段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數、合成函數與反函數、函數的極限、連續函數）

臺南二中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 114 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 114 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 2 題：含 x 的等比數列除了看公比的範圍，還要另外考慮 x 等於 0 時整個數列都是 0 也收斂。多選第 4 題：合成函數的定義域要由內層函數值落在外層定義域內來決定，奇函數裡面放偶函數合成後是偶函數。填充第 3 題（本頁第 11 題）：解出兩個 x 之後要代回檢查公比，其中一個會讓級數發散。填充第 10 題（本頁第 18 題）：不足一段以一段計要用負的高斯符號表示，才能決定式子裡的常數。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（24 分）、填充題 12 題共 16 格（76 分）

一、多重選擇題：每題 6 分，共 24 分。說明：每題至少有 1 個選項是正確的，每題答對得 6 分，答錯不倒扣，未作答者不給分；只錯 1 個選項者得 4 分，錯 2 個選項者得 2 分，錯 3 個或 3 個以上者不給分。

下列與函數有關的敘述哪些是正確的？

(1) 函數 $f_{1} (x) = x$ 、 $f_{2} (x) = lo g_{3} 3^{x}$ 、 $g_{1} (x) = lo g x^{2}$ 、 $g_{2} (x) = 2 lo g x$ ，則 $f_{1} (x) = f_{2} (x)$ 且 $g_{1} (x) = g_{2} (x)$
(2) 若 $x \to a lim (f (x) \cdot g (x))$ 及 $x \to a lim g (x)$ 皆存在，則 $x \to a lim f (x)$ 必存在
(3) 若 $\frac{f ( x )}{g ( x )}$ 為有理函數，已知 $x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )}$ 存在，且 $x \to a lim g (x) = 0$ ，則 $x \to a lim f (x) = 0$
(4) 若 $f (a)$ 有意義且 $x \to a lim f (x)$ 存在，則 $f (x)$ 在 $x = a$ 處連續
(5) 已知函數 $f (1) = 2$ ， $f (3) = 7$ ，則至少有一實數 $p$ 滿足 $1 < p < 3$ 且 $f (p) = 4$

下列哪些敘述是正確的？

(1) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為無窮數列，且對所有自然數 $n$ 都有 $a_{n + 1} \geq a_{n} \geq 0$ ，則 $n \to \infty lim a_{n}$ 不存在
(2) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 與 $⟨ b_{n} ⟩$ 皆為發散數列，則數列 $⟨ a_{n} \cdot b_{n} ⟩$ 可能為收斂數列
(3) 若對所有自然數 $n$ ，恆有 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ，且 $⟨ a_{n} ⟩$ 與 $⟨ c_{n} ⟩$ 皆為收斂數列，則 $⟨ b_{n} ⟩$ 也是收斂數列
(4) 若兩數列 $⟨ a_{n} + b_{n} ⟩$ 與 $⟨ a_{n} - b_{n} ⟩$ 均為收斂數列，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 與 $⟨ b_{n} ⟩$ 皆為收斂數列
(5) 若無窮等比數列 $⟨ x (x - 2)^{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $1 < x \leq 3$

下列哪些選項是正確的？其中

[]

為高斯符號

(1) 已知 $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{3} - 1}{x - 1}, 3 x, 若 x > 1 若 x \leq 1$ ，則 $x \to 1 lim f (x) = 3$
(2) $x \to 1 lim \frac{∣ x - 1∣}{x - 1} = 1$
(3) $x \to 2 lim [x - 1] = 1$
(4) $x \to 1 lim x [x] = 1$
(5) $x \to 3 lim [x - [x]] = 0$

