段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律與指數函數、對數律與換底公式、對數函數的圖形、指數對數方程式與不等式、常用對數的應用）

臺南二中 114 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

多選題 4 題（20 分；全對 5 分，錯 1 個選項 3 分，錯 2 個選項 1 分，錯多於 2 個或未作答 0 分）、填充題 14 格（67 分；答對 1～14 格依序得 6、12、17、22、27、32、37、42、47、52、56、60、64、67 分）、混合題 13 分（第 19 題單選 1 分、第 20 題填充 2 分、第 21 題計算 4 分、第 22 題填充 2 分、第 23 題計算 4 分）。原卷多選 1～4、填充 1～14、混合題 1.(1)～(3) 與 2.(1)(2)，本頁依序編為第 1～23 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，23 題全部相同。

一、多選題：每題 5 分，共 20 分

請選出所有正確的選項。

(A) $lo g (3 - π)^{2} = 2 lo g (3 - π)$
(B) $\frac{lo g _{2} 28}{lo g _{2} 7} = lo g_{2} 4$
(C) $8^{\frac{- 1}{3}} = - 2$
(D) $lo g_{6} 7 = lo g_{36} 49 = lo g_{\frac{1}{6}} \frac{1}{7}$
(E) $lo g [lo g 2^{(3^{5})}] = 5 lo g 3 + lo g 2$

下列哪些為正數？

(A) $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}$
(B) $lo g_{3} 8 - lo g_{2} 5$
(C) $lo g_{\frac{1}{7}} 2$
(D) $lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2}$
(E) $- lo g \frac{3}{3}$

關於指對數函數圖形的性質，下列哪些選項正確？

(A) $y = lo g_{3} x$ 與 $y = lo g_{9} (x^{2})$ 的圖形不相同
(B) 若 $a > 0$ ， $y = lo g_{a} x$ 的圖形為凹口向下
(C) $y = - lo g x$ 與 $y = 1 0^{- x}$ 的圖形對直線 $y = x$ 成對稱
(D) $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的圖形相同
(E) $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 與 $y = x^{2}$ 的圖形恰有 $2$ 個交點

若

a = 1 2^{23}

，

b > 0

且滿足

lo g_{4} [lo g_{3} (lo g_{2} b)] = 1

，下列哪些選項是正確的？

(A) $a$ 為 $24$ 位數
(B) $a$ 的最高位數字為 $6$
(C) $b$ 的個位數字為 $2$
(D) $a + b$ 為 $25$ 位數
(E) $ab$ 為 $50$ 位數

二、填充題(共 67 分，配分方式見答案卷，每格全對才給分)

(lo g_{2} 9 + lo g_{4} 3) \times (lo g_{3} 8 + lo g_{9} 2) + 4 lo g_{5} 5 - \frac{1}{3} lo g_{5} 2 + lo g_{125} 250 =

____。

設實數

a > 0

，已知

a^{l o g_{3} 125} = 39

，則

a^{(l o g_{3} 125)^{2}} =

____。

解方程式

2^{2 x + 3} - 25 \times 2^{x} + 3 = 0

，則

x =

____。

設實數

x > 0

，則方程式

x^{3 l o g x} = \frac{100}{x ^{5}}

的解為

x =

____。

已知

x

為整數，使得

lo g_{(x + 4)} (25 - x^{2})

有意義，求滿足的整數

x

共有 ____ 個。

不等式

\frac{1}{16} < (\frac{1}{2})^{2 x - 3} < 332

的解為 ____。

不等式

lo g_{\frac{1}{4}} (x^{2} + 8 x + 12) < lo g_{\frac{1}{2}} (x - 2) + lo g_{4} \frac{1}{3}

的解為 ____。

將

(0.35)^{100}

表為純小數時，小數點後第

n

位才開始出現不為

0

的數字，且此不為

0

的數字為

k

，則數對

(n, k) =

____。

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特

(W/ m^{2})

來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為

I_{0} = 1 0^{- 12} (W/ m^{2})

。當測得的聲音強度為

I (W/ m^{2})

