段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、無窮等比級數、合成函數與反函數、函數的極限、連續函數）

臺南二中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 113 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 113 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題的 C 選項：函數在 x 等於 2 沒有定義，在區間上不連續，不能用中間值定理。多選第 2 題的 B 選項：把三次式配成立方加一次式，就能看出嚴格遞增。填充第 5 題的第 10 小題（本頁第 16 題）：高斯符號要先寫成不等式，再用夾擠定理。填充第 3 題（本頁第 5 題）：解出兩個 x 之後要檢查公比，其中一個會讓級數發散。填充第 8 題（本頁第 19 題）：恰兩粒相同不含三粒全同。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、填充題 9 題共 18 格（每格 5 分，共 90 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、多選題（全對可得 5 分，恰錯一個得 3 分，恰錯兩個得 1 分，其餘情況不給分）

下列選項哪些是正確的？

(A) $f_{1} (x) = sin (\frac{3 π}{2} - x)$ 是一個偶函數。
(B) $f_{2} (x) = x lo g (3 x + 9 x^{2} + 1)$ 是一個偶函數。
(C) 設 $f_{3} (x) = \frac{x ^{3} - 8}{x - 2}$ ，已知 $f_{3} (0) = 4$ ， $f_{3} (3) = 19$ ，由中間值定理可知在 $0$ 與 $3$ 之間至少存在一個實數 $c$ ，使得 $f_{3} (c) = 12$ 。
(D) 無窮等比級數 $1 - \frac{5}{2} + \frac{25}{4} - \frac{125}{8} + \dots = \frac{1}{1 - ( - \frac{5}{2} )} = \frac{2}{7}$ 。
(E) $f_{4} (x) = lo g_{6} lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的定義域為 ${x \in R ∣ x > 0}$ 。

下列選項哪些是正確的？

(A) 若 $f (x) = 3 x^{3} - 4 x + 2$ ， $g (x) = x^{2} - x - 2$ ，則 $(g \circ f) (x)$ 除以 $(x + 1)$ 之餘式為 $2$ 。
(B) $h (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 7 x - 1$ 為一對一函數。
(C) 設 $⟨ a_{n} ⟩$ 與 $⟨ b_{n} ⟩$ 為兩個無窮數列，且數列 $⟨ 2 a_{n} + b_{n} ⟩$ 與 $⟨ a_{n} + 2 b_{n} ⟩$ 均為收斂數列，則數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 與 $⟨ b_{n} ⟩$ 必為收斂數列。
(D) $n \to \infty lim \frac{1 + ( 1 + \frac{1}{n} ) + ( 1 + \frac{1}{n} ) ^{2} + \dots + ( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n - 1}}{n} = e - 1$ ，其中 $e$ 為尤拉數。
(E) 讓無窮級數 $n = 1 \sum \infty (\frac{2 x - 9}{x ^{2} + 1})^{n}$ 極限存在的所有 $x$ 所成之集合為 ${x \in R ∣ x > 2 或 x < - 4}$ 。

二、填充題（每格 5 分，全對始給分）（本頁第 3～6 題為原卷填充第 1～4 題，第 7～16 題為原卷填充第 5 題的 (1)～(10)，第 17～20 題為原卷填充第 6～9 題）

設一收斂的無窮等比數列之總和為

81

，且此數列的所有偶數項之總和為

\frac{81}{4}

，首項為

a_{1}

，公比為

r

，試求數對

(a_{1}, r) =

____。

設函數

f (x) = lo g_{3} (2 x + 1)

，且函數

g (x)

為

f (x)

的反函數，求

g (x) =

____。

設

x \in R

，若無窮等比級數

n = 1 \sum \infty (1 - 2 x)^{n - 1} = \frac{2 x}{- x + 3}

，則

x =

____。

設

a, b \in R

，若

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x + a, x^{2} + a x - b, - x^{2} + 2 b x - 13, x < - 2 - 2 \leq x \leq 6 x > 6

為一連續函數，求數對

(a, b) =

____。

填充第 5 題（第 7～16 題）　求下列的極限值（如果極限不存在的話，則在對應答案欄中寫不存在）

(1)

n \to \infty lim (\frac{2 n ^{2} - 5 n}{2 n + 1} - \frac{n ^{3} + 2 n ^{2} - 1}{n ^{2} + 2 n}) =

