段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

臺南二中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 113 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 113 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題要先把 3π 平方換成大約 9.42π 再扣掉整圈；填充第 6 題（本頁第 10 題）疊合後角的範圍只到 7π/6，最小值不是把正弦直接代負 1；填充第 11 題（第 15 題）數交點時原點與第一個拱要分開數；填充第 12 題（第 16 題）的角 α 只畫在圖上，要先認出它是哪一個角。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

單選題 2 題（10 分）、多選題 2 題（12 分）、填充題 15 題（71 分）、混合題 2 小題（7 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對

一、單選題：每題 5 分，共 10 分

令

a = sin (3 π^{2})

，試問下列哪一個選項是對的？

(A) $- 1 < a \leq - \frac{3}{2}$
(B) $- \frac{3}{2} < a \leq - \frac{1}{2}$
(C) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(D) $\frac{1}{2} < a \leq \frac{3}{2}$
(E) $\frac{3}{2} < a \leq 1$

下列哪個函數的週期為

π

？

(A) $y = ∣ sin x ∣ + sin x$
(B) $y = 5 sin x + 4 cos (- x)$
(C) $y = 2 sin \frac{1}{2} x$
(D) $y = ∣ tan x ∣ + 2$
(E) $y = ∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣$

二、多選題：每題 6 分，共 12 分（每題至少一個選項正確，全對得 6 分，錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上或沒作答得 0 分）（原卷題號 1～2，本頁接續編為第 3～4 題）

△ A B C

中，

cos A = - \frac{3}{5}

，

cos B = \frac{24}{25}

，且

\overline{A C} = 7

，下列敘述何者正確？

(A) $cos C = - \frac{4}{5}$
(B) $sin C = \frac{3}{5}$
(C) $tan \frac{C}{2} = \frac{1}{3}$
(D) $△ A B C$ 周長為 $37$
(E) $△ A B C$ 面積為 $46$

已知

\frac{3 π}{2} < α < 2 π

，

sin α + cos α = \frac{1}{5}

，則下列敘述哪些正確？

(A) $sin 2 α = - \frac{12}{25}$
(B) $sin α - cos α = - \frac{7}{25}$
(C) $cos α = \frac{3}{5}$
(D) $tan \frac{α}{2} = - \frac{1}{3}$
(E) $sin (α - \frac{3 π}{2}) = \frac{4}{5}$

三、填充題：共 71 分。請將答案約分到最簡分數以及有關角度一律用弧度表示才給分（原卷題號 1～15，本頁接續編為第 5～19 題；依答對題數給分：答對 1～15 題依序得 6、12、18、24、29、34、39、44、49、54、58、62、65、68、71 分）

設

a = sin 3 5^{\circ}

，

b = cos 11 5^{\circ}

，則

1 - a^{2} \times 1 - b^{2} + ab

之值為 ____

設

tan θ = \frac{10}{17}

，則

17 cos 2 θ + 10 sin 2 θ =

____

試求方程式

sin x + cos 2 x = 0

在

π < x < 3 π

的範圍中的所有實根和為 ____ 弳

\frac{1}{sin 5 0 ^{\circ}} + \frac{3}{cos 5 0 ^{\circ}}

的值＝ ____

由大到小列出

a = cos 1

，

b = cos 2

，

c = cos (3 - π)

，

d = sin (1 + \frac{7}{2} π)

的大小關係？ ____

設

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，若

f (x) = sin^{2} x + 43 sin x cos x + 5 cos^{2} x

的最大值為

M

、最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

傳統時鐘在

7

點

10

分時，時針與分針所夾之較小的角度為 ____ 弳。

將

Γ_{1}

：

y = f_{1} (x) = sin x

圖形上所有點的橫坐標都以

y

軸為中心，水平壓縮為原來的三分之一倍，得到

Γ_{2}

：

y = f_{2} (x)

函數；再將

Γ_{2}

圖形向右平移

\frac{π}{3}

單位得到

Γ_{3}

：

y = f_{3} (x)

