高雄新興高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

設 $z=x+yi$（$x,y$ 為實數），把每個條件看成距離。

(A) 錯誤。 $|z-i|$ 是 $z$ 到點 $(0,1)$ 的距離，$|z+1-i|=|z-(-1+i)|$ 是 $z$ 到點 $(-1,1)$ 的距離。到兩定點等距的點是這兩點連線的垂直平分線 $x=-\frac{1}{2}$，是一直線，不是線段。

(B) 錯誤。 $z$ 到點 $(0,1)$ 的距離為 $3$，圖形是以 $(0,1)$ 為圓心、半徑 $3$ 的圓。

(C) 正確。 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=3$，即 $|z|=\sqrt{3}$，圖形是以原點為圓心、半徑 $\sqrt{3}$ 的圓。

(D) 正確。 $\frac{z+\bar{z}}{2}=x$，所以右邊 $|x|$ 是 $z$ 到虛軸（直線 $x=0$）的距離；左邊是 $z$ 到點 $(-1,1)$ 的距離。點 $(-1,1)$ 不在直線 $x=0$ 上，到定點與到定直線等距的點形成拋物線。

(E) 錯誤。 $z-\bar{z}=2yi$，所以 $\frac{1}{2}|z-\bar{z}|=|y|$，是 $z$ 到實軸的距離；左邊是 $z$ 到點 $(1,0)$ 的距離。可是點 $(1,0)$ 就在實軸上，平方後 $(x-1{)}^2+y^2=y^2$，得 $x=1$，圖形是一條直線，不是拋物線。答案是 (C)(D)。

由棣美弗定理，${\omega }^7=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$，且 $1,\omega ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^6$ 是 $x^7=1$ 的七個根，所以

$$x^7-1=(x-1)(x-\omega )(x-{\omega }^2)\cdots (x-{\omega }^6)$$

兩邊除以 $x-1$：$x^6+x^5+\cdots +x+1=(x-\omega )(x-{\omega }^2)\cdots (x-{\omega }^6)$。

(A) 正確。 $2023=7\times 289$，${\omega }^{2023}={\left({\omega }^7\right)}^{289}=1$。

(B) 錯誤。 在上式代 $x=-1$：左邊 $1-1+1-1+1-1+1=1$，右邊 $(-1-\omega )(-1-{\omega }^2)\cdots (-1-{\omega }^6)=(-1{)}^6(1+\omega )(1+{\omega }^2)\cdots (1+{\omega }^6)$，所以乘積是 $1$，不是 $7$。

(C) 錯誤。 共 $113$ 項，$113=7\times 16+1$。每連續 $7$ 項的和是 ${\omega }^{7k}\left(1+\omega +\cdots +{\omega }^6\right)=0$，前 $112$ 項的和為 $0$，剩最後一項 ${\omega }^{112}={\left({\omega }^7\right)}^{16}=1$，總和是 $1$。

(D) 錯誤。 $\frac{1}{{\omega }^k}=\frac{{\omega }^7}{{\omega }^k}={\omega }^{7-k}$，所以和是 ${\omega }^6+{\omega }^5+\cdots +\omega =\left(1+\omega +\cdots +{\omega }^6\right)-1=-1$。

(E) 正確。 $\overline{AB}=|1-\omega |$，…，$\overline{AG}=|1-{\omega }^6|$。在上式代 $x=1$：$(1-\omega )(1-{\omega }^2)\cdots (1-{\omega }^6)=7$，取絕對值得六段長的乘積為 $7$。答案是 (A)(E)。

$\frac{z_2}{z_1}=\frac{2}{5}\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right)$，所以由 $\overrightarrow{OA}$ 轉到 $\overrightarrow{OB}$ 是順時針轉 $\frac{\pi }{3}$，$\angle AOB=\frac{\pi }{3}$。

(A) 錯誤。 $i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$，乘上 $i$ 輻角加 $\frac{\pi }{2}$：$\frac{5\pi }{3}+\frac{\pi }{2}=\frac{13\pi }{6}$，減去 $2\pi$ 得主輻角 $\frac{\pi }{6}$。

(B) 正確。 在 $△OAB$ 用餘弦定理：$|z_1-z_2{|}^2={\overline{AB}}^2=5^2+2^2-2\cdot 5\cdot 2\cos \frac{\pi }{3}=19$，$|z_1-z_2|=\sqrt{19}$。

