段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、科學記號、常用對數）

高雄新興高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多選題 4 題（每題 6 分，共 24 分，錯一個選項扣 2 分，扣完為止）、填充題 11 題共 13 格（每格 5 分，共 65 分）、計算題 1 題 3 小題（11 分）；合計 100 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、多選題：每題 6 分，共 24 分（錯一個選項扣 2 分，扣完為止）

下列選項哪些可化為有限小數？

(A) $\frac{27}{256}$
(B) $\frac{125}{222}$
(C) $6.78 \overline{9}$
(D) $1.21$
(E) $\frac{1}{5 + 1} + \frac{1}{5 - 1}$

下列選項哪些正確？

(A) $0. \overline{9} < 1$
(B) $\frac{113}{2024} < \frac{114}{2025}$
(C) $8 + 5 < 7 + 6$
(D) $\frac{2 5 + 3 7}{5 + 7} > 2$
(E) $\frac{π + 3.14}{2} > 3.14 π$

下列敘述哪些正確？

(A) 若 $a + b$ ， $a - b$ 均為有理數，則 $ab$ 必為有理數
(B) 若 $\frac{a}{b}$ 為有理數，則 $ab$ 必為有理數
(C) 若 $a$ 、 $b$ 為有理數，且 $a + 32 = 5 + b 2$ ，則 $(a, b) = (5, 3)$
(D) 若 $a$ 、 $b$ 為無理數，且 $a < b$ ，則一定找得到無理數 $c$ ，使得 $a < c < b$
(E) 若 $a$ 、 $b$ 為實數，且 $a < b$ ，則 $a < \frac{2 a + b}{3} < \frac{a + 2 b}{3} < b$

設

a, b, c \in R

且滿足

lo g a = 3.6

，

lo g b = 7.2

，

lo g c = 10.2

，請選出正確選項。

(A) $b = 2 a$
(B) $c = 1000 b$
(C) $ab > c$
(D) $b$ 的整數部分有 $8$ 位數
(E) $\frac{1}{c}$ 在小數點後第 $11$ 位開始不為 $0$

二、填充題：每格 5 分，共 65 分（本頁第 5～17 題依序為原卷填充第 1(1)、1(2)、1(3)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 題）

填充題 1（第 5～7 題）　計算下列各式的值：

(1)

(\frac{81}{16})^{- 0.25} \times (\frac{4}{9})^{- 0.5} \times (0.25)^{- 1.5} =

____。

(2)

(4 - 15)^{3} - (4 + 15)^{3} =

____。

(3)

lo g 0.01 + 1 0^{l o g 3} =

____。

設

A (- 4)

，

B (7)

，

C (x)

是數線上三點，

C

在線段

A B

外，且

\overline{A C} : \overline{B C} = 3 : 5

，求

x =

____。

將

\frac{389}{1110}

化為小數，小數點後第

113

位數字為 ____。

已知

a = 7^{2} \times 8 7^{7}

，

b = 3 \frac{7 ^{5} \times 5 7}{5 7 ^{4}}

，

c = 3 7^{2} \times 18 7^{13}

，

a

、

b

、

c

的大小關係為 ____。

設

x

、

y

為實數且

2 3^{x} = 9

，

20 7^{y} = 243

，則

\frac{2}{x} - \frac{5}{y} =

____。

方程式

∣ x - 2∣ + ∣2 x - 7∣ = 6

之解為 ____。

設

a

，

b

為實數，若

∣ a x - 3∣ < b

之解為

2 < x < 10

，求

∣ x + 2 a ∣ \geq b

之解為 ____。

設

x

，

y

為正實數，且

x + x y = 3

，求

x + y

的最小值為 ____。

若

9 + 80

的整數部分為

a

，小數部分為

b

（

0 < b < 1

），則

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =

____。（以

p + q r

的形式表示）

碳十四定年法是利用碳-14 的半衰期約為

5730

年的特性，透過測量古物的碳-14 含量，估計它的年齡。已知某遺址測得的碳-14 含量，約為原本的

6.25%

，可估計該遺址距今約 ____ 年。

光寶科技 2024 年第一季（1 到 3 月）受到消費市場修正影響，營收表現低於去年同季營收。公司以 AI 伺服器等高價值事業為重要成長動能，第二季有信心優於第一季，下半年值得期待。已知光寶科技 2024 年 1 月營收

