段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、Σ 的性質、無窮等比級數與循環小數、函數的定義域與合成、函數的極限與連續、二次方程式根的位置）

臺南二中 114 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 3 題（12 分）、多選題 3 題（18 分）、填充題 12 格（60 分）、素養題 1 題 2 小題（10 分）

一、單選題（每題 4 分，共 12 分）

選出下列何者正確

(A) $k = 1 \sum n (a_{k})^{3} = k = 1 \sum n (a_{k}) \cdot k = 1 \sum n (a_{k}) \cdot k = 1 \sum n (a_{k})$
(B) $k = 1 \sum n \frac{1}{a _{k}} = \frac{1}{k = 1 \sum n ( a _{k} )}$
(C) $1 - k = 1 \sum n a_{k} \leq k = 1 \sum n (1 - a_{k})$
(D) $k = 1 \sum n (k \cdot a_{n}) = n \cdot k = 1 \sum n (a_{n})$
(E) $k = 1 \sum n ∣ a_{k} - 1∣ = k = 1 \sum n a_{k} - n$

無窮等比級數

2025 - 2025 + 2025 - 2025 + 2025 - \dots

的和為何？

(A) $2025$
(B) $- 2025$
(C) $0$
(D) $4050$
(E) 發散

試問下列有關極限

x \to 5 lim \frac{∣4 + 3 x - x ^{2} ∣ - 6}{x - 5}

的敘述何者正確？

(A) 極限為 $0$
(B) 極限為 $1$
(C) 極限為 $5$
(D) 極限為 $7$
(E) 極限不存在

二、多選題（每題 6 分，共 18 分；錯一項得 4 分，錯兩項得 2 分，錯三個（含）以上不給分）（原卷多選第 1～3 題，本頁編為第 4～6 題）

下列關於極限之敘述，試選出正確選項？

(A) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n}^{2} ⟩$ 亦為收斂數列
(B) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ \frac{1}{a _{n}} ⟩$ 亦為收斂數列
(C) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列，則 $⟨ ∣ a_{n} ∣ ⟩$ 亦為發散數列
(D) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ \frac{a _{n}}{b _{n}} ⟩$ 均為收斂數列，則 $⟨ b_{n} ⟩$ 亦為收斂數列
(E) 若 $⟨ a_{n} ⟩$ 、 $⟨ a_{n} - 9 b_{n} ⟩$ 均為收斂數列，則 $⟨ b_{n} ⟩$ 亦為收斂數列

關於函數極限，試選出正確選項

(A) $x \to 5 lim \frac{1}{x} = \frac{1}{5}$
(B) $x \to 5 lim ∣ x ∣ = 5$
(C) $x \to - 5 lim [x] = - 5$ ，其中 $[x]$ 是高斯符號
(D) $x \to 5 lim \frac{5}{x - 5} = 1$
(E) $x \to 5 lim \frac{∣ x - 5∣}{x - 5} = 1$

下列的圖形，何者符合

y

是

x

的函數圖形？

載入中...

三、填充題（每格 5 分，共 60 分）若答案為分數，請化為最簡分數，否則斟酌扣分。（原卷填充第 1～12 題，本頁編為第 7～18 題）

將循環小數

9 + 0. \overline{9} + 0.0 \overline{9} + 0.00 \overline{9}

，化簡成最簡分數＝ ____。

設

⟨ a_{n} ⟩

為一等差數列。已知

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 177

，

a_{3} + a_{7} = 138

。令

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

，則極限

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n ^{2}} =

____。

函數

f (x) = - 3 x^{2} + x + 2

的定義域為＝ ____。

此符號

[]

為高斯符號，試求

[2] + [3] + [4] + \dots + [51] =

____。

設

f (x) = x^{2} + x

，

g (x) = 2 x + 1

，則

(f \circ g) (x)

有最小值＝ ____。

設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + x + 1, a x + b, 3 x + 5, 當 x \leq 2 當 2 < x \leq 3 當 x > 3

，且

f (x)

在實數上為連續函數，求數對

(a, b) =

____。

已知三次多項式

f (x)

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} - 3 x + 2} = 2

，

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x ^{2} - 3 x + 2} = 3

，求

x \to 3 lim f (x) =

____。

設

a = \frac{13}{2}

，

b = \frac{13}{3}

，

c = \frac{13}{4}

且

x_{n} = \frac{5 a ^{n}}{1 + a ^{n}} + \frac{6 b ^{n}}{1 + b ^{n}} + \frac{7 c ^{n}}{1 + c ^{n}}

