段考詳解範圍：弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期、指數函數

高雄新興高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單一選擇題 2 題（每題 4 分，共 8 分）、多重選擇題 3 題（每題 6 分）、填充題 10 題共 11 格（每格 5 分）、計算題 2 題共 4 小題（共 19 分），合計 100 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算

一、單一選擇題（每題 4 分，共 8 分）

如右圖，兩個同心圓的半徑分別是

4

和

6

，且弧

A B

的長度為

4

，求陰影部分的面積為

(A) $\frac{20}{3}$
(B) $\frac{21}{2}$
(C) $\frac{20}{3} π$
(D) $10 π$
(E) $10$

載入中...

函數

y = (\frac{1}{3})^{x}

與下列哪一個函數的圖形對稱於

x

軸？

(A) $y = 3^{x}$
(B) $y = - 3^{x}$
(C) $y = - 3^{- x}$
(D) $y = 3^{∣ x ∣}$
(E) $y = 3^{- x}$

二、多重選擇題（每題 6 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個或三個以上的選項得 0 分）（本頁第 3～5 題為原卷多重選擇第 1～3 題）

關於

y = sin x

的圖形經過平移或伸縮後的圖形，試選出正確的選項。

(A) 將 $y = sin x$ 的圖形向右平移 $\frac{π}{3}$ 單位後，可得到 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 的圖形
(B) 將 $y = sin (x + 3)$ 的圖形水平伸縮為 $2$ 倍後，可得到 $y = sin (2 x + 3)$ 的圖形
(C) 將 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 的圖形鉛直向上平移 $3$ 單位後，可得到 $y = sin (x + \frac{π}{3}) + 3$ 的圖形
(D) 將 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 的圖形鉛直伸縮為 $2$ 倍後，可得到 $y = sin 2 (x + \frac{π}{3})$ 的圖形
(E) 將 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 的圖形鉛直伸縮為 $3$ 倍後，可得到 $y = 3 sin (x + \frac{π}{3})$ 的圖形

關於函數

f (x) = \frac{1}{2} sin 2 x

的敘述，試選出正確的選項。

(A) 定義域為所有實數
(B) 值域為 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$
(C) 週期為 $4 π$
(D) 振幅為 $1$
(E) 頻率為 $\frac{1}{π}$

關於指數函數

f (x) = (\frac{1}{2})^{x}

，試選出正確的選項。

(A) 圖形永遠在 $x$ 軸的上方
(B) 圖形通過點 $(1, 0)$
(C) 圖形由左而右逐漸下降，愈往右邊，下降得愈慢
(D) 當 $x$ 值愈大，圖形愈接近 $x$ 軸
(E) 圖形凹口向下

三、填充題（每格 5 分）（本頁第 6～8 題為原卷填充第 1～3 題；第 9、10 題為原卷填充第 4 題的 (1)(2)；第 11～16 題為原卷填充第 5～10 題）

求

sin \frac{π}{6} + cos \frac{2 π}{3} + tan \frac{5 π}{3} =

____。

設

a = (0.5)^{0.5}

，

b = 2^{- 3}

，

c = (\frac{1}{4})^{- 2}

，則三數的大小順序為 ____。（由大至小）

某表演中心有一扇形區域的觀眾區，其扇形的半徑為

16

公尺，圓心角為

7 5^{\circ}

，試求此扇形弧長為 ____ 公尺。

第 9～10 題為題組（原卷填充第 4 題）（第 9～10 題）　試完成下表中角度的換算：（原卷為「弳」與「度」兩欄的表格，第一列是

3

弳與空格 (1)，第二列是空格 (2) 與

7 2^{\circ}

。）

(1)

3

弳

=

____ 度。

(2) ____ 弳

= 7 2^{\circ}

。

小諭和小平各有一塊土地彼此相鄰。正三角形

A B C

是小諭的土地，而扇形

B A D

是小平的土地（其中

\overline{A B} = \overline{A D}

），若兩塊土地周長相等，試求

∠ B A D =

____ 弳。

載入中...

觀察一個時鐘，如右圖，在

4

點

16

分時，時針與分針所夾的較小角為 ____ 弳。

載入中...

小玲將底面半徑為

6

公分的

4

個大小相同的圓罐綁在一起（不計算打結的繩長），試問繩長需要 ____ 公分。

載入中...

如右圖為函數

y = a sin (b x) + c

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，則序組

(a, b, c) =

____。

載入中...