下列哪些敘述是正確的？

(1) 已知兩函數 $f (x) = 5 + x - x^{2}$ ， $g (x) = \frac{1}{x + 1}$ ，若函數 $(g \circ f) (x)$ 的定義域為集合 $A$ ，則 $\frac{π}{3} \in A$ 且 $lo g_{2} \frac{1}{7} \in A$
(2) $n \to 0 lim (1 + n)^{\frac{1}{n}} = e$ ，且 $e$ 為無理數，滿足 $2 < e < 3$
(3) $f (x) = x^{4} - x^{2} + 5$ 、 $g (x) = 3^{x} + \frac{1}{3 ^{x}}$ 、 $h (x) = ∣ sin x + cos x ∣$ ，以上三個函數皆為偶函數
(4) 已知函數 $f (x) = \frac{x ^{3}}{∣ x ∣}$ ， $g (x) = x tan x$ ，則函數 $(f \circ g) (x)$ 的圖形對稱於原點
(5) 兩函數 $f (x) = 2 x - \frac{1}{3}$ 、 $g (x) = \frac{x}{2} + \frac{1}{6}$ 互為反函數，且兩圖形對稱於直線 $y = x$

二、填充題：共 76 分。（依答對格數給分：答對 1～7 格每格 6 分，第 8～14 格每格 4 分，第 15、16 格每格 3 分，16 格全對 76 分。本頁第 5～9 題為原卷填充第 1 題的 (1)～(5)，第 10～20 題依序為原卷填充第 2～12 題）

填充第 1 題（第 5～9 題）　求下列各極限值，若極限不存在，請寫「不存在」。

(1)

x \to 3 lim (\frac{2 x ^{2} - 8}{x ^{2} - 4 x + 3} - \frac{5}{x - 3}) =

____。

(2)

x \to 3 lim \frac{∣6 - 2 x - x ^{2} ∣ - 9}{x - 3} =

____。

(3)

n \to \infty lim \frac{5 \cdot 3 ^{n + 1} - 6 \cdot 4 ^{n + 1}}{3 ^{n - 1} + 2 \cdot 4 ^{n - 1}} =

____。

(4)

n \to \infty lim (n^{2} + 5 n + 2 - n^{2} - 3 n + 1) =

____。

(5)

x \to - 4 lim \frac{( x + 3 ) ^{50} - 1}{x + 4} =

____。

若

n \to \infty lim (\frac{2 n ^{2} + n + 1}{n - 1} - an - b) = - 3

，則實數數對

(a, b) =

____。

設

x \in R

，且無窮級數

n = 1 \sum \infty (\frac{3 x}{2 x - 1})^{n}

的和為

\frac{3 - 18 x}{4}

，則

x

為 ____。

已知

f (x)

為三次多項式函數，且

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} + 3 x - 4} = - 1

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} - 4} = 2

，則

x \to 3 lim f (x) =

____。

設函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 3}, 2, 若 x \neq = 3 若 x = 3

在

x = 3

處連續，則實數數對

(a, b) =

____。

求

n = 1 \sum \infty \frac{4 ^{n} - 7 \cdot 2 ^{n - 1}}{5 ^{n}} =

____。

若

(1 + 2 + 3 + \dots + n)^{2} - 3 n^{3} + 2 n < a_{n} < (1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3}) + 6 n^{2}

，則

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{4} + n ^{3}} =

____。

函數

f (x) = 24 - 2 x - x^{2}

的值域為 ____。（需以集合表示）

設無窮等比級數

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \dots + (- \frac{1}{2})^{n - 1} + \dots

的和為

S

，前

n

項的和為

S_{n}

，則滿足

∣ S - S_{n} ∣ < \frac{1}{10000}

的最小自然數

n

為 ____。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

某乘車費率規定：前

1.5

公里內（含

1.5

公里），基本收費

85

元，以後每

250

公尺加收

5

元，但沒有達到

250

公尺，則以

250

公尺計算。若行程

x

（公里）、計費

f (x)

（元）可用函數

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 85, 85 - 5 \times [\frac{a - 10 x}{2.5}], 當 0 < x \leq 1.5 當 x > 1.5

表示，其中

[]

為高斯符號。若以

500

元搭車，最多可搭乘

b

公里，則實數數對

(a, b) =

____。

甲、乙兩人輪流從一副

52

張公正撲克牌中一次抽兩張，抽後放回，約定如下：若某人抽出的兩張點數不同，則改由另一人抽，直到有人抽出的兩張點數相同時，即停止抽牌且稱之為成功。已知由甲先抽，則甲成功的機率為 ____。

有一機器人的前進路徑被如此設定：一開始由坐標平面的原點

O

沿

y

軸向上直走至點

A_{1} (0, 6)