9.91 \times 1 0^{9}

元，2 月營收

8.08 \times 1 0^{9}

元，3 月營收

1.08 \times 1 0^{10}

元，求 2024 年第一季營收為 ____ 元。（取

3

位有效數字）

三、計算題：11 分（視過程部分給分，只有答案沒寫算式不予給分）（本頁第 18～20 題為原卷計算第 1 題的 (1)(2)(3)，依序為 4 分、3 分、4 分）

計算題 1（第 18～20 題）　目前國際使用芮氏地震規模來表示地震強度，設發生芮氏規模

R

時，地震震央所釋放出來的能量為

E

（爾格），其關係為

lo g E = 1.5 R + 11.8

。已知 2022 年 9 月 18 日台東大地震的規模為

6.8

；2024 年 4 月 3 日花蓮大地震的規模為

7.2

。假設台東大地震震央釋放的能量為

E_{1}

，花蓮大地震震央釋放的能量為

E_{2}

，試求：（已知

1 0^{0.6} \approx 3.981

）

(1)

lo g E_{1}

及

lo g E_{2}

。（4 分）

(2) 花蓮大地震震央釋放的能量（以科學記號表示）。（3 分）

(3) 花蓮大地震震央釋放的能量約為台東大地震震央釋放能量的幾倍？（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)(D)

第 2 題(B)(C)(D)(E)

第 3 題(A)(C)(D)(E)

第 4 題(B)(C)(D)(E)

第 5 題

8

第 6 題

- 12615

第 7 題

1

第 8 題

- \frac{41}{2}

第 9 題

5

第 10 題

b > a > c

第 11 題

- 2

第 12 題

x = 1

或

x = 5

第 13 題

x \leq - 3

或

x \geq 1

第 14 題

23 - 1

第 15 題

\frac{9}{4} + 5

第 16 題

22920

第 17 題

2.88 \times 1 0^{10}

第 18 題

lo g E_{1} = 22

，

lo g E_{2} = 22.6

第 19 題約

3.981 \times 1 0^{22}

爾格

第 20 題約

3.981

倍

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1、2：有限小數的判斷、實數比大小

第 1 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：

256 = 2^{8}

，最簡分數的分母只有質因數

2

，可化為有限小數（

\frac{27}{256} = 0.10546875

）。(B) 錯：

222 = 2 \times 3 \times 37

，

125 = 5^{3}

，已是最簡分數，分母有

2

、

5

以外的質因數

3

和

37

，是循環小數。(C) 對：

0.00 \overline{9} = 0.01

，所以

6.78 \overline{9} = 6.78 + 0.01 = 6.79

。(D) 對：

1.21 = 1.1

。(E) 錯：通分得

\frac{( 5 - 1 ) + ( 5 + 1 )}{( 5 + 1 ) ( 5 - 1 )} = \frac{2 5}{4} = \frac{5}{2}

，是無理數，不能化為有限小數。

最簡分數能化為有限小數的條件是分母只含質因數

2

或

5

；判斷前要先約分。

第 2 題答案 (B)(C)(D)(E)。(A) 錯：

0. \overline{9} = \frac{9}{9} = 1

，兩數相等。(B) 對：兩分數的分母都是正數，交叉相乘比較，

113 \times 2025 = 228825

，

114 \times 2024 = 230736

，前者較小，所以

\frac{113}{2024} < \frac{114}{2025}

。(C) 對：兩邊都是正數，平方後比較，左邊

13 + 240

，右邊

13 + 242

，左邊較小。(D) 對：

\frac{2 5 + 3 7}{5 + 7} = \frac{2 ( 5 + 7 ) + 7}{5 + 7} = 2 + \frac{7}{5 + 7} > 2

