臺南二中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

看圖：${\Gamma }_1$ 遞增，$-{\log }_{a}x$ 遞增表示 ${\log }_{a}x$ 遞減，所以 $0<a<1$；${\Gamma }_4$ 遞減，所以 $d>1$。${\Gamma }_1$ 與 ${\Gamma }_4$ 對稱於 $x$ 軸，表示 $-{\log }_{d}x={\log }_{a}x$ 對所有 $x>0$ 成立；而 $-{\log }_{d}x={\log }_{\frac{1}{d}}x$，所以 $a=\frac{1}{d}$。同理 ${\Gamma }_2$ 遞增得 $b>1$，${\Gamma }_3$ 遞減得 $0<c<1$，且 $c=\frac{1}{b}$。

比較 $d$ 與 $b$：圖中 $x>1$ 的部分 ${\Gamma }_1$ 在 ${\Gamma }_2$ 上方，即 $-{\log }_{a}x>{\log }_{b}x>0$，而 $-{\log }_{a}x={\log }_{d}x$，所以 ${\log }_{d}x>{\log }_{b}x>0$。真數 $x>1$ 相同時，底數愈大對數值愈小，所以 $1<d<b$。

於是 $c=\frac{1}{b}<\frac{1}{d}=a<1<d<b$，最小的是 $c$。選 (C)。

(A) 正確。 例如 $x=2^{2025}$ 時 ${\log }_{2}x=2025>2024$；對數函數的值域是全體實數。

(B) 正確。 $y=(0.9{)}^x-0.9$ 是遞減的指數函數往下平移 $0.9$。$x<0$ 時 $(0.9{)}^x>1$，$y>0$，在第二象限；$0<x<1$ 時 $0.9<(0.9{)}^x<1$，$y>0$，在第一象限；$x>1$ 時 $(0.9{)}^x<0.9$，$y<0$，在第四象限。圖形不會進入第三象限（$x<0$ 時 $y$ 恆正），恰通過三個象限。

(C) 錯誤。 若 $y=3^x$ 的這一段落在某條拋物線 $y=p{x}^2+qx+r$ 上，代入 $(1,3)$、$(2,9)$、$(3,27)$：$p+q+r=3$、$4p+2q+r=9$、$9p+3q+r=27$，解得 $p=6$、$q=-12$、$r=9$。但 $x=4$ 時這條拋物線的值是 $96-48+9=57$，而 $3^4=81$，不在同一條拋物線上。指數函數每往右走 $1$，函數值就乘 $3$，拋物線沒有這個性質。

(D) 正確。 $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，所以 ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^x={\left(\sqrt{2}\right)}^{-x}$。把 $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ 的 $x$ 換成 $-x$ 就得到另一個函數，兩圖形對稱於 $y$ 軸。

(E) 錯誤。 $x=-2$ 時 $x^2=4$、${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=4$；$x=-4$ 時 $x^2=16$、${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-4}=16$，這兩點都是交點。另外 $x=0$ 時 $x^2=0<1$，$x=1$ 時 $x^2=1>\frac{1}{2}$，在 $0$ 與 $1$ 之間還有一個交點。共有三個交點（$x=-4$、$x=-2$ 與 $0$、$1$ 之間一個），不只一個。

選 (A)(B)(D)。

(A) 錯誤。 $0<a<1$ 時 $f$ 遞減，$f(10)<f(1)=0$，例如 ${\log }_{\frac{1}{2}}10<0$。

(B) 錯誤。 對數函數的值域是全體實數，例如 $a=2$ 時 $f\left(\frac{1}{2}\right)=-1<0$。

(C) 正確。 $f(1)=0$。若 $a>1$，$f$ 遞增，$f(2)>f(1)=0$；所以 $f(2)<0$ 時只能 $0<a<1$。

(D) 正確。 題目要比較的兩個數都有意義，所以 $\alpha$、$\beta$ 都是正數。用對數律：$\frac{f(\alpha )+f(\beta )}{2}=\frac{1}{2}{\log }_a(\alpha \beta )={\log }_a\sqrt{\alpha \beta }$。若 $\alpha =\beta$，兩邊相等，不會出現「大於」；所以 $\alpha \ne \beta$，由算幾不等式 $\frac{\alpha +\beta }{2}>\sqrt{\alpha \beta }$。真數較大的那一個對數值也較大，表示 $f$ 是遞增函數，所以 $a>1$。