時，所產生的噪音分貝數

d

為

d (I) = 10 \times lo g \frac{I}{I _{0}}

。琵琶行中提到「大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語。」今測得落雨聲約為

55

分貝，說悄悄話約為

25

分貝，試問：落雨聲的聲音強度為說悄悄話聲音強度的 ____ 倍。

設

a = 2^{\frac{- 6}{5}}

，

b = 3 \frac{1}{4} \frac{1}{8}

，

c = \frac{3 512}{16 2}

，

d = (\frac{1}{3 4})^{2}

，則

a

，

b

，

c

，

d

的大小順序為 ____。

已知實數

a

、

b

、

c

均為正數，且分別滿足

2^{a} = lo g_{\frac{1}{2}} a

、

(\frac{1}{2})^{b} = lo g_{2} b

、

(\frac{1}{2})^{c} = lo g_{\frac{1}{2}} c

，則

a

、

b

、

c

的大小順序為 ____。

坐標平面上，

x

坐標與

y

坐標均為整數的點稱為格子點。試問在函數圖形

y = 2 lo g x

、

x

軸與直線

x = \frac{201}{2}

所圍有界區域的內部（不含邊界）共有 ____ 個格子點。

西元

2002

年的搞笑諾貝爾物理獎頒給了 Arnd Leike，他的研究指出，啤酒泡沫的衰退與許多因素（如傾倒方式、環境條件）有關，並利用數學「指數衰減」的規律來解釋這個現象。胡子對這個實驗很有興趣，他改成用可樂來做探究與實作的主題。他將可樂裝在量筒裡，每

12

秒就記錄一次，測量泡沫消失是否符合指數衰減的規律。實驗結果顯示，可樂泡沫的初始高度為

2.6

公分，接著每

12

秒泡沫減少的高度依序為

1.2

、

0.6

公分，若可樂泡沫高度

f (x)

（單位：公分）與時間

x

（單位：分鐘）滿足函數

f (x) = \frac{1}{5} (a + b \cdot 2^{c x})

，求實數序對

(a, b, c) =

____。

設等差數列

⟨ a_{n} ⟩

的首項

a_{1}

及公差

d

皆為正數，且

\frac{lo g a _{1}}{lo g 2}

、

\frac{lo g a _{22}}{lo g 2}

、

\frac{lo g a _{190}}{lo g 2}

依序也成等差數列，則數列

\frac{lo g a _{1}}{lo g 2}

、

\frac{lo g a _{22}}{lo g 2}

、

\frac{lo g a _{190}}{lo g 2}

的公差為 ____。

三、混合題(共 13 分)

混合題 1（第 19～21 題）（第 19～21 題）　擾西在準備數學期中考時，拿到了一題看似簡單卻算不出來的題目，讓他陷入彷彿鬼打牆的狀態。秉持著數學人的探究精神，他決定不放棄，而是將複雜的問題拆解成三個步驟來分析，期望能找出通往正確答案的線索。請協助擾西一步一步完成這個題目

(1) 令

t = 2^{x} + 2^{2 - x}

，則

4^{x} + 4^{2 - x} =

____。（單選題）

(A) $t^{2}$
(B) $t^{2} + 2$
(C) $t^{2} - 2$
(D) $t^{2} - 8$

(2) 令

t = 2^{x} + 2^{2 - x}

，當

x = a

時，

t

有最小值

b

，試利用算幾不等式，求出數對

(a, b) =

____。（填充題）

(3)

f (x) = 3 (4^{x} + 4^{2 - x}) - 18 (2^{x} + 2^{2 - x}) + 54

，請求出

f (x)

的最小值。（計算題，請寫下詳細計算過程）

混合題 2（第 22、23 題）（第 22～23 題）　敏迪大學畢業後，經過多次挑戰與面試，終於順利進入夢想中的公司。公司提供的薪資條件如下： (A)第一年的年薪為

70

萬元。 (B)入職後每年調薪

5%

，持續

3

年。 (C)在調薪三次後，敏迪晉升為管理級，自晉升起每年的調薪幅度改為

8%

。請回答下列問題：

(1)

lo g 1.05 =

____，

lo g 1.08 =

____。（填充題）

(2) 請問經過幾次的調漲後，敏迪的年薪可以從

70

萬元變成超過

150

萬元？（計算題，請寫下詳細計算過程）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(A)(D)(E)

第 3 題(A)(C)(D)

第 4 題(B)(C)(D)(E)

第 5 題

\frac{47}{4}

第 6 題

25

第 7 題

- 3

或

lo g_{2} 3

第 8 題

310

或

\frac{1}{100}

第 9 題

7

第 10 題

\frac{2}{3} < x < \frac{7}{2}

第 11 題

2 < x < 10

第 12 題

(46, 2)

