段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

臺南二中 113 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 113 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 24 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 113 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 13 題是根號與絕對值的比例式，x 等於 10 會讓比的兩項都是 0，只有負 50 是解；填充第 14 題要先由區間長度求出 b 是 32，再把根號 2 不是解翻成反向的不等式；填充第 16 題紙張每大一號邊長變成根號 2 倍，從 A5 的長邊到 A1 的短邊要乘三次；填充第 17 題中間的隔籬也要算，垂直牆的圍籬是三段。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 24 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 24 題，照原卷順序

多選 2 題 10 分、填充 18 格 80 分、混合題組 4 小題 10 分。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、多重選擇題（每題 5 分，共 10 分）說明：全對得 5 分，答錯一個選項給 3 分，答錯兩個選項給 1 分，其餘不給分。

設

p

、

q

為實數，請選出正確的選項。

(A) $\frac{3 p + 2 q}{5} < \frac{p + 2 q}{3}$
(B) 若 $p + q 2 = 0$ ，則 $p = q = 0$
(C) 若 $p$ 為無理數、 $q$ 為有理數，則 $\frac{4 p + q}{5}$ 為無理數
(D) 若 $p$ 、 $q$ 皆為正有理數，則兩股長為 $p$ 、 $q$ 的直角三角形面積必為有理數
(E) 若 $p$ 、 $q$ 皆為正有理數，則兩股長為 $p$ 、 $q$ 的直角三角形斜邊長度必為有理數

請選出正確的選項。

(A) $2^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{2}} = 2^{0}$
(B) $2^{2} + 2^{2} = 2^{2 + 1}$
(C) $lo g 101010 = \frac{7}{8}$
(D) $1 0^{l o g \frac{1}{10}} = - 1$
(E) $(lo g \frac{1}{10}) (lo g \frac{1}{10}) = lo g \frac{1}{10}$

二、填充題　第一部份：每格 4 分，共 40 分（分數請化為最簡分數，根式請化為最簡根式，答案不可保留指數或對數的型態；未符合規定的答案，答對得該題一半分數）（本頁第 3～12 題為卷面填充題第 1～10 題）

已知

a = 0. \overline{34}

，

b = 0.343

，

c = 0.3 \overline{43}

，則三數的大小關係為 ____。

已知

x - \frac{1}{x} = 7

，求

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} =

____。

9 - 28

的小數部分為 ____。

已知

a

，

b

是有理數，且

(2 - 32) a + (1 + 22) b = 1 + 92

，求數對

(a, b) =

____。

解不等式

{∣ x + 1∣ > 4 ∣2 x - 3∣ \leq 7

，得

x

的範圍為 ____。

設數線上兩點

A (- 3. \overline{3})

，

B (\frac{15}{2})

，已知點

P (x)

在

\overline{A B}

上，且

3 \overline{A P} = \overline{B P}

，求

x =

____。

設

a

，

b

為正實數，已知

2 a + 3 b = 43

，求

ab

的最大值為 ____。

利用指數律，求

(364)^{\frac{1}{2}} \times (\frac{1}{7 - 2 12})^{0} \times (\frac{1}{6 27})^{- 3} =

____。

若

a = (1000)^{3}

且

lo g 3 = b

，求

lo g a \times 10 0^{1 - b} =

____。

如圖，以

\overline{A B}

為直徑作一半圓，從

O (0)

作一垂直線交半圓於

C

，再以

O

為圓心，

\overline{O C}

為半徑畫弧交

\overline{A B}

於

P (x)

，則

x =

____。

載入中...