，接著右轉

9 0^{\circ}

後直走至點

A_{2} (4, 6)

，再右轉

9 0^{\circ}

直走至點

A_{3} (4, \frac{10}{3})

，

\dots

，保持每回行走距離為前次的

\frac{2}{3}

後就右轉

9 0^{\circ}

接著直線前進。若當

n \to \infty

時得

A_{n} \to A

，則點

A

的坐標為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)(4)

第 3 題(1)(5)

第 4 題(2)(5)

第 5 題

\frac{7}{2}

第 6 題

8

第 7 題

- 48

第 8 題

4

第 9 題

- 50

第 10 題

(2, 6)

第 11 題

- \frac{1}{2}

第 12 題

22

第 13 題

(- 4, 3)

第 14 題

\frac{5}{3}

第 15 題

\frac{1}{4}

第 16 題

{y \in R ∣ 0 \leq y \leq 5}

第 17 題

13

第 18 題

(15, 22.25)

第 19 題

\frac{17}{33}

第 20 題

(\frac{36}{13}, \frac{54}{13})

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，系統會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～4：函數與極限的基本性質、左右極限、合成函數與奇偶性

第 1 題答案 (3)。(1)

f_{2} (x) = lo g_{3} 3^{x} = x

，定義域是全體實數，與

f_{1}

相同，所以

f_{1} = f_{2}

；但

g_{1} (x) = lo g x^{2}

的定義域是

x \neq = 0

，

g_{2} (x) = 2 lo g x

的定義域是

x > 0

，定義域不同，

g_{1} \neq = g_{2}

，錯。(2) 取

g (x) = x - a

、

f (x) = \frac{1}{x - a}

：

f (x) g (x) = 1

的極限是

1

，

g (x)

的極限是

0

，但

x \to a lim f (x)

不存在，錯。(3) 設

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = L

，則

f (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )} \cdot g (x) \to L \cdot 0 = 0

，對。(4) 連續還要求

x \to a lim f (x) = f (a)

；例如

f (x) = {x, 1, x \neq = 0 x = 0

在

x = 0

有定義、極限存在（為

0

），但不等於

f (0) = 1

，不連續，錯。(5) 題目沒有說

f

連續；例如

f (x) = {2, 7, x < 3 x \geq 3

滿足

f (1) = 2

、

f (3) = 7

，但函數值只有

2

與

7

，不會等於

4

，錯。

兩個函數相等，除了對應的式子化簡後相同，定義域也要相同。(5) 要加上「

f

在

[1, 3]

連續」的條件，才能用中間值定理。

第 2 題答案 (2)(4)。(1) 取

a_{n} = 1

（每一項都是

1

），滿足

a_{n + 1} \geq a_{n} \geq 0

，極限是

1

，錯。(2) 取

a_{n} = b_{n} = (- 1)^{n}

，兩個都發散，但

a_{n} b_{n} = 1

收斂，對。(3) 取

a_{n} = - 1

、

c_{n} = 1

、

b_{n} = (- 1)^{n}

，滿足

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}

，

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ c_{n} ⟩

都收斂，但

⟨ b_{n} ⟩

發散，錯。(4)

a_{n} = \frac{( a _{n} + b _{n} ) + ( a _{n} - b _{n} )}{2}

、

b_{n} = \frac{( a _{n} + b _{n} ) - ( a _{n} - b _{n} )}{2}

，兩個收斂數列相加、相減再乘以常數仍收斂，對。(5) 當

x = 0

時每一項都是

0

，數列收斂；

x \neq = 0

時要公比滿足

- 1 < x - 2 \leq 1

，即

1 < x \leq 3

。所以收斂的條件是

x = 0

或

1 < x \leq 3

，不能只推得

1 < x \leq 3

，錯。

(3) 夾擠定理要求兩邊的數列收斂到同一個值；兩邊極限不同時，中間的數列不一定收斂。(5) 形如

⟨ a r^{n} ⟩

的數列，除了看

r

的範圍，還要另外考慮

a = 0

的情形。

第 3 題答案 (1)(5)。(1)

x > 1

時

\frac{x ^{3} - 1}{x - 1} = x^{2} + x + 1

，右極限為

3

；

x \leq 1

時

3 x

的左極限為

3

。左右極限相等，極限為

3

，對。(2)

x > 1

時

\frac{∣ x - 1∣}{x - 1} = 1

，

x < 1

時為

- 1

，右極限

1

、左極限

- 1

，極限不存在，錯。(3)