指數方程式

(\frac{1}{4})^{2 x - 1} = 162

的解為 ____。

某遊樂園為了吸引遊客，定時進行魔術表演，每隔

90

分鐘表演一次，歷時

15

分鐘，也就是說，表演

15

分鐘後休息，

75

分鐘以後再進行表演。若第一場魔術表演從早上

10

點開始表演，且遊樂園在下午

6

點半閉園，則最後一場表演在下午 ____ 結束。（請寫出幾點幾分）

四、計算題（共 19 分，請詳列計算過程，否則不予計分）（本頁第 17、18 題為原卷計算第 1 題的 (1)(2)，配分 6 分、5 分；第 19、20 題為原卷計算第 2 題的 (1)(2)，配分 3 分、5 分）

(1) 試利用

y = sin x

的圖形描繪出

f (x) = sin 2 x

的函數圖形。（6 分）

(2) 把正弦函數

y = sin 2 x

的圖形想像成高高低低的山，小慧從原點開始順著函數圖形往右走，則小慧遇到的第

10

個山谷（即最低處）在何處？（5 分）

第 19～20 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 19～20 題）　某實驗室發現其培養的細菌在經過

x

小時後，細菌總數約有

f (x) = 10000 \times 1 0^{0.8 x}

個。

(1) 一開始時（即

x = 0

）有幾個細菌？（3 分）

(2)

8

小時後細菌總數是

3

小時後細菌總數的幾倍？（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(C)

第 3 題(C)(E)

第 4 題(A)(B)(E)

第 5 題(A)(C)(D)

第 6 題

- 3

第 7 題

c > a > b

第 8 題

\frac{20}{3} π

第 9 題

\frac{540}{π}

第 10 題

\frac{2}{5} π

第 11 題

1

第 12 題

\frac{8}{45} π

第 13 題

48 + 12 π

第 14 題

(2, 3, - 1)

第 15 題

x = - \frac{5}{8}

第 16 題

5

點

45

分

第 17 題將

y = sin x

的圖形以

y

軸為基準水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍：週期

π

、振幅

1

，圖見詳解

第 18 題

x = \frac{39}{4} π

處，即點

(\frac{39}{4} π, - 1)

第 19 題

10000

個

第 20 題

1 0^{4} = 10000

倍

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇第 1、2 題：扇環面積、指數函數圖形的對稱

第 1 題答案 (A)。

A

、

B

在半徑

6

的大圓上，設圓心角

∠ A O B = θ

（弧度），由弧長

s = r θ

得

6 θ = 4

，

θ = \frac{2}{3}

。陰影是大扇形

O A B

減去小扇形

O C D

，兩個扇形的圓心角相同：面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{2}{3} = 12 - \frac{16}{3} = \frac{20}{3}

。

弧

A B

在大圓上，求

θ

時半徑要用

6

，不是

4

。圓心角用弧度表示時，面積不會帶

π

。

第 2 題答案 (C)。兩個圖形對稱於

x

軸，就是

x

相同時

y

值差一個負號，所以要找的函數是

y = - (\frac{1}{3})^{x}

。而

(\frac{1}{3})^{x} = (3^{- 1})^{x} = 3^{- x}

，所以是

y = - 3^{- x}

。

(A)

y = 3^{x}

與原圖形對稱於

y

軸；(E)

y = 3^{- x}

就是原函數本身。

對稱於

x

軸是把

y

換成

- y

，對稱於

y

軸是把

x

換成

- x

。

02多重選擇第 1～3 題（本頁第 3～5 題）：圖形的平移伸縮、正弦函數與指數函數的性質

第 3 題答案 (C)(E)。(A) 錯：向右平移

\frac{π}{3}

是把

x

換成

x - \frac{π}{3}

，得到

y = sin (x - \frac{π}{3})

；題目寫的

y = sin (x + \frac{π}{3})

是向左平移。(B) 錯：水平伸縮為

2

倍是把

x

換成

\frac{x}{2}

，得到

y = sin (\frac{x}{2} + 3)

；

y = sin (2 x + 3)

是水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍。(C) 對：向上平移

3

單位就是每個

y

值加

3

。(D) 錯：鉛直伸縮為

2

倍是每個

y

值乘以

2

，得到

y = 2 sin (x + \frac{π}{3})

；把

2

寫在角度前面改變的是週期，不是高度。(E) 對：鉛直伸縮為

3

倍，每個

y

值乘以

3

。

左右的變化寫在

x

上而且方向相反（向右是減、拉寬是除）；上下的變化寫在整個函數值上，方向照字面。

第 4 題答案 (A)(B)(E)。(A) 對：任何實數

x

都可以代入。(B) 對：

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

，乘以

\frac{1}{2}

得

- \frac{1}{2} \leq f (x) \leq \frac{1}{2}

。(C) 錯：週期

= \frac{2 π}{2} = π

。(D) 錯：振幅是

\frac{1}{2}

。(E) 對：頻率是週期的倒數，

\frac{1}{π}

。

y = a sin b x

（

b > 0

）的振幅是

∣ a ∣

、週期是

\frac{2 π}{b}

、頻率是

\frac{b}{2 π}

。

第 5 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：

(\frac{1}{2})^{x}

恆為正。(B) 錯：

f (1) = \frac{1}{2}

，圖形通過

(1, \frac{1}{2})

；

f (0) = 1

，通過的是

(0, 1)

