段考詳解範圍：隨機變數與機率分布、期望值、變異數與標準差、二項分布

高雄新興高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、多重選擇題 2 題（每題 6 分，共 12 分）、填充題 10 格（依配分表給分，共 58 分）、計算題 2 題共 5 小題（共 20 分），合計 100 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、單選題（每題 5 分，共 10 分）

設函數

f (x)

為

= ⎩ ⎨ ⎧ 2^{- x}, a, 0, x = 1, 2, 3 x = 4 其他值

，若

f (x)

為一機率質量函數，下列敘述何者正確？

(A) $f (- 1) = 2$
(B) $f (1) = 2$
(C) $f (2) = 4$
(D) $f (3) = 0$
(E) $a = \frac{1}{8}$

二項分布

X \sim B (25, 0.4)

，下列敘述何者正確？

(A) $X$ 的可能值有 $25$ 個
(B) $X$ 的期望值是 $10$
(C) $X = 12$ 與 $X = 14$ 的機率相同
(D) $X = 9$ 與 $X = 11$ 的機率相同
(E) $X$ 的標準差大於 $3$

二、多重選擇題（每題 6 分，共 12 分，答錯 1 個選項給 4 分，答錯 2 個選項給 2 分，答錯 3 個以上不給分）（本頁第 3、4 題為原卷多重選擇第 1、2 題）

關於隨機變數的敘述，下列哪些正確？

(A) 隨機變數的取值可能有無限多個
(B) 隨機變數是一個由實數值對應到樣本點的函數
(C) 袋中有 $10$ 個號碼球 ${1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6}$ ，由袋中任取一球，令 $X$ 表取出球的號碼，則 $X$ 是隨機變數
(D) 若隨機變數 $X$ 可能取值為 $0$ ， $1$ ，則 $X$ 的變異數 $Var (X)$ 可能為 $\frac{1}{2}$
(E) 若隨機變數 $X$ 可能取值為 $0$ ， $1$ ，則 $X$ 的變異數 $Var (X)$ 可能為 $0$

關於二項分布的敘述哪些正確？

(A) 丟一個硬幣 $20$ 次，令隨機變數 $X$ 表出現反面的次數，則 $X$ 為二項分布
(B) 若擲一個硬幣 $20$ 次，出現 $10$ 次正面，則此硬幣必為公正硬幣
(C) 若此硬幣必為公正硬幣，則擲硬幣 $20$ 次必出現 $10$ 次正面
(D) 若隨機變數 $X \sim B (8, \frac{1}{2})$ ，則只有在 $X = 0$ 與 $X = 8$ 時機率最小
(E) 若隨機變數 $X \sim B (8, \frac{1}{3})$ ，則只有在 $X = 3$ 時機率最大

三、填充題（依配分表給分，共 58 分；答對題數 1～10 題依序得 8、16、24、30、36、42、46、50、54、58 分）（本頁第 5～14 題為原卷填充第 1～10 題）

擲一均勻硬幣

2

次，令

X

表示出現正面的次數，求

P (X = 2)

為 ____。

一袋中有

2

個紅球，

3

個黑球及

3

個白球，今從袋中一次取

3

球，令

Z

表取中黑球的個數，則

P (Z = 2) =

____。

投擲

3

個公正的骰子，令

Y

表示點數相同的骰子個數，求

P (Y = 2)

的機率為 ____。

一袋中有

10

個球，其中

2

個球上標記

10

，

8

個球上標記

5

，從袋中任取

1

球，其數字的期望值為 ____。

有實力能相等的甲、乙兩人進行比賽，規定先勝

3

場者可得獎金

200

元，今比賽

2

場，甲均得勝，但因故停止不再比賽，試問甲應分配獎金 ____ 元才算公平。

丟一個公正銅板

4

次，請問恰有

2

次正面，

2

次反面的機率是 ____。

設有一袋中有大小相同的黑球

1

個、白球

2

個，今若每次任取一球，取後放回，若連取

4

次，請問至少取到

1

次黑球的機率

=

____。

擲一個公正的骰子

5

次，令

X

表出現

4

點的次數，試求標準差

σ

為 ____。

某次數學測驗共有

25

題單選題，每題有

5

個選項，派蒙完全憑猜測作答，每題都有作答，答對題數的標準差為 ____。

若重複進行一成敗試驗

n

次，且前面的試驗結果不會影響後面的結果，每一次成功的機率為

p

，已知成功次數的平均數為

8

，標準差為

7

，

n =

____。

四、計算題（依配分，兩題共 20 分）（本頁第 15～17 題為原卷計算第 1 題的 (1)(2)(3)，配分 4 分、3 分、3 分；第 18、19 題為原卷計算第 2 題的 (1)(2)，配分 2 分、8 分）

第 15～17 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 15～17 題）　某次段考，一多重選擇題有

A

、

B

、

C

、

D

、

E

五個選項。給分標準為完全答對給

6

分，只答錯

1

個選項給

4

分，只答錯

2

個選項給

2

分，答錯

3

個或

3

個以上的選項得

0

分。若賢治對該題的

A

、

B

選項已確定是應選的正確答案，但

C

、

D

、

E

三個選項根本看不懂，決定這三個選項用猜的來作答。令

X

表示賢治此題得分，

(1) 請寫出

X

的機率分布（4 分）

(2)

E (X) = ?