第 13 題

1000

第 14 題

b > a > d > c

第 15 題

b > c > a

第 16 題

256

第 17 題

(1, 12, - 5)

第 18 題

3

第 19 題(D)

第 20 題

(1, 4)

第 21 題

6

第 22 題

0.0212

，

0.0333

第 23 題

12

次

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1～2 題）：對數律、換底公式與數值正負

第 1 題

(A) 錯誤。 $π > 3$ ， $3 - π < 0$ ，右邊的 $lo g (3 - π)$ 真數是負數，沒有意義。左邊的真數 $(3 - π)^{2} > 0$ 才有意義，等式不成立。

(B) 錯誤。 由換底公式， $\frac{lo g _{2} 28}{lo g _{2} 7} = lo g_{7} 28$ 。而 $lo g_{7} 28 = lo g_{7} 7 + lo g_{7} 4 = 1 + lo g_{7} 4$ ， $lo g_{7} 4 < 1$ ，所以 $lo g_{7} 28 < 2 = lo g_{2} 4$ 。

(D) 正確。 三個都換成以 $6$ 為底： $lo g_{6} 7 = \frac{\frac{1}{2} lo g _{6} 7}{\frac{1}{2}} = lo g_{6} 7$ ； $lo g_{36} 49 = \frac{2 lo g _{6} 7}{2} = lo g_{6} 7$ ； $lo g_{\frac{1}{6}} \frac{1}{7} = \frac{- lo g _{6} 7}{- 1} = lo g_{6} 7$ 。三者相等。

(E) 錯誤。 $lo g 2^{(3^{5})} = 3^{5} lo g 2$ ，所以 $lo g [3^{5} lo g 2] = 5 lo g 3 + lo g (lo g 2)$ 。最後一項是 $lo g (lo g 2)$ ，不是 $lo g 2$ ； $lo g 2 \approx 0.3010 < 1$ ， $lo g (lo g 2)$ 是負數，不等於 $lo g 2$ 。

選 (D)。

第 2 題

(A) 正確。 比較 $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$ 與 $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}$ ：兩數都是正數，同時乘 $6$ 次方，前者變成 $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ ，後者變成 $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ 。 $\frac{1}{8} > \frac{1}{9}$ ，所以前者較大，差是正數。

(B) 錯誤。 $8 < 9$ ，所以 $lo g_{3} 8 < lo g_{3} 9 = 2$ ； $5 > 4$ ，所以 $lo g_{2} 5 > lo g_{2} 4 = 2$ 。於是 $lo g_{3} 8 < 2 < lo g_{2} 5$ ，差是負數。

(D) 正確。 $lo g_{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} = \frac{- lo g _{3} 2}{- 1} = lo g_{3} 2 > 0$ （底數與真數都小於 $1$ ，值為正）。

(E) 正確。 $\frac{3}{3} = \frac{1}{3}$ ， $- lo g \frac{1}{3} = lo g 3 > 0$ 。

選 (A)(D)(E)。

(A) 用計算機算：

(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} \approx 0.7071

，

(\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} \approx 0.6934

，差約

0.0137

，很接近

0

，用同乘

6

次方比較才不會估錯。

換底時把幾個對數都換成同一個底；比較

(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}

這種不同根次的數，同乘根次的最小公倍數次方。

02多選題（第 3～4 題）：函數圖形的性質、位數與最高位數字

第 3 題

(A) 正確。 $y = lo g_{3} x$ 的定義域是 $x > 0$ ； $y = lo g_{9} (x^{2})$ 只要 $x \neq = 0$ 就有意義，定義域是 $x \neq = 0$ 。在 $x > 0$ 時兩式相等（ $lo g_{9} x^{2} = \frac{2 lo g _{3} x}{2} = lo g_{3} x$ ），但後者在 $x < 0$ 的部分還有圖形，兩圖形不相同。

(B) 錯誤。 還要看底數： $a > 1$ 時圖形凹口向下，但 $0 < a < 1$ 時凹口向上（例如 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ ）；而且 $a = 1$ 時根本沒有定義。

(C) 正確。 $y = - lo g x = lo g_{\frac{1}{10}} x$ ，它的反函數是 $y = (\frac{1}{10})^{x} = 1 0^{- x}$ 。互為反函數的兩圖形對直線 $y = x$ 對稱。