。(C) 對：底數

\frac{1}{2}

在

0

與

1

之間，函數遞減；

x

每增加

1

，函數值減少現值的一半，值愈來愈小，所以減少的量也愈來愈小（例如

f (0) - f (1) = \frac{1}{2}

、

f (1) - f (2) = \frac{1}{4}

）。(D) 對：

x

愈大，

(\frac{1}{2})^{x}

愈接近

0

但不會等於

0

，圖形愈貼近

x

軸。(E) 錯：指數函數的圖形凹口向上，圖形上任兩點連成的線段都在圖形上方（例如

x = 0

與

x = 2

兩點的中點高度是

\frac{5}{8}

，而

f (1) = \frac{1}{2}

比它低）。

正弦函數先看振幅與週期；指數函數先看底數大於

1

還是介於

0

與

1

之間。

03填充第 1～3 題（本頁第 6～8 題）：特殊角、指數比大小、弧長

第 6 題

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

\frac{2 π}{3}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{3}

，餘弦為負，

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

。

\frac{5 π}{3}

是第四象限角，參考角

\frac{π}{3}

，正切為負，

tan \frac{5 π}{3} = - 3

。原式

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 3 = - 3

。

第 7 題都化成以

2

為底：

a = (\frac{1}{2})^{0.5} = 2^{- 0.5}

，

b = 2^{- 3}

，

c = (2^{- 2})^{- 2} = 2^{4}

。底數

2 > 1

，指數愈大值愈大，

4 > - 0.5 > - 3

，所以

c > a > b

。

數值是

c = 16

、

a = \frac{2}{2} \approx 0.707

、

b = \frac{1}{8}

。

第 8 題先把圓心角換成弧度：

7 5^{\circ} = 75 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{12}

。弧長

= r θ = 16 \times \frac{5 π}{12} = \frac{20}{3} π

（公尺）。

弧長公式

s = r θ

的

θ

要用弧度。

04填充第 4～7 題（本頁第 9～13 題）：度與弧度互換、扇形周長、時鐘、繩長

第 9 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

1

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π}

，

3

弳

= 3 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = \frac{540}{π}

度。

約

171. 9^{\circ}

。這裡的

3

沒有

π

，答案的

π

留在分母。

第 10 題

7 2^{\circ} = 72 \times \frac{π}{180} = \frac{2}{5} π

弳。

第 11 題設正三角形邊長為

s

，則三角形周長是

3 s

。扇形

B A D

以

A

為圓心、半徑

\overline{A B} = \overline{A D} = s

，設

∠ B A D = θ

（弳），弧

B D

長

s θ

，扇形周長

= 2 s + s θ

。兩者相等：

2 s + s θ = 3 s

，

θ = 1

。

扇形的周長是兩條半徑加一段弧。弧長剛好等於半徑時，圓心角就是

1

弳。

第 12 題從

12

的位置順時針量：分針每分鐘走

6^{\circ}

，

16

分時在

9 6^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

4

點

16

分時在

12 0^{\circ} + 8^{\circ} = 12 8^{\circ}

。夾角

= 12 8^{\circ} - 9 6^{\circ} = 3 2^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小角。

3 2^{\circ} = 32 \times \frac{π}{180} = \frac{8}{45} π

弳。

時針不是停在

4

的位置：

16

分鐘內它又往前走了

8^{\circ}

。

第 13 題四個圓罐的圓心排成邊長

12

的正方形。繩子分成兩種：四段直線，每段與正方形的一邊平行且等長，各

12

公分，共

48

公分；四個轉角各是一段半徑

6

、圓心角

\frac{π}{2}

的弧，合起來剛好是一整個圓周

2 π \times 6 = 12 π

公分。繩長

= 48 + 12 π

公分。

約

85.7

公分。繩子繞一圈，方向總共轉了

2 π

，所以不論綁幾個同樣的圓罐，弧的部分合起來都是一個圓周。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳；弧長用

s = r θ

。

05填充第 8～10 題（本頁第 14～16 題）：由圖形定係數、指數方程式、週期性現象

第 14 題由圖，最大值是

1

、最小值是

- 3

。因為

a > 0

，最大值

a + c = 1

、最小值

- a + c = - 3

，解得

a = 2

、

c = - 1

（圖形在

x = 0

時

y = - 1

也符合）。再看週期：

x

軸上的刻度每格是

\frac{π}{2}

，圖形在

x = 0

到

x = 2 π

之間剛好重複

3

次（第三個最高點在刻度

\frac{3 π}{2}

上，與第一個最高點相隔兩個週期），所以週期是

\frac{2 π}{3}

。由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

得

b = 3

。所以

(a, b, c) = (2, 3, - 1)

