高雄新興高中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

先按降冪排列：$f(x)=-6x^8+7x^5+4x^3-5x+15$。

(A) 錯誤。 最高次項是 $-6x^8$，領導係數是 $-6$。

(B) 錯誤。 最高次項是 $8$ 次，$\mathrm{deg}f(x)=8$。

(C) 正確。 式子裡沒有 $x^2$ 項，係數是 $0$。

(D) 錯誤。 $x^3$ 的係數是 $4$。

(E) 正確。 $f(-1)=-6\cdot 1+7\cdot (-1)+4\cdot (-1)-5\cdot (-1)+15=-6-7-4+5+15=3$。

點 $(x,y)$ 對 $x$ 軸的對稱點是 $(x,-y)$，對 $y$ 軸是 $(-x,y)$，對原點是 $(-x,-y)$，對直線 $y=x$ 是 $(y,x)$。把方程式裡的 $x$、$y$ 換成對應的式子即可。

(A) 正確。 $y$ 換成 $-y$：$-y=x^2$，即 $y=-x^2$。

(B) 正確。 $x$ 換成 $-x$：$y=(-x{)}^2=x^2$，圖形對 $y$ 軸本身對稱。

(C) 正確。 $x$、$y$ 都變號：$-y=(-x{)}^2$，即 $y=-x^2$。

(D) 正確。 $(p,q)$ 與 $(q,p)$ 的中點 $\left(\frac{p+q}{2},\frac{p+q}{2}\right)$ 在 $y=x$ 上，且兩點連線斜率 $-1$ 與 $y=x$ 垂直，所以兩點對 $y=x$ 對稱。因此 $x$、$y$ 互換：$x=y^2$，即 $y^2=x$。

(E) 錯誤。 向右平移 $3$ 單位把 $x$ 換成 $x-3$，向下平移 $2$ 單位把 $y$ 換成 $y+2$，得 $y+2=(x-3{)}^2$，不是 $x^2-3$。

(A) 正確。 判別式 $1-16=-15<0$，首項係數為正，$x^2+x+4$ 恆正，任意實數都是解。

(B) 正確。 判別式 $1-4=-3<0$，首項係數為正，$x^2-x+1$ 恆正。

(C) 錯誤。 $x^2-x-2=(x-2)(x+1)>0$ 的解是 $x<-1$ 或 $x>2$，整數解有無限多個。

(D) 正確。 兩邊乘以 $-1$：$x^2-x-1>0$，解是 $x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 或 $x>\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，例如所有 $x\ge 2$ 的整數都是解，有無限多個。

(E) 錯誤。 $x=0$ 代入得 $1>0$，成立，所以有實數解（解是 $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）。

圖形開口向下，所以 $a<0$；與 $x$ 軸交於 $x=-2$ 與 $x=\frac{1}{2}$，所以 $f(x)=a(x+2)\left(x-\frac{1}{2}\right)=a\left(x^2+\frac{3}{2}x-1\right)$，得 $b=\frac{3}{2}a$，$c=-a$。

(A) 正確。 $a<0$。

(B) 正確。 $b=\frac{3}{2}a<0$。

(C) 錯誤。 $c=-a>0$（圖形與 $y$ 軸交在正的一側）。

(D) 錯誤。 圖形與 $x$ 軸交於兩點，$b^2-4ac>0$。

(E) 錯誤。 $-9a+3b+c=-9a+\frac{9}{2}a-a=-\frac{11}{2}a>0$。

$(a,b)$ 在圖形上，所以 $b=-a^3$。

(A) 正確。 $-(-a{)}^3=a^3=-b$，所以 $(-a,-b)$ 在圖形上（$y=-x^3$ 的圖形對原點對稱）。

(B) 錯誤。 需要 $a=-b^3$，不一定成立。取 $(a,b)=(2,-8)$，則 $(b,a)=(-8,2)$，而 $-(-8{)}^3=512\ne 2$，不在圖形上。

(C) 錯誤。 需要 $a=-(-b{)}^3=b^3$。取 $(a,b)=(2,-8)$，$(-b,a)=(8,2)$，$-8^3=-512\ne 2$，不在圖形上。

(D) 正確。 $(a,-a^3)$ 就是 $(a,b)$ 本身。

(E) 錯誤。 需要 $-a=-b^3$，即 $a=b^3$。取 $(a,b)=(2,-8)$，$(b,-a)=(-8,-2)$，$-(-8{)}^3=512\ne -2$，不在圖形上。

由題意 $f(x)=(ax+b)q(x)+r$，其中 $r$ 是非零常數。除式是一次式時，餘式必須是常數。

(A) 錯誤。 $3f(x)=(ax+b)\cdot 3q(x)+3r$，商式是 $3q(x)$，但餘式是 $3r$，不是 $r$（$r\ne 0$）。

(B) 正確。 $f(x)=2(ax+b)\cdot \frac{1}{2}q(x)+r$，$r$ 是常數，所以商式是 $\frac{1}{2}q(x)$，餘式是 $r$。

(C) 錯誤。 $4f(x)=4(ax+b)\cdot q(x)+4r$，商式是 $q(x)$，不是 $4q(x)$；餘式 $4r$ 是對的。

(D) 錯誤。 $xf(x)=(ax+b)\cdot xq(x)+rx$，但 $rx$ 是一次式，次數沒有小於除式 $ax+b$ 的次數，不能當餘式。再除一次：$rx=\frac{r}{a}(ax+b)-\frac{rb}{a}$，所以商式是 $xq(x)+\frac{r}{a}$，餘式是 $-\frac{rb}{a}$。