1 < x < 2

時

0 < x - 1 < 1

，

[x - 1] = 0

；

2 < x < 3

時

[x - 1] = 1

。左極限

0

、右極限

1

，極限不存在，錯。(4)

0 < x < 1

時

[x] = 0

，

x [x] = 0

；

1 < x < 2

時

[x] = 1

，

x [x] = x \to 1

。左極限

0

、右極限

1

，極限不存在，錯。(5) 對任何實數

x

都有

0 \leq x - [x] < 1

，所以

[x - [x]] = 0

恆成立，極限為

0

，對。

(5) 的

x - [x]

是

x

的小數部分，在

x = 3

的左邊接近

1

、右邊接近

0

，本身的極限不存在；但外面再取一次高斯符號後恆為

0

，極限就存在了。

第 4 題答案 (2)(5)。(1)

(g \circ f) (x) = \frac{1}{f ( x ) + 1}

要有意義，需

f (x) + 1 > 0

，即

6 + x - x^{2} > 0

，

(x - 3) (x + 2) < 0

，

A = {x ∣ - 2 < x < 3}

。

\frac{π}{3} \approx 1.05 \in A

；

lo g_{2} \frac{1}{7} = - lo g_{2} 7

，而

2 < lo g_{2} 7 < 3

，所以

lo g_{2} \frac{1}{7} < - 2

，不在

A

內，錯。(2) 這是

e

的定義式的另一種寫法（把

(1 + \frac{1}{m})^{m}

中的

\frac{1}{m}

換成趨近

0

的

n

），

e \approx 2.718

為無理數，

2 < e < 3

，對。(3)

f (- x) = x^{4} - x^{2} + 5 = f (x)

，

g (- x) = 3^{- x} + 3^{x} = g (x)

，都是偶函數；但

h (\frac{π}{4}) = 2

、

h (- \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 0

，

h

不是偶函數，錯。(4)

g (- x) = (- x) tan (- x) = x tan x = g (x)

，

g

是偶函數，所以

(f \circ g) (- x) = f (g (- x)) = f (g (x)) = (f \circ g) (x)

，

f \circ g

是偶函數，圖形對稱於

y

軸；例如

x = \pm \frac{π}{4}

時函數值都是

(\frac{π}{4})^{2} \neq = 0

，不對稱於原點，錯。(5) 由

y = 2 x - \frac{1}{3}

解出

x = \frac{y}{2} + \frac{1}{6}

，所以

f

的反函數是

\frac{x}{2} + \frac{1}{6} = g (x)

；互為反函數的兩圖形對稱於直線

y = x

，對。

(4) 的

f (x) = \frac{x ^{3}}{∣ x ∣}

本身是奇函數，但合成時裡面的

g

是偶函數，

- x

與

x

先被

g

送到同一個值，合成後就是偶函數。

判斷敘述的真偽：對的用定義或運算性質說明，錯的舉一個反例；極限存在要左右極限相等，連續還要再等於函數值。

02填充 5～9（原卷填充 1 的 (1)～(5)）：五個極限的計算

第 5 題

x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)

，通分：

\frac{2 x ^{2} - 8 - 5 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{2 x ^{2} - 5 x - 3}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{( 2 x + 1 ) ( x - 3 )}{( x - 1 ) ( x - 3 )} = \frac{2 x + 1}{x - 1}

（

x \neq = 3

）。

x \to 3

時趨近

\frac{7}{2}

。

兩項在

x \to 3

時各自的極限都不存在，不能分開算；要先通分合併，約去

x - 3

。

第 6 題

x = 3

時

6 - 2 x - x^{2} = - 9 < 0

，所以

x

在

3

附近時

∣6 - 2 x - x^{2} ∣ = x^{2} + 2 x - 6

。分子

= x^{2} + 2 x - 15 = (x + 5) (x - 3)