(E) 正確。 $x$ 從右邊趨近 $0$ 時，${\log }_{a}x$ 趨向正無限大或負無限大（看 $a$ 大於或小於 $1$），圖形愈來愈貼近 $y$ 軸，漸近線是 $x=0$。

選 (C)(D)(E)。

$y={\left(\frac{a}{b}\right)}^x$ 是指數函數，底數 $\frac{a}{b}$ 必須是正數，所以 $a$、$b$ 同號。拋物線 $y=a{x}^2+bx$ 過原點，對稱軸是 $x=-\frac{b}{2a}$，$a$、$b$ 同號時 $-\frac{b}{2a}<0$，頂點在 $y$ 軸左邊。再由頂點的橫坐標 $h=-\frac{b}{2a}$ 得 $\frac{a}{b}=-\frac{1}{2h}$：$-\frac{1}{2}<h<0$ 時 $\frac{a}{b}>1$，指數函數遞增；$h<-\frac{1}{2}$ 時 $0<\frac{a}{b}<1$，指數函數遞減。

(A) 錯誤。 拋物線開口向上、頂點在 $y$ 軸右邊，$a>0$、$b<0$，$\frac{a}{b}<0$ 不能當指數函數的底數。

(B) 錯誤。 開口向上、頂點在 $y$ 軸左邊且很靠近 $y$ 軸（$-\frac{1}{2}<h<0$），$\frac{a}{b}>1$，指數函數應該遞增，圖中卻是遞減。

(C) 正確。 頂點同樣在 $-\frac{1}{2}<h<0$，$\frac{a}{b}>1$，指數函數遞增，與圖相符。

(D) 正確。 開口向下、頂點在 $x=-\frac{1}{2}$ 的左邊（$h<-\frac{1}{2}$），$0<\frac{a}{b}<1$，指數函數遞減，與圖相符。

(E) 錯誤。 開口向下、頂點也在 $x=-\frac{1}{2}$ 的左邊，指數函數應該遞減，圖中卻是遞增。

選 (C)(D)。

題目沒寫存入的時間點，學校答案 $130.26$ 採「每月月初存入」：每月月初存入 $2$ 萬元，到五年期滿，第 $1$ 筆存了 $60$ 期，本利和 $2\times 1.002^{60}$；第 $2$ 筆存了 $59$ 期，本利和 $2\times 1.002^{59}$；……；第 $60$ 筆存了 $1$ 期，本利和 $2\times 1.002$。總和是等比級數：

$$2\left(1.002+1.002^2+\cdots +1.002^{60}\right)=2\times \frac{1.002\left(1.002^{60}-1\right)}{1.002-1}$$

用 $(1.002{)}^{60}\cong 1.13$：$2\times \frac{1.002\times 0.13}{0.002}=2\times 65.13=130.26$（萬元）。

設至少要 $n$ 個月還清。把所有金額都算到第 $n$ 個月底比較：房貸 $1200$ 萬元滾 $n$ 期，變成 $1200\times (1.002{)}^n$；每月還的 $3$ 萬元，第 $1$ 筆滾 $n-1$ 期、……、最後一筆不滾，合計

$$3\left(1+1.002+\cdots +1.002^{n-1}\right)=\frac{3\left[(1.002{)}^n-1\right]}{1.002-1}=1500\left[(1.002{)}^n-1\right]$$

還清的條件是還款的本利和不小於房貸的本利和：$1200\times (1.002{)}^n\le 1500\left[(1.002{)}^n-1\right]$。兩邊除以 $1500$：$0.8(1.002{)}^n\le (1.002{)}^n-1$，所以 $(1.002{)}^n\ge 5$。取常用對數：$n\log 1.002\ge \log 5=1-\log 2=0.699$，$n\ge \frac{0.699}{0.00087}\approx 803.4$。$n$ 為整數，至少 $804$ 個月。