。

檢查：

y = 2 sin 3 x - 1

的第一個最高點在

3 x = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{6}

；第三個在

\frac{π}{6} + 2 \times \frac{2 π}{3} = \frac{3 π}{2}

，與圖相符。

第 15 題兩邊都化成以

2

為底：左邊

(\frac{1}{4})^{2 x - 1} = (2^{- 2})^{2 x - 1} = 2^{- 4 x + 2}

；右邊

162 = 2^{4} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}

。底數相同，指數相等：

- 4 x + 2 = \frac{9}{2}

，

- 4 x = \frac{5}{2}

，

x = - \frac{5}{8}

。

代回檢查：

2 x - 1 = - \frac{9}{4}

，

(\frac{1}{4})^{- \frac{9}{4}} = 4^{\frac{9}{4}} = 2^{\frac{9}{2}} = 162

。

第 16 題每

90

分鐘開始一場，開始的時刻依序是

10 : 00

、

11 : 30

、

13 : 00

、

14 : 30

、

16 : 00

、

17 : 30

，再下一場是

19 : 00

，已經超過閉園時間

18 : 30

。所以最後一場從

17 : 30

開始，表演

15

分鐘，在

17 : 45

結束，也就是下午

5

點

45

分。

從早上

10

點到下午

6

點半共

510

分鐘，

510 = 90 \times 5 + 60

，所以第一場之後還能再開始

5

場，最後一場在

10 : 00

之後

450

分鐘開始。

y = a sin b x + c

：中心線是

y = c

、振幅是

∣ a ∣

、週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

。

06計算第 1 題（本頁第 17、18 題）：描繪 y＝sin 2x 與找第 10 個最低點

第 17 題

y = sin 2 x

是把

y = sin x

的

x

換成

2 x

，圖形以

y

軸為基準水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍：

y = sin x

圖形上的點

(x_{0}, y_{0})

變成

(\frac{x _{0}}{2}, y_{0})

，高度不變、左右位置減半。所以振幅仍是

1

，週期由

2 π

變成

π

。把

y = sin x

一個週期的五個關鍵點

(0, 0)

、

(\frac{π}{2}, 1)

、

(π, 0)

、

(\frac{3 π}{2}, - 1)

、

(2 π, 0)

的

x

坐標都除以

2

，得到

(0, 0)

、

(\frac{π}{4}, 1)

、

(\frac{π}{2}, 0)

、

(\frac{3 π}{4}, - 1)

、

(π, 0)

，用平滑曲線連起來，再每隔

π

重複一次，就是

f (x) = sin 2 x

的圖形（附圖畫出

0 \leq x \leq 2 π

的部分，虛線是

y = sin x

）。

載入中...

作圖時要標出與

x

軸的交點、最高點與最低點的坐標，並讓人看得出週期是

π

。

第 18 題山谷是圖形的最低點，也就是

sin 2 x = - 1

的地方。從原點往右，

2 x

第一次到

\frac{3 π}{2}

時

sin 2 x = - 1

，所以第

1

個山谷在

x = \frac{3 π}{4}

。

y = sin 2 x

的週期是

π

，每個週期恰有一個山谷，所以相鄰兩個山谷相隔

π

。第

10

個山谷在

x = \frac{3 π}{4} + 9 π = \frac{39}{4} π

，此時

y = - 1

，位置是點

(\frac{39}{4} π, - 1)

。

第

10

個是第

1

個再往右

9

個週期，不是

10

個。

y = sin b x

（

b > 0

）的圖形是把

y = sin x

水平伸縮為

\frac{1}{b}

倍，週期變成

\frac{2 π}{b}

。

07計算第 2 題（本頁第 19、20 題）：細菌數的指數模型

第 19 題把

x = 0

代入：

f (0) = 10000 \times 1 0^{0.8 \times 0} = 10000 \times 1 0^{0} = 10000 \times 1 = 10000

。一開始有

10000

個細菌。

第 20 題

f (8) = 10000 \times 1 0^{0.8 \times 8} = 10000 \times 1 0^{6.4}

，

f (3) = 10000 \times 1 0^{0.8 \times 3} = 10000 \times 1 0^{2.4}

。相除：

\frac{f ( 8 )}{f ( 3 )} = \frac{10000 \times 1 0 ^{6.4}}{10000 \times 1 0 ^{2.4}} = 1 0^{6.4 - 2.4} = 1 0^{4} = 10000

。所以

8

小時後的細菌總數是

3

小時後的

10000

倍。

同底數相除，指數相減；前面的

10000

會約掉，倍數只跟相隔的

5

小時有關：

1 0^{0.8 \times 5} = 1 0^{4}

。

指數模型裡，相隔同樣長的時間，數量變成的倍數都相同。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

高雄新興高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要分清楚左右平移、水平伸縮與鉛直伸縮各自改動函數式的哪個位置；第 11 題扇形的周長要算兩條半徑加一段弧；第 12 題別忘了時針在十六分鐘內也往前走了八度；第 14 題要先由最高點與最低點定出振幅與中心線，再由相鄰最高點的距離讀出週期；第 18 題第十個山谷要從第一個山谷再加九個週期。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期、指數函數

高雄新興高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單一選擇題（每題 4 分，共 8 分）

如右圖，兩個同心圓的半徑分別是

4

和

6

，且弧

A B

的長度為

4

，求陰影部分的面積為

(A) $\frac{20}{3}$
(B) $\frac{21}{2}$
(C) $\frac{20}{3} π$
(D) $10 π$
(E) $10$

載入中...