，試求

n \to \infty lim x_{n}

的值為 ____。

試求出此極限值

x \to \infty lim (\frac{sin x}{π x}) =

____。

設

f (x) = a x^{2} - (a - 1) x - 6

，（其中

a \in R

且

a \neq = 0

），若方程式

f (x) = 0

有一根在

1

與

2

之間，另一根在

- 1

與

- 2

之間，試求

a

的範圍＝ ____。

袋中有編號

1

到

10

號的球各

1

顆，甲、乙、丙三人輪流取球，按甲、乙、丙、甲、乙、丙、甲、……的順序依次取

1

球，取出放回且每球被取到的機會相等，規定先取到質數號碼者獲勝，求乙獲勝的機率 ____。

設

n \in N

，坐標平面上有一等腰三角形，它的三個頂點分別是

(0, 3)

、

(\frac{3}{n}, 0)

、

(- \frac{3}{n}, 0)

，若此三角形的外接圓半徑長等於

R_{n}

，則

n \to \infty lim R_{n} =

____。

三、素養題（1 小題，共 10 分）答案請填在答案卷，否則不計分（原卷此大題編號也印作「三」；兩小題本頁編為第 19、20 題）

素養題（第 19～20 題）　謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）是一個碎形，在二十世紀初以波蘭數學家瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基命名，且這類圖案曾廣泛地出現十三世紀科斯馬蒂式的石雕裝飾上。謝爾賓斯基三角形所指的是取一個正三角形（如圖一，並假設其邊長為

4

）的各邊中點後，從中挖去一個邊長為

2

的正三角形（如圖二），接著將剩下的三個小正三角形仿照前一個動作，再各挖一個邊長為

1

的正三角形（如圖三），以此動作持續進行數次，即可得多個謝爾賓斯基三角形。

試著求出（圖三）的黑色三角形面積？（共 3 分，填充題）

載入中...

在無限重複此動作之後得到

n

個圖，求從（圖一）到（圖

n

）之所有黑色三角形面積的總和為何？（共 7 分，非選擇題）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(E)

第 3 題(D)

第 4 題(A)(E)

第 5 題(A)(B)

第 6 題(A)(C)(D)

第 7 題

\frac{1011}{100}

第 8 題

5

第 9 題

{x - \frac{2}{3} \leq x \leq 1, x \in R}

第 10 題

223

第 11 題

- \frac{1}{4}

第 12 題

(7, - 7)

第 13 題

8

第 14 題

11

第 15 題

0

第 16 題

2 < a < \frac{7}{2}

第 17 題

\frac{15}{49}

第 18 題

\frac{3}{2}

第 19 題

\frac{9 3}{4}

第 20 題

163

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：Σ 的性質、發散的等比級數、含絕對值的極限

第 1 題答案 (C)。

k = 1 \sum n (1 - a_{k}) = n - k = 1 \sum n a_{k}

，而

n \geq 1

，所以

1 - k = 1 \sum n a_{k} \leq n - k = 1 \sum n a_{k}

恆成立，(C) 正確。其餘各舉一個反例：(A) 取

n = 2

、

a_{1} = a_{2} = 1

，左邊

= 2

，右邊

= 2 \times 2 \times 2 = 8

。(B) 同樣取

a_{1} = a_{2} = 1

，左邊

= 2

，右邊

= \frac{1}{2}

。(D)