，原式

= x \to 3 lim (x + 5) = 8

。

去絕對值前先把

x = 3

代進絕對值裡面看正負；裡面是負的，去掉絕對值要變號。

第 7 題分子分母同除以

4^{n - 1}

：分子

= 5 \cdot 9 \cdot (\frac{3}{4})^{n - 1} - 6 \cdot 16 \to - 96

，分母

= (\frac{3}{4})^{n - 1} + 2 \to 2

。極限

= \frac{- 96}{2} = - 48

。

4^{n + 1} = 16 \cdot 4^{n - 1}

、

3^{n + 1} = 9 \cdot 3^{n - 1}

，指數差

2

是差

16

倍與

9

倍。

第 8 題分子分母同乘以

n^{2} + 5 n + 2 + n^{2} - 3 n + 1

：原式

= \frac{( n ^{2} + 5 n + 2 ) - ( n ^{2} - 3 n + 1 )}{n ^{2} + 5 n + 2 + n ^{2} - 3 n + 1} = \frac{8 n + 1}{n ^{2} + 5 n + 2 + n ^{2} - 3 n + 1}

。分子分母同除以

n

：

\frac{8 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{5}{n} + \frac{2}{n ^{2}} + 1 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n ^{2}}} \to \frac{8}{1 + 1} = 4

。

第 9 題令

t = x + 3

，

x \to - 4

時

t \to - 1

，原式

= t \to - 1 lim \frac{t ^{50} - 1}{t + 1}

。

t^{50} - 1 = (t^{2})^{25} - 1 = (t^{2} - 1) (t^{48} + t^{46} + \dots + t^{2} + 1) = (t + 1) (t - 1) (t^{48} + t^{46} + \dots + t^{2} + 1)

。約去

t + 1

後代入

t = - 1

：

(- 2) \times 25 = - 50

（括號內共

25

項，每項都是

1

）。

也可以用二項式定理：令

u = x + 4

，

(x + 3)^{50} = (u - 1)^{50} = 1 - 50 u + \dots

，分子

= - 50 u + (含 u^{2} 以上的項)

，除以

u

後只剩

- 50

。

分式遇到分母趨近 0，先分解約去公因式；指數型同除以底數最大的項；根式相減先有理化。

03填充 10～15（原卷填充 2～7）：由極限求係數、無窮等比級數、連續與夾擠定理

第 10 題用長除法：

2 n^{2} + n + 1 = (n - 1) (2 n + 3) + 4

，所以

\frac{2 n ^{2} + n + 1}{n - 1} = 2 n + 3 + \frac{4}{n - 1}

。括號內

= (2 - a) n + (3 - b) + \frac{4}{n - 1}

。若

a \neq = 2

，

(2 - a) n

的絕對值會愈來愈大，極限不存在；所以

a = 2

，此時極限

= 3 - b = - 3

，

b = 6

。

(a, b) = (2, 6)

。

第 11 題這是首項與公比都是

r = \frac{3 x}{2 x - 1}

的無窮等比級數，

∣ r ∣ < 1

時和為

\frac{r}{1 - r} = \frac{3 x}{( 2 x - 1 ) - 3 x} = \frac{- 3 x}{x + 1}

。令

\frac{- 3 x}{x + 1} = \frac{3 - 18 x}{4}

：

- 12 x = (3 - 18 x) (x + 1) = - 18 x^{2} - 15 x + 3

，整理得

6 x^{2} + x - 1 = 0

，

(3 x - 1) (2 x + 1) = 0

，

x = \frac{1}{3}

或

x = - \frac{1}{2}

。檢查公比：

x = \frac{1}{3}

時

r = \frac{1}{- \frac{1}{3}} = - 3

，級數發散，不合；

x = - \frac{1}{2}

時

r = \frac{- \frac{3}{2}}{- 2} = \frac{3}{4}

，收斂，和為

\frac{3 + 9}{4} = 3

，與

\frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = 3

相符。所以

x = - \frac{1}{2}

。

求和公式只在

∣ r ∣ < 1

時成立，解出

x

之後一定要代回去檢查公比。

第 12 題

x^{2} + 3 x - 4 = (x + 4) (x - 1)