（3 分）

(3)

Var (X) = ?

（3 分）

第 18～19 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 18～19 題）　從裝有若干個紅球與白球的袋中，一次取

2

球，取後放回，共取了

n

次，令取出

2

個紅球的機率為

p

，設隨機變數

X

代表

n

次取球中取出

2

個紅球的次數，已知

E (X) = \frac{5}{2}

，

Var (X) = \frac{65}{36}

，試求下列各小題：

(1)

E (\frac{X}{3} + 5) = ?

（2 分）

(2) 數對

(n, p) = ?

（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(B)

第 3 題(A)(C)（選項 (A)(E) 的判斷有不同讀法，說明見詳解）

第 4 題(A)(D)

第 5 題

\frac{1}{4}

第 6 題

\frac{15}{56}

第 7 題

\frac{5}{12}

第 8 題

6

第 9 題

175

第 10 題

\frac{3}{8}

第 11 題

\frac{65}{81}

第 12 題

\frac{5}{6}

第 13 題

2

第 14 題

64

第 15 題

P (X = 0) = \frac{1}{8}

，

P (X = 2) = \frac{3}{8}

，

P (X = 4) = \frac{3}{8}

，

P (X = 6) = \frac{1}{8}

第 16 題

3

第 17 題

3

第 18 題

\frac{35}{6}

第 19 題

(9, \frac{5}{18})

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：機率質量函數、二項分布的性質

第 1 題答案 (E)。機率質量函數在所有可能值上的機率總和是

1

：

f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + a = 1

，所以

a = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}

。其他選項：

- 1

不在

1, 2, 3, 4

之中，屬於「其他值」，

f (- 1) = 0

；

f (1) = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

；

f (2) = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

；

f (3) = 2^{- 3} = \frac{1}{8}

，都與選項寫的不同。

2^{- x}

是

\frac{1}{2 ^{x}}

，不是

2^{x}

；選項 (B)(C) 就是把負號漏掉的結果。

第 2 題答案 (B)。

n = 25

，

p = 0.4

。(A) 錯：可能值是

0, 1, 2, \dots, 25

，共

26

個。(B) 對：期望值

n p = 25 \times 0.4 = 10

。(C) 錯：

P (X = k) = C_{k}^{25} (0.4)^{k} (0.6)^{25 - k}

，

\frac{P ( X = 14 )}{P ( X = 12 )} = \frac{C _{14}^{25}}{C _{12}^{25}} \times (\frac{0.4}{0.6})^{2} = \frac{12}{14} \times \frac{4}{9} = \frac{8}{21} \neq = 1

。(D) 錯：

\frac{P ( X = 11 )}{P ( X = 9 )} = \frac{C _{11}^{25}}{C _{9}^{25}} \times \frac{4}{9} = \frac{16 \times 15}{11 \times 10} \times \frac{4}{9} = \frac{32}{33} \neq = 1

。(E) 錯：標準差

n p (1 - p) = 25 \times 0.4 \times 0.6 = 6 \approx 2.45 < 3

。

p \neq = \frac{1}{2}

時，二項分布的機率不會對稱於期望值，所以離

10

一樣遠的兩個值機率不相等。

二項分布

B (n, p)

：可能值有

n + 1

個，期望值

n p

，變異數

n p (1 - p)

。

02多重選擇第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：隨機變數與二項分布的觀念

第 3 題答案 (A)(C)。(A) ○：例如「連續擲硬幣直到第一次出現正面為止所擲的次數」，可能值是

1, 2, 3, \dots

，有無限多個（這個例子不在本次段考範圍，只是用來說明取值可以有無限多個）。(B) ×：方向反了，隨機變數是把樣本空間裡的每個樣本點對應到一個實數的函數。(C) ○：每一個球（樣本點）都對應到它的號碼這個實數，所以

X

是隨機變數。(D) ×：設

P (X = 1) = p

，

P (X = 0) = 1 - p

，則

E (X) = p

，

E (X^{2}) = p

，

Var (X) = p - p^{2} = p (1 - p) = \frac{1}{4} - (p - \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{1}{4}