(C) 錯誤。 $|z_1+z_2|$ 是以 $\overline{OA}$、$\overline{OB}$ 為邊的平行四邊形另一條對角線，夾角換成 $\pi -\frac{\pi }{3}$：$|z_1+z_2{|}^2=25+4+2\cdot 5\cdot 2\cos \frac{\pi }{3}=39$，$|z_1+z_2|=\sqrt{39}$。

(D) 正確。 $\frac{z_1}{z_2}=\frac{5}{2}\left(\cos \left(-\frac{5\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{5\pi }{3}\right)\right)=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\frac{5}{4}(1+\sqrt{3}i)$。

(E) 錯誤。 $△OAB=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2\sin \frac{\pi }{3}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$。答案是 (B)(D)。

$x=a{y}^2+by+c$ 是二次函數，$a\ne 0$。通過 $(-1,0)$：代 $y=0$ 得 $c=-1$。

與 $x=3$ 相切：聯立 $a{y}^2+by+c=3$，即 $a{y}^2+by-4=0$ 恰有一個實根（重根），判別式 $b^2+16a=0$，所以 $b^2=-16a$。

(A) 正確。 $a\ne 0$ 時 $b^2=-16a$ 不能為 $0$，又 $b^2\ge 0$，所以 $-16a>0$，$a<0$。

(B) 錯誤。 $b^2=-16a$ 只決定 $b$ 的平方。例如 $a=-1$ 時 $b=4$ 或 $b=-4$ 都可以：$x=-y^2+4y-1$ 與 $x=-y^2-4y-1$ 都過 $(-1,0)$，頂點的 $x$ 坐標都是 $3$。所以 $b$ 不一定是負數。

(C) 正確。 $c=-1<0$。

(D) 錯誤。 $b^2-4ac=-16a+4a=-12a>0$，恆為正數。

(E) 錯誤。 取 $a=-1$，$b=4$，$c=-1$：$a+b+c=2>0$，不恆為負數。答案是 (A)(C)。

分子、分母各化成極式：

$$1-\sqrt{3}i=2\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right),-1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)$$

相除：絕對值 $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，輻角 $\frac{5\pi }{3}-\frac{3\pi }{4}=\frac{11\pi }{12}$。由棣美弗定理，

$${\left(\frac{1-\sqrt{3}i}{-1+i}\right)}^{10}={\left(\sqrt{2}\right)}^{10}\left(\cos \frac{110\pi }{12}+i\sin \frac{110\pi }{12}\right)$$

${\left(\sqrt{2}\right)}^{10}=32$；$\frac{110\pi }{12}=\frac{55\pi }{6}=8\pi +\frac{7\pi }{6}$。所以值為

$$32\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)=32\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=-16\sqrt{3}-16i$$

$\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$，所以

$$1-\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\frac{1}{2}i$$

實部 $1-\frac{\sqrt{3}}{2}>0$，虛部 $-\frac{1}{2}<0$，在第四象限。

設輻角為 $\theta$，點在第四象限，參考角 $\alpha$ 滿足

$$\tan \alpha =\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$$

而 $\tan \frac{5\pi }{12}=\tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}$，所以 $\alpha =\frac{5\pi }{12}$。

主輻角要在 $0$ 到 $2\pi$ 之間，第四象限的角為 $2\pi -\frac{5\pi }{12}=\frac{19\pi }{12}$。

$\Gamma$：$|z-(-2i)|=2$，是圓心 $-2i$、半徑 $2$ 的圓。$w=iz$ 是把 $z$ 繞原點逆時針轉 $90^{\circ }$，圓心 $-2i$ 轉到 $i\cdot (-2i)=2$，半徑不變，所以 $\Omega$ 是圓心 $2$、半徑 $2$ 的圓。

$|w-9-24i|$ 是 $w$ 到點 $9+24i$ 的距離。圓心 $2$ 到 $9+24i$ 的距離是 $|7+24i|=\sqrt{49+576}=25$，圓上的點離它最遠是 $25+2=27$。

$P$ 在圓心 $-2i$、半徑 $2$ 的圓 $\Gamma$ 上，$Q$ 在圓心 $2$、半徑 $2$ 的圓 $\Omega$ 上，兩點各自任意取。兩圓心的距離為 $|2-(-2i)|=|2+2i|=2\sqrt{2}$。