函數

y = (\frac{1}{3})^{x}

與下列哪一個函數的圖形對稱於

x

軸？

(A) $y = 3^{x}$
(B) $y = - 3^{x}$
(C) $y = - 3^{- x}$
(D) $y = 3^{∣ x ∣}$
(E) $y = 3^{- x}$

二、多重選擇題（每題 6 分，錯一個選項得 4 分，錯二個選項得 2 分，錯三個或三個以上的選項得 0 分）（本頁第 3～5 題為原卷多重選擇第 1～3 題）

關於

y = sin x

的圖形經過平移或伸縮後的圖形，試選出正確的選項。

(A) 將 $y = sin x$ 的圖形向右平移 $\frac{π}{3}$ 單位後，可得到 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 的圖形
(B) 將 $y = sin (x + 3)$ 的圖形水平伸縮為 $2$ 倍後，可得到 $y = sin (2 x + 3)$ 的圖形
(C) 將 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 的圖形鉛直向上平移 $3$ 單位後，可得到 $y = sin (x + \frac{π}{3}) + 3$ 的圖形
(D) 將 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 的圖形鉛直伸縮為 $2$ 倍後，可得到 $y = sin 2 (x + \frac{π}{3})$ 的圖形
(E) 將 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 的圖形鉛直伸縮為 $3$ 倍後，可得到 $y = 3 sin (x + \frac{π}{3})$ 的圖形

關於函數

f (x) = \frac{1}{2} sin 2 x

的敘述，試選出正確的選項。

(A) 定義域為所有實數
(B) 值域為 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$
(C) 週期為 $4 π$
(D) 振幅為 $1$
(E) 頻率為 $\frac{1}{π}$

關於指數函數

f (x) = (\frac{1}{2})^{x}

，試選出正確的選項。

(A) 圖形永遠在 $x$ 軸的上方
(B) 圖形通過點 $(1, 0)$
(C) 圖形由左而右逐漸下降，愈往右邊，下降得愈慢
(D) 當 $x$ 值愈大，圖形愈接近 $x$ 軸
(E) 圖形凹口向下

三、填充題（每格 5 分）（本頁第 6～8 題為原卷填充第 1～3 題；第 9、10 題為原卷填充第 4 題的 (1)(2)；第 11～16 題為原卷填充第 5～10 題）

求

sin \frac{π}{6} + cos \frac{2 π}{3} + tan \frac{5 π}{3} =

____。

設

a = (0.5)^{0.5}

，

b = 2^{- 3}

，

c = (\frac{1}{4})^{- 2}

，則三數的大小順序為 ____。（由大至小）

某表演中心有一扇形區域的觀眾區，其扇形的半徑為

16

公尺，圓心角為

7 5^{\circ}

，試求此扇形弧長為 ____ 公尺。

第 9～10 題為題組（原卷填充第 4 題）（第 9～10 題）　試完成下表中角度的換算：（原卷為「弳」與「度」兩欄的表格，第一列是

3

弳與空格 (1)，第二列是空格 (2) 與

7 2^{\circ}

。）

(1)

3

弳

=

____ 度。

(2) ____ 弳

= 7 2^{\circ}

。

小諭和小平各有一塊土地彼此相鄰。正三角形

A B C

是小諭的土地，而扇形

B A D

是小平的土地（其中

\overline{A B} = \overline{A D}

），若兩塊土地周長相等，試求

∠ B A D =

____ 弳。

載入中...

觀察一個時鐘，如右圖，在

4

點

16

分時，時針與分針所夾的較小角為 ____ 弳。

載入中...

小玲將底面半徑為

6

公分的

4

個大小相同的圓罐綁在一起（不計算打結的繩長），試問繩長需要 ____ 公分。

載入中...

如右圖為函數

y = a sin (b x) + c

的部分圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，則序組

(a, b, c) =

____。

載入中...

指數方程式

(\frac{1}{4})^{2 x - 1} = 162

的解為 ____。

某遊樂園為了吸引遊客，定時進行魔術表演，每隔

90

分鐘表演一次，歷時

15

分鐘，也就是說，表演

15

分鐘後休息，

75

分鐘以後再進行表演。若第一場魔術表演從早上

10

點開始表演，且遊樂園在下午

6

點半閉園，則最後一場表演在下午 ____ 結束。（請寫出幾點幾分）

(1) 試利用

y = sin x

的圖形描繪出

f (x) = sin 2 x

的函數圖形。（6 分）

(2) 把正弦函數

y = sin 2 x

的圖形想像成高高低低的山，小慧從原點開始順著函數圖形往右走，則小慧遇到的第

10

個山谷（即最低處）在何處？（5 分）

第 19～20 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 19～20 題）　某實驗室發現其培養的細菌在經過

x

小時後，細菌總數約有

f (x) = 10000 \times 1 0^{0.8 x}

個。

(1) 一開始時（即

x = 0

）有幾個細菌？（3 分）

(2)