，不可能是

\frac{1}{2}

。(E) ×：

0

與

1

都是可能值，表示兩者的機率都是正的，也就是

0 < p < 1

，此時

Var (X) = p (1 - p) > 0

，不會是

0

。

選項 (E) 的判斷取決於「可能取值為

0

，

1

」怎麼讀：本頁讀成

0

與

1

都真的會出現（機率都大於

0

）。如果允許其中一個值的機率是

0

（例如

p = 1

，

X

恆為

1

），變異數就是

0

，(E) 會變成正確。選項 (A) 依隨機變數的一般定義判為正確；如果課堂上只談取值有限個的情形，學校的答案可能不含 (A)。這一題的給分請以學校公布的為準。

第 4 題答案 (A)(D)。(A) ○：每次只有反面、不是反面兩種結果，各次互不影響，出現反面的機率每次相同（設為

p

），所以

X \sim B (20, p)

；硬幣公不公正都成立。(B) ×：不公正的硬幣擲

20

次也可能剛好出現

10

次正面，一次的結果不能斷定硬幣公正。(C) ×：公正硬幣擲

20

次，正面次數可以是

0

到

20

的任何一個，恰

10

次的機率只有

C_{10}^{20} (\frac{1}{2})^{20} \approx 0.176

。(D) ○：

P (X = k) = C_{k}^{8} (\frac{1}{2})^{8}

，大小只看

C_{k}^{8}

；

C_{0}^{8} = C_{8}^{8} = 1

最小，其餘都大於

1

。(E) ×：

P (X = 2) = C_{2}^{8} (\frac{1}{3})^{2} (\frac{2}{3})^{6} = \frac{28 \times 64}{3 ^{8}} = \frac{1792}{6561}

，

P (X = 3) = C_{3}^{8} (\frac{1}{3})^{3} (\frac{2}{3})^{5} = \frac{56 \times 32}{3 ^{8}} = \frac{1792}{6561}

，兩者相等，而且都是最大值，所以機率最大的不只

X = 3

。

(E) 把

k = 0

到

8

的機率分子依序算出來是

256, 1024, 1792, 1792, 1120, 448, 112, 16, 1

（分母都是

6561

），最大值在

k = 2

與

k = 3

同時出現。

判斷二項分布看三件事：每次只有成功與失敗、各次獨立、成功機率每次相同；與硬幣是否公正無關。

03填充第 1～3 題（本頁第 5～7 題）：由古典機率求隨機變數取某值的機率

第 5 題

X = 2

表示兩次都是正面，

P (X = 2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

。

第 6 題袋中共

2 + 3 + 3 = 8

球，一次取

3

球有

C_{3}^{8} = 56

種取法。

Z = 2

表示取到

2

個黑球與

1

個不是黑球的球：

C_{2}^{3} \times C_{1}^{5} = 3 \times 5 = 15

種。所以

P (Z = 2) = \frac{15}{56}

。

第 7 題三顆骰子共

6^{3} = 216

種結果。

Y = 2

表示恰有兩顆點數相同、第三顆不同：先選哪兩顆同點有

C_{2}^{3} = 3

種，同點的點數有

6

種，另一顆的點數有

5

種，共

3 \times 6 \times 5 = 90

種。所以

P (Y = 2) = \frac{90}{216} = \frac{5}{12}

。

三顆全同有

6

種、三顆全不同有

6 \times 5 \times 4 = 120

種，

6 + 90 + 120 = 216

，可以用來檢查。

04填充第 4、5 題（本頁第 8、9 題）：期望值

第 8 題取到

10

的機率是

\frac{2}{10}

，取到

5

的機率是

\frac{8}{10}

，期望值

= 10 \times \frac{2}{10} + 5 \times \frac{8}{10} = 2 + 4 = 6

。

第 9 題甲已經

2

勝，再贏

1

場就得獎；乙要連贏

3

場才得獎。兩人實力相等，每場各有

\frac{1}{2}

的機率獲勝，所以如果比下去，乙得獎的機率是

(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

，甲得獎的機率是

1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

。公平的分法是照各自得獎金的期望值分：甲應得

200 \times \frac{7}{8} = 175

元（乙得

25

元）。

不是照「已經贏的場數」

2 : 0

分，而是照「如果比完，各自得獎的機率」分。

期望值是每個可能值乘以它的機率再加總。

05填充第 6～10 題（本頁第 10～14 題）：二項分布的機率、標準差與反求

第 10 題正面次數

X \sim B (4, \frac{1}{2})

，

P (X = 2) = C_{2}^{4} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

。

第 11 題每次取到黑球的機率是

\frac{1}{3}

，取到白球的機率是

\frac{2}{3}

，取後放回所以各次獨立。「至少

1

次黑球」的反面是「

4

次都是白球」，機率

(\frac{2}{3})^{4} = \frac{16}{81}

。所求

= 1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}

。

第 12 題每次出現

4

點的機率是

\frac{1}{6}

，

X \sim B (5, \frac{1}{6})