(D) 正確。 $lo g_{\frac{1}{2}} x = - lo g_{2} x$ ，取絕對值後 $lo g_{\frac{1}{2}} x = ∣ lo g_{2} x ∣$ ，兩個函數完全相同，圖形相同。

(E) 錯誤。 $x = - 2$ 時 $(\frac{1}{2})^{- 2} = 4 = (- 2)^{2}$ ； $x = - 4$ 時 $(\frac{1}{2})^{- 4} = 16 = (- 4)^{2}$ ，這兩點都是交點。另外 $x = 0$ 時 $(\frac{1}{2})^{0} = 1 > 0^{2}$ ， $x = 1$ 時 $\frac{1}{2} < 1^{2}$ ，在 $0$ 與 $1$ 之間還有一個交點。至少有 $3$ 個交點，不是恰有 $2$ 個。

選 (A)(C)(D)。

(E) 只畫

x > 0

的部分會以為只有一個交點；

x

為負時

(\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x}

增加得很快，會和拋物線交兩次。

第 4 題

先算 $a$ ： $lo g a = 23 lo g 12 = 23 (2 lo g 2 + lo g 3) = 23 \times 1.0791 = 24.8193$ 。首數 $24$ ，所以 $a$ 是 $25$ 位數。尾數 $0.8193$ 介於 $lo g 6 = 0.7781$ 與 $lo g 7 = 0.8451$ 之間，所以 $a = 1 0^{0.8193} \times 1 0^{24}$ ，最高位數字是 $6$ 。

再算 $b$ ： $lo g_{4} [lo g_{3} (lo g_{2} b)] = 1$ 表示 $lo g_{3} (lo g_{2} b) = 4$ ，所以 $lo g_{2} b = 3^{4} = 81$ ， $b = 2^{81}$ 。 $lo g b = 81 \times 0.3010 = 24.381$ ， $b$ 也是 $25$ 位數， $b = 1 0^{0.381} \times 1 0^{24}$ ， $1 0^{0.381}$ 介於 $2$ 與 $3$ 之間（ $lo g 3 = 0.4771$ ）。

(A) 錯誤。 $a$ 是 $25$ 位數。

(B) 正確。 最高位數字是 $6$ 。

(D) 正確。 $a < 7 \times 1 0^{24}$ ， $b < 3 \times 1 0^{24}$ ，所以 $a + b < 10 \times 1 0^{24} = 1 0^{25}$ ；又 $a + b > a \geq 1 0^{24}$ 。 $1 0^{24} \leq a + b < 1 0^{25}$ ，是 $25$ 位數。

(E) 正確。 $lo g (ab) = lo g a + lo g b = 24.8193 + 24.381 = 49.2003$ ，首數 $49$ ， $ab$ 是 $50$ 位數。

選 (B)(C)(D)(E)。

用計算機或電腦直接算出整數來看：

1 2^{23}

有

25

位、首位

6

；

2^{81}

個位

2

；

1 2^{23} + 2^{81}

有

25

位；

1 2^{23} \times 2^{81}

有

50

位。

N

的位數看

lo g N

的首數加

1

，最高位數字看尾數落在哪兩個

lo g k

之間；兩數相加的位數，用最高位數字估上界。

03填充題（第 5～9 題）：換底公式、指數對數方程式、對數的定義域

第 5 題

第一個括號換成以 $2$ 為底： $lo g_{2} 9 = 2 lo g_{2} 3$ ， $lo g_{4} 3 = \frac{lo g _{2} 3}{2}$ ，和為 $\frac{5}{2} lo g_{2} 3$ 。第二個括號換成以 $3$ 為底： $lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2$ ， $lo g_{9} 2 = \frac{lo g _{3} 2}{2}$ ，和為 $\frac{7}{2} lo g_{3} 2$ 。相乘： $\frac{5}{2} \times \frac{7}{2} \times lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 2 = \frac{35}{4}$ 。

其餘各項： $4 lo g_{5} 5 = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ ； $lo g_{125} 250 = \frac{lo g _{5} 250}{lo g _{5} 125} = \frac{lo g _{5} ( 5 ^{3} \times 2 )}{3} = 1 + \frac{1}{3} lo g_{5} 2$ ，和前面的 $- \frac{1}{3} lo g_{5} 2$ 正好消去。