二、填充題　第二部份：每格 5 分，共 40 分（卷首印有參考數值：√2≈1.414、√3≈1.732、√5≈2.236、2≈10 的 0.301 次方、3≈10 的 0.4771 次方、5≈10 的 0.699 次方）（本頁第 13～20 題為卷面填充題第 11～18 題）

計算

\frac{1}{2 + 5} + \frac{1}{2 - 5} + \frac{6 + 2 5}{6 - 2 5} =

____。

已知

x > 0

，且

x^{2} + x^{- 2} = 1 + 22

，求

x^{3} + x^{- 3} =

____。

設實數

x

滿足

(x - 10)^{2} : (∣ x ∣ - 10) = 3 : 2

，則

x =

____。

定義區間

[a, b]

的長度為

b - a

，例如區間

[- 2, 3]

的長度為

5

。已知

a

、

b

為正實數，若不等式

∣4 x - a ∣ \leq b

的解所形成的區間長度為

16

，且

x = 2

不是這個不等式的解，則

a

的範圍為 ____。

若在計算器中鍵入某正整數

N

，接著連按「log」鍵（取常用對數）

2

次，視窗顯示得到答案為

\frac{3}{2}

，則

N

為 ____ 位數。（卷首參考數值：

2 \approx 1.414

，

5 \approx 2.236

）

國際標準紙張尺寸 A 系列為一系列相同長寬比的紙張大小。以一張面積約為

1

平方公尺的矩形紙張編號為 A0，將紙張 A0 的長邊對切為二，則得到兩張 A1 的矩形紙張。用相同方法把 A1 長邊再裁一半，就是 A2，以此類推可依序得到 A3、A4、A5 等等紙張尺寸。若已知 A5 紙的長邊長度約為

210

公釐，請利用試卷上的參考數值估計 A1 紙張的短邊長度為 ____ 公釐。（答案請四捨五入至

3

位有效數字，以科學記號表示）（卷首參考數值：

2 \approx 1.414

）

農夫想用籬笆沿著牆邊圍出兩塊相鄰且大小相同的小長方形田地，其中靠牆的一邊不圍，如圖所示。已知這兩塊長方形田地總面積為

\frac{441}{2}

平方公尺。則當圍籬的總長有最小值時，小長方形的短邊寬度為 ____ 公尺。

載入中...

在天文學上要討論各顆恆星的亮度時，我們會以「星等」作為度量亮度的單位。由於度量的方式不同，「星等」區分為「視星等」與「絕對星等」，絕對星等與視星等是可以換算的，其換算公式如下：

M = m + 5 - 5 lo g d

。（

M

：絕對星等，

m

：視星等，

d

：以秒差距為單位的觀測恆星距離）已知北極星的絕對星等為

- 4.6

，若我們在距離北極星

20

秒差距的位置觀測其亮度，則此時觀測到的視星等約為 ____（答案請四捨五入至小數點第一位）。（卷首參考數值：

2 \approx 1 0^{0.301}

）

三、混合題組（簡答題不須過程，計算說明題須詳述理由與計算過程。答案卷所印配分：第 1 題 2 分、第 2 題 3 分、第 3(1) 題 2 分、第 3(2) 題 3 分）（本頁第 21、22 題為卷面混合題組第 1、2 題；第 23、24 題為卷面混合題組第 3 題的 (1)(2)）

世界衛生組織規範男性標準體重的公式為標準體重(kg)

=

（身高(cm)

- 80

）

\times 0.7

。標準體重增減

10%

為正常體重的範圍，已知一位身高為

180

公分的男性體重為

x

公斤，其正常體重的範圍恰可表示成

∣ x - a ∣ \leq b

，求

a

，

b

。（※簡答題，不須過程）（2 分）

國際上使用芮氏規模來表示地震的強度，設

E

（單位：爾格）為地震芮氏規模

M

時所釋放出來的能量，其中

M

與

E

的關係為：

lo g E = 11.8 + 1.5 M

。可知芮氏規模

M

每增加

1

，地震所釋放出來的能量

E

變為

Y

倍，則

Y

為何。（※請詳列理由及運算過程）（3 分）

混合題組第 3 題（第 23～24 題）　在理想的實驗狀態下，培養皿中的細菌數

f (t) = N_{0} \times a^{t}

，其中

N_{0}

為培養皿中的初始細菌數，

a

為常數由實驗狀態決定，

t

為經過的小時數。設開始時，將兩種不同的營養劑分別投入培養皿甲與培養皿乙中，此時甲、乙的細菌數量分別為

X

、

Y

。已知甲的數量每

2

小時成長為原來的

2

倍，乙的數量每

3

小時成長為原來的

3

倍。若在開始後

6

小時測量發現甲、乙的數量相同。

(1) 將培養皿甲中的細菌數表示為

f_{甲} (t) = X \times a^{t}

，則

a

值為何。（※簡答題）（2 分）

(2) 請說明

X

是

Y

的幾倍。（※請詳列理由及運算過程）（3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)(D)