。變異數

= 5 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}

，標準差

σ = \frac{25}{36} = \frac{5}{6}

。

第 13 題每題猜對的機率是

\frac{1}{5}

，各題獨立，答對題數

X \sim B (25, \frac{1}{5})

。變異數

= 25 \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = 4

，標準差

= 4 = 2

。

第 14 題成功次數服從

B (n, p)

：平均數

n p = 8

，變異數

n p (1 - p) = (7)^{2} = 7

。兩式相除得

1 - p = \frac{7}{8}

，

p = \frac{1}{8}

，代回

n \times \frac{1}{8} = 8

，

n = 64

。

題目給的是標準差

7

，要先平方成變異數

7

再代公式。

X \sim B (n, p)

時，

E (X) = n p

，

Var (X) = n p (1 - p)

；兩式相除可以先求出

1 - p

。

06計算第 1 題（本頁第 15～17 題）：多選題猜答的得分

第 15 題

A

、

B

兩個選項確定答對。

C

、

D

、

E

每個選項用猜的，只有「選」與「不選」兩種作法，猜對與猜錯的機率各是

\frac{1}{2}

，三個選項互不影響。設答錯的選項個數為

Y

，則

Y \sim B (3, \frac{1}{2})

：

P (Y = 0) = \frac{1}{8}

，

P (Y = 1) = \frac{3}{8}

，

P (Y = 2) = \frac{3}{8}

，

P (Y = 3) = \frac{1}{8}

。對照給分標準，答錯

0, 1, 2, 3

個選項分別得

6, 4, 2, 0

分，所以

X

的機率分布是：

P (X = 6) = \frac{1}{8}

，

P (X = 4) = \frac{3}{8}

，

P (X = 2) = \frac{3}{8}

，

P (X = 0) = \frac{1}{8}

。

這裡把「用猜的」解讀成每個選項選或不選的機率各半、三個選項各自獨立決定。

第 16 題

E (X) = 6 \times \frac{1}{8} + 4 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 0 \times \frac{1}{8} = \frac{6 + 12 + 6}{8} = 3

。

第 17 題

E (X^{2}) = 36 \times \frac{1}{8} + 16 \times \frac{3}{8} + 4 \times \frac{3}{8} + 0 \times \frac{1}{8} = \frac{36 + 48 + 12}{8} = 12

，所以

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 12 - 3^{2} = 3

。

也可以用定義：

Var (X) = (6 - 3)^{2} \times \frac{1}{8} + (4 - 3)^{2} \times \frac{3}{8} + (2 - 3)^{2} \times \frac{3}{8} + (0 - 3)^{2} \times \frac{1}{8} = \frac{9 + 3 + 3 + 9}{8} = 3

。

先把「答錯幾個選項」的機率分布列出來，再對照給分標準換成得分的機率分布。

07計算第 2 題（本頁第 18、19 題）：由期望值與變異數反求二項分布

第 18 題期望值的一次式性質

E (a X + b) = a E (X) + b

：

E (\frac{X}{3} + 5) = \frac{1}{3} E (X) + 5 = \frac{1}{3} \times \frac{5}{2} + 5 = \frac{5}{6} + 5 = \frac{35}{6}

。

第 19 題每次取

2

球後放回，各次取球互不影響，每次取出

2

個紅球的機率都是

p

，所以

X \sim B (n, p)

，

E (X) = n p = \frac{5}{2}

，

Var (X) = n p (1 - p) = \frac{65}{36}

。兩式相除：

1 - p = \frac{65}{36} \div \frac{5}{2} = \frac{65}{36} \times \frac{2}{5} = \frac{13}{18}

，所以

p = \frac{5}{18}

。代回

n p = \frac{5}{2}

：

n = \frac{5}{2} \div \frac{5}{18} = \frac{5}{2} \times \frac{18}{5} = 9

。所以

(n, p) = (9, \frac{5}{18})

。

檢查：

9 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{2}

，

9 \times \frac{5}{18} \times \frac{13}{18} = \frac{65}{36}

，都符合。例如袋中有

5

個紅球、

4

個白球時，一次取

2

球都是紅球的機率是

\frac{C _{2}^{5}}{C _{2}^{9}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}

，這樣的

p

確實可能出現。

二項分布反求：先用

\frac{Var ( X )}{E ( X )} = 1 - p

求

p

，再用

n p = E (X)

求

n

。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

高雄新興高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要記得二項分布的可能值從零算起，個數比試驗次數多一；第 4 題的選項 E，機率最大的次數有兩個，要把相鄰兩項的機率實際比一次；第 7 題點數相同的骰子個數等於二，是恰有兩顆同點而第三顆不同；第 9 題要從還沒比完的場次往下推，不是照已經贏的場數比例分；第 19 題先用變異數除以期望值求出失敗的機率，再回頭求次數。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：隨機變數與機率分布、期望值、變異數與標準差、二項分布