8

小時後細菌總數是

3

小時後細菌總數的幾倍？（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(C)

第 3 題(C)(E)

第 4 題(A)(B)(E)

第 5 題(A)(C)(D)

第 6 題

- 3

第 7 題

c > a > b

第 8 題

\frac{20}{3} π

第 9 題

\frac{540}{π}

第 10 題

\frac{2}{5} π

第 11 題

1

第 12 題

\frac{8}{45} π

第 13 題

48 + 12 π

第 14 題

(2, 3, - 1)

第 15 題

x = - \frac{5}{8}

第 16 題

5

點

45

分

第 17 題將

y = sin x

的圖形以

y

軸為基準水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍：週期

π

、振幅

1

，圖見詳解

第 18 題

x = \frac{39}{4} π

處，即點

(\frac{39}{4} π, - 1)

第 19 題

10000

個

第 20 題

1 0^{4} = 10000

倍

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單一選擇第 1、2 題：扇環面積、指數函數圖形的對稱

第 1 題答案 (A)。

A

、

B

在半徑

6

的大圓上，設圓心角

∠ A O B = θ

（弧度），由弧長

s = r θ

得

6 θ = 4

，

θ = \frac{2}{3}

。陰影是大扇形

O A B

減去小扇形

O C D

，兩個扇形的圓心角相同：面積

= \frac{1}{2} \times 6^{2} \times \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{2}{3} = 12 - \frac{16}{3} = \frac{20}{3}

。

弧

A B

在大圓上，求

θ

時半徑要用

6

，不是

4

。圓心角用弧度表示時，面積不會帶

π

。

第 2 題答案 (C)。兩個圖形對稱於

x

軸，就是

x

相同時

y

值差一個負號，所以要找的函數是

y = - (\frac{1}{3})^{x}

。而

(\frac{1}{3})^{x} = (3^{- 1})^{x} = 3^{- x}

，所以是

y = - 3^{- x}

。

(A)

y = 3^{x}

與原圖形對稱於

y

軸；(E)

y = 3^{- x}

就是原函數本身。

對稱於

x

軸是把

y

換成

- y

，對稱於

y

軸是把

x

換成

- x

。

02多重選擇第 1～3 題（本頁第 3～5 題）：圖形的平移伸縮、正弦函數與指數函數的性質

第 3 題答案 (C)(E)。(A) 錯：向右平移

\frac{π}{3}

是把

x

換成

x - \frac{π}{3}

，得到

y = sin (x - \frac{π}{3})

；題目寫的

y = sin (x + \frac{π}{3})

是向左平移。(B) 錯：水平伸縮為

2

倍是把

x

換成

\frac{x}{2}

，得到

y = sin (\frac{x}{2} + 3)

；

y = sin (2 x + 3)

是水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍。(C) 對：向上平移

3

單位就是每個

y

值加

3

。(D) 錯：鉛直伸縮為

2

倍是每個

y

值乘以

2

，得到

y = 2 sin (x + \frac{π}{3})

；把

2

寫在角度前面改變的是週期，不是高度。(E) 對：鉛直伸縮為

3

倍，每個

y

值乘以

3

。

左右的變化寫在

x

上而且方向相反（向右是減、拉寬是除）；上下的變化寫在整個函數值上，方向照字面。

第 4 題答案 (A)(B)(E)。(A) 對：任何實數

x

都可以代入。(B) 對：

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

，乘以

\frac{1}{2}

得

- \frac{1}{2} \leq f (x) \leq \frac{1}{2}

。(C) 錯：週期

= \frac{2 π}{2} = π

。(D) 錯：振幅是

\frac{1}{2}

。(E) 對：頻率是週期的倒數，

\frac{1}{π}

。

y = a sin b x

（

b > 0

）的振幅是

∣ a ∣

、週期是

\frac{2 π}{b}

、頻率是

\frac{b}{2 π}

。

第 5 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：

(\frac{1}{2})^{x}

恆為正。(B) 錯：

f (1) = \frac{1}{2}

，圖形通過

(1, \frac{1}{2})

；

f (0) = 1

，通過的是

(0, 1)