；最後將

Γ_{3}

圖形上所有點的縱坐標都以

x

軸為中心，鉛直伸長為原來的兩倍，得到

Γ_{4}

：

y = f_{4} (x) = a sin (b x - c)

，其中

0 < c < 2 π

，則序組

(a, b, c) =

____。（弧度表示）

如右圖，矩形木塊斜靠在牆壁上，且

\overline{A B} = 20

，

\overline{B C} = 15

，

∠ O A B = θ (0 < θ < \frac{π}{2})

，若

C

點到地面的距離為

20

時，則此時

cos θ

之值為 ____。

載入中...

sin 22 0^{\circ} cos 34 0^{\circ} - cos 4 0^{\circ} sin 16 0^{\circ} =

____。

試問坐標平面上函數

y = sin x

的圖形和

y = \frac{x}{10 π}

的圖形有 ____ 個交點

圖為正方形

A B C D

，

\overline{A B} = 3 \overline{A E}

，

\overline{B C} = 4 \overline{B F}

，

∠ B D F = β

，求

tan (α - β) =

____

載入中...

已知

π < x < \frac{3 π}{2}

，且

3 cos x + sin x = 2 sin 202 0^{\circ}

，則

x =

____。（弧度表示）

設

f (x) = (sin x + cos x)^{2} + 2 (sin x + cos x)

，如果

f (x)

的最大值為

M

，最小值為

m

，求

M + m =

____。

已知圓

O

的直徑

\overline{A B} = 8

，且

P

是圓

O

上一點，求

3 \overline{P A} + 4 \overline{P B}

的最大值＝ ____

四、混合題：共 7 分（原卷小題 (1)(2)，本頁編為第 20～21 題；(1) 3 分、(2) 4 分）

混合題（第 20～21 題）（第 20～21 題）　國慶設計戰機衝場噴射彩煙的表演，讓一架戰機通過總統府正上方時開始噴出彩煙，並讓戰機依序噴出紅藍白三種不同顏色彩煙，若讓戰機維持距地面

200

公尺的固定高度，並希望讓站在總統府正下方觀禮臺的貴賓可以看到三種顏色的彩煙有一樣的視角（忽略人的身高）。

(1) 若紅色彩煙的長度為

100

公尺，試問整段紅色彩煙的視角

θ

之正切值為何？（3 分）

(A) $\frac{1}{2}$
(B) $\frac{3}{2}$
(C) $1$
(D) $3$
(E) $2$

(2) 承上，要滿足三種顏色彩煙有一樣的視角，則藍色彩煙應噴出多少公尺的長度？（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(D)

第 3 題(B)(C)

第 4 題(D)(E)

第 5 題

\frac{1}{2}

第 6 題

17

第 7 題

\frac{11 π}{2}

第 8 題

4

第 9 題

c > a > b > d

第 10 題

(7, 1)

第 11 題

\frac{31 π}{36}

第 12 題

(2, 3, π)

（

a

、

b

取正；另一組見詳解）

第 13 題

\frac{24}{25}

第 14 題

- \frac{3}{2}

第 15 題

19

第 16 題

\frac{1}{3}

第 17 題

\frac{13 π}{9}

第 18 題

1 + 22

第 19 題

40

第 20 題(A)

第 21 題

\frac{500}{3}

公尺

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～2 題）：弧度的估算、含絕對值的週期

第 1 題

3 π^{2} = (3 π) \times π

，而

3 π \approx 9.42

，所以

3 π^{2} \approx 9.42 π

。正弦的週期是

2 π

，扣掉

8 π

之後

a = sin (1.42 π)