原式 $= \frac{35}{4} + 2 + 1 = \frac{47}{4}$ 。

原檔這題前半段的算式字形放大重疊，看不清楚；本頁依 PDF 文字層的字元位置讀作

(lo g_{2} 9 + lo g_{4} 3) \times (lo g_{3} 8 + lo g_{9} 2)

。

第 6 題令

k = lo g_{3} 125

。已知

a^{k} = 39 = 9^{\frac{1}{3}}

，所以

a^{k^{2}} = (a^{k})^{k} = (9^{\frac{1}{3}})^{l o g_{3} 125} = (3^{l o g_{3} 125})^{\frac{2}{3}} = 12 5^{\frac{2}{3}} = 25

。

第 7 題

2^{2 x + 3} = 8 \times (2^{x})^{2}

。令

u = 2^{x} > 0

，方程式變成

8 u^{2} - 25 u + 3 = 0

，

(8 u - 1) (u - 3) = 0

，

u = \frac{1}{8}

或

3

，兩個都是正數。

2^{x} = \frac{1}{8}

得

x = - 3

；

2^{x} = 3

得

x = lo g_{2} 3

。

第 8 題兩邊都是正數，取常用對數，令

L = lo g x

：左邊

= 3 L \times L = 3 L^{2}

，右邊

= lo g 100 - 5 L = 2 - 5 L

。所以

3 L^{2} + 5 L - 2 = 0

，

(3 L - 1) (L + 2) = 0

，

L = \frac{1}{3}

或

- 2

。得

x = 1 0^{\frac{1}{3}} = 310

或

x = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}

。

第 9 題底數條件：

x + 4 > 0

且

x + 4 \neq = 1

，即

x > - 4

且

x \neq = - 3

。真數條件：

25 - x^{2} > 0

，即

- 5 < x < 5

。同時成立：

- 4 < x < 5

且

x \neq = - 3

。整數

x = - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4

，共

7

個。

x = - 3

時底數是

1

，要排除。

lo g_{a} b \times lo g_{b} a = 1

是換底後最常用的消去；指數方程式找出同一個

2^{x}

換元，取對數時把

lo g x

當成新的未知數。

04填充題（第 10～14 題）：指數對數不等式、常用對數的應用、比較大小

第 10 題

全部寫成以 $\frac{1}{2}$ 為底： $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{4}$ ， $332 = 2^{\frac{5}{3}} = (\frac{1}{2})^{- \frac{5}{3}}$ 。不等式變成 $(\frac{1}{2})^{4} < (\frac{1}{2})^{2 x - 3} < (\frac{1}{2})^{- \frac{5}{3}}$ 。底數小於 $1$ ，函數遞減，指數的大小反過來： $4 > 2 x - 3 > - \frac{5}{3}$ 。

所以 $2 x < 7$ 且 $2 x > \frac{4}{3}$ ，得 $\frac{2}{3} < x < \frac{7}{2}$ 。

第 11 題

定義域： $x - 2 > 0$ 且 $x^{2} + 8 x + 12 = (x + 2) (x + 6) > 0$ ； $x > 2$ 時後者自然成立，所以只要 $x > 2$ 。

全部換成以 $4$ 為底： $lo g_{\frac{1}{4}} (x^{2} + 8 x + 12) = - lo g_{4} (x^{2} + 8 x + 12)$ ； $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 2) = - lo g_{2} (x - 2) = - lo g_{4} (x - 2)^{2}$ ； $lo g_{4} \frac{1}{3} = - lo g_{4} 3$ 。不等式變成

$- lo g_{4} (x^{2} + 8 x + 12) < - lo g_{4} [3 (x - 2)^{2}]$

即 $lo g_{4} (x^{2} + 8 x + 12) > lo g_{4} [3 (x - 2)^{2}]$ 。底數 $4 > 1$ ，函數遞增，所以 $x^{2} + 8 x + 12 > 3 x^{2} - 12 x + 12$ ，整理得 $2 x^{2} - 20 x < 0$ ， $x (x - 10) < 0$ ， $0 < x < 10$ 。和定義域 $x > 2$ 取交集： $2 < x < 10$ 。

lo g_{\frac{1}{2}} (x - 2)