$|z-w|=\overline{PQ}\le \overline{P{O}_1}+\overline{O_1{O}_2}+\overline{O_{2}Q}=2+2\sqrt{2}+2$（$O_1$、$O_2$ 為兩圓心），當 $P$、$O_1$、$O_2$、$Q$ 依序共線、$P$ 與 $Q$ 分別在連心線的兩個外端時等號成立。所以最大值為 $4+2\sqrt{2}$。

由圖，$A$、$B$、$C$、$D$ 依逆時針方向排列。$△OAB$ 是等腰直角三角形且 $\angle OAB=90^{\circ }$，所以 $\overline{OB}=\sqrt{2}\overline{OA}$，且 $\angle AOB=45^{\circ }$。把 $\overrightarrow{OA}$ 逆時針轉 $45^{\circ }$ 再伸長 $\sqrt{2}$ 倍就得到 $\overrightarrow{OB}$，相當於乘上

$$\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)=1+i$$

同理 $C=B(1+i)$，$D=C(1+i)$，所以

$$D=(3+i)(1+i{)}^3=(3+i)(-2+2i)=-6+6i-2i+2i^2=-8+4i$$

設焦點 $F(2,k)$，$k>0$。正焦弦長是焦距 $c$ 的 $4$ 倍，焦點到準線的距離是 $2c$：$4c=6\sqrt{2}$，$c=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，焦點到準線的距離為 $3\sqrt{2}$。

$$\frac{|2+k-1|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\Rightarrow |k+1|=6$$

$k>0$，所以 $k=5$，$F(2,5)$。

過 $F$ 垂直準線的直線（對稱軸）方向是 $(1,1)$，設垂足為 $(2-t,5-t)$，代入 $x+y=1$：$7-2t=1$，$t=3$，垂足是 $(-1,2)$。頂點是焦點與垂足的中點：$\left(\frac{2-1}{2},\frac{5+2}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)$。

配方：$x^2+6x+9=-3y+6$，即 $(x+3{)}^2=-3(y-2)$，頂點 $(-3,2)$，對稱軸 $x=-3$（鉛直）。

所求拋物線與它同頂點、同對稱軸，可設為 $(x+3{)}^2=4c(y-2)$。過 $(1,-2)$：$16=4c\cdot (-4)$，$4c=-4$。所以方程式為 $(x+3{)}^2=-4(y-2)$，展開即 $x^2+6x+4y+1=0$。

以拱頂為原點、鉛直向上為 $y$ 軸，拋物線開口向下，設為 $x^2=-4cy$。此時水面在 $y=-2$，水面寬 $4$，所以點 $(2,-2)$ 在拋物線上：$4=-4c\cdot (-2)$，$4c=2$，拋物線為 $x^2=-2y$。

水面上升 $1$ 公尺後在 $y=-1$：$x^2=2$，$x=\pm \sqrt{2}$，水面寬為 $2\sqrt{2}$ 公尺。

拋物線上一點到焦點的距離等於它到準線 $x=-3$ 的距離。開口向右，拋物線上的點都在準線右側，所以

$$\overline{AF}=x_1-(-3)=x_1+3,\overline{BF}=x_2+3$$

$\overline{AB}$ 過焦點 $F$，$F$ 在 $A$、$B$ 之間，$\overline{AB}=\overline{AF}+\overline{BF}=x_1+x_2+6=10$，所以 $x_1+x_2=4$。

$y^2=-12x=4\cdot (-3)x$，焦點 $F(-3,0)$，準線 $L$：$x=3$。

由拋物線定義 $\overline{PF}=\overline{PQ}$，又 $\angle FPQ=60^{\circ }$，所以 $△FPQ$ 是正三角形，$\overline{FQ}=\overline{PQ}$。

設 $P(x,y)$，$y^2=-12x$，$Q(3,y)$，$\overline{PQ}=3-x$。${\overline{FQ}}^2=6^2+y^2=36-12x$，令它等於 $(3-x{)}^2$：

$$36-12x=9-6x+x^2\Rightarrow x^2+6x-27=0\Rightarrow (x+9)(x-3)=0$$

拋物線上 $x\le 0$，所以 $x=-9$，邊長 $\overline{PQ}=12$。面積 $=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 12^2=36\sqrt{3}$。