。(C) 對：底數

\frac{1}{2}

在

0

與

1

之間，函數遞減；

x

每增加

1

，函數值減少現值的一半，值愈來愈小，所以減少的量也愈來愈小（例如

f (0) - f (1) = \frac{1}{2}

、

f (1) - f (2) = \frac{1}{4}

）。(D) 對：

x

愈大，

(\frac{1}{2})^{x}

愈接近

0

但不會等於

0

，圖形愈貼近

x

軸。(E) 錯：指數函數的圖形凹口向上，圖形上任兩點連成的線段都在圖形上方（例如

x = 0

與

x = 2

兩點的中點高度是

\frac{5}{8}

，而

f (1) = \frac{1}{2}

比它低）。

正弦函數先看振幅與週期；指數函數先看底數大於

1

還是介於

0

與

1

之間。

03填充第 1～3 題（本頁第 6～8 題）：特殊角、指數比大小、弧長

第 6 題

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

\frac{2 π}{3}

是第二象限角，參考角

\frac{π}{3}

，餘弦為負，

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

。

\frac{5 π}{3}

是第四象限角，參考角

\frac{π}{3}

，正切為負，

tan \frac{5 π}{3} = - 3

。原式

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 3 = - 3

。

第 7 題都化成以

2

為底：

a = (\frac{1}{2})^{0.5} = 2^{- 0.5}

，

b = 2^{- 3}

，

c = (2^{- 2})^{- 2} = 2^{4}

。底數

2 > 1

，指數愈大值愈大，

4 > - 0.5 > - 3

，所以

c > a > b

。

數值是

c = 16

、

a = \frac{2}{2} \approx 0.707

、

b = \frac{1}{8}

。

第 8 題先把圓心角換成弧度：

7 5^{\circ} = 75 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{12}

。弧長

= r θ = 16 \times \frac{5 π}{12} = \frac{20}{3} π

（公尺）。

弧長公式

s = r θ

的

θ

要用弧度。

04填充第 4～7 題（本頁第 9～13 題）：度與弧度互換、扇形周長、時鐘、繩長

第 9 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

1

弳

= \frac{18 0 ^{\circ}}{π}

，

3

弳

= 3 \times \frac{18 0 ^{\circ}}{π} = \frac{540}{π}

度。

約

171. 9^{\circ}

。這裡的

3

沒有

π

，答案的

π

留在分母。

第 10 題

7 2^{\circ} = 72 \times \frac{π}{180} = \frac{2}{5} π

弳。

第 11 題設正三角形邊長為

s

，則三角形周長是

3 s

。扇形

B A D

以

A

為圓心、半徑

\overline{A B} = \overline{A D} = s

，設

∠ B A D = θ

（弳），弧

B D

長

s θ

，扇形周長

= 2 s + s θ

。兩者相等：

2 s + s θ = 3 s

，

θ = 1

。

扇形的周長是兩條半徑加一段弧。弧長剛好等於半徑時，圓心角就是

1

弳。

第 12 題從

12

的位置順時針量：分針每分鐘走

6^{\circ}

，

16

分時在

9 6^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

4

點

16

分時在

12 0^{\circ} + 8^{\circ} = 12 8^{\circ}

。夾角

= 12 8^{\circ} - 9 6^{\circ} = 3 2^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小角。

3 2^{\circ} = 32 \times \frac{π}{180} = \frac{8}{45} π

弳。

時針不是停在

4

的位置：

16

分鐘內它又往前走了

8^{\circ}

。

第 13 題四個圓罐的圓心排成邊長

12

的正方形。繩子分成兩種：四段直線，每段與正方形的一邊平行且等長，各

12

公分，共

48

公分；四個轉角各是一段半徑

6

、圓心角

\frac{π}{2}

的弧，合起來剛好是一整個圓周

2 π \times 6 = 12 π

公分。繩長

= 48 + 12 π

公分。

約

85.7

公分。繩子繞一圈，方向總共轉了

2 π

，所以不論綁幾個同樣的圓罐，弧的部分合起來都是一個圓周。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳；弧長用

s = r θ

。

05填充第 8～10 題（本頁第 14～16 題）：由圖形定係數、指數方程式、週期性現象

第 14 題由圖，最大值是

1

、最小值是

- 3

。因為

a > 0

，最大值

a + c = 1

、最小值

- a + c = - 3

，解得

a = 2

、

c = - 1

（圖形在

x = 0

時

y = - 1

也符合）。再看週期：

x

軸上的刻度每格是

\frac{π}{2}

，圖形在

x = 0

到

x = 2 π

之間剛好重複

3

次（第三個最高點在刻度

\frac{3 π}{2}

上，與第一個最高點相隔兩個週期），所以週期是

\frac{2 π}{3}

。由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

得

b = 3

。所以

(a, b, c) = (2, 3, - 1)