第 2 題(B)(C)

第 3 題

b < a = c

第 4 題

107

第 5 題

22 - 2

第 6 題

(- 1, 3)

第 7 題

3 < x \leq 5

第 8 題

- \frac{5}{8}

第 9 題

2

第 10 題

36

第 11 題

1003

第 12 題

15

第 13 題

\frac{- 5 + 5}{2}

第 14 題

4 + 22

第 15 題

- 50

第 16 題

a > 32 + 42

第 17 題

32

第 18 題

5.94 \times 1 0^{2}

第 19 題

\frac{7 6}{2}

第 20 題

- 3.1

第 21 題

a = 70

，

b = 7

第 22 題

Y = 1010

第 23 題

a = 2

第 24 題

\frac{9}{8}

倍

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題 1～2：有理數與無理數、指數律與 log 的意義

第 1 題答案 (C)(D)。(A) 錯：兩邊同乘

15

得

9 p + 6 q < 5 p + 10 q

，即

p < q

，只有在

p < q

時才成立；例如

p = 1

、

q = 0

時左邊

\frac{3}{5}

、右邊

\frac{1}{3}

，不成立。(B) 錯：

p

、

q

只是實數，取

p = 2

、

q = - 1

，則

p + q 2 = 0

，但

p

、

q

都不是

0

。(C) 對：設

r = \frac{4 p + q}{5}

，若

r

是有理數，則

p = \frac{5 r - q}{4}

是有理數加減乘除的結果，也是有理數，與

p

為無理數矛盾，所以

r

是無理數。(D) 對：面積是

\frac{1}{2} pq

，有理數相乘再除以

2

仍是有理數。(E) 錯：斜邊是

p^{2} + q^{2}

，取

p = q = 1

得

2

，是無理數。

(B) 要

p

、

q

都是有理數才能推得

p = q = 0

。

第 2 題答案 (B)(C)。(A) 錯：左邊是同一個數相減，等於

0

；右邊

2^{0} = 1

。(B) 對：

2^{2} + 2^{2} = 2 \times 2^{2} = 2^{1 + 2}

。(C) 對：由內往外，

10 = 1 0^{\frac{1}{2}}

，

1010 = 1 0^{\frac{3}{2}}

，

1010 = 1 0^{\frac{3}{4}}

，

101010 = 1 0^{\frac{7}{4}}

，再開根號得

1 0^{\frac{7}{8}}

，所以它的

lo g

是

\frac{7}{8}

。(D) 錯：

lo g \frac{1}{10}

的意思是「

10

的幾次方等於

\frac{1}{10}

」，所以

1 0^{l o g \frac{1}{10}} = \frac{1}{10}

；而且

10

的任何次方都是正數，不會是

- 1

。(E) 錯：

lo g \frac{1}{10} = - 1

，左邊

= (- 1) (- 1) = 1

，右邊

= - 1

。

(E) 是

a^{2} = ∣ a ∣

：

a

為負數時

a^{2} = - a

。

02填充 1～4（第 3～6 題）：循環小數、乘法公式、雙重根號、比較係數

第 3 題把小數寫開：

a = 0.343434 \dots

，

b = 0.343

，

c = 0.3434343 \dots

。

a

和

c

每一位都相同，所以

a = c

（化成分數都是

\frac{34}{99}

）。

b = 0.343000 \dots

，和

a

比到小數第四位，

a

是

4

、

b

是

0

，所以

b < a

。因此

b < a = c

。

c = 0.3 \overline{43}

的循環節從第二位開始，寫開後和

0. \overline{34}

是同一個數。

第 4 題設

t = x - \frac{1}{x} = 7

。

t^{3} = x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x ^{3}} = (x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}) - 3 (x - \frac{1}{x})