____。

(2)

n \to \infty lim \frac{5 \times 8 ^{2 n} + 7 ^{n}}{3 ^{n + 2} + 4 ^{3 n}} =

____。

(3)

x \to 4 lim \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{4}}{x - 4} =

____。

(4)

x \to 3 lim (\frac{1}{x - 3} - \frac{10 x - 3}{x ^{3} - 27}) =

____。

(5)

x \to 2 lim (\frac{∣ x ^{2} - x - 6∣}{∣ x ∣ - 2} - \frac{4}{x - 2}) =

____。

(6)

n \to \infty lim \frac{1 + 4 + 4 ^{2} + 4 ^{3} + \dots + 4 ^{n}}{4 ^{n} + 2 ^{n}} =

____。

(7)

n \to \infty lim \frac{5 n ^{4}}{2 ^{3} + 4 ^{3} + 6 ^{3} + \dots + ( 2 n ) ^{3}} =

____。

(8)

x \to 1 lim \frac{x - 1}{x ^{2} - 2 - x} =

____。

(9)

x \to 1 lim \frac{( x + 1 ) ^{9} - 512}{x - 1} =

____。

(10)

n \to \infty lim \frac{[ \frac{n ^{2}}{3} ] + [ \frac{n ^{2}}{3 ^{2}} ] + [ \frac{n ^{2}}{3 ^{3}} ] + \dots + [ \frac{n ^{2}}{3 ^{n}} ]}{5 n ^{2}} =

____。

f (x) = \frac{x - 2}{x ^{2} - 2 x - 3}

的定義域為 ____。（須表示成集合的型態才給分!!）

已知

f (x)

為三次實係數多項式且

k

為常數，若

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = - 5

，

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x - 3} = 7

，且

x \to - 1 lim \frac{f ( x ) + k}{x + 1}

存在，則

x \to - 1 lim \frac{f ( x ) + k}{x + 1} =

____。

甲、乙兩人輪流投擲骰子，每次都投擲三粒公正的骰子，約定如下：若某人擲出的三粒骰子恰兩粒骰子點數相同，則此人獲勝且此時比賽結束，由甲先開始投擲骰子，求甲獲勝的機率

=

____。

在數線上，有

A

、

B

兩個動點，已知動點

A

從

2

開始往正向移動，動點

B

從

10

開始往負向移動，兩個動點每一秒移動一次，第一秒

A

、

B

移動的距離分別為

1

、

2

，且

A

、

B

每次移動的距離分別為其前一次移動距離的

\frac{1}{2}

倍、

\frac{1}{3}

倍。今兩動點同時開始移動，令

x_{n}

為第

n

秒時

A

、

B

的中點位置，則

n \to \infty lim x_{n} =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)

第 2 題(B)(C)(D)(E)

第 3 題

(54, \frac{1}{3})

第 4 題

\frac{3 ^{x} - 1}{2}

第 5 題

\frac{3}{4}

第 6 題

(1, 7)

第 7 題

- 3

第 8 題

5

第 9 題

- \frac{1}{16}

第 10 題

- \frac{1}{27}

第 11 題

- 3

第 12 題

\frac{4}{3}

第 13 題

\frac{5}{2}

第 14 題

\frac{2}{5}

第 15 題

2304

第 16 題

\frac{1}{10}

第 17 題

{x \in R ∣ - 1 < x \leq 2 或 x > 3}

第 18 題

31

第 19 題

\frac{12}{19}

第 20 題

\frac{11}{2}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～2：奇偶函數、中間值定理、一對一函數、數列與級數的收斂

第 1 題答案 (A)(B)。(A)

sin (\frac{3 π}{2} - x) = - cos x

，而

- cos (- x) = - cos x

，所以

f_{1} (- x) = f_{1} (x)

，是偶函數，對。(B) 因為

9 x^{2} + 1 > 9 x^{2} = ∣3 x ∣ \geq - 3 x

，所以

3 x + 9 x^{2} + 1 > 0

對所有實數

x

都成立，定義域是全體實數。令

u (x) = lo g (3 x + 9 x^{2} + 1)

，則

u (x) + u (- x) = lo g [(9 x^{2} + 1 + 3 x) (9 x^{2} + 1 - 3 x)] = lo g (9 x^{2} + 1 - 9 x^{2}) = lo g 1 = 0

，即

u (- x) = - u (x)

。所以

f_{2} (- x) = (- x) \cdot u (- x) = x \cdot u (x) = f_{2} (x)