。

1.42 π

介於

\frac{4 π}{3} \approx 1.33 π

與

\frac{3 π}{2} = 1.5 π

之間；正弦在這一段由

sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

遞減到

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，所以

- 1 < a < - \frac{3}{2}

。選 (A)。

數值約為

a \approx - 0.972

。

第 2 題(A)

sin x \geq 0

時

y = 2 sin x

，

sin x < 0

時

y = 0

；圖形每

2 π

才重複一次（例如

x = \frac{π}{2}

時

y = 2

，

x = \frac{3 π}{2}

時

y = 0

），週期

2 π

。(B)

cos (- x) = cos x

，

y = 5 sin x + 4 cos x

疊合成

41 sin (x + φ)

，週期

2 π

。(C)

y = 2 sin \frac{1}{2} x

的週期是

4 π

，加絕對值後把負的半段翻上來，週期減半成

2 π

。(D)

y = tan x

的週期是

π

，加絕對值後在每一段

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

內先遞減再遞增，同一段裡不會提早重複，週期仍是

π

；再加

2

只是上移，不影響週期。(E) 把

x

換成

x + \frac{π}{2}

：

sin (x + \frac{π}{2}) + cos (x + \frac{π}{2}) = ∣ cos x ∣ + ∣ sin x ∣

，函數值不變，週期是

\frac{π}{2}

，不是

π

。選 (D)。

這裡的週期指最小的正週期。(E) 的函數每隔

π

當然也會重複，但它的週期是

\frac{π}{2}

。

很大的弧度先寫成「幾個

π

」再扣掉

2 π

的整數倍；

∣ sin k x ∣

、

∣ cos k x ∣

的週期是原來的一半，

∣ tan k x ∣

的週期不變。

02多選題（第 3～4 題）：和角公式、倍角與半角

第 3 題

A

是鈍角、

B

是銳角：

sin A = \frac{4}{5}

，

sin B = \frac{7}{25}

。(A)

C = π - (A + B)

，

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - (- \frac{72}{125} - \frac{28}{125}) = \frac{4}{5}

，不是

- \frac{4}{5}

（

A

已經是鈍角，

C

一定是銳角）。(B)

sin C = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}

，正確。(C)

\frac{C}{2}

是銳角，半角公式

tan^{2} \frac{C}{2} = \frac{1 - cos C}{1 + cos C} = \frac{1/5}{9/5} = \frac{1}{9}

，

tan \frac{C}{2} = \frac{1}{3}

，正確。(D)

\overline{A C}

是

∠ B

的對邊，正弦定理

\frac{A C}{sin B} = \frac{7}{7/25} = 25

，所以

\overline{B C} = 25 sin A = 20

、

\overline{A B} = 25 sin C = 15

，周長

20 + 7 + 15 = 42

，不是

37

。(E) 面積

= \frac{1}{2} \times \overline{A B} \times \overline{A C} \times sin A = \frac{1}{2} \times 15 \times 7 \times \frac{4}{5} = 42

，不是

46

。選 (B)(C)。

第 4 題兩邊平方：

1 + 2 sin α cos α = \frac{1}{25}

，所以

sin 2 α = 2 sin α cos α = - \frac{24}{25}

，(A) 錯。

(sin α - cos α)^{2} = 1 - sin 2 α = \frac{49}{25}

；

α

在第四象限，

sin α < 0 < cos α

，所以

sin α - cos α = - \frac{7}{5}

，(B) 錯（不是

- \frac{7}{25}

）。與

sin α + cos α = \frac{1}{5}

聯立得

sin α = - \frac{3}{5}

、

cos α = \frac{4}{5}

，(C) 錯。(D)

\frac{3 π}{4} < \frac{α}{2} < π

，

\frac{α}{2}

在第二象限，正切為負；

tan^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{1 + cos α} = \frac{1/5}{9/5} = \frac{1}{9}