a_{n}

與

k

無關，是常數，左邊

= a_{n} (1 + 2 + \dots + n) = \frac{n ( n + 1 )}{2} a_{n}

，右邊

= n \times n a_{n} = n^{2} a_{n}

；取

n = 2

、

a_{2} = 1

，左邊

= 3

，右邊

= 4

。(E) 取

n = 2

、

a_{1} = 0

、

a_{2} = 2

，左邊

= 1 + 1 = 2

，右邊

= ∣2 - 2∣ = 0

。

Σ 只對「相加、相減、乘以常數」可以拆開；乘積、倒數、絕對值都不能直接拆。(D) 裡的下標是

n

不是

k

，

a_{n}

在求和時是固定的數。

第 2 題答案 (E)。首項

2025

，公比

r = - 1

。無窮等比級數要

∣ r ∣ < 1

才收斂，這裡

∣ r ∣ = 1

。實際看部分和：

S_{1} = 2025

、

S_{2} = 0

、

S_{3} = 2025

、

S_{4} = 0

、…，在

2025

與

0

之間來回，不會趨近同一個數，所以級數發散。

把各項兩兩括起來會得到

0

，從第二項起兩兩括起來會得到

2025

；無窮級數的和要看部分和數列的極限，不能任意加括號。

第 3 題答案 (D)。

x = 5

時

4 + 3 x - x^{2} = 4 + 15 - 25 = - 6

，所以

x

在

5

附近時

4 + 3 x - x^{2} < 0

，

∣4 + 3 x - x^{2} ∣ = x^{2} - 3 x - 4

。分子

= x^{2} - 3 x - 4 - 6 = x^{2} - 3 x - 10 = (x - 5) (x + 2)

。

x \to 5

時

x \neq = 5

，約去

x - 5

，極限為

x \to 5 lim (x + 2) = 7

。

4 + 3 x - x^{2} = - (x - 4) (x + 1)

，只在

x = - 1

與

x = 4

變號；

5

的左右兩邊都是負的，所以絕對值在

5

附近只有一種拆法，左右極限相同。

02多選題（第 4～6 題）：數列的收斂性質、函數極限的存在、函數圖形

第 4 題答案 (A)(E)。(A) 設

n \to \infty lim a_{n} = α

，由極限的乘法性質，

a_{n}^{2} = a_{n} \cdot a_{n} \to α^{2}

，正確。(B) 取

a_{n} = \frac{1}{n}

，收斂到

0

，但

\frac{1}{a _{n}} = n

發散，錯誤。(C) 取

a_{n} = (- 1)^{n}

，發散，但

∣ a_{n} ∣ = 1

收斂，錯誤。(D) 取

a_{n} = \frac{1}{n}

、

b_{n} = n

，則

\frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{1}{n ^{2}}

收斂，

b_{n}

卻發散，錯誤。(E)

b_{n} = \frac{1}{9} [a_{n} - (a_{n} - 9 b_{n})]

，是兩個收斂數列相減再乘以常數，仍收斂，正確。

(B)(D) 的反例都用到「極限是

0

的數列」：除法的極限性質要求分母的極限不為

0

。

第 5 題答案 (A)(B)。(A)

\frac{1}{x}

在

x = 5

附近分母不為

0

，直接代入得

\frac{1}{5}

，正確。(B)

x \to 5

時

∣ x ∣ = x \to 5

，正確。(C)

x

從左邊接近

- 5

（例如

- 5.01

）時

[x] = - 6

，從右邊接近（例如

- 4.99

）時

[x] = - 5

，左右極限不相等，極限不存在，錯誤。(D)

x \to 5

時分母趨近

0

、分子是

5

，函數值的絕對值愈來愈大，極限不存在，錯誤。(E)