高雄新興高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、單選題（每題 5 分，共 10 分）

設函數

f (x)

為

= ⎩ ⎨ ⎧ 2^{- x}, a, 0, x = 1, 2, 3 x = 4 其他值

，若

f (x)

為一機率質量函數，下列敘述何者正確？

(A) $f (- 1) = 2$
(B) $f (1) = 2$
(C) $f (2) = 4$
(D) $f (3) = 0$
(E) $a = \frac{1}{8}$

二項分布

X \sim B (25, 0.4)

，下列敘述何者正確？

(A) $X$ 的可能值有 $25$ 個
(B) $X$ 的期望值是 $10$
(C) $X = 12$ 與 $X = 14$ 的機率相同
(D) $X = 9$ 與 $X = 11$ 的機率相同
(E) $X$ 的標準差大於 $3$

關於隨機變數的敘述，下列哪些正確？

(A) 隨機變數的取值可能有無限多個
(B) 隨機變數是一個由實數值對應到樣本點的函數
(C) 袋中有 $10$ 個號碼球 ${1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6}$ ，由袋中任取一球，令 $X$ 表取出球的號碼，則 $X$ 是隨機變數
(D) 若隨機變數 $X$ 可能取值為 $0$ ， $1$ ，則 $X$ 的變異數 $Var (X)$ 可能為 $\frac{1}{2}$
(E) 若隨機變數 $X$ 可能取值為 $0$ ， $1$ ，則 $X$ 的變異數 $Var (X)$ 可能為 $0$

關於二項分布的敘述哪些正確？

(A) 丟一個硬幣 $20$ 次，令隨機變數 $X$ 表出現反面的次數，則 $X$ 為二項分布
(B) 若擲一個硬幣 $20$ 次，出現 $10$ 次正面，則此硬幣必為公正硬幣
(C) 若此硬幣必為公正硬幣，則擲硬幣 $20$ 次必出現 $10$ 次正面
(D) 若隨機變數 $X \sim B (8, \frac{1}{2})$ ，則只有在 $X = 0$ 與 $X = 8$ 時機率最小
(E) 若隨機變數 $X \sim B (8, \frac{1}{3})$ ，則只有在 $X = 3$ 時機率最大

三、填充題（依配分表給分，共 58 分；答對題數 1～10 題依序得 8、16、24、30、36、42、46、50、54、58 分）（本頁第 5～14 題為原卷填充第 1～10 題）

擲一均勻硬幣

2

次，令

X

表示出現正面的次數，求

P (X = 2)

為 ____。

一袋中有

2

個紅球，

3

個黑球及

3

個白球，今從袋中一次取

3

球，令

Z

表取中黑球的個數，則

P (Z = 2) =

____。

投擲

3

個公正的骰子，令

Y

表示點數相同的骰子個數，求

P (Y = 2)

的機率為 ____。

一袋中有

10

個球，其中

2

個球上標記

10

，

8

個球上標記

5

，從袋中任取

1

球，其數字的期望值為 ____。

有實力能相等的甲、乙兩人進行比賽，規定先勝

3

場者可得獎金

200

元，今比賽

2

場，甲均得勝，但因故停止不再比賽，試問甲應分配獎金 ____ 元才算公平。

丟一個公正銅板

4

次，請問恰有

2

次正面，

2

次反面的機率是 ____。

設有一袋中有大小相同的黑球

1

個、白球

2

個，今若每次任取一球，取後放回，若連取

4

次，請問至少取到

1

次黑球的機率

=

____。

擲一個公正的骰子

5

次，令

X

表出現

4

點的次數，試求標準差

σ

為 ____。

某次數學測驗共有

25

題單選題，每題有

5

個選項，派蒙完全憑猜測作答，每題都有作答，答對題數的標準差為 ____。

若重複進行一成敗試驗

n

次，且前面的試驗結果不會影響後面的結果，每一次成功的機率為

p

，已知成功次數的平均數為

8

，標準差為

7

，

n =

____。

第 15～17 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 15～17 題）　某次段考，一多重選擇題有

A

、

B

、

C

、

D

、

E

五個選項。給分標準為完全答對給

6

分，只答錯

1

個選項給

4

分，只答錯

2

個選項給

2

分，答錯

3

個或

3

個以上的選項得

0

分。若賢治對該題的

A

、

B

選項已確定是應選的正確答案，但

C

、

D

、

E

三個選項根本看不懂，決定這三個選項用猜的來作答。令

X

表示賢治此題得分，

(1) 請寫出

X

的機率分布（4 分）

(2)

E (X) = ?

（3 分）

(3)

Var (X) = ?