，所以

tan \frac{α}{2} = - \frac{1}{3}

，正確。(E)

sin (α - \frac{3 π}{2}) = sin (α + \frac{π}{2}) = cos α = \frac{4}{5}

，正確。選 (D)(E)。

已知

sin α + cos α

就先平方得到

sin 2 α

，再求

sin α - cos α

；開根號取正或負一律回頭看角在哪個象限。

03填充第 1～5 題（第 5～9 題）：和角、倍角、解方程式、弧度比大小

第 5 題

1 - a^{2} = cos^{2} 3 5^{\circ} = cos 3 5^{\circ}

。

b = cos 11 5^{\circ} = - sin 2 5^{\circ}

，

1 - b^{2} = sin^{2} 11 5^{\circ} = sin 11 5^{\circ} = cos 2 5^{\circ}

。所求

= cos 3 5^{\circ} cos 2 5^{\circ} + sin 3 5^{\circ} \times (- sin 2 5^{\circ}) = cos (3 5^{\circ} + 2 5^{\circ}) = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。

b

是負數；

1 - b^{2}

是正數

sin 11 5^{\circ}

。

第 6 題令

t = tan θ = \frac{10}{17}

。

cos 2 θ = \frac{cos ^{2} θ - sin ^{2} θ}{cos ^{2} θ + sin ^{2} θ} = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}

，

sin 2 θ = \frac{2 sin θ cos θ}{cos ^{2} θ + sin ^{2} θ} = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}

（分子分母同除以

cos^{2} θ

）。

1 + t^{2} = \frac{389}{289}

，

1 - t^{2} = \frac{189}{289}

，所以

cos 2 θ = \frac{189}{389}

、

sin 2 θ = \frac{20/17}{389/289} = \frac{340}{389}

。所求

= \frac{17 \times 189 + 10 \times 340}{389} = \frac{3213 + 3400}{389} = \frac{6613}{389} = 17

。

θ

在第一或第三象限都得到同一個值，因為

2 θ

只差

2 π

。

第 7 題

cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x

，方程式變成

2 sin^{2} x - sin x - 1 = 0

，

(2 sin x + 1) (sin x - 1) = 0

，

sin x = 1

或

sin x = - \frac{1}{2}

。在

π < x < 3 π

內：

sin x = 1

得

x = \frac{5 π}{2}

；

sin x = - \frac{1}{2}

得

x = \frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

（

\frac{19 π}{6}

已超過

3 π

）。總和

= \frac{5 π}{2} + \frac{7 π}{6} + \frac{11 π}{6} = \frac{5 π}{2} + 3 π = \frac{11 π}{2}

。

第 8 題通分：

\frac{cos 5 0 ^{\circ} + 3 sin 5 0 ^{\circ}}{sin 5 0 ^{\circ} cos 5 0 ^{\circ}}

。分子疊合：

cos 5 0^{\circ} + 3 sin 5 0^{\circ} = 2 (\frac{3}{2} sin 5 0^{\circ} + \frac{1}{2} cos 5 0^{\circ}) = 2 sin (5 0^{\circ} + 3 0^{\circ}) = 2 sin 8 0^{\circ}

。分母

= \frac{1}{2} sin 10 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 8 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{2 sin 8 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 8 0 ^{\circ}} = 4

。

第 9 題用

π \approx 3.14

、

\frac{π}{2} \approx 1.57

。

a = cos 1

：

1

是第一象限角，

a > 0

。

c = cos (3 - π) = cos (π - 3)

，

π - 3 \approx 0.14

；餘弦在

0

到

\frac{π}{2}

遞減，

0.14 < 1

，所以

c > a > 0

。

b = cos 2

：

2

是第二象限角，

b < 0

，而且

b = - cos (π - 2)