換成以

4

為底時，

x - 2

變成平方；因為已經限定

x > 2

，這一步不會多出解。

第 12 題

0.35 = \frac{7}{20}

，

lo g 0.35 = lo g 7 - lo g 2 - 1 = 0.8451 - 0.3010 - 1 = - 0.4559

。所以

lo g (0.35)^{100} = - 45.59 = - 46 + 0.41

，

(0.35)^{100} = 1 0^{0.41} \times 1 0^{- 46}

。

lo g 2 = 0.3010 < 0.41 < 0.4771 = lo g 3

，所以

2 < 1 0^{0.41} < 3

，首位數字是

2

；乘上

1 0^{- 46}

後，第一個不為零的數字在小數點後第

46

位。

(n, k) = (46, 2)

。

第 13 題設落雨聲強度

I_{1}

、悄悄話強度

I_{2}

。

10 lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} = 55

，

10 lo g \frac{I _{2}}{I _{0}} = 25

。相減：

10 (lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} - lo g \frac{I _{2}}{I _{0}}) = 10 lo g \frac{I _{1}}{I _{2}} = 30

，所以

lo g \frac{I _{1}}{I _{2}} = 3

，

\frac{I _{1}}{I _{2}} = 1 0^{3} = 1000

倍。

分貝每差

10

，強度就差

10

倍；差

30

分貝就是

1 0^{3}

倍。用不到

I_{0}

的值。

第 14 題

全部化成 $2$ 的次方：

$a = 2^{- \frac{6}{5}}$ 。

$b = (2^{- 2} \times 2^{- \frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = (2^{- \frac{7}{2}})^{\frac{1}{3}} = 2^{- \frac{7}{6}}$ 。

$c = \frac{2 ^{\frac{9}{3}}}{2 ^{4} \times 2 ^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 ^{3}}{2 ^{\frac{9}{2}}} = 2^{- \frac{3}{2}}$ 。

$d = (2^{- \frac{2}{3}})^{2} = 2^{- \frac{4}{3}}$ 。

比較指數： $- \frac{7}{6} \approx - 1.17$ ， $- \frac{6}{5} = - 1.2$ ， $- \frac{4}{3} \approx - 1.33$ ， $- \frac{3}{2} = - 1.5$ 。底數 $2 > 1$ ，指數愈大數愈大，所以 $b > a > d > c$ 。

指數的比較也可以通分：分母取

30

，依序是

- \frac{35}{30}

、

- \frac{36}{30}

、

- \frac{40}{30}

、

- \frac{45}{30}

。

指數不等式與對數不等式，看到底數小於

1

就把不等號反過來；對數不等式最後一定和定義域取交集。

05填充題（第 15～18 題）：圖形交點、格子點、指數模型、對數與等比

第 15 題

三個數都是兩個函數圖形交點的橫坐標，先估範圍。

$b$ ： $(\frac{1}{2})^{b}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，所以 $0 < lo g_{2} b < 1$ ， $1 < b < 2$ 。

$a$ ： $2^{a} > 1$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} a > 1$ ， $0 < a < \frac{1}{2}$ 。

$c$ ： $(\frac{1}{2})^{c} > 0$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{2}} c > 0$ ， $0 < c < 1$ 。

再比較 $a$ 與 $c$ ：兩者都是遞減曲線 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 和另一條遞增或遞減曲線的交點。在 $0 < x < 1$ 時 $2^{x} > 1 > (\frac{1}{2})^{x}$ 。若 $c \leq a$ ，則因 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 遞減， $lo g_{\frac{1}{2}} c \geq lo g_{\frac{1}{2}} a = 2^{a} > 1$ ；但 $lo g_{\frac{1}{2}} c = (\frac{1}{2})^{c} < 1$ ，矛盾。所以 $c > a$ 。

又 $c < 1 < b$ 。所以 $a < c < b$ ，即 $b > c > a$ 。

用計算機逐步試算求出的近似值：

a \approx 0.401

、

c \approx 0.641

、

b \approx 1.320

。

第 16 題

區域是 $1 < x < \frac{201}{2}$ 、 $0 < y < 2 lo g x$ 的部分（ $x = 1$ 時 $2 lo g x = 0$ ）。內部的格子點 $(x, y)$ ： $x$ 是 $2$ 到 $100$ 的整數， $y$ 是正整數且 $y < 2 lo g x$ ，也就是 $1 0^{y} < x^{2}$ 。