。(E) 對：

π

和

3.14

是兩個正數，由算幾不等式

\frac{π + 3.14}{2} \geq 3.14 π

，等號只在兩數相等時成立；

π = 3.14159 \dots \neq = 3.14

，所以是嚴格大於。

(B) 也可以這樣看：

\frac{113}{2024} < 1

，分子分母同加

1

之後分數會變大。

02多選 3、4：有理數與無理數的性質、由 log 值判斷大小與位數

第 3 題答案 (A)(C)(D)(E)。(A) 對：

a = \frac{( a + b ) + ( a - b )}{2}

，

b = \frac{( a + b ) - ( a - b )}{2}

都是有理數，所以

ab

是有理數。(B) 錯：取

a = b = 42

，

\frac{a}{b} = 1

是有理數，但

ab = 2

是無理數。(C) 對：

a

、

b

是有理數，兩邊的有理數部分與

2

的係數分別相等，

a = 5

，

b = 3

。(D) 對：令

m = \frac{a + b}{2}

，則

a < m < b

。若

m

是無理數，取

c = m

；若

m

是有理數，取

c = \frac{a + m}{2}

，它是無理數（無理數加有理數再除以

2

），而且

a < c < m < b

。(E) 對：

\frac{2 a + b}{3} - a = \frac{b - a}{3} > 0

，

\frac{a + 2 b}{3} - \frac{2 a + b}{3} = \frac{b - a}{3} > 0

，

b - \frac{a + 2 b}{3} = \frac{b - a}{3} > 0

，三個不等號都成立。

(E) 的兩個數是把

a

到

b

這一段三等分的兩個分點。

第 4 題答案 (B)(C)(D)(E)。由對數的定義，

a = 1 0^{3.6}

，

b = 1 0^{7.2}

，

c = 1 0^{10.2}

。(A) 錯：

b = 1 0^{7.2} = (1 0^{3.6})^{2} = a^{2}

，而

a > 0

時

a^{2} = 2 a

只有

a = 2

才成立，

a = 1 0^{3.6}

不是

2

。(B) 對：

1000 b = 1 0^{3} \times 1 0^{7.2} = 1 0^{10.2} = c

。(C) 對：

ab = 1 0^{3.6 + 7.2} = 1 0^{10.8} > 1 0^{10.2} = c

。(D) 對：

1 0^{7} < 1 0^{7.2} < 1 0^{8}

，所以

b

的整數部分是

8

位數。(E) 對：

\frac{1}{c} = 1 0^{- 10.2} = 1 0^{0.8} \times 1 0^{- 11}

，而

1 < 1 0^{0.8} < 10

，所以

\frac{1}{c}

的小數點後前

10

位都是

0

，第

11

位開始不為

0

。

對數相加對應真數相乘，對數變成兩倍對應真數平方，不是真數變成兩倍。

判斷「必為有理數」這類敘述：想證明成立，就把要判斷的數用已知的有理數加減乘除表示出來；想否定，舉一個反例就夠。

03填充 5～7（原卷填充 1）：指數、乘法公式與對數的計算

第 5 題(1)

\frac{81}{16} = (\frac{3}{2})^{4}

，所以

(\frac{81}{16})^{- 0.25} = (\frac{3}{2})^{- 1} = \frac{2}{3}

。

\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^{2}

，所以

(\frac{4}{9})^{- 0.5} = (\frac{2}{3})^{- 1} = \frac{3}{2}

。

0.25 = 2^{- 2}

，所以

(0.25)^{- 1.5} = 2^{3} = 8

。三者相乘：

\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} \times 8 = 8

。

第 6 題(2) 令

p = 4 - 15

，

q = 4 + 15

，則

p - q = - 215

，

pq = 16 - 15 = 1

，

p^{2} + q^{2} = (31 - 815) + (31 + 815) = 62

。

p^{3} - q^{3} = (p - q) (p^{2} + pq + q^{2}) = - 215 \times 63 = - 12615

。

4 - 15

比

4 + 15

小，相減的結果是負的。

第 7 題(3)