，

π - 2 \approx 1.14

。

d = sin (1 + \frac{7 π}{2}) = sin (1 + \frac{3 π}{2}) = - cos 1

。比較兩個負數：

1.14 > 1

，所以

cos 1.14 < cos 1

，

- cos 1.14 > - cos 1

，即

b > d

。合起來

c > a > b > d

。

數值約為

c \approx 0.990

、

a \approx 0.540

、

b \approx - 0.416

、

d \approx - 0.540

。

只給

tan θ

要求

2 θ

的正餘弦，用

cos 2 θ = \frac{1 - tan ^{2} θ}{1 + tan ^{2} θ}

、

sin 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 + tan ^{2} θ}

最快；比大小先把每個數換成「正負號＋銳角的餘弦」。

04填充第 6～10 題（第 10～14 題）：降次疊合、時鐘、圖形變換、斜靠的木塊

第 10 題降次：

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

，

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

，

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

。

f (x) = \frac{1 - cos 2 x}{2} + 23 sin 2 x + \frac{5 + 5 cos 2 x}{2} = 3 + 23 sin 2 x + 2 cos 2 x = 3 + 4 sin (2 x + \frac{π}{6})

。

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時

\frac{π}{6} \leq 2 x + \frac{π}{6} \leq \frac{7 π}{6}

，這一段正弦的最大值是

1

（角為

\frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{6}

），最小值是

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

（

x = \frac{π}{2}

）。所以

M = 3 + 4 = 7

，

m = 3 - 2 = 1

，

(M, m) = (7, 1)

。

最小值不是

3 - 4 = - 1

：角的範圍只到

\frac{7 π}{6}

，正弦到不了

- 1

。

第 11 題以

12

點方向為

0^{\circ}

順時針量。分針每分鐘走

6^{\circ}

，

10

分時在

6 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

7

點

10

分時在

7 \times 3 0^{\circ} + 10 \times 0. 5^{\circ} = 21 5^{\circ}

。兩針相差

21 5^{\circ} - 6 0^{\circ} = 15 5^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小的夾角。換成弧度：

155 \times \frac{π}{180} = \frac{31 π}{36}

。

第 12 題水平壓縮為

\frac{1}{3}

倍是把

x

換成

3 x

：

f_{2} (x) = sin 3 x

。向右平移

\frac{π}{3}

是把

x

換成

x - \frac{π}{3}

：

f_{3} (x) = sin 3 (x - \frac{π}{3}) = sin (3 x - π)

。鉛直伸長為

2

倍是整個函數值乘

2

：

f_{4} (x) = 2 sin (3 x - π)

。與

a sin (b x - c)

比較，

c = π

在

0 < c < 2 π

內，所以

(a, b, c) = (2, 3, π)

。

平移是對

x

本身代換，所以是

3 (x - \frac{π}{3})

，不是

3 x - \frac{π}{3}

。題目沒有限定

a

、

b

的正負；

a

、

b

取正時答案只有這一組，與學校答案相同。（若容許負數，

- 2 sin (- 3 x - π) = 2 sin (3 x + π) = 2 sin (3 x - π)

，

(- 2, - 3, π)

也表示同一個函數。）

第 13 題

B

在牆上，直角三角形

O A B

中

\overline{O B} = 20 sin θ

，這是

B

的高度。

\overline{B C} ⊥ \overline{A B}

，而

\overline{A B}

與地面夾

θ

，所以

\overline{B C}

與鉛直方向夾

θ

，

C

比

B

高

15 cos θ

。

C

到地面的距離

= 20 sin θ + 15 cos θ = 20

，即

4 sin θ + 3 cos θ = 4

。移項

3 cos θ = 4 (1 - sin θ)

，兩邊平方：

9 (1 - sin^{2} θ) = 16 (1 - sin θ)^{2}

。

0 < θ < \frac{π}{2}

時

sin θ \neq = 1

，約去

1 - sin θ

：

9 (1 + sin θ) = 16 (1 - sin θ)

，

sin θ = \frac{7}{25}

，所以

cos θ = \frac{24}{25}

。

代回檢查：

20 \times \frac{7}{25} + 15 \times \frac{24}{25} = 5.6 + 14.4 = 20

。

第 14 題全部化成

2 0^{\circ}

與

4 0^{\circ}

：

sin 22 0^{\circ} = - sin 4 0^{\circ}

，

cos 34 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}

，

sin 16 0^{\circ} = sin 2 0^{\circ}

。原式

= - sin 4 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} - cos 4 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = - (sin 4 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + cos 4 0^{\circ} sin 2 0^{\circ}) = - sin 6 0^{\circ} = - \frac{3}{2}