$y = 1$ ： $x^{2} > 10$ ， $x \geq 4$ ， $x = 4, 5, \dots, 100$ ，共 $97$ 個。

$y = 2$ ： $x^{2} > 100$ ， $x \geq 11$ ，共 $90$ 個（ $x = 10$ 時 $2 lo g 10 = 2$ 恰在邊界上，不算）。

$y = 3$ ： $x^{2} > 1000$ ， $x \geq 32$ （ $3 1^{2} = 961$ ， $3 2^{2} = 1024$ ），共 $69$ 個。

$y = 4$ ： $x^{2} > 1 0^{4}$ ， $x > 100$ ，沒有（ $x = 100$ 恰在邊界上）。

合計 $97 + 90 + 69 = 256$ 個。

直線

x = \frac{201}{2}

不是整數，所以

x = 100

是最右邊一行；這一行的

2 lo g 100 = 4

，

y = 4

落在曲線上，不算內部。

第 17 題

$12$ 秒 $= 0.2$ 分鐘。初始高度 $2.6$ ，前 $12$ 秒減少 $1.2$ 、接著 $12$ 秒減少 $0.6$ ，所以 $f (0) = 2.6$ 、 $f (0.2) = 1.4$ 、 $f (0.4) = 0.8$ 。

令 $r = 2^{0.2 c}$ ，則 $f (0) = \frac{1}{5} (a + b)$ ， $f (0.2) = \frac{1}{5} (a + b r)$ ， $f (0.4) = \frac{1}{5} (a + b r^{2})$ 。兩段減少量： $f (0) - f (0.2) = \frac{b ( 1 - r )}{5} = 1.2$ ， $f (0.2) - f (0.4) = \frac{b r ( 1 - r )}{5} = 0.6$ ，相除得 $r = \frac{1}{2}$ 。所以 $2^{0.2 c} = 2^{- 1}$ ， $c = - 5$ 。

代回 $\frac{b ( 1 - \frac{1}{2} )}{5} = 1.2$ ， $b = 12$ ； $\frac{1}{5} (a + 12) = 2.6$ ， $a = 1$ 。 $(a, b, c) = (1, 12, - 5)$ 。

檢查：

f (0.4) = \frac{1}{5} (1 + 12 \times \frac{1}{4}) = 0.8

，與

2.6 - 1.2 - 0.6 = 0.8

相符。時間單位是分鐘，

12

秒要換成

0.2

分鐘。

第 18 題

$\frac{lo g a _{n}}{lo g 2} = lo g_{2} a_{n}$ 。 $lo g_{2} a_{1}$ 、 $lo g_{2} a_{22}$ 、 $lo g_{2} a_{190}$ 成等差，表示 $2 lo g_{2} a_{22} = lo g_{2} a_{1} + lo g_{2} a_{190}$ ，即 $a_{22}^{2} = a_{1} a_{190}$ 。

代入 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ ： $(a_{1} + 21 d)^{2} = a_{1} (a_{1} + 189 d)$ ，展開得 $42 a_{1} d + 441 d^{2} = 189 a_{1} d$ ， $441 d^{2} = 147 a_{1} d$ 。 $d > 0$ ，兩邊除以 $147 d$ ： $a_{1} = 3 d$ 。

於是 $a_{1} = 3 d$ 、 $a_{22} = 24 d$ 、 $a_{190} = 192 d$ ，公比 $8$ 。所求公差 $= lo g_{2} a_{22} - lo g_{2} a_{1} = lo g_{2} 8 = 3$ 。

對數成等差，原來的數就成等比；數格子點要一列一列數，落在曲線或直線上的點不算內部。

06混合題 1（第 19～21 題）：換元與算幾不等式

第 19 題

t^{2} = (2^{x} + 2^{2 - x})^{2} = 4^{x} + 2 \times 2^{x} \times 2^{2 - x} + 4^{2 - x} = 4^{x} + 2 \times 4 + 4^{2 - x}

。所以

4^{x} + 4^{2 - x} = t^{2} - 8

。選 (D)。

中間項

2^{x} \times 2^{2 - x} = 2^{2} = 4

，不是

1

，所以減的是

8

不是

2

。

第 20 題

2^{x} > 0

、

2^{2 - x} > 0

，由算幾不等式：

t = 2^{x} + 2^{2 - x} \geq 2 2^{x} \times 2^{2 - x} = 24 = 4

。等號成立時

2^{x} = 2^{2 - x}

，

x = 2 - x

，

x = 1

。所以

x = 1

時

t

有最小值

4

，

(a, b) = (1, 4)