（3 分）

第 18～19 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 18～19 題）　從裝有若干個紅球與白球的袋中，一次取

2

球，取後放回，共取了

n

次，令取出

2

個紅球的機率為

p

，設隨機變數

X

代表

n

次取球中取出

2

個紅球的次數，已知

E (X) = \frac{5}{2}

，

Var (X) = \frac{65}{36}

，試求下列各小題：

(1)

E (\frac{X}{3} + 5) = ?

（2 分）

(2) 數對

(n, p) = ?

（8 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(B)

第 3 題(A)(C)（選項 (A)(E) 的判斷有不同讀法，說明見詳解）

第 4 題(A)(D)

第 5 題

\frac{1}{4}

第 6 題

\frac{15}{56}

第 7 題

\frac{5}{12}

第 8 題

6

第 9 題

175

第 10 題

\frac{3}{8}

第 11 題

\frac{65}{81}

第 12 題

\frac{5}{6}

第 13 題

2

第 14 題

64

第 15 題

P (X = 0) = \frac{1}{8}

，

P (X = 2) = \frac{3}{8}

，

P (X = 4) = \frac{3}{8}

，

P (X = 6) = \frac{1}{8}

第 16 題

3

第 17 題

3

第 18 題

\frac{35}{6}

第 19 題

(9, \frac{5}{18})

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：機率質量函數、二項分布的性質

第 1 題答案 (E)。機率質量函數在所有可能值上的機率總和是

1

：

f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + a = 1

，所以

a = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}

。其他選項：

- 1

不在

1, 2, 3, 4

之中，屬於「其他值」，

f (- 1) = 0

；

f (1) = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

；

f (2) = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

；

f (3) = 2^{- 3} = \frac{1}{8}

，都與選項寫的不同。

2^{- x}

是

\frac{1}{2 ^{x}}

，不是

2^{x}

；選項 (B)(C) 就是把負號漏掉的結果。

第 2 題答案 (B)。

n = 25

，

p = 0.4

。(A) 錯：可能值是

0, 1, 2, \dots, 25

，共

26

個。(B) 對：期望值

n p = 25 \times 0.4 = 10

。(C) 錯：

P (X = k) = C_{k}^{25} (0.4)^{k} (0.6)^{25 - k}

，

\frac{P ( X = 14 )}{P ( X = 12 )} = \frac{C _{14}^{25}}{C _{12}^{25}} \times (\frac{0.4}{0.6})^{2} = \frac{12}{14} \times \frac{4}{9} = \frac{8}{21} \neq = 1

。(D) 錯：

\frac{P ( X = 11 )}{P ( X = 9 )} = \frac{C _{11}^{25}}{C _{9}^{25}} \times \frac{4}{9} = \frac{16 \times 15}{11 \times 10} \times \frac{4}{9} = \frac{32}{33} \neq = 1

。(E) 錯：標準差

n p (1 - p) = 25 \times 0.4 \times 0.6 = 6 \approx 2.45 < 3

。

p \neq = \frac{1}{2}

時，二項分布的機率不會對稱於期望值，所以離

10

一樣遠的兩個值機率不相等。

二項分布

B (n, p)

：可能值有

n + 1

個，期望值

n p

，變異數

n p (1 - p)

。

02多重選擇第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：隨機變數與二項分布的觀念

第 3 題答案 (A)(C)。(A) ○：例如「連續擲硬幣直到第一次出現正面為止所擲的次數」，可能值是

1, 2, 3, \dots

X

是隨機變數。(D) ×：設

P (X = 1) = p

，

P (X = 0) = 1 - p

，則

E (X) = p

，

E (X^{2}) = p

，

Var (X) = p - p^{2} = p (1 - p) = \frac{1}{4} - (p - \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{1}{4}

，不可能是

\frac{1}{2}

。(E) ×：

0

與

1

都是可能值，表示兩者的機率都是正的，也就是

0 < p < 1

，此時

Var (X) = p (1 - p) > 0

，不會是

0

。

選項 (E) 的判斷取決於「可能取值為

0

，

1

」怎麼讀：本頁讀成

0

與

1

都真的會出現（機率都大於

0

）。如果允許其中一個值的機率是

0

（例如

p = 1

，

X

恆為

1

），變異數就是

0

第 4 題答案 (A)(D)。(A) ○：每次只有反面、不是反面兩種結果，各次互不影響，出現反面的機率每次相同（設為

p

），所以

X \sim B (20, p)