。

疊合後一定要把角的範圍一起換過去，再看那一段正弦實際能到的最大與最小；圖形變換每一步都是對

x

（或

y

）本身代換，照順序一步一步做。

05填充第 11～15 題（第 15～19 題）：交點個數、正切的差角、疊合的應用

第 15 題

∣ sin x ∣ \leq 1

，所以交點只可能出現在

\frac{x}{10 π} \leq 1

，即

- 10 π \leq x \leq 10 π

。先看

x > 0

：直線在這一段的值是正的，只會與

y = sin x

在

x

軸上方的「拱」相交；

0

到

10 π

之間有

5

個拱，分別在

(0, π)

、

(2 π, 3 π)

、

(4 π, 5 π)

、

(6 π, 7 π)

、

(8 π, 9 π)

。每個拱都是向上凸的，與一條直線最多交於

2

點。後

4

個拱：在拱的兩腳，曲線高度是

0

、直線高度是正的，直線在上；在拱頂，曲線高度是

1

、直線高度小於

1

（最高到

\frac{9 π}{10 π} = 0.9

），曲線在上；所以左右各穿過一次，各有

2

個交點，共

8

個。第

1

個拱：直線過原點且斜率

\frac{1}{10 π}

遠小於

1

，原點右邊曲線先在直線上方，到

x = π

時曲線高度是

0

、直線在上，所以除了原點之外恰有

1

個交點。

x = 10 π

時直線的值是

1

、

sin 10 π = 0

，不是交點。因此

x > 0

有

9

個交點。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

9

個，再加上原點，共

9 + 9 + 1 = 19

個。

第 16 題由圖，

α = ∠ E D B

、

θ = ∠ A D E

、

γ = ∠ C D F

。設正方形邊長為

12

，則

\overline{A E} = 4

、

\overline{B F} = 3

、

\overline{C F} = 9

。直角三角形

A D E

：

tan θ = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

。對角線

\overline{D B}

平分直角，

∠ A D B = \frac{π}{4}

，所以

α = \frac{π}{4} - θ

，

tan α = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

。直角三角形

D C F

：

tan γ = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}

；

β = ∠ C D B - γ = \frac{π}{4} - γ

，

tan β = \frac{1 - \frac{3}{4}}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{1}{7}

。

tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{7}}{1 + \frac{1}{14}} = \frac{\frac{5}{14}}{\frac{15}{14}} = \frac{1}{3}

。

α

沒有寫在題幹裡，要看圖：它是

\overline{D E}

與對角線

\overline{D B}

的夾角。

第 17 題左邊疊合：

3 cos x + sin x = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{3})