。

第 21 題

令 $t = 2^{x} + 2^{2 - x}$ ，由第 (2) 小題 $t \geq 4$ ，且 $t = 4$ 時 $x = 1$ 。由第 (1) 小題 $4^{x} + 4^{2 - x} = t^{2} - 8$ ，所以

$f (x) = 3 (t^{2} - 8) - 18 t + 54 = 3 t^{2} - 18 t + 30 = 3 (t - 3)^{2} + 3$

這是 $t$ 的二次函數，頂點在 $t = 3$ ，但 $t$ 只能 $\geq 4$ 。在 $t \geq 4$ 的範圍內， $t$ 愈大 $(t - 3)^{2}$ 愈大，所以 $t = 4$ 時最小： $f = 3 \times 1^{2} + 3 = 6$ 。此時 $x = 1$ 。

$f (x)$ 的最小值為 $6$ 。

若忘了

t \geq 4

而直接取頂點

t = 3

，會得到錯誤的

3

；

t = 3

根本取不到。

換元之後一定要先找新變數的範圍，二次函數的頂點不在範圍內時，最小值發生在範圍的端點。

07混合題 2（第 22、23 題）：調薪的常用對數計算

第 22 題

$1.05 = \frac{105}{100} = \frac{3 \times 5 \times 7}{100}$ ， $lo g 5 = lo g 10 - lo g 2 = 0.6990$ 。所以 $lo g 1.05 = 0.4771 + 0.6990 + 0.8451 - 2 = 0.0212$ 。

$1.08 = \frac{108}{100} = \frac{2 ^{2} \times 3 ^{3}}{100}$ ，所以 $lo g 1.08 = 2 \times 0.3010 + 3 \times 0.4771 - 2 = 0.6020 + 1.4313 - 2 = 0.0333$ 。

這兩個值是用卷頭給的

lo g 2

、

lo g 3

、

lo g 7

近似值算出來的，所以寫到小數點後第四位。

第 23 題

前 $3$ 次調薪各 $5%$ ，之後每次 $8%$ 。前 $3$ 次調完年薪是 $70 \times 1.0 5^{3} \approx 81.0$ 萬元，還沒超過 $150$ 萬元，所以至少要再調幾次 $8%$ 。

設調薪 $3$ 次後再調 $m$ 次 $8%$ ，要 $70 \times 1.0 5^{3} \times 1.0 8^{m} > 150$ ，即 $1.0 5^{3} \times 1.0 8^{m} > \frac{15}{7}$ 。取常用對數：

$3 lo g 1.05 + m lo g 1.08 > lo g 15 - lo g 7$

$lo g 15 = lo g 3 + lo g 5 = 0.4771 + 0.6990 = 1.1761$ ，右邊 $= 1.1761 - 0.8451 = 0.3310$ 。左邊 $= 3 \times 0.0212 + 0.0333 m = 0.0636 + 0.0333 m$ 。所以 $0.0333 m > 0.2674$ ， $m > 8.03$ ， $m$ 取整數最小為 $9$ 。

共調漲 $3 + 9 = 12$ 次後，年薪超過 $150$ 萬元。

用計算機逐年直接乘：調

11

次後年薪約

149.99

萬元，還差一點點；調

12

次後約

161.99

萬元。

不同階段的成長率相乘接起來；取對數後變成加法，解出的次數要取比它大的最小整數，並回頭確認前一個階段還沒達標。

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臺南二中 114 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題 (E) 在 x 為負的地方還有兩個交點；第 15 題要先估出三個解的範圍再比較 a 與 c；第 16 題落在曲線上的格子點不算內部；第 21 題換元後 t 的範圍是大於等於 4，不能直接取頂點；第 23 題前三次調薪是 5%、之後才是 8%。詳解逐題寫在本頁。

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03填充題（第 5～9 題）：換底公式、指數對數方程式、對數的定義域

04填充題（第 10～14 題）：指數對數不等式、常用對數的應用、比較大小

05填充題（第 15～18 題）：圖形交點、格子點、指數模型、對數與等比

06混合題 1（第 19～21 題）：換元與算幾不等式

07混合題 2（第 22、23 題）：調薪的常用對數計算

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高二第二次段考
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