，所以

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = t^{3} + 3 t = 77 + 37 = 107

。

差的立方是

t^{3} + 3 t

，和的立方才是

t^{3} - 3 t

，正負號相反。

第 5 題找兩數和

9

、積

8

：

8

和

1

，所以

9 - 28 = 8 - 1 = 22 - 1

。

22 \approx 2.828

，

22 - 1 \approx 1.828

，整數部分是

1

，小數部分是

(22 - 1) - 1 = 22 - 2

。

小數部分＝原數減去整數部分，答案保留根式，不寫近似值。

第 6 題把左邊依「有理數部分」和「

2

的係數」整理：

(2 a + b) + (- 3 a + 2 b) 2 = 1 + 92

。

a

、

b

是有理數，所以

2 a + b = 1

且

- 3 a + 2 b = 9

。由第一式

b = 1 - 2 a

，代入第二式：

- 3 a + 2 - 4 a = 9

，

a = - 1

，

b = 3

。

檢查：

- (2 - 32) + 3 (1 + 22) = 1 + 92

。

03填充 5～7（第 7～9 題）：絕對值不等式、分點、算幾不等式

第 7 題第一式

∣ x + 1∣ > 4

：

x + 1 > 4

或

x + 1 < - 4

，即

x > 3

或

x < - 5

。第二式

∣2 x - 3∣ \leq 7

：

- 7 \leq 2 x - 3 \leq 7

，即

- 2 \leq x \leq 5

。兩式要同時成立：

x < - 5

和

- 2 \leq x \leq 5

沒有共同部分；

x > 3

和

- 2 \leq x \leq 5

重疊成

3 < x \leq 5

。

端點

3

來自第一式（沒有等號），端點

5

來自第二式（有等號）。

第 8 題

3. \overline{3} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}

，所以

A (- \frac{10}{3})

。

P

在

\overline{A B}

上且

3 \overline{A P} = \overline{B P}

，即

\overline{A P} : \overline{P B} = 1 : 3

，

P

是從

A

往

B

走全長

\frac{1}{4}

的點。

\overline{A B} = \frac{15}{2} + \frac{10}{3} = \frac{65}{6}

，所以

x = - \frac{10}{3} + \frac{1}{4} \times \frac{65}{6} = - \frac{80}{24} + \frac{65}{24} = - \frac{15}{24} = - \frac{5}{8}

。

用分點公式也可以：

x = \frac{3 \times ( - \frac{10}{3} ) + 1 \times \frac{15}{2}}{4} = - \frac{5}{8}

，離

A

近所以

A

的坐標乘

3

。

第 9 題

2 a

、

3 b

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 a + 3 b}{2} \geq 2 a \cdot 3 b

，即

23 \geq 6 ab

。兩邊平方得

12 \geq 6 ab

，

ab \leq 2

。等號在

2 a = 3 b = 23

，即

a = 3

、

b = \frac{2 3}{3}

時成立，所以

ab

的最大值是

2

。

算幾不等式要用

2 a

和

3 b

這兩項，它們的和才是定值。

算幾不等式求極值：挑「和是定值」或「積是定值」的兩項，並寫出等號成立的條件。

04填充 8～10（第 10～12 題）：指數律、log 的意義、根號的作圖

第 10 題逐項化簡。第一項：

64 = 8

，

38 = 2

，所以

(364)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} = 2

。第二項：底數

\frac{1}{7 - 2 12}

不是

0

，它的

0

次方是

1

。第三項：

627 = (3^{3})^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{1}{2}}

，所以

(\frac{1}{6 27})^{- 3} = (3^{- \frac{1}{2}})^{- 3} = 3^{\frac{3}{2}} = 33

。相乘：

2 \times 1 \times 33 = 36

。

第二項不必化簡分母，只要確認底數不是

0

就等於

1

。

第 11 題

a = (1000)^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{33}

，所以

lo g a = 33

。

lo g 3 = b

表示

1 0^{b} = 3

，所以

10 0^{b} = (1 0^{b})^{2} = 3

，

10 0^{1 - b} = \frac{100}{10 0 ^{b}} = \frac{100}{3}

。所求

= 33 \times \frac{100}{3} = 1003

。

看到

lo g 3 = b

先翻成

1 0^{b} = 3

，再把

10 0^{1 - b}

改寫成

1 0^{b}

的式子。

第 12 題由圖

A (- 3)