；硬幣公不公正都成立。(B) ×：不公正的硬幣擲

20

次也可能剛好出現

10

次正面，一次的結果不能斷定硬幣公正。(C) ×：公正硬幣擲

20

次，正面次數可以是

0

到

20

的任何一個，恰

10

次的機率只有

C_{10}^{20} (\frac{1}{2})^{20} \approx 0.176

。(D) ○：

P (X = k) = C_{k}^{8} (\frac{1}{2})^{8}

，大小只看

C_{k}^{8}

；

C_{0}^{8} = C_{8}^{8} = 1

最小，其餘都大於

1

。(E) ×：

P (X = 2) = C_{2}^{8} (\frac{1}{3})^{2} (\frac{2}{3})^{6} = \frac{28 \times 64}{3 ^{8}} = \frac{1792}{6561}

，

P (X = 3) = C_{3}^{8} (\frac{1}{3})^{3} (\frac{2}{3})^{5} = \frac{56 \times 32}{3 ^{8}} = \frac{1792}{6561}

，兩者相等，而且都是最大值，所以機率最大的不只

X = 3

。

(E) 把

k = 0

到

8

的機率分子依序算出來是

256, 1024, 1792, 1792, 1120, 448, 112, 16, 1

（分母都是

6561

），最大值在

k = 2

與

k = 3

同時出現。

判斷二項分布看三件事：每次只有成功與失敗、各次獨立、成功機率每次相同；與硬幣是否公正無關。

03填充第 1～3 題（本頁第 5～7 題）：由古典機率求隨機變數取某值的機率

第 5 題

X = 2

表示兩次都是正面，

P (X = 2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

。

第 6 題袋中共

2 + 3 + 3 = 8

球，一次取

3

球有

C_{3}^{8} = 56

種取法。

Z = 2

表示取到

2

個黑球與

1

個不是黑球的球：

C_{2}^{3} \times C_{1}^{5} = 3 \times 5 = 15

種。所以

P (Z = 2) = \frac{15}{56}

。

第 7 題三顆骰子共

6^{3} = 216

種結果。

Y = 2

表示恰有兩顆點數相同、第三顆不同：先選哪兩顆同點有

C_{2}^{3} = 3

種，同點的點數有

6

種，另一顆的點數有

5

種，共

3 \times 6 \times 5 = 90

種。所以

P (Y = 2) = \frac{90}{216} = \frac{5}{12}

。

三顆全同有

6

種、三顆全不同有

6 \times 5 \times 4 = 120

種，

6 + 90 + 120 = 216

，可以用來檢查。

04填充第 4、5 題（本頁第 8、9 題）：期望值

第 8 題取到

10

的機率是

\frac{2}{10}

，取到

5

的機率是

\frac{8}{10}

，期望值

= 10 \times \frac{2}{10} + 5 \times \frac{8}{10} = 2 + 4 = 6

。

第 9 題甲已經

2

勝，再贏

1

場就得獎；乙要連贏

3

場才得獎。兩人實力相等，每場各有

\frac{1}{2}

的機率獲勝，所以如果比下去，乙得獎的機率是

(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}

，甲得獎的機率是

1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

。公平的分法是照各自得獎金的期望值分：甲應得

200 \times \frac{7}{8} = 175

元（乙得

25

元）。

不是照「已經贏的場數」

2 : 0

分，而是照「如果比完，各自得獎的機率」分。

期望值是每個可能值乘以它的機率再加總。

05填充第 6～10 題（本頁第 10～14 題）：二項分布的機率、標準差與反求

第 10 題正面次數

X \sim B (4, \frac{1}{2})

，

P (X = 2) = C_{2}^{4} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

。

第 11 題每次取到黑球的機率是

\frac{1}{3}

，取到白球的機率是

\frac{2}{3}

，取後放回所以各次獨立。「至少

1

次黑球」的反面是「

4

次都是白球」，機率

(\frac{2}{3})^{4} = \frac{16}{81}

。所求

= 1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}

。

第 12 題每次出現

4

點的機率是

\frac{1}{6}

，

X \sim B (5, \frac{1}{6})

。變異數

= 5 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}

，標準差

σ = \frac{25}{36} = \frac{5}{6}

。

第 13 題每題猜對的機率是

\frac{1}{5}

，各題獨立，答對題數

X \sim B (25, \frac{1}{5})

。變異數

= 25 \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = 4

，標準差

= 4 = 2

。

第 14 題成功次數服從

B (n, p)

：平均數

n p = 8

，變異數

n p (1 - p) = (7)^{2} = 7

。兩式相除得

1 - p = \frac{7}{8}

，

p = \frac{1}{8}

，代回

n \times \frac{1}{8} = 8

，

n = 64

。

題目給的是標準差

7

，要先平方成變異數

7

再代公式。

X \sim B (n, p)

時，

E (X) = n p

，

Var (X) = n p (1 - p)