x > 5

時

\frac{∣ x - 5∣}{x - 5} = 1

，

x < 5

時為

- 1

，左右極限不相等，極限不存在，錯誤。

[- 5] = - 5

確實是

- 5

，但極限看的是

- 5

附近而不是

- 5

這一點；高斯符號在整數點左右兩邊的值差

1

。

第 6 題答案 (A)(C)(D)。

y

是

x

的函數，表示每個

x

至多對應一個

y

，也就是任何一條鉛直線與圖形至多交於一點。(A) 曲線由左往右一直前進，每條鉛直線至多交一點，是。(B) 圓：

y

軸就與圓交於上下兩點，不是。(C) 三段水平線段的

x

範圍依序相接而不重疊，接點處上一段是空心、下一段是實心，每個

x

仍只對應一個

y

，是。(D) 四個點的

x

坐標都不同，是（定義域只有四個數的函數）。(E) 開口向左的拋物線：

y

軸左邊的鉛直線與它交於上下兩點，不是。

x

就會對應兩個

y

，那就不是函數圖形。函數圖形不一定要連成一條線，(D) 這種只有幾個點的圖形也可以是。

03填充 1、11（第 7、17 題）：循環小數與機率中的無窮等比級數

第 7 題

0. \overline{9} = 0.9 + 0.09 + 0.009 + \dots

是首項

0.9

、公比

0.1

的無窮等比級數，和為

\frac{0.9}{1 - 0.1} = 1

。同理

0.0 \overline{9} = \frac{0.09}{1 - 0.1} = 0.1

，

0.00 \overline{9} = \frac{0.009}{1 - 0.1} = 0.01

。所以原式

= 9 + 1 + 0.1 + 0.01 = 10.11 = \frac{1011}{100}

。

1011 = 3 \times 337

，與

100

沒有公因數，已是最簡分數。

第 17 題

1

到

10

的質數有

2, 3, 5, 7

共

4

個，每次取到質數的機率是

\frac{4}{10} = \frac{2}{5}

，取不到的機率是

\frac{3}{5}

。乙在第一輪獲勝：甲沒取到、乙取到，機率

\frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25}

。乙在第二輪獲勝：第一輪三人都沒取到（機率

(\frac{3}{5})^{3} = \frac{27}{125}

），再來一次「甲沒取到、乙取到」，機率

\frac{27}{125} \times \frac{6}{25}

。依此類推，乙獲勝的機率是首項

\frac{6}{25}

、公比

\frac{27}{125}

的無窮等比級數：

\frac{\frac{6}{25}}{1 - \frac{27}{125}} = \frac{6}{25} \times \frac{125}{98} = \frac{15}{49}

。

同樣的算法，甲獲勝的機率是

\frac{\frac{2}{5}}{\frac{98}{125}} = \frac{25}{49}

，丙是

\frac{9}{49}

；三人相加

\frac{25 + 15 + 9}{49} = 1

，可以用來檢查。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用「首項除以（1 減公比）」；循環小數與「一輪一輪重複」的機率都是這個公式。

04填充 2、8、12（第 8、14、18 題）：數列的極限

第 8 題等差數列中

a_{2} + a_{6} = 2 a_{4}

，所以

a_{2} + a_{4} + a_{6} = 3 a_{4} = 177

，

a_{4} = 59

；

a_{3} + a_{7} = 2 a_{5} = 138

，

a_{5} = 69

。公差

d = 69 - 59 = 10

，首項

a_{1} = 59 - 3 \times 10 = 29

。

S_{n} = \frac{n [ 2 \times 29 + ( n - 1 ) \times 10 ]}{2} = 5 n^{2} + 24 n

。所以

\frac{S _{n}}{n ^{2}} = 5 + \frac{24}{n}

，

n \to \infty

時極限為

5

。

等差數列的

S_{n}

是

n

的二次式，

n^{2}

的係數是

\frac{d}{2}

，所以這個極限就是公差的一半。

第 14 題先比較三個數與

1

的大小：

13

介於

3

與

4

之間，所以

a = \frac{13}{2} > 1

，

b = \frac{13}{3} > 1

，

c = \frac{13}{4} < 1

。

a > 1

時把分子分母同除以

a^{n}

：

\frac{5 a ^{n}}{1 + a ^{n}} = \frac{5}{( \frac{1}{a} ) ^{n} + 1}

，因為

0 < \frac{1}{a} < 1

，

(\frac{1}{a})^{n} \to 0

，這一項趨近

5

。同理第二項趨近

6

。

0 < c < 1

時

c^{n} \to 0

，第三項趨近

\frac{7 \times 0}{1 + 0} = 0

。所以

n \to \infty lim x_{n} = 5 + 6 + 0 = 11

。

底數大於

1

時

a^{n}

沒有極限，不能直接代；要先同除以

a^{n}

，改成底數小於

1

的等比數列再取極限。

第 18 題三角形對稱於

y

軸，外接圓的圓心在

y

軸上，設為

(0, k)

。圓心到

(0, 3)

與到

(\frac{3}{n}, 0)

的距離相等：

(3 - k)^{2} = \frac{9}{n ^{2}} + k^{2}

，展開得

9 - 6 k = \frac{9}{n ^{2}}

，

k = \frac{3}{2} - \frac{3}{2 n ^{2}}

。半徑

R_{n} = 3 - k = \frac{3}{2} + \frac{3}{2 n ^{2}}

，

n \to \infty

時

\frac{3}{2 n ^{2}} \to 0

，所以

n \to \infty lim R_{n} = \frac{3}{2}

。

n

愈大，底邊的兩個頂點愈靠近原點，三角形愈接近

(0, 3)

到

(0, 0)