，是偶函數，對。(C)

f_{3}

在

x = 2

沒有定義，在區間

[0, 3]

上不連續，不符合中間值定理的條件，不能這樣推論。實際上

x \neq = 2

時

f_{3} (x) = x^{2} + 2 x + 4

，令它等於

12

得

(x + 4) (x - 2) = 0

，

x = - 4

或

x = 2

，兩個都不是

0

與

3

之間使

f_{3}

有定義的數，所以這樣的

c

不存在，錯。(D) 公比是

- \frac{5}{2}

，絕對值大於

1

，級數發散，沒有和，不能套求和公式，錯。(E) 內層

lo g_{\frac{1}{2}} x

要有意義需

x > 0

；外層

lo g_{6}

的真數要為正，需

lo g_{\frac{1}{2}} x > 0

，底數

\frac{1}{2}

小於

1

，所以

x < 1

。定義域是

{x \in R ∣ 0 < x < 1}

，錯。

1

時成立。

第 2 題答案 (B)(C)(D)(E)。(A) 由餘式定理，餘式為

(g \circ f) (- 1) = g (f (- 1))

。

f (- 1) = - 3 + 4 + 2 = 3

，

g (3) = 9 - 3 - 2 = 4

，餘式是

4

不是

2

，錯。(B) 把

h (x)

改寫：

2 (x - 1)^{3} = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 2

，所以

h (x) = 2 (x - 1)^{3} + (x + 1)

。當

x_{1} < x_{2}

時，

2 (x_{1} - 1)^{3} < 2 (x_{2} - 1)^{3}

且

x_{1} + 1 < x_{2} + 1

，相加得

h (x_{1}) < h (x_{2})

。

h

是嚴格遞增函數，不同的

x

對應到不同的函數值，是一對一函數，對。(C)

a_{n} = \frac{2 ( 2 a _{n} + b _{n} ) - ( a _{n} + 2 b _{n} )}{3}

，

b_{n} = \frac{2 ( a _{n} + 2 b _{n} ) - ( 2 a _{n} + b _{n} )}{3}

，收斂數列乘以常數、相加減後仍收斂，所以兩個都收斂，對。(D) 分子是首項

1

、公比

q = 1 + \frac{1}{n}

、共

n

項的等比數列的和：

\frac{q ^{n} - 1}{q - 1} = \frac{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n} - 1}{\frac{1}{n}} = n [(1 + \frac{1}{n})^{n} - 1]

。除以

n

後是

(1 + \frac{1}{n})^{n} - 1

，

n \to \infty

時趨近

e - 1

，對。(E) 卷面說的「極限存在」就是級數收斂。這是首項與公比都是

r = \frac{2 x - 9}{x ^{2} + 1}

的無窮等比級數，收斂的條件是

∣ r ∣ < 1

（

r = 0

時

x = \frac{9}{2}

，也在下面的範圍內），即

- (x^{2} + 1) < 2 x - 9 < x^{2} + 1

。右邊：

x^{2} - 2 x + 10 = (x - 1)^{2} + 9 > 0

恆成立；左邊：

x^{2} + 2 x - 8 > 0

，

(x + 4) (x - 2) > 0

，

x > 2

或

x < - 4

。對。

(B) 判斷一對一不必用到微分：把三次式配成

2 (x - 1)^{3}

加上一次式，兩個遞增函數相加仍遞增。(D) 用到

e

的定義

n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

。

用定理之前先檢查前提：中間值定理要連續，等比級數求和要公比的絕對值小於 1，定義域要由內而外一層一層看。

02填充 3～6（原卷填充 1～4）：無窮等比級數、反函數與連續

第 3 題總和

\frac{a _{1}}{1 - r} = 81

。偶數項

a_{1} r, a_{1} r^{3}, a_{1} r^{5}, \dots

是首項

a_{1} r

、公比

r^{2}

的等比數列，和為

\frac{a _{1} r}{1 - r ^{2}} = \frac{a _{1}}{1 - r} \cdot \frac{r}{1 + r} = \frac{81}{4}

。兩式相除得

\frac{r}{1 + r} = \frac{1}{4}

，

4 r = 1 + r

，

r = \frac{1}{3}

（滿足

∣ r ∣ < 1

）。代回

a_{1} = 81 (1 - \frac{1}{3}) = 54

。

(a_{1}, r) = (54, \frac{1}{3})

