高雄新興高中 111 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

由餘式定理，$3f(x)+2g(x)$ 除以 $x+1$ 的餘式是它在 $x=-1$ 的值。

$f(-1)=-5+10+4=9$，$g(-1)=2-1+1=2$，所以餘式為 $3\times 9+2\times 2=31$，選 (D)。

各項係數總和就是 $f(1)$：

$$f(1)=(9-10+11{)}^3=10^3=1000$$

選 (E)。

配方：$f(x)=(x-1{)}^2-2$，開口向上，對稱軸 $x=1$ 在 $-1\le x\le 2$ 之內，所以最小值是 $f(1)=-2$。

範圍內離 $x=1$ 最遠的是 $x=-1$（距離 $2$，比 $x=2$ 的距離 $1$ 遠），所以最大值是 $f(-1)=1+2-1=2$。

最大溫差 $=2-(-2)=4$，選 (A)。

(A) 錯誤。 $y=10x^2$ 的圖形對稱於 $y$ 軸（把 $x$ 換成 $-x$ 方程式不變），不對稱於 $x$ 軸。

(B) 正確。 對 $x$ 軸對稱是把 $y$ 換成 $-y$：$-y=20x^2$，即 $y=-20x^2$。

(C) 正確。 $y=-10x^2+30$ 就是 $y-30=-10x^2$，是把 $y=-10x^2$ 向上平移 $30$ 個單位。

(D) 錯誤。 $y-3=50(x+2{)}^2$ 是把 $x$ 換成 $x+2$、$y$ 換成 $y-3$，對應向左平移 $2$ 個單位、向上平移 $3$ 個單位。頂點是 $(-2,3)$，不是 $(2,3)$。

(E) 正確。 $y=-100(3x+2{)}^2-4=-900{\left(x+\frac{2}{3}\right)}^2-4$，對稱軸是 $x=-\frac{2}{3}$，即 $3x+2=0$。

由圖：開口向上，所以 $a>0$；圖形與 $y$ 軸交在原點下方，所以 $c=f(0)<0$；頂點在 $y$ 軸右邊、$x=1$ 左邊；圖形與 $x$ 軸交於兩點，左邊的交點在 $O$ 的左側，右邊的交點在 $1$ 與 $2$ 之間。

(A) 錯誤。 對稱軸 $x=-\frac{b}{2a}>0$，而 $a>0$，所以 $b<0$，$a\cdot b<0$。

(B) 錯誤。 $b<0$ 且 $c<0$，所以 $b\cdot c>0$。

(C) 正確。 $a+b+c$ 是 $x=1$ 時的 $y$ 值。$1$ 在兩個交點之間，那裡圖形在 $x$ 軸下方，所以 $a+b+c<0$。

(D) 正確。 $9a+3b+c$ 是 $x=3$ 時的 $y$ 值。右邊的交點小於 $2$，$3$ 在它的右側，圖形在 $x$ 軸上方，所以 $9a+3b+c>0$。

(E) 正確。 圖形與 $x$ 軸交於兩點，$a{x}^2+bx+c=0$ 有兩相異實根，判別式 $b^2-4ac>0$。

原式是 $P(x)=6x^5-43x^4+0x^3+48x^2+12x+37$ 在 $x=7$ 的值（注意沒有 $x^3$ 項，要補 $0$）。用綜合除法以 $7$ 去除：

$$\begin{array}{rrrrrrr}7& 6& -43& 0& 48& 12& 37\\ & & 42& -7& -49& -7& 35\\ & 6& -1& -7& -1& 5& 72\end{array}$$

最後的餘數 $72$ 就是 $P(7)$，所以答案是 $72$。

$P(3,-2)$ 關於 $y$ 軸對稱，$x$ 坐標變號：$Q(-3,-2)$。

直線 $x-y=0$ 就是 $y=x$。點 $(s,t)$ 關於它的對稱點是 $(t,s)$：兩點連線的斜率是 $\frac{s-t}{t-s}=-1$，與斜率 $1$ 的直線垂直，而中點 $\left(\frac{s+t}{2},\frac{s+t}{2}\right)$ 在 $y=x$ 上。所以 $R(-2,-3)$。