在

x \to 1

時趨近

0

，極限存在，所以

f (1) = 0

；

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

在

x \to 2

時趨近

0

，所以

f (2) = 0

。

f

為三次，設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (a x + b)

。第一式：

x \to 1 lim \frac{( x - 2 ) ( a x + b )}{x + 4} = \frac{- ( a + b )}{5} = - 1

，

a + b = 5

。第二式：

x \to 2 lim \frac{( x - 1 ) ( a x + b )}{x + 2} = \frac{2 a + b}{4} = 2

，

2 a + b = 8

。解得

a = 3

、

b = 2

，

f (x) = (x - 1) (x - 2) (3 x + 2)

。多項式函數連續，

x \to 3 lim f (x) = f (3) = 2 \cdot 1 \cdot 11 = 22

。

第 13 題在

x = 3

連續的條件是

x \to 3 lim f (x) = f (3) = 2

。

x \to 3

時分母趨近

0

，極限要存在，分子在

x = 3

必須為

0

，所以

x^{2} + a x + b = (x - 3) (x + c)

，極限

= x \to 3 lim (x + c) = 3 + c = 2

，

c = - 1

。

x^{2} + a x + b = (x - 3) (x - 1) = x^{2} - 4 x + 3

，

(a, b) = (- 4, 3)

。

第 14 題一般項

\frac{4 ^{n} - 7 \cdot 2 ^{n - 1}}{5 ^{n}} = (\frac{4}{5})^{n} - \frac{7}{2} (\frac{2}{5})^{n}

。兩個無窮等比級數的公比

\frac{4}{5}

、

\frac{2}{5}

絕對值都小於

1

，都收斂，可以分開求和：

\frac{\frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}} - \frac{7}{2} \cdot \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = 4 - \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{3} = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3}

。

7 \cdot 2^{n - 1} = \frac{7}{2} \cdot 2^{n}

，先把指數統一成

n

再拆。

第 15 題

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

，

1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2} = \frac{n ^{4} + 2 n ^{3} + n ^{2}}{4}

。所以

\frac{n ^{4} - 10 n ^{3} + n ^{2} + 8 n}{4} < a_{n} < \frac{n ^{4} + 2 n ^{3} + 25 n ^{2}}{4}

。各除以

n^{4} + n^{3} > 0

：左邊

\frac{n ^{4} - 10 n ^{3} + n ^{2} + 8 n}{4 ( n ^{4} + n ^{3} )} \to \frac{1}{4}

，右邊

\frac{n ^{4} + 2 n ^{3} + 25 n ^{2}}{4 ( n ^{4} + n ^{3} )} \to \frac{1}{4}

（分子分母同除以

n^{4}

）。由夾擠定理，

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{n ^{4} + n ^{3}} = \frac{1}{4}

。

不等式兩邊的最高次項都是

\frac{n ^{4}}{4}

，低次的

- 3 n^{3} + 2 n

與

6 n^{2}

除以

n^{4}

後都趨近

0

，不影響極限。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定有同一個因式；無窮等比級數求和前後都要確認公比的絕對值小於 1。

04填充 16～20（原卷填充 8～12）：值域、高斯符號與無窮等比級數的應用

第 16 題配方：

24 - 2 x - x^{2} = 25 - (x + 1)^{2}

。根號內要大於或等於

0

，且最大為

25

（

x = - 1

時），所以

0 \leq 24 - 2 x - x^{2} \leq 25

，並且

0

到

25

之間的每個值都取得到（

x

從

- 1

到

4

時，

25 - (x + 1)^{2}

由

25

連續變到

0

）。開根號得

0 \leq f (x) \leq 5

，值域為

{y \in R ∣ 0 \leq y \leq 5}

。

第 17 題首項

1

、公比

- \frac{1}{2}

：

S = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}

，

S_{n} = \frac{1 - ( - \frac{1}{2} ) ^{n}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} (1 - (- \frac{1}{2})^{n})

。

∣ S - S_{n} ∣ = \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n} < \frac{1}{10000}