。

第 4 題令

y = lo g_{3} (2 x + 1)

，則

2 x + 1 = 3^{y}

，

x = \frac{3 ^{y} - 1}{2}

。把

x

、

y

對調，反函數

g (x) = \frac{3 ^{x} - 1}{2}

。

f

的值域是全體實數，所以

g

的定義域是全體實數。

第 5 題這是首項

1

、公比

1 - 2 x

的無窮等比級數，收斂的條件是

∣1 - 2 x ∣ < 1

，即

0 < x < 1

，此時和為

\frac{1}{1 - ( 1 - 2 x )} = \frac{1}{2 x}

。令

\frac{1}{2 x} = \frac{2 x}{3 - x}

：

3 - x = 4 x^{2}

，

4 x^{2} + x - 3 = 0

，

(4 x - 3) (x + 1) = 0

，

x = \frac{3}{4}

或

x = - 1

。

x = - 1

時公比為

3

，級數發散，不合；

x = \frac{3}{4}

時公比為

- \frac{1}{2}

，和為

\frac{2}{3}

，右式

\frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{4}} = \frac{2}{3}

相符。所以

x = \frac{3}{4}

。

解出

x

之後一定要代回去檢查公比的絕對值是否小於

1

。

第 6 題三段各自都是多項式，在各自的區間內連續，只要兩個接點

x = - 2

、

x = 6

連續即可。

x = - 2

：左極限

3 (- 2) + a = a - 6

，函數值

4 - 2 a - b

，相等得

3 a + b = 10

。

x = 6

：函數值

36 + 6 a - b

，右極限

- 36 + 12 b - 13 = 12 b - 49

，相等得

6 a - 13 b = - 85

。由第一式

b = 10 - 3 a

代入第二式：

6 a - 130 + 39 a = - 85

，

a = 1

，

b = 7

。

(a, b) = (1, 7)

。

檢查：

x = - 2

兩邊都是

- 5

，

x = 6

兩邊都是

35

。

無窮等比級數的題目先寫出收斂條件再求和；分段函數連續只要看接點，左右極限與函數值三者相等。

03填充 7～11（原卷填充 5 的 (1)～(5)）：極限的計算（一）

第 7 題兩個分式各自都會愈來愈大，不能分開算，先各做除法。

2 n^{2} - 5 n = (2 n + 1) (n - 3) + 3

，所以

\frac{2 n ^{2} - 5 n}{2 n + 1} = n - 3 + \frac{3}{2 n + 1}

；

n^{3} + 2 n^{2} - 1 = n (n^{2} + 2 n) - 1

，所以

\frac{n ^{3} + 2 n ^{2} - 1}{n ^{2} + 2 n} = n - \frac{1}{n ^{2} + 2 n}

。相減得

- 3 + \frac{3}{2 n + 1} + \frac{1}{n ^{2} + 2 n}

，

n \to \infty

時趨近

- 3

。

也可以直接通分，分子的最高次項是

- 6 n^{3}

，分母的最高次項是

2 n^{3}

，比值

- 3

。

第 8 題

8^{2 n} = 6 4^{n}

，

4^{3 n} = 6 4^{n}

，

3^{n + 2} = 9 \cdot 3^{n}

。分子分母同除以

6 4^{n}

：

\frac{5 + ( \frac{7}{64} ) ^{n}}{9 ( \frac{3}{64} ) ^{n} + 1} \to \frac{5 + 0}{0 + 1} = 5

。

第 9 題分子通分：

\frac{1}{x} - \frac{1}{4} = \frac{4 - x}{4 x}

。原式

= x \to 4 lim \frac{4 - x}{4 x ( x - 4 )} = x \to 4 lim \frac{- 1}{4 x} = - \frac{1}{16}

。

第 10 題

x^{3} - 27 = (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)

，通分：

\frac{( x ^{2} + 3 x + 9 ) - ( 10 x - 3 )}{( x - 3 ) ( x ^{2} + 3 x + 9 )} = \frac{x ^{2} - 7 x + 12}{( x - 3 ) ( x ^{2} + 3 x + 9 )} = \frac{( x - 3 ) ( x - 4 )}{( x - 3 ) ( x ^{2} + 3 x + 9 )} = \frac{x - 4}{x ^{2} + 3 x + 9}