。

檢查：

y = 2 sin 3 x - 1

的第一個最高點在

3 x = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{6}

；第三個在

\frac{π}{6} + 2 \times \frac{2 π}{3} = \frac{3 π}{2}

，與圖相符。

第 15 題兩邊都化成以

2

為底：左邊

(\frac{1}{4})^{2 x - 1} = (2^{- 2})^{2 x - 1} = 2^{- 4 x + 2}

；右邊

162 = 2^{4} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{9}{2}}

。底數相同，指數相等：

- 4 x + 2 = \frac{9}{2}

，

- 4 x = \frac{5}{2}

，

x = - \frac{5}{8}

。

代回檢查：

2 x - 1 = - \frac{9}{4}

，

(\frac{1}{4})^{- \frac{9}{4}} = 4^{\frac{9}{4}} = 2^{\frac{9}{2}} = 162

。

第 16 題每

90

分鐘開始一場，開始的時刻依序是

10 : 00

、

11 : 30

、

13 : 00

、

14 : 30

、

16 : 00

、

17 : 30

，再下一場是

19 : 00

，已經超過閉園時間

18 : 30

。所以最後一場從

17 : 30

開始，表演

15

分鐘，在

17 : 45

結束，也就是下午

5

點

45

分。

從早上

10

點到下午

6

點半共

510

分鐘，

510 = 90 \times 5 + 60

，所以第一場之後還能再開始

5

場，最後一場在

10 : 00

之後

450

分鐘開始。

y = a sin b x + c

：中心線是

y = c

、振幅是

∣ a ∣

、週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

。

06計算第 1 題（本頁第 17、18 題）：描繪 y＝sin 2x 與找第 10 個最低點

第 17 題

y = sin 2 x

是把

y = sin x

的

x

換成

2 x

，圖形以

y

軸為基準水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍：

y = sin x

圖形上的點

(x_{0}, y_{0})

變成

(\frac{x _{0}}{2}, y_{0})

，高度不變、左右位置減半。所以振幅仍是

1

，週期由

2 π

變成

π

。把

y = sin x

一個週期的五個關鍵點

(0, 0)

、

(\frac{π}{2}, 1)

、

(π, 0)

、

(\frac{3 π}{2}, - 1)

、

(2 π, 0)

的

x

坐標都除以

2

，得到

(0, 0)

、

(\frac{π}{4}, 1)

、

(\frac{π}{2}, 0)

、

(\frac{3 π}{4}, - 1)

、

(π, 0)

，用平滑曲線連起來，再每隔

π

重複一次，就是

f (x) = sin 2 x

的圖形（附圖畫出

0 \leq x \leq 2 π

的部分，虛線是

y = sin x

）。

載入中...

作圖時要標出與

x

軸的交點、最高點與最低點的坐標，並讓人看得出週期是

π

。

第 18 題山谷是圖形的最低點，也就是

sin 2 x = - 1

的地方。從原點往右，

2 x

第一次到

\frac{3 π}{2}

時

sin 2 x = - 1

，所以第

1

個山谷在

x = \frac{3 π}{4}

。

y = sin 2 x

的週期是

π

，每個週期恰有一個山谷，所以相鄰兩個山谷相隔

π

。第

10

個山谷在

x = \frac{3 π}{4} + 9 π = \frac{39}{4} π

，此時

y = - 1

，位置是點

(\frac{39}{4} π, - 1)

。

第

10

個是第

1

個再往右

9

個週期，不是

10

個。

y = sin b x

（

b > 0

）的圖形是把

y = sin x

水平伸縮為

\frac{1}{b}

倍，週期變成

\frac{2 π}{b}

。

07計算第 2 題（本頁第 19、20 題）：細菌數的指數模型

第 19 題把

x = 0

代入：

f (0) = 10000 \times 1 0^{0.8 \times 0} = 10000 \times 1 0^{0} = 10000 \times 1 = 10000

。一開始有

10000

個細菌。

第 20 題

f (8) = 10000 \times 1 0^{0.8 \times 8} = 10000 \times 1 0^{6.4}

，

f (3) = 10000 \times 1 0^{0.8 \times 3} = 10000 \times 1 0^{2.4}

。相除：

\frac{f ( 8 )}{f ( 3 )} = \frac{10000 \times 1 0 ^{6.4}}{10000 \times 1 0 ^{2.4}} = 1 0^{6.4 - 2.4} = 1 0^{4} = 10000

。所以

8

小時後的細菌總數是

3

小時後的

10000

倍。

同底數相除，指數相減；前面的

10000

會約掉，倍數只跟相隔的

5

小時有關：

1 0^{0.8 \times 5} = 1 0^{4}

。

指數模型裡，相隔同樣長的時間，數量變成的倍數都相同。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

高雄新興高中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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題目取自高雄新興高中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

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對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單一選擇第 1、2 題：扇環面積、指數函數圖形的對稱

02多重選擇第 1～3 題（本頁第 3～5 題）：圖形的平移伸縮、正弦函數與指數函數的性質

03填充第 1～3 題（本頁第 6～8 題）：特殊角、指數比大小、弧長

04填充第 4～7 題（本頁第 9～13 題）：度與弧度互換、扇形周長、時鐘、繩長

05填充第 8～10 題（本頁第 14～16 題）：由圖形定係數、指數方程式、週期性現象

06計算第 1 題（本頁第 17、18 題）：描繪 y＝sin 2x 與找第 10 個最低點

07計算第 2 題（本頁第 19、20 題）：細菌數的指數模型

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高雄新興高中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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