、

B (5)

，直徑

\overline{A B} = 8

，圓心在

\overline{A B}

的中點

1

，半徑是

4

。把圓心記作

M (1)

，則

\overline{O M} = 1

、

\overline{M C} = 4

（半徑），且

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

，由畢氏定理

\overline{O C} = 4^{2} - 1^{2} = 15

。以

O

為圓心、

\overline{O C}

為半徑畫弧，交

\overline{A B}

於原點右邊的

P

，所以

x = \overline{O P} = 15

。

也可以用

\overline{O C}^{2} = \overline{O A} \times \overline{O B} = 3 \times 5 = 15

。圓心是

1

不是原點

O

，

\overline{O C}

不是半徑。

lo g A = k

就是

A = 1 0^{k}

。看到

lo g

的條件先翻成

10

的次方，再用指數律處理。

05填充 11～14（第 13～16 題）：有理化、對稱式、絕對值

第 13 題前兩項通分：

\frac{1}{2 + 5} + \frac{1}{2 - 5} = \frac{( 2 - 5 ) + ( 2 + 5 )}{( 2 + 5 ) ( 2 - 5 )} = \frac{4}{4 - 5} = - 4

。第三項：

6 \pm 25

找兩數和

6

、積

5

：

5

和

1

，所以

6 + 25 = 5 + 1

，

6 - 25 = 5 - 1

，

\frac{5 + 1}{5 - 1} = \frac{( 5 + 1 ) ^{2}}{5 - 1} = \frac{6 + 2 5}{4} = \frac{3 + 5}{2}

。所求

= - 4 + \frac{3 + 5}{2} = \frac{- 5 + 5}{2}

。

(2 + 5) (2 - 5) = 4 - 5 = - 1

，分母是負的。

第 14 題設

t = x + x^{- 1}

，因為

x > 0

，所以

t > 0

。

t^{2} = x^{2} + 2 + x^{- 2} = 3 + 22

，找兩數和

3

、積

2

：

2

和

1

，所以

t = 3 + 22 = 2 + 1

。

x^{3} + x^{- 3} = (x + x^{- 1}) (x^{2} - 1 + x^{- 2}) = (2 + 1) \times 22 = 4 + 22

。

這裡用立方和公式

u^{3} + v^{3} = (u + v) (u^{2} - uv + v^{2})

，其中

uv = x \cdot x^{- 1} = 1

，

x^{2} - 1 + x^{- 2} = (1 + 22) - 1 = 22

。

第 15 題

(x - 10)^{2} = ∣ x - 10∣

，條件是

∣ x - 10∣ : (∣ x ∣ - 10) = 3 : 2

，即

2∣ x - 10∣ = 3 (∣ x ∣ - 10)

。比的前項

∣ x - 10∣

不是負的，而比值

\frac{3}{2}

是正的，所以

∣ x - 10∣ > 0

且

∣ x ∣ - 10 > 0

，也就是

x > 10

或

x < - 10

。①

x > 10

：

2 (x - 10) = 3 (x - 10)

，得

x = 10

，不在這個範圍內，不合。②

x < - 10

：

2 (10 - x) = 3 (- x - 10)