。右邊

202 0^{\circ} = 5 \times 36 0^{\circ} + 22 0^{\circ}

，

sin 202 0^{\circ} = sin 22 0^{\circ}

。方程式變成

sin (x + 6 0^{\circ}) = sin 22 0^{\circ}

（先用度表示，

x

在

18 0^{\circ}

與

27 0^{\circ}

之間）。此時

24 0^{\circ} < x + 6 0^{\circ} < 33 0^{\circ}

。正弦值等於

sin 22 0^{\circ}

的角有

22 0^{\circ}

與

18 0^{\circ} - 22 0^{\circ} = - 4 0^{\circ}

，也就是

32 0^{\circ}

（再加減

36 0^{\circ}

的整數倍）；落在

24 0^{\circ}

到

33 0^{\circ}

之間的只有

32 0^{\circ}

。所以

x = 26 0^{\circ} = 260 \times \frac{π}{180} = \frac{13 π}{9}

。

第 18 題令

t = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，則

- 2 \leq t \leq 2

。

f = t^{2} + 2 t = (t + 1)^{2} - 1

。

t = - 1

在範圍內，最小值

m = - 1

。離

t = - 1

最遠的端點是

t = 2

，最大值

M = (2)^{2} + 22 = 2 + 22

。

M + m = 1 + 22

。

最小值不在端點

t = - 2

（那裡

f = 2 - 22 \approx - 0.83

），而在頂點

t = - 1

。

第 19 題

\overline{A B}

是直徑，

P

不是

A

、

B

時

∠ A P B = \frac{π}{2}

。設

∠ P A B = φ

（

0 < φ < \frac{π}{2}

），則

\overline{P A} = 8 cos φ

、

\overline{P B} = 8 sin φ

。

3 \overline{P A} + 4 \overline{P B} = 24 cos φ + 32 sin φ

，疊合的振幅是

2 4^{2} + 3 2^{2} = 40

，寫成

40 sin (φ + ψ)

，其中

sin ψ = \frac{3}{5}

、

cos ψ = \frac{4}{5}

，

ψ

是銳角。取

φ = \frac{π}{2} - ψ

（仍是銳角）就達到最大值

40

。

此時

\overline{P A} = 8 sin ψ = \frac{24}{5}

、

\overline{P B} = 8 cos ψ = \frac{32}{5}

。

P

與

A

或

B

重合時的值是

32

或

24

，都比

40

小。

數交點個數先用值域把範圍框住，再一個拱一個拱數，原點與端點另外檢查；式子裡只出現

sin x + cos x

時，把它整個換成

t

，別忘了

t

的範圍是

- 2

到

2

。

06混合題（第 20～21 題）：視角相等的三段彩煙

第 20 題設觀禮臺為

G

，戰機開始噴煙的位置為

S

（在

G

的正上方，

\overline{GS} = 200

），紅色彩煙的終點為

R

。戰機水平飛行，

\overline{S R} ⊥ \overline{GS}

，

\overline{S R} = 100

。紅色彩煙的視角是

θ = ∠ S GR

，直角三角形

GS R

中

tan θ = \frac{S R}{GS} = \frac{100}{200} = \frac{1}{2}

。選 (A)。

第 21 題設藍色彩煙的終點為

T

。藍色彩煙的視角

∠ R GT

也要等於

θ

，所以

∠ S GT = 2 θ

。倍角公式：

tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ} = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}

。直角三角形

GS T

中

\overline{S T} = 200 tan 2 θ = 200 \times \frac{4}{3} = \frac{800}{3}

。藍色彩煙的長度

= \overline{S T} - \overline{S R} = \frac{800}{3} - 100 = \frac{500}{3}

公尺。

同樣的視角，離正上方愈遠的那一段愈長：紅色

100

公尺，藍色約

166.7

公尺。再往下算，

tan 3 θ = \frac{\frac{4}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{4}{3} \times \frac{1}{2}} = \frac{11}{2}

，白色要噴

1100 - \frac{800}{3} = \frac{2500}{3}

公尺。

視角相等不代表長度相等；把每一段的終點都連回觀察者，用「累積的角」

θ

、

2 θ

、

3 θ

的正切去算水平距離，再相減。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南二中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題要先把 3π 平方換成大約 9.42π 再扣掉整圈；填充第 6 題（本頁第 10 題）疊合後角的範圍只到 7π/6，最小值不是把正弦直接代負 1；填充第 11 題（第 15 題）數交點時原點與第一個拱要分開數；填充第 12 題（第 16 題）的角 α 只畫在圖上，要先認出它是哪一個角。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自臺南二中 113 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺南二中 113 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1～2 題）：弧度的估算、含絕對值的週期

02多選題（第 3～4 題）：和角公式、倍角與半角

03填充第 1～5 題（第 5～9 題）：和角、倍角、解方程式、弧度比大小

04填充第 6～10 題（第 10～14 題）：降次疊合、時鐘、圖形變換、斜靠的木塊

05填充第 11～15 題（第 15～19 題）：交點個數、正切的差角、疊合的應用

06混合題（第 20～21 題）：視角相等的三段彩煙

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臺南二中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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