；兩式相除可以先求出

1 - p

。

06計算第 1 題（本頁第 15～17 題）：多選題猜答的得分

第 15 題

A

、

B

兩個選項確定答對。

C

、

D

、

E

每個選項用猜的，只有「選」與「不選」兩種作法，猜對與猜錯的機率各是

\frac{1}{2}

，三個選項互不影響。設答錯的選項個數為

Y

，則

Y \sim B (3, \frac{1}{2})

：

P (Y = 0) = \frac{1}{8}

，

P (Y = 1) = \frac{3}{8}

，

P (Y = 2) = \frac{3}{8}

，

P (Y = 3) = \frac{1}{8}

。對照給分標準，答錯

0, 1, 2, 3

個選項分別得

6, 4, 2, 0

分，所以

X

的機率分布是：

P (X = 6) = \frac{1}{8}

，

P (X = 4) = \frac{3}{8}

，

P (X = 2) = \frac{3}{8}

，

P (X = 0) = \frac{1}{8}

。

這裡把「用猜的」解讀成每個選項選或不選的機率各半、三個選項各自獨立決定。

第 16 題

E (X) = 6 \times \frac{1}{8} + 4 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 0 \times \frac{1}{8} = \frac{6 + 12 + 6}{8} = 3

。

第 17 題

E (X^{2}) = 36 \times \frac{1}{8} + 16 \times \frac{3}{8} + 4 \times \frac{3}{8} + 0 \times \frac{1}{8} = \frac{36 + 48 + 12}{8} = 12

，所以

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 12 - 3^{2} = 3

。

也可以用定義：

Var (X) = (6 - 3)^{2} \times \frac{1}{8} + (4 - 3)^{2} \times \frac{3}{8} + (2 - 3)^{2} \times \frac{3}{8} + (0 - 3)^{2} \times \frac{1}{8} = \frac{9 + 3 + 3 + 9}{8} = 3

。

先把「答錯幾個選項」的機率分布列出來，再對照給分標準換成得分的機率分布。

07計算第 2 題（本頁第 18、19 題）：由期望值與變異數反求二項分布

第 18 題期望值的一次式性質

E (a X + b) = a E (X) + b

：

E (\frac{X}{3} + 5) = \frac{1}{3} E (X) + 5 = \frac{1}{3} \times \frac{5}{2} + 5 = \frac{5}{6} + 5 = \frac{35}{6}

。

第 19 題每次取

2

球後放回，各次取球互不影響，每次取出

2

個紅球的機率都是

p

，所以

X \sim B (n, p)

，

E (X) = n p = \frac{5}{2}

，

Var (X) = n p (1 - p) = \frac{65}{36}

。兩式相除：

1 - p = \frac{65}{36} \div \frac{5}{2} = \frac{65}{36} \times \frac{2}{5} = \frac{13}{18}

，所以

p = \frac{5}{18}

。代回

n p = \frac{5}{2}

：

n = \frac{5}{2} \div \frac{5}{18} = \frac{5}{2} \times \frac{18}{5} = 9

。所以

(n, p) = (9, \frac{5}{18})

。

檢查：

9 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{2}

，

9 \times \frac{5}{18} \times \frac{13}{18} = \frac{65}{36}

，都符合。例如袋中有

5

個紅球、

4

個白球時，一次取

2

球都是紅球的機率是

\frac{C _{2}^{5}}{C _{2}^{9}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}

，這樣的

p

確實可能出現。

二項分布反求：先用

\frac{Var ( X )}{E ( X )} = 1 - p

求

p

，再用

n p = E (X)

求

n

。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

高雄新興高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 113 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選第 1、2 題：機率質量函數、二項分布的性質

02多重選擇第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：隨機變數與二項分布的觀念

03填充第 1～3 題（本頁第 5～7 題）：由古典機率求隨機變數取某值的機率

04填充第 4、5 題（本頁第 8、9 題）：期望值

05填充第 6～10 題（本頁第 10～14 題）：二項分布的機率、標準差與反求

06計算第 1 題（本頁第 15～17 題）：多選題猜答的得分

07計算第 2 題（本頁第 18、19 題）：由期望值與變異數反求二項分布

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

高雄新興高中 113 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

高雄新興高中 113 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

高雄新興高中 113 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 19 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選第 1、2 題：機率質量函數、二項分布的性質

02多重選擇第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：隨機變數與二項分布的觀念

03填充第 1～3 題（本頁第 5～7 題）：由古典機率求隨機變數取某值的機率

04填充第 4、5 題（本頁第 8、9 題）：期望值

05填充第 6～10 題（本頁第 10～14 題）：二項分布的機率、標準差與反求

06計算第 1 題（本頁第 15～17 題）：多選題猜答的得分

07計算第 2 題（本頁第 18、19 題）：由期望值與變異數反求二項分布

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

高雄新興高中 113 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

高雄新興高中 113 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

高雄新興高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

高雄新興高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

高雄新興高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

高雄新興高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

高雄新興高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

高雄新興高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？