（

x \neq = 3

）。

x \to 3

時趨近

\frac{- 1}{27} = - \frac{1}{27}

。

第 11 題

x

在

2

附近時，

x^{2} - x - 6

接近

4 - 2 - 6 = - 4 < 0

，所以

∣ x^{2} - x - 6∣ = - x^{2} + x + 6

；又

x > 0

，

∣ x ∣ - 2 = x - 2

。原式

= x \to 2 lim \frac{- x ^{2} + x + 6 - 4}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{- ( x - 2 ) ( x + 1 )}{x - 2} = x \to 2 lim (- (x + 1)) = - 3

。

去絕對值前先把

x = 2

代進絕對值裡面看正負；兩個分式要先合併再約分。

兩項各自沒有極限時不能拆開算，先通分或做除法合併；分母趨近 0 就找出公因式約掉。

04填充 12～16（原卷填充 5 的 (6)～(10)）：極限的計算（二）

第 12 題分子是首項

1

、公比

4

、共

n + 1

項的等比數列的和：

\frac{4 ^{n + 1} - 1}{3}

。原式

= n \to \infty lim \frac{4 ^{n + 1} - 1}{3 ( 4 ^{n} + 2 ^{n} )}

，分子分母同除以

4^{n}

：

\frac{4 - ( \frac{1}{4} ) ^{n}}{3 ( 1 + ( \frac{1}{2} ) ^{n} )} \to \frac{4}{3}

。

分子從

1 = 4^{0}

加到

4^{n}

，共

n + 1

項。

第 13 題

2^{3} + 4^{3} + \dots + (2 n)^{3} = 8 (1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}) = 8 \cdot [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2} = 2 n^{2} (n + 1)^{2}

。原式

= n \to \infty lim \frac{5 n ^{4}}{2 n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} = n \to \infty lim \frac{5}{2 ( 1 + \frac{1}{n} ) ^{2}} = \frac{5}{2}

。

第 14 題分子分母同乘以

x^{2} + 2 - x

：分母變成

x^{4} - (2 - x) = x^{4} + x - 2

。

x = 1

代入為

0

，所以有因式

x - 1

：

x^{4} + x - 2 = (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 2)

。原式

= x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + 2 - x )}{( x - 1 ) ( x ^{3} + x ^{2} + x + 2 )} = \frac{1 + 1}{1 + 1 + 1 + 2} = \frac{2}{5}

。

第 15 題

512 = 2^{9}

。令

t = x + 1

，

x \to 1

時

t \to 2

，且

x - 1 = t - 2

，原式

= t \to 2 lim \frac{t ^{9} - 2 ^{9}}{t - 2}

。

t^{9} - 2^{9} = (t - 2) (t^{8} + 2 t^{7} + 2^{2} t^{6} + \dots + 2^{7} t + 2^{8})

，約去

t - 2

後代入

t = 2

：括號內共

9

項，每一項都是

2^{8} = 256

，所以極限

= 9 \times 256 = 2304

。

第 16 題卷面沒有說明方括號的意義，這裡依慣例當作高斯符號（若只是一般的括號，分子就是下面的

S_{n}

，極限相同）。高斯符號滿足

t - 1 < [t] \leq t

。令

S_{n} = \frac{n ^{2}}{3} + \frac{n ^{2}}{3 ^{2}} + \dots + \frac{n ^{2}}{3 ^{n}} = n^{2} \cdot \frac{\frac{1}{3} ( 1 - ( \frac{1}{3} ) ^{n} )}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{n ^{2}}{2} (1 - (\frac{1}{3})^{n})

。分子共

n

項，每一項用上面的不等式，得

S_{n} - n < 分子 \leq S_{n}

。各除以

5 n^{2}

：

\frac{1}{10} (1 - (\frac{1}{3})^{n}) - \frac{1}{5 n} < \frac{分子}{5 n ^{2}} \leq \frac{1}{10} (1 - (\frac{1}{3})^{n})