0.01 = 1 0^{- 2}

，所以

lo g 0.01 = - 2

。

lo g 3

是「

10

的幾次方等於

3

」的那個次方，所以

1 0^{l o g 3} = 3

。相加得

- 2 + 3 = 1

。

04填充 8～11（原卷填充 2～5）：外分點、循環小數、根式比大小、指數式求值

第 8 題

C

在線段

A B

外，而且

\overline{A C} < \overline{B C}

，所以

C

比較靠近

A

，在

A

的左邊，

x < - 4

。此時

\overline{A C} = - 4 - x

，

\overline{B C} = 7 - x

。由

\frac{- 4 - x}{7 - x} = \frac{3}{5}

得

- 20 - 5 x = 21 - 3 x

，

x = - \frac{41}{2}

。

檢查：

\overline{A C} = \frac{33}{2}

，

\overline{B C} = \frac{55}{2}

，比是

3 : 5

。若誤把

C

放在

B

的右邊，會有

\overline{A C} > \overline{B C}

，和

3 : 5

不合。

第 9 題直接除：

\frac{389}{1110} = 0.3504504 \dots = 0.3 \overline{504}

。小數點後第

1

位是

3

，從第

2

位起每

3

位循環一次，依序是

5

、

0

、

4

。第

113

位是循環部分的第

112

個數字，

112 = 3 \times 37 + 1

，是一個循環節的第

1

個數字，所以是

5

。

循環節不是從小數點後第

1

位開始，要先扣掉不循環的那

1

位再除以

3

。

第 10 題全部化成

7

的次方。

a = (7^{2} \times 7^{\frac{7}{8}})^{\frac{1}{2}} = 7^{\frac{23}{8} \times \frac{1}{2}} = 7^{\frac{23}{16}}

。

b = (7^{5 + \frac{1}{5} - \frac{4}{5}})^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{22}{5} \times \frac{1}{3}} = 7^{\frac{22}{15}}

。

c = 7^{\frac{2}{3}} \times 7^{\frac{13}{18}} = 7^{\frac{12 + 13}{18}} = 7^{\frac{25}{18}}

。比較指數：通分成分母

720

，

\frac{23}{16} = \frac{1035}{720}

，

\frac{22}{15} = \frac{1056}{720}

，

\frac{25}{18} = \frac{1000}{720}

。底數

7 > 1

，指數大的數就大，所以

b > a > c

。

第 11 題

2 3^{x} = 9 = 3^{2}

，兩邊取

\frac{1}{x}

次方：

23 = 3^{\frac{2}{x}}

。

20 7^{y} = 243 = 3^{5}

，同理

207 = 3^{\frac{5}{y}}

。相除：

3^{\frac{2}{x} - \frac{5}{y}} = \frac{23}{207} = \frac{1}{9} = 3^{- 2}

，所以

\frac{2}{x} - \frac{5}{y} = - 2

。

207 = 23 \times 9

，相除後只剩

3

的次方。

根式比大小時，先全部改寫成同一個底數的分數指數，再比較指數。

05填充 12～14（原卷填充 6～8）：絕對值方程式與不等式、算幾不等式

第 12 題以

2

和

\frac{7}{2}

為分界分三段。

x < 2

：

(2 - x) + (7 - 2 x) = 9 - 3 x = 6

，

x = 1

，在這一段內，合。

2 \leq x < \frac{7}{2}

：

(x - 2) + (7 - 2 x) = 5 - x = 6

，

x = - 1

，不在這一段內，不合。

x \geq \frac{7}{2}

：

(x - 2) + (2 x - 7) = 3 x - 9 = 6

，

x = 5

，在這一段內，合。所以

x = 1

或

x = 5

。

每一段解出來的

x

都要檢查有沒有落在那一段的範圍內。

第 13 題解

2 < x < 10

的中點是

6

，端點到中點的距離是

4

，所以解等於

∣ x - 6∣ < 4

。若

a = 0

，原式變成

3 < b

，解不會是一段有限的區間，所以

a \neq = 0

。此時

∣ a x - 3∣ < b

可寫成

∣ a ∣ x - \frac{3}{a} < b

，即

x - \frac{3}{a} < \frac{b}{∣ a ∣}

。對照得

\frac{3}{a} = 6

，

a = \frac{1}{2}

；

\frac{b}{∣ a ∣} = 4

，

b = 2

。所求是

∣ x + 1∣ \geq 2

，即

x + 1 \geq 2

或

x + 1 \leq - 2

，所以

x \geq 1

或

x \leq - 3

。

檢查：

\frac{1}{2} x - 3 < 2

即

1 < \frac{1}{2} x < 5

，

2 < x < 10

。

第 14 題

x + x y = x (1 + y) = 3

，其中

x > 0

，

1 + y > 0

。把

x + y

寫成

x + (1 + y) - 1

，由算幾不等式

x + (1 + y) \geq 2 x (1 + y) = 23

，所以

x + y \geq 23 - 1

。等號在

x = 1 + y = 3

，也就是

x = 3

、

y = 3 - 1

時成立，這兩個數都是正數，所以最小值是

23 - 1

。

乘積是定值的是

x

和

1 + y

這兩個數，所以要先把

x + y

補成

x + (1 + y)