，

20 - 2 x = - 3 x - 30

，

x = - 50

，合。所以

x = - 50

。

檢查：

(- 60)^{2} = 60

，

∣ - 50∣ - 10 = 40

，

60 : 40 = 3 : 2

。

x = 10

會讓比的兩項都是

0

，不能算解。

第 16 題

∣4 x - a ∣ \leq b

即

- b \leq 4 x - a \leq b

，

\frac{a - b}{4} \leq x \leq \frac{a + b}{4}

。區間長度是

\frac{a + b}{4} - \frac{a - b}{4} = \frac{b}{2} = 16

，所以

b = 32

。

x = 2

不是解，表示

∣4 2 - a ∣ > 32

，即

42 - a > 32

或

42 - a < - 32

，也就是

a < 42 - 32

或

a > 42 + 32

。

42 - 32

是負數，而

a

是正實數，前者不合，所以

a > 32 + 42

。

「不是解」就是把

x = 2

代入後不等式不成立，不等號要反過來而且不含等號。

u^{2} = ∣ u ∣

；遇到絕對值先看正負分段，每一段解出來的值都要檢查是否落在那一段。

06填充 15～18（第 17～20 題）：位數、紙張比例、圍籬、星等

第 17 題按第一次得到

lo g N

，按第二次得到

lo g (lo g N) = \frac{3}{2}

，所以

lo g N = 1 0^{\frac{3}{2}} = 1010

。由參考數值

10 = 2 \times 5 \approx 1.414 \times 2.236 \approx 3.162

，

lo g N \approx 31.62

，即

N \approx 1 0^{31.62}

，介於

1 0^{31}

和

1 0^{32}

之間，所以

N

是

32

位數。

1 0^{n} \leq N < 1 0^{n + 1}

時

N

是

n + 1

位數，

lo g N

的整數部分

31

要加

1

。

第 18 題設某一張紙的長邊為

L

、短邊為

S

。把長邊對切後，新紙的長邊是

S

、短邊是

\frac{L}{2}

。長寬比相同：

\frac{L}{S} = \frac{S}{L /2}

，得

L^{2} = 2 S^{2}

，

L = 2 S

，每一張紙的長邊都是短邊的

2

倍。另外，大一號的紙的短邊就是小一號的紙的長邊。A5 長邊

210

⇒ A4 短邊

210

、長邊

2102

⇒ A3 短邊

2102

、長邊

420

⇒ A2 短邊

420

、長邊

4202

⇒ A1 短邊

4202 \approx 420 \times 1.414 = 593.88

，四捨五入至

3

位有效數字是

594 = 5.94 \times 1 0^{2}

公釐。

每大一號，邊長變成

2

倍；A5 的長邊到 A1 的短邊共乘了

3

次

2

（

210 \times 22

）。題目的「面積約

1

平方公尺」用不到。

第 19 題設每塊小長方形與牆垂直的邊長

x

公尺、與牆平行的邊長

y

公尺。兩塊總面積

2 x y = \frac{441}{2}

，所以

x y = \frac{441}{4}

。圍籬有

3

段與牆垂直（兩側和中間的隔籬）、

2

段與牆平行，總長是

3 x + 2 y

。由算幾不等式

\frac{3 x + 2 y}{2} \geq 3 x \cdot 2 y = 6 x y = \frac{6 \times 441}{4} = \frac{21 6}{2}