關於原點對稱，兩個坐標都變號：$S(2,3)$。

圖形與 $x$ 軸交於 $(2,0)$、$(6,0)$，設 $y=a(x-2)(x-6)$，$a\ne 0$。對稱軸是 $x=\frac{2+6}{2}=4$，頂點的 $y$ 坐標是 $a(4-2)(4-6)=-4a$。

頂點與 $x$ 軸的距離為 $4$：$|-4a|=4$，$a=1$ 或 $a=-1$。

$a=-1$：$y=-(x-2)(x-6)=-x^2+8x-12$（頂點 $(4,4)$）；$a=1$：$y=x^2-8x+12$（頂點 $(4,-4)$）。兩個都符合。

若 $k=0$，$f(x)=-4x-1$，$x=0$ 時是 $-1$，不恆為正，不合。

$k\ne 0$ 時，二次函數的值恆為正，必須開口向上且與 $x$ 軸沒有交點：$2k>0$ 且判別式 $(-4{)}^2-4\cdot 2k(k-1)<0$。

後者化為 $16-8k^2+8k<0$，即 $k^2-k-2>0$，$(k-2)(k+1)>0$，得 $k>2$ 或 $k<-1$。與 $k>0$ 取交集，$k>2$。

因式分解：$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$，$x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$，不等式成為

$$(x+4)(x+2)(x-1)(x-5)<0$$

四個根由小到大是 $-4$、$-2$、$1$、$5$，最右邊 $x>5$ 時為正，往左每過一個根變號一次，所以負的區間是 $-4<x<-2$ 與 $1<x<5$。

其中的整數是 $-3$、$2$、$3$、$4$。

二次多項式 $f(x)>0$ 的解是 $-12<x<8$，表示 $f(x)$ 開口向下、兩根是 $-12$ 與 $8$，可寫成 $f(x)=a(x+12)(x-8)$，$a<0$。所以 $f(x)\ge 0$ 的解是 $-12\le x\le 8$。

$f(4x)\ge 0$ 就是把 $4x$ 放進上面的範圍：$-12\le 4x\le 8$，得 $-3\le x\le 2$。

$(x+4)(x-1)>0$ 的解恰好就是 $x>1$ 或 $x<-4$。所以題目要求：乘上 $q(x)=2x^2-mx+m$ 之後，解集合不變。

在 $x>1$ 或 $x<-4$ 的每一點，$(x+4)(x-1)>0$，要讓整個式子大於 $0$，$q(x)$ 必須大於 $0$；在 $-4<x<1$，$(x+4)(x-1)<0$，為了不多出解，$q(x)$ 不可小於 $0$。所以 $q(x)$ 在所有實數都不小於 $0$，而且在 $x>1$ 或 $x<-4$ 不可等於 $0$。

$q(x)$ 開口向上，判別式 $m^2-8m$：

若 $m^2-8m<0$，即 $0<m<8$，$q(x)$ 恆正，符合。

若 $m^2-8m>0$，$q(x)$ 在兩根之間是負的，不合。

若 $m=0$，$q(x)=2x^2$ 只在 $x=0$ 等於 $0$，而 $x=0$ 本來就不是解，符合。

若 $m=8$，$q(x)=2(x-2{)}^2$ 在 $x=2$ 等於 $0$，$x=2$ 會被排除，不符合。

所以 $0\le m<8$。

除式是二次，設 $f(x)$ 除以 $x^2-x+1$ 的餘式為 $px+q$，即 $f(x)=(x^2-x+1)Q(x)+px+q$。則

$$(x-1)f(x)=(x^2-x+1)(x-1)Q(x)+(x-1)(px+q)$$

所以 $(x-1)f(x)$ 與 $(x-1)(px+q)=p{x}^2+(q-p)x-q$ 除以 $x^2-x+1$ 的餘式相同。$p{x}^2=p(x^2-x+1)+px-p$，所以餘式是 $px-p+(q-p)x-q=qx-(p+q)$。