再減

1

。

用算幾不等式求極值時，先找出「乘積是定值」或「和是定值」的那兩個正數，最後要確認等號成立的條件做得到。

06填充 15～17（原卷填充 9～11）：雙重根號、半衰期、科學記號

第 15 題

80 = 220

，所以

9 + 80 = 9 + 220

。和

9

、積

20

的兩數是

5

和

4

，所以它等於

5 + 4 = 5 + 2

。

2 < 5 < 3

，所以

4 < 5 + 2 < 5

，整數部分

a = 4

，小數部分

b = 5 + 2 - 4 = 5 - 2

。

\frac{1}{b} = \frac{1}{5 - 2} = \frac{5 + 2}{5 - 4} = 5 + 2

，所以

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{4} + 2 + 5 = \frac{9}{4} + 5

。

第 16 題

6.25% = \frac{6.25}{100} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{4}

。每經過一個半衰期，含量變成原來的

\frac{1}{2}

，所以經過了

4

個半衰期，

4 \times 5730 = 22920

年。

第 17 題把三個數寫成同樣的次方：

1.08 \times 1 0^{10} = 10.8 \times 1 0^{9}

。相加：

(9.91 + 8.08 + 10.8) \times 1 0^{9} = 28.79 \times 1 0^{9} = 2.879 \times 1 0^{10}

。取

3

位有效數字，第四位

9

進位，得

2.88 \times 1 0^{10}

元。

3 月的營收是

1 0^{10}

，和前兩個月的

1 0^{9}

次方不同，要先化成同一個次方才能把前面的數相加。

07計算 1（第 18～20 題）：芮氏規模與地震能量

第 18 題(1) 台東大地震

R = 6.8

：

lo g E_{1} = 1.5 \times 6.8 + 11.8 = 10.2 + 11.8 = 22

。花蓮大地震

R = 7.2

：

lo g E_{2} = 1.5 \times 7.2 + 11.8 = 10.8 + 11.8 = 22.6

。

第 19 題(2) 由

lo g E_{2} = 22.6

得

E_{2} = 1 0^{22.6} = 1 0^{0.6} \times 1 0^{22} \approx 3.981 \times 1 0^{22}

（爾格）。

把

22.6

拆成整數

22

與介於

0

和

1

之間的

0.6

，

1 0^{0.6}

介於

1

和

10

之間，正好是科學記號前面的那個數。

第 20 題(3)

lo g E_{1} = 22

，所以

E_{1} = 1 0^{22}

。

\frac{E _{2}}{E _{1}} = \frac{1 0 ^{22.6}}{1 0 ^{22}} = 1 0^{22.6 - 22} = 1 0^{0.6} \approx 3.981

，所以花蓮大地震震央釋放的能量約為台東大地震的

3.981

倍。

規模只相差

0.4

，能量是

1 0^{1.5 \times 0.4} = 1 0^{0.6}

倍，將近

4

倍。

已知

lo g E

的值求

E

：把這個值拆成「整數＋零點幾」，零點幾的部分決定科學記號前面的數，整數部分決定

10

的次方。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

高雄新興高中 113 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題的選項 (B) 要自己找反例、選項 (D) 要說明兩個無理數之間一定還有無理數；填充第 2 題（本頁第 8 題）的外分點要先判斷點在哪一側；填充第 3 題（本頁第 9 題）的循環節不是從小數點後第一位開始；填充第 8 題（本頁第 14 題）要先把式子補成兩個乘積為定值的正數，再用算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 113 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 113 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01多選 1、2：有限小數的判斷、實數比大小

02多選 3、4：有理數與無理數的性質、由 log 值判斷大小與位數

03填充 5～7（原卷填充 1）：指數、乘法公式與對數的計算

04填充 8～11（原卷填充 2～5）：外分點、循環小數、根式比大小、指數式求值

05填充 12～14（原卷填充 6～8）：絕對值方程式與不等式、算幾不等式

06填充 15～17（原卷填充 9～11）：雙重根號、半衰期、科學記號

07計算 1（第 18～20 題）：芮氏規模與地震能量

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

高雄新興高中 113 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

高雄新興高中 113 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

高雄新興高中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

高雄新興高中 113 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

高雄新興高中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？