，所以

3 x + 2 y \geq 216

。等號在

3 x = 2 y = \frac{21 6}{2}

時成立，

x = \frac{7 6}{2} \approx 8.57

，

y = \frac{21 6}{4} \approx 12.86

。短邊是

x = \frac{7 6}{2}

公尺。

中間那一段隔籬也要算，垂直牆的圍籬是

3

段不是

2

段。解出兩邊後要比較大小再回答短邊。

第 20 題代入

M = - 4.6

、

d = 20

：

- 4.6 = m + 5 - 5 lo g 20

，所以

m = - 9.6 + 5 lo g 20

。

20 = 2 \times 10 \approx 1 0^{0.301} \times 1 0^{1} = 1 0^{1.301}

，所以

lo g 20 \approx 1.301

。

m \approx - 9.6 + 5 \times 1.301 = - 9.6 + 6.505 = - 3.095

，四捨五入至小數點第一位約為

- 3.1

。

移項時

- 5 lo g d

搬到另一邊變成加。

lo g 20

更精確的值是

1.30103

，

m \approx - 3.0949

，同樣取

- 3.1

。

應用題先把文字翻成式子（比例、總長、公式代入），再用這一章的工具（根式、算幾不等式、

10

的次方）計算。

07混合題組 1～2（第 21～22 題）：正常體重的範圍、芮氏規模

第 21 題身高

180

公分的標準體重是

(180 - 80) \times 0.7 = 70

公斤。增減

10%

就是增減

7

公斤，正常體重的範圍是

63 \leq x \leq 77

。這個範圍的中點是

70

、到中點的距離最多

7

，所以寫成

∣ x - 70∣ \leq 7

，

a = 70

，

b = 7

。

p \leq x \leq q

寫成

∣ x - a ∣ \leq b

時，

a

是中點

\frac{p + q}{2}

，

b

是一半的長度

\frac{q - p}{2}

。

第 22 題

lo g E = 11.8 + 1.5 M

表示

E = 1 0^{11.8 + 1.5 M}

。設規模為

M

時的能量是

E_{1} = 1 0^{11.8 + 1.5 M}

，規模為

M + 1

時的能量是

E_{2} = 1 0^{11.8 + 1.5 (M + 1)} = 1 0^{11.8 + 1.5 M + 1.5}

。兩者相除：

Y = \frac{E _{2}}{E _{1}} = 1 0^{(11.8 + 1.5 M + 1.5) - (11.8 + 1.5 M)} = 1 0^{1.5} = 1 0^{1} \times 1 0^{\frac{1}{2}} = 1010

。所以規模每增加

1

，能量變為

1010

倍（約

31.6

倍）。

倍數是兩個能量相除，指數相減後

11.8

和

1.5 M

都消掉，所以不論原來的規模是多少，倍數都一樣。答案要寫成

1010

，不保留

1 0^{1.5}

的型態。

08混合題組 3（第 23～24 題）：兩個培養皿的細菌數

第 23 題甲每

2

小時成長為原來的

2

倍：

f_{甲} (2) = X \times a^{2} = 2 X

，所以

a^{2} = 2

。

a

是正數，

a = 2

。

「每

2

小時變

2

倍」是每小時的倍率連乘

2

次等於

2

，不是每小時

1

倍。

第 24 題甲：每

2

小時變

2

倍，

6

小時是

3

個

2

小時，數量變成

X \times 2^{3} = 8 X

（用上一小題的式子是

X \times (2)^{6} = 8 X

）。乙：每

3

小時變

3

倍，

6

小時是

2

個

3

小時，數量變成

Y \times 3^{2} = 9 Y

（寫成式子是

f_{乙} (t) = Y \times (3^{\frac{1}{3}})^{t}

，

f_{乙} (6) = Y \times 3^{2}

）。

6

小時後兩者相同：

8 X = 9 Y

，所以

X = \frac{9}{8} Y

，

X

是

Y

的

\frac{9}{8}

倍。

乙長得比較快（

6

小時

9

倍，甲只有

8

倍），最後卻一樣多，所以一開始甲比較多，

X > Y

。

固定倍率的成長寫成

N_{0} \times a^{t}

；「每

k

小時變

r

倍」就是

a^{k} = r

。

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臺南二中 113 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填充第 13 題是根號與絕對值的比例式，x 等於 10 會讓比的兩項都是 0，只有負 50 是解；填充第 14 題要先由區間長度求出 b 是 32，再把根號 2 不是解翻成反向的不等式；填充第 16 題紙張每大一號邊長變成根號 2 倍，從 A5 的長邊到 A1 的短邊要乘三次；填充第 17 題中間的隔籬也要算，垂直牆的圍籬是三段。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自臺南二中 113 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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01多重選擇題 1～2：有理數與無理數、指數律與 log 的意義

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03填充 5～7（第 7～9 題）：絕對值不等式、分點、算幾不等式

04填充 8～10（第 10～12 題）：指數律、log 的意義、根號的作圖

05填充 11～14（第 13～16 題）：有理化、對稱式、絕對值

06填充 15～18（第 17～20 題）：位數、紙張比例、圍籬、星等

07混合題組 1～2（第 21～22 題）：正常體重的範圍、芮氏規模

08混合題組 3（第 23～24 題）：兩個培養皿的細菌數

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高一第一次段考
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