。

n \to \infty

時左右兩邊都趨近

\frac{1}{10}

，由夾擠定理，極限為

\frac{1}{10}

。

每取一次高斯符號最多少掉

1

，

n

項合計最多少

n

，與分母的

5 n^{2}

相比趨近

0

，不影響極限。

有點點點的式子先用公式求和再取極限；高斯符號用「少掉的不到 1」寫成不等式，交給夾擠定理。

05填充 17～20（原卷填充 6～9）：定義域、由極限決定多項式、無窮等比級數的應用

第 17 題根號內要大於或等於

0

，且分母不為

0

：

\frac{x - 2}{( x - 3 ) ( x + 1 )} \geq 0

，

x \neq = 3

、

x \neq = - 1

。三個分界點

- 1, 2, 3

把數線分成四段，逐段看正負：

x < - 1

時為負；

- 1 < x < 2

時為正；

2 < x < 3

時為負；

x > 3

時為正；

x = 2

時為

0

，可以。所以定義域為

{x \in R ∣ - 1 < x \leq 2 或 x > 3}

。

x = 2

讓根號內等於

0

，要包含；

x = - 1

、

x = 3

讓分母為

0

，不能包含。

第 18 題

x \to 2

時分母

x - 2

趨近

0

而極限存在，所以

f (2) = 0

；同理

f (3) = 0

。

f

是三次式，設

f (x) = (x - 2) (x - 3) (a x + b)

。第一式：

x \to 2 lim (x - 3) (a x + b) = - (2 a + b) = - 5

，

2 a + b = 5

。第二式：

x \to 3 lim (x - 2) (a x + b) = 3 a + b = 7

。解得

a = 2

、

b = 1

，

f (x) = (x - 2) (x - 3) (2 x + 1) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 6

。

x \to - 1

時分母

x + 1

趨近

0

而極限存在，所以

f (- 1) + k = 0

；

f (- 1) = (- 3) (- 4) (- 1) = - 12

，

k = 12

。

f (x) + 12 = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 7 x + 18 = (x + 1) (2 x^{2} - 11 x + 18)

，所求

= x \to - 1 lim (2 x^{2} - 11 x + 18) = 2 + 11 + 18 = 31

。

第 19 題擲三粒骰子共

6^{3} = 216

種結果。「恰兩粒點數相同」：相同的點數有

6

種，另一粒的點數有

5

種，哪一粒是不同的那一粒有

3

種，共

6 \times 5 \times 3 = 90

種，機率

p = \frac{90}{216} = \frac{5}{12}

；沒有擲出的機率

q = \frac{7}{12}

。甲在第

1, 3, 5, \dots

次投擲時獲勝：

p + q^{2} p + q^{4} p + \dots

，是首項

\frac{5}{12}

、公比

q^{2} = \frac{49}{144}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{5}{12}}{1 - \frac{49}{144}} = \frac{5}{12} \cdot \frac{144}{95} = \frac{12}{19}

。

三粒點數全部相同（例如

1, 1, 1

）不算「恰兩粒相同」，所以不是

96

種。

第 20 題

A

每秒移動的距離依序為

1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \dots

，是公比

\frac{1}{2}

的等比數列，移動的總距離趨近

\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

，所以

A

的位置趨近

2 + 2 = 4

。

B

每秒移動的距離依序為

2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \dots

，是公比

\frac{1}{3}

的等比數列，總距離趨近

\frac{2}{1 - \frac{1}{3}} = 3

，所以

B

的位置趨近

10 - 3 = 7

。中點

x_{n}

是兩點位置的平均，

n \to \infty lim x_{n} = \frac{4 + 7}{2} = \frac{11}{2}

。

A

往正向所以加，

B

往負向所以減；兩點最後分別停在

4

與

7

附近，不會相遇。

分母趨近 0 而極限存在，分子在那一點一定也是 0；情境題先寫出等比數列的首項與公比，再求無窮等比級數的和。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南二中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題的 C 選項：函數在 x 等於 2 沒有定義，在區間上不連續，不能用中間值定理。多選第 2 題的 B 選項：把三次式配成立方加一次式，就能看出嚴格遞增。填充第 5 題的第 10 小題（本頁第 16 題）：高斯符號要先寫成不等式，再用夾擠定理。填充第 3 題（本頁第 5 題）：解出兩個 x 之後要檢查公比，其中一個會讓級數發散。填充第 8 題（本頁第 19 題）：恰兩粒相同不含三粒全同。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自臺南二中 113 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺南二中 113 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多選 1～2：奇偶函數、中間值定理、一對一函數、數列與級數的收斂

02填充 3～6（原卷填充 1～4）：無窮等比級數、反函數與連續

03填充 7～11（原卷填充 5 的 (1)～(5)）：極限的計算（一）

04填充 12～16（原卷填充 5 的 (6)～(10)）：極限的計算（二）

05填充 17～20（原卷填充 6～9）：定義域、由極限決定多項式、無窮等比級數的應用

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高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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