，即

2^{n} > \frac{20000}{3}

。取常用對數：

n lo g 2 > lo g 20000 - lo g 3 = (4 + 0.3010) - 0.4771 = 3.8239

，

n > \frac{3.8239}{0.3010} \approx 12.7

。最小自然數

n = 13

。

直接檢查：

\frac{20000}{3} \approx 6666.7

，

2^{12} = 4096

不夠，

2^{13} = 8192

夠。

第 18 題超過

1.5

公里的部分是

x - 1.5

公里，每

0.25

公里一段、不足一段以一段計，段數是「大於或等於

\frac{x - 1.5}{0.25}

的最小整數」，也就是

- [\frac{1.5 - x}{0.25}] = - [\frac{15 - 10 x}{2.5}]

。所以

f (x) = 85 + 5 \times (- [\frac{15 - 10 x}{2.5}]) = 85 - 5 \times [\frac{15 - 10 x}{2.5}]

，

a = 15

。

f (x) = 500

時

[\frac{15 - 10 x}{2.5}] = - 83

，即

- 83 \leq \frac{15 - 10 x}{2.5} < - 82

，

- 207.5 \leq 15 - 10 x < - 205

，

22 < x \leq 22.25

。最多可搭乘

b = 22.25

公里。

(a, b) = (15, 22.25)

。

用題意檢查：

500 - 85 = 415

元是

83

段，每段

0.25

公里共

20.75

公里，

1.5 + 20.75 = 22.25

。「無條件進位」用高斯符號寫是

- [- t]

，所以式子裡是減號配上

a - 10 x

。

第 19 題一次抽兩張，點數相同的機率：

13

種點數各有

C_{2}^{4} = 6

種取法，

p = \frac{13 \times 6}{C _{2}^{52}} = \frac{78}{1326} = \frac{1}{17}

；點數不同的機率

q = \frac{16}{17}

。每次抽後放回，各次獨立。甲在第

1, 3, 5, \dots

次抽牌時成功：

p + q^{2} p + q^{4} p + \dots

，這是首項

\frac{1}{17}

、公比

q^{2} = \frac{256}{289}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{1}{17}}{1 - \frac{256}{289}} = \frac{1}{17} \cdot \frac{289}{33} = \frac{17}{33}

。

也可以設甲成功的機率為

P

：甲第一次就成功（

\frac{1}{17}

），或甲、乙都沒成功後回到原狀，

P = \frac{1}{17} + (\frac{16}{17})^{2} P

，解得

P = \frac{17}{33}

。

第 20 題每次右轉

9 0^{\circ}

，方向依序為上、右、下、左、上、

\dots

，距離依序為

6, 4, \frac{8}{3}, \frac{16}{9}, \frac{32}{27}, \dots

（每次乘以

\frac{2}{3}

）。

x

坐標只在向右、向左時改變：

4 - \frac{16}{9} + \frac{64}{81} - \dots

，首項

4

、公比

- \frac{4}{9}

，和為

\frac{4}{1 + \frac{4}{9}} = \frac{36}{13}

。

y

坐標只在向上、向下時改變：

6 - \frac{8}{3} + \frac{32}{27} - \dots

，首項

6

、公比

- \frac{4}{9}

，和為

\frac{6}{1 + \frac{4}{9}} = \frac{54}{13}

。所以

A (\frac{36}{13}, \frac{54}{13})

。

同一個坐標方向上，相鄰兩次移動中間隔了一次別的方向，所以距離是乘以

(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}

，而且方向相反，公比是

- \frac{4}{9}

。

情境題先把規律寫成等比級數：找出首項與公比，確認公比的絕對值小於 1 再求和。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

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多選第 2 題：含 x 的等比數列除了看公比的範圍，還要另外考慮 x 等於 0 時整個數列都是 0 也收斂。多選第 4 題：合成函數的定義域要由內層函數值落在外層定義域內來決定，奇函數裡面放偶函數合成後是偶函數。填充第 3 題（本頁第 11 題）：解出兩個 x 之後要代回檢查公比，其中一個會讓級數發散。填充第 10 題（本頁第 18 題）：不足一段以一段計要用負的高斯符號表示，才能決定式子裡的常數。詳解逐題寫在本頁。

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03填充 10～15（原卷填充 2～7）：由極限求係數、無窮等比級數、連續與夾擠定理

04填充 16～20（原卷填充 8～12）：值域、高斯符號與無窮等比級數的應用

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高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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