$x^2=8y-8=8(y-1)$，頂點 $(0,1)$，$4c=8$，$c=2$，焦點 $(0,3)$，正好是 $F$。

過 $F$ 的直線若是鉛直線 $x=0$，與拋物線只交一點，不合，所以設直線 $y=mx+3$，代入得 $x^2=8(mx+3)-8$，即

$$x^2-8mx-16=0$$

$P$、$Q$ 的橫坐標 $x_P$、$x_Q$ 是這個方程式的兩根，$x_P{x}_Q=-16<0$，兩點分在 $F$ 的左右兩側。$P$、$F$、$Q$ 共線且 $F$ 在中間，$\frac{\overline{PF}}{\overline{QF}}=\frac{3}{2}$，看橫坐標（$F$ 的橫坐標為 $0$）得 $x_Q=-\frac{2}{3}{x}_P$。代入：$x_P\cdot \left(-\frac{2}{3}{x}_P\right)=-16$，$x_P^2=24$。

$P$ 在右半平面，$x_P=2\sqrt{6}$，$y_P=\frac{x_P^2}{8}+1=3+1=4$。所以 $P\left(2\sqrt{6},4\right)$。

兩邊乘以 $8$：$8x=y^2-4y-4$，配方得 $(y-2{)}^2=8x+8=8(x+1)$。

頂點 $(-1,2)$，開口向右，$4c=8$，$c=2$。焦點 $F(-1+2,2)=(1,2)$，準線 $x=-1-2$，即 $x=-3$。

先判斷 $A(2,3)$ 在拋物線的哪一側：$y=3$ 時拋物線上的點 $x=\frac{9}{8}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{7}{8}$，而 $A$ 的 $x$ 坐標 $2>-\frac{7}{8}$，所以 $A$ 在拋物線開口內（與焦點同側）。

由定義，$\overline{PF}$ 等於 $P$ 到準線 $x=-3$ 的距離，設 $P$ 在準線上的投影為 $H$，則

$$\overline{PF}+\overline{PA}=\overline{PH}+\overline{PA}\ge 2-(-3)=5$$

（$H$ 在準線 $x=-3$ 上，折線 $H\to P\to A$ 的長不小於 $A$ 到準線的距離 $2-(-3)=5$。）

等號成立時 $H$、$P$、$A$ 共線，也就是 $P$ 在過 $A$ 垂直準線的水平線 $y=3$ 上，$P\left(-\frac{7}{8},3\right)$。所以最小值為 $5$，此時 $P\left(-\frac{7}{8},3\right)$。

$|8+8\sqrt{3}i|=8\sqrt{1+3}=16$，$8+8\sqrt{3}i=16\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$，在第一象限，主輻角 $\frac{\pi }{3}$。所以

$$8+8\sqrt{3}i=16\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$$

設 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$，$z^8=8+8\sqrt{3}i$。由棣美弗定理，$r^8(\cos 8\theta +i\sin 8\theta )=16\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$，所以 $r^8=16$，$r=\sqrt{2}$；$8\theta =\frac{\pi }{3}+2k\pi$，$\theta =\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{4}=\frac{(6k+1)\pi }{24}$。$k=0,1,\dots ,7$ 給出八個不同的根：

$$z_k=\sqrt{2}\left(\cos \frac{(6k+1)\pi }{24}+i\sin \frac{(6k+1)\pi }{24}\right),k=0,1,2,\dots ,7$$

也就是輻角為 $\frac{\pi }{24},\frac{7\pi }{24},\frac{13\pi }{24},\frac{19\pi }{24},\frac{25\pi }{24},\frac{31\pi }{24},\frac{37\pi }{24},\frac{43\pi }{24}$ 的八個複數。

八個根都在以原點為圓心、半徑 $\sqrt{2}$ 的圓上，相鄰兩根的輻角差 $\frac{2\pi }{8}=\frac{\pi }{4}$，把圓八等分。正八邊形可由原點分成 $8$ 個全等的等腰三角形，兩腰長 $\sqrt{2}$、夾角 $\frac{\pi }{4}$：

$$8\times \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sin \frac{\pi }{4}=8\times \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$