與 $3x+5$ 比較：$q=3$，$p+q=-5$，得 $p=-8$。所以餘式為 $-8x+3$。

(1) 用綜合除法連續以 $3$ 去除 $f(x)$，依序得到的餘數就是 $d$、$c$、$b$，最後的商是 $a$：

$$\begin{array}{rrrrr}3& 1& -4& 5& -4\\ & & 3& -3& 6\\ & 1& -1& 2& 2\\ & & 3& 6& \\ & 1& 2& 8& \\ & & 3& & \\ & 1& 5& & \end{array}$$

所以 $d=2$，$c=8$，$b=5$，$a=1$，$(a,b,c,d)=(1,5,8,2)$。

(2) 由 (1)，$f(x)=(x-3{)}^3+5(x-3{)}^2+8(x-3)+2$。$x=2.99$ 時 $x-3=-0.01$：

$$f(2.99)=(-0.01{)}^3+5(-0.01{)}^2+8(-0.01)+2=-0.000001+0.0005-0.08+2=1.920499$$

四捨五入到小數點後第二位為 $1.92$。

(1) 比較 $x^3$ 的係數，$a=1$。$(x-h{)}^3$ 展開的 $x^2$ 項是 $-3h{x}^2$，而 $p(x-h)+k$ 沒有 $x^2$ 項，所以 $-3h=-6$，$h=2$。

令 $x=t+2$：

$$f=(t+2{)}^3-6(t+2{)}^2+10=t^3+6t^2+12t+8-6t^2-24t-24+10=t^3-12t-6$$

所以 $f(x)=(x-2{)}^3-12(x-2)-6$，$(p,k)=(-12,-6)$。

(2) 由 (1)，$h=2$，$f(x)=(x-2{)}^3-12(x-2)-6$。在 $x=2$ 附近 $(x-2{)}^3$ 很小，略去後一次近似為

$$g(x)=-12(x-2)-6=-12x+18$$

$g(0)=18$，所以 $g(x)$ 與 $y$ 軸的交點為 $(0,18)$。

(3) 由 (1)，$f(x)$ 的圖形是 $y=x^3-12x$ 的圖形平移而得（對稱中心由原點移到 $(2,-6)$），概貌與 $y=x^3-12x$ 相同。

$y=x^3-12x=x(x^2-12)$ 與 $x$ 軸交於 $-2\sqrt{3}$、$0$、$2\sqrt{3}$ 三點；$x^3$ 的係數為正，$x$ 很大時 $y$ 為正、$x$ 很小時 $y$ 為負。由正負變化，圖形從左下方上升、過一個高點後下降、再過一個低點後上升，是先升、後降、再升的形狀。

(A) 是一路上升、(C) 是一路下降，都只與 $x$ 軸交於一點；(D) 是左上到右下。只有 (B) 符合，選 (B)。

(1) 以 $E$ 為原點、水平方向為 $x$ 軸、鉛直向上為 $y$ 軸。$E$ 是拋物線的最高點，也就是頂點，所以設拋物線為 $y=a{x}^2$，$a<0$。

河面 $\overline{AB}$ 在 $E$ 下方 $6$ 公尺，寬 $12$ 公尺，且 $G$ 是 $\overline{AB}$ 的中點（$\overline{GE}$ 是對稱軸），所以 $B(6,-6)$ 在拋物線上：

$$-6=a\cdot 6^2,a=-\frac{1}{6}$$

所以拋物線拱橋的方程式為 $y=-\frac{1}{6}{x}^2$。

(2) 水面上升到 $\overline{CD}$，寬 $10$ 公尺，$F$ 是 $\overline{CD}$ 的中點，所以 $D$ 的 $x$ 坐標是 $5$，代入 (1)：

$$y=-\frac{1}{6}\times 5^2=-\frac{25}{6}$$

所以 $\overline{EF}=\frac{25}{6}$ 公尺（約 $4.17$ 公尺）。