(E) 正確。 在 $f(x)=(ax+b)q(x)+r$ 中把 $x$ 換成 $\frac{x}{a}$：$f\left(\frac{x}{a}\right)=(x+b)q\left(\frac{x}{a}\right)+r$，$q\left(\frac{x}{a}\right)$ 是多項式、$r$ 是常數，所以商式是 $q\left(\frac{x}{a}\right)$，餘式是 $r$。

先把函數改寫成以對稱中心為中心的形式。$-2(x-1{)}^3=-2x^3+6x^2-6x+2$，所以

$$y=-2x^3+6x^2-5x+4=-2(x-1{)}^3+(x-1)+3,$$

對稱中心是 $(1,3)$。$A(0,9)$ 與 $B(a,b)$ 對稱於 $(1,3)$，所以 $(1,3)$ 是 $\overline{AB}$ 的中點：$\frac{0+a}{2}=1$，$\frac{9+b}{2}=3$，得 $a=2$，$b=-3$，$a-b=5$。

(2) 用分離係數法，$f(x)$ 的係數是 $2,-5,0,2,-6$，$g(x)$ 的係數是 $1,-1,2$：

$$\begin{array}{rrrrrrr}2& -5& 0& 2& -6& & \\ & -2& 5& 0& -2& 6& \\ & & 4& -10& 0& 4& -12\\ 2& -7& 9& -8& -8& 10& -12\end{array}$$

所以 $f(x)\times g(x)=2x^6-7x^5+9x^4-8x^3-8x^2+10x-12$。

先因式分解：$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$，$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$。$x^2-x+2$ 的判別式 $1-8<0$，恆正，可以直接約去。$x^2-x-1=0$ 的兩根是 $\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$。原不等式等價於

$$(x+2)(x-1{)}^2(x-3)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\le 0.$$

$(x-1{)}^2\ge 0$，只在 $x=1$ 時為 $0$，所以 $x=1$ 是解；其餘的 $x$ 只要看另外四個一次因式的乘積 $\le 0$。四個根由小到大是 $-2$、$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$、$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$、$3$，最右邊一段乘積為正，往左每過一個根變號一次，乘積 $\le 0$ 的範圍是 $-2\le x\le \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 或 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\le x\le 3$。

合起來，解為 $-2\le x\le \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 或 $x=1$ 或 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\le x\le 3$。

除式 $(x+2)(x^2+x+1)$ 是三次式，餘式最多二次。$f(x)$ 除以 $x^2+x+1$ 的餘式是 $3x+9$，所以可設

$$f(x)=(x+2)(x^2+x+1)q(x)+k(x^2+x+1)+3x+9,$$

所求餘式是 $k(x^2+x+1)+3x+9$。由餘式定理 $f(-2)=15$：$k(4-2+1)-6+9=3k+3=15$，$k=4$。餘式是 $4(x^2+x+1)+3x+9=4x^2+7x+13$。

由 (I)，圖形對稱於直線 $x=-1$，可設 $f(x)=m(x+1{)}^2+n$。在 $-3\le x\le 5$ 中，$x=-3$ 離對稱軸 $2$，$x=5$ 離對稱軸 $6$。若 $m>0$，離對稱軸越遠函數值越大，會有 $f(5)>f(-3)$，與 (III) 不合，所以 $m<0$（$m\ne 0$ 因為是二次函數）。

開口向下時，在範圍內最大值在頂點：$f(-1)=n=24$；最小值在離對稱軸最遠的 $x=5$：$f(5)=36m+24=-84$，$m=-3$。所以 $f(x)=-3(x+1{)}^2+24$，$f(7)=-3\cdot 64+24=-168$。

(2) 令 $t=x-1$，即 $x=t+1$，代入：

$$8(t+1{)}^3-4(t+1{)}^2-12(t+1)+5=(8t^3+24t^2+24t+8)-(4t^2+8t+4)-(12t+12)+5=8t^3+20t^2+4t-3.$$

所以 $f(x)=8(x-1{)}^3+20(x-1{)}^2+4(x-1)-3$，$(a,b,c,d)=(8,20,4,-3)$。

設 $\overline{BP}=x$ 公分，$0<x<24$，則 $\overline{PA}=24-x$。

正方形 $PSTU$ 的邊長是 $\frac{x}{4}$，$\overline{PU}$ 與 $\overline{AB}$ 垂直，$\overline{PU}=\frac{x}{4}$。正三角形 $PRQ$ 的邊長是 $\frac{24-x}{3}$，頂點 $R$ 在邊 $\overline{PQ}$ 的中垂線上，所以 $R$ 到直線 $PU$ 的距離等於 $R$ 的正下方那一點到 $P$ 的距離，也就是邊長的一半 $\frac{24-x}{6}$。

以 $\overline{PU}$ 為底，$△PUR$ 的面積

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{4}\cdot \frac{24-x}{6}=\frac{x(24-x)}{48}=-\frac{1}{48}(x-12{)}^2+3.$$

$x=12$ 在 $0<x<24$ 內，所以 $\overline{BP}=12$ 公分時面積最大，最大值是 $3$ 平方公分。