這條線段，外接圓愈接近以這條線段為直徑的圓，半徑是

\frac{3}{2}

。

數列的極限先把一般項寫成 n 的式子，再看哪些部分趨近 0：分式同除以最高次，等比的部分看底數的絕對值是否小於 1。

05填充 3、4、5（第 9～11 題）：定義域、高斯符號、合成函數

第 9 題根號內不能是負數：

- 3 x^{2} + x + 2 \geq 0

，兩邊同乘

- 1

得

3 x^{2} - x - 2 \leq 0

，即

(3 x + 2) (x - 1) \leq 0

，所以

- \frac{2}{3} \leq x \leq 1

。定義域為

{x - \frac{2}{3} \leq x \leq 1, x \in R}

。

同乘負數時不等號要反向；根號內可以等於

0

，所以兩個端點都包含在內。

第 10 題

[k] = m

表示

m \leq k < m + 1

，即

m^{2} \leq k < (m + 1)^{2}

。把

k = 2

到

51

依此分組：

k = 2, 3

時值為

1

（

2

個）；

k = 4 \sim 8

值為

2

（

5

個）；

k = 9 \sim 15

值為

3

（

7

個）；

k = 16 \sim 24

值為

4

（

9

個）；

k = 25 \sim 35

值為

5

（

11

個）；

k = 36 \sim 48

值為

6

（

13

個）；

k = 49, 50, 51

值為

7

（

3

個）。總和

= 1 \times 2 + 2 \times 5 + 3 \times 7 + 4 \times 9 + 5 \times 11 + 6 \times 13 + 7 \times 3 = 2 + 10 + 21 + 36 + 55 + 78 + 21 = 223

。

這個和從

[2]

開始，沒有

[1]

，所以值為

1

的只有

2

個；最後一組只到

51

，不是到

63

。項數檢查：

2 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 3 = 50

，正好是

2

到

51

的個數。

第 11 題

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (2 x + 1) = (2 x + 1)^{2} + (2 x + 1)

。令

t = 2 x + 1

，

x

是任意實數時

t

也可以是任意實數，

t^{2} + t = (t + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}

，在

t = - \frac{1}{2}

（即

x = - \frac{3}{4}

）時有最小值

- \frac{1}{4}

。

展開也可以：

(f \circ g) (x) = 4 x^{2} + 6 x + 2 = 4 (x + \frac{3}{4})^{2} - \frac{1}{4}

。

g

的值域是全體實數，所以合成後的最小值與

f

本身的最小值相同。

06填充 6、7、9、10（第 12、13、15、16 題）：連續、函數的極限、根的位置

第 12 題三段各自都是多項式，只要在兩個接點連續即可。在

x = 2

：左邊

2^{2} + 2 + 1 = 7

，右邊

2 a + b

，所以

2 a + b = 7

。在

x = 3

：左邊

3 a + b

，右邊

3 \times 3 + 5 = 14

，所以

3 a + b = 14

。兩式相減得

a = 7

，代回

b = 7 - 14 = - 7

。

(a, b) = (7, - 7)

。

檢查：中間那段是

7 x - 7

，

x = 2

時為

7

、

x = 3

時為

14

，與兩側接上。

第 13 題

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

。

x \to 1

時分母趨近

0

而極限存在，分子也必須趨近

0

，即

f (1) = 0

；同理

f (2) = 0

。由因式定理，三次多項式

f (x) = (x - 1) (x - 2) (p x + q)

。約去分母後，

x \to 1 lim (p x + q) = p + q = 2

，

x \to 2 lim (p x + q) = 2 p + q = 3

，解得

p = 1

、

q = 1

。所以

f (x) = (x - 1) (x - 2) (x + 1)

，多項式函數的極限直接代入：

x \to 3 lim f (x) = f (3) = 2 \times 1 \times 4 = 8

。

第 15 題

- 1 \leq sin x \leq 1

。

x \to \infty

時

x > 0

，各項同除以

π x

：

- \frac{1}{π x} \leq \frac{sin x}{π x} \leq \frac{1}{π x}

。

x \to \infty

時

- \frac{1}{π x}

與

\frac{1}{π x}

都趨近

0

，由夾擠定理，

x \to \infty lim \frac{sin x}{π x} = 0

。

這裡是

x \to \infty

，不是

x \to 0

。

sin x

本身在

x \to \infty

時沒有極限，但它的值一直在

- 1

與

1

之間，除以愈來愈大的

π x

之後就被夾到

0

。

第 16 題設兩根為

r_{1}

、

r_{2}

，

- 2 < r_{1} < - 1

、

1 < r_{2} < 2

，則

f (x) = a (x - r_{1}) (x - r_{2})

