝出的機率是

\frac{2}{3}

。第四次猜拳後結束，表示前三次都平手、第四次分出勝負：

(\frac{1}{3})^{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{81}

。

第 15 題每次「恰有一人勝出」的機率是

\frac{2}{3}

，各次互不影響，

X \sim B (15, \frac{2}{3})

。變異數

= 15 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{10}{3}

。

兩人猜拳只要不是平手就恰有一人勝出。

第 16 題甲每場獲勝的機率是

\frac{2}{3}

，乙是

\frac{1}{3}

。目前乙

1

勝、甲

0

勝，先贏

2

場的人得獎。如果比下去，甲要拿到獎金必須接下來連贏

2

場（中間只要輸一場，乙就先到

2

勝），機率

\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

。公平的分法是照各自得獎金的期望值分：甲應得

360 \times \frac{4}{9} = 160

元（乙得

200

元）。

不是照實力

2 : 1

分，也不是照已經贏的場數分，而是照「如果比完，各自得獎的機率」分。乙得獎的機率是

\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{5}{9}

，與

1 - \frac{4}{9}

相符。

比賽中止的獎金分配：算出「繼續比完」時各人得獎的機率，照獎金的期望值分。

07計算第 1 題（本頁第 17～19 題）：抽牌獎金的機率分布與期望值

第 17 題把

6

張牌看成不同的

6

張，取兩張共

C_{2}^{6} = 15

種等機率的取法。依兩張的數字分類：

1

與

2

有

1 \times 2 = 2

種，和為

3

；

1

與

3

有

1 \times 3 = 3

種，和為

4

；兩張都是

2

有

C_{2}^{2} = 1

種，和為

4

；

2

與

3

有

2 \times 3 = 6

種，和為

5

；兩張都是

3

有

C_{2}^{3} = 3

種，和為

6

（合計

2 + 3 + 1 + 6 + 3 = 15

）。獎金

X = 10 k

，所以機率分布表為

X 機率 30 \frac{2}{15} 40 \frac{4}{15} 50 \frac{6}{15} 60 \frac{3}{15}

數字和為

4

有兩種來源（

1 + 3

與

2 + 2

），要合併成

3 + 1 = 4

種。

第 18 題

P (X > 40) = P (X = 50) + P (X = 60) = \frac{6}{15} + \frac{3}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}

。

第 19 題

E (X) = 30 \times \frac{2}{15} + 40 \times \frac{4}{15} + 50 \times \frac{6}{15} + 60 \times \frac{3}{15} = \frac{60 + 160 + 300 + 180}{15} = \frac{700}{15} = \frac{140}{3} \approx 46.7

（元）。玩一次要付

50

元，平均只拿回約

46.7

元，期望值比費用少

\frac{10}{3}

元，所以對參加者不利。

雖然拿到

50

元以上的機率有

\frac{3}{5}

，但判斷有利與否要看期望值，不是看機率是否過半。

判斷遊戲是否有利：比較獎金的期望值與參加費用。

08計算第 2 題（本頁第 20、21 題）：以二項分布做檢定

第 20 題要檢驗的說法是「正面的機率是

0.6

」。先假設它成立，此時

15

次中的正面次數

X \sim B (15, 0.6)

，期望值是

9

次。正面次數太少或太多都會讓人懷疑這個說法，所以拒絕域取在兩端，形如

X \leq a

或

X \geq b

，兩端的機率各不超過

\frac{α}{2} = 0.025

。查表：左端

P (X \leq 4) = 0.0093 \leq 0.025

，

P (X \leq 5) = 0.0338 > 0.025

，所以

a = 4

；右端

P (X \geq 14) = 0.0052 \leq 0.025

，

P (X \geq 13) = 0.0271 > 0.025

，所以

b = 14

。拒絕域是

X \leq 4

或

X \geq 14

，也就是正面出現

0, 1, 2, 3, 4

次或

14, 15

次。

假設成立時落入拒絕域的機率是

0.0093 + 0.0052 = 0.0145

，不超過

0.05

。如果把

5

與

13

也放進去，機率變成

0.0338 + 0.0271 = 0.0609

，就超過

0.05

了。本頁採用課本「兩端各不超過

0.025

」的做法；課堂上若有不同的規定，以學校的為準。

第 21 題

X = 13

不在拒絕域（

X \leq 4

或

X \geq 14

）內，所以不拒絕「正面的機率為

0.6

」的說法。

P (X \geq 13) = 0.0271

比

0.025

大一點，所以

13

沒有被放進拒絕域。不拒絕並不表示證明了機率就是

0.6

，只是這次的結果還不足以推翻它。

檢驗機率等於某個值的說法時，拒絕域取在兩端，每一端的機率各自和顯著水準的一半比較。

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04填充第 3、4 題（本頁第 8～10 題）：重複試驗的機率

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06填充第 8、9 題（本頁第 14～16 題）：猜拳、公平分配獎金

07計算第 1 題（本頁第 17～19 題）：抽牌獎金的機率分布與期望值

08計算第 2 題（本頁第 20、21 題）：以二項分布做檢定

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