。

f (1) f (2) = a^{2} (1 - r_{1}) (2 - r_{1}) (1 - r_{2}) (2 - r_{2})

，其中只有

1 - r_{2} < 0

，所以

f (1) f (2) < 0

；同理

f (- 1) f (- 2) < 0

。計算：

f (1) = a - (a - 1) - 6 = - 5

，

f (2) = 4 a - 2 (a - 1) - 6 = 2 a - 4

，

f (- 1) = a + (a - 1) - 6 = 2 a - 7

，

f (- 2) = 4 a + 2 (a - 1) - 6 = 6 a - 8

。由

f (1) f (2) < 0

得

- 5 (2 a - 4) < 0

，

a > 2

。由

f (- 1) f (- 2) < 0

得

(2 a - 7) (6 a - 8) < 0

，

\frac{4}{3} < a < \frac{7}{2}

。取共同範圍：

2 < a < \frac{7}{2}

。

反過來，

a

在這個範圍時

f (1) f (2) < 0

、

f (- 1) f (- 2) < 0

，拋物線是連續不斷的曲線，兩端函數值一正一負，中間一定穿過

x

軸，所以兩個區間內各有一根；而二次方程式只有兩根，正好符合題意。檢查：

a = 3

時

3 x^{2} - 2 x - 6 = 0

的兩根約為

1.79

與

- 1.12

。

分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0；函數值有界、分母愈來愈大時用夾擠定理；根落在某個區間內，就看區間兩端函數值的正負。

07素養題（第 19、20 題）：謝爾賓斯基三角形的黑色面積

第 19 題圖一是邊長

4

的正三角形，面積

\frac{3}{4} \times 4^{2} = 43

。連接三邊中點把正三角形分成

4

個全等的小正三角形，挖去中間那一個，黑色剩下

\frac{3}{4}

：圖二的黑色面積是

43 \times \frac{3}{4} = 33

。圖三對每個黑色小三角形再做一次，又剩

\frac{3}{4}

：

33 \times \frac{3}{4} = \frac{9 3}{4}

。

直接數也可以：圖三有

9

個邊長

1

的黑色正三角形，每個面積

\frac{3}{4}

，共

\frac{9 3}{4}

。

第 20 題每做一次動作，黑色面積變成前一個圖的

\frac{3}{4}

，所以圖

k

的黑色面積是

43 \times (\frac{3}{4})^{k - 1}

，是首項

43

、公比

\frac{3}{4}

的等比數列。從圖一加到圖

n

：

S_{n} = \frac{4 3 [ 1 - ( \frac{3}{4} ) ^{n} ]}{1 - \frac{3}{4}} = 163 [1 - (\frac{3}{4})^{n}]

。動作無限重複下去時

n \to \infty

，

(\frac{3}{4})^{n} \to 0

，所以所有圖的黑色面積總和為

\frac{4 3}{1 - \frac{3}{4}} = 163

。

原卷參考答案為

163

，是動作無限重複時無窮等比級數的和；如果只加到圖

n

為止，總和是

163 [1 - (\frac{3}{4})^{n}]

。另外，單看一個圖的黑色面積

43 \times (\frac{3}{4})^{k - 1}

會趨近

0

，但各圖面積加起來的總和趨近

163

，這是兩個不同的極限。

每次都乘以同一個比例的圖形問題，先找出首項與公比，再判斷題目要的是第幾項、前 n 項的和，還是無窮等比級數的和。

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臺南二中 114 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～3 題）：Σ 的性質、發散的等比級數、含絕對值的極限

02多選題（第 4～6 題）：數列的收斂性質、函數極限的存在、函數圖形

03填充 1、11（第 7、17 題）：循環小數與機率中的無窮等比級數

04填充 2、8、12（第 8、14、18 題）：數列的極限

05填充 3、4、5（第 9～11 題）：定義域、高斯符號、合成函數

06填充 6、7、9、10（第 12、13、15、16 題）：連續、函數的極限、根的位置

07素養題（第 19、20 題）：謝爾賓斯基三角形的黑色面積

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高三第一次段考
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