01 · 試題原卷 18 題，照原卷順序
多選題 3 題（每題 6 分，共 18 分）、填充題 15 題（共 82 分），合計 100 分。填充題依答對題數給分：1 題 7 分、2 題 14 分、3 題 21 分、4 題 28 分、5 題 34 分、6 題 40 分、7 題 46 分、8 題 52 分、9 題 57 分、10 題 62 分、11 題 67 分、12 題 71 分、13 題 75 分、14 題 79 分、15 題 82 分。題號對照：本頁第 4～18 題依序為原卷填充第 1～15 題。答案已與學校公布的答案逐題核對：有 1 題不同，本頁第 7 題（原卷填充第 4 題）學校答案印 15，依卷面題目計算為 −1，應為誤植，答案欄寫 −1 並附註。
一、多選題 每題 6 分，共 18 分（每題至少一個選項正確，全對得 6 分，錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上或沒作答得 0 分）
1
已知三次函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 之圖形如下，則下列選項哪些正確？- (A) a>0
- (B) b>0
- (C) c<0
- (D) d<0
- (E) b2−3ac<0
2
關於函數 y=f(x)=x3−3x2−9x+5 的圖形，下列選項哪些正確？- (A) y=f(x) 在 −1≤x≤3 時為遞增函數
- (B) y=f(x) 在 x>1 時凹口向上
- (C) y=f(x) 之圖形的對稱中心是 (1,−6)
- (D) y=f(x) 之圖形與 x 軸恰有一個交點
- (E) 若 P(t,0) 是 y=f(x) 圖形與 x 軸的交點，則 t<4。
3
設 f(x) 為多項式函數，α 為實數，請選出正確選項- (A) 若 f′(x)=0，則 f(x) 在 x=α 處發生極值（本站註：卷面印作 f′(x)，依題意應為 f′(α)）
- (B) 若 f(x) 在 x=α 處發生極值，則 f′(α)=0
- (C) 若 f′′(α)=0，則 f(x) 在 x=α 為反曲點
- (D) 若 f(x) 在 x=α 為反曲點，則 f′′(α)=0
- (E) 若 f′(α)=0 且 f′′(α)>0，則 f(x) 在 x=α 處發生極大值
二、填充題（將答案約分到最簡形式才給分）
4
已知 g(x)=x3−2x2+3，求 x→2limx−2g′(x)−g′(2)= ____。
5
已知三次函數 f(x) 在 x=−1 處有極小值 −1，在 x=1 處有極大值 2，求 f(x)= ____。
6
已知函數 f(x)=x2+∣x−1∣+∣x−3∣，試問導數 f′(2) 的值 = ____
7
已知函數 f(x)=(x2+2x+2)(x3−4x+5)，求 f′(−1)= ____。
8
f(x)=x2+34x2+2x−5，f′(0)= ____。
9
若函數 f(x)=(2x−5)20(x−1)10，則 f′(2) 之值為 ____。
10
函數 f(x)=x12+x6−x+3 在 x=−1 附近的一次近似為 y= ____
11
若三次函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=1 處有極大值 6，在 x=2 處有極小值 5，則序組 (a,b,c,d)= ____。
12
設 f(x) 為三次多項式函數且 f(x) 在 x=1 處有極小值 −4，又 x→0limxf(x)=−3，則 f(x)= ____。
13
已知多項式函數 f(x)=x3+kx2−3kx+3 沒有極值，試求實數 k 的範圍 ____。
14
若三次多項式函數 f(x)，其圖形以 (1,5) 為反曲點且滿足 f(0)=3，f(3)=−3，試求 f(x)= ____
15
試求過拋物線 y=f(x)=x2−4x+1 外一點 P(4,−3) 的切線方程式 ____
16
求函數 f(x)=−x3+3x2+2x 的圖形之所有切線中，斜率最大之切線方程式為 ____
17
已知 f′(2)=4，則 h→0limhf(2+3h)−f(2−h)= ____
18
設 f(x)=x−4(x−1)(x−2)(x−3)(x−5)，則 f′(1)= ____。
第 1 題(A)(D)
第 2 題(B)(C)
第 3 題(B)(D)
第 4 題8
第 5 題−43x3+49x+21
第 6 題4
第 7 題−1（學校答案卷印 15，依卷面題目無法得到，應為誤植）
第 8 題32
第 9 題−30
第 10 題−19x−13
第 11 題(2,−9,12,1)
第 12 題5x3−6x2−3x
第 13 題−9≤k≤0
第 14 題−2x3+6x2−2x+3
第 15 題y=−3 或 y=8x−35
第 16 題y=5x−1
第 17 題16
第 18 題38
03 · 勾錯題號勾出錯的題號，看錯在哪幾章
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01多選 1～3：由圖形判斷係數、三次函數的性質、極值與反曲點
第 1 題答案 (A)(D)。圖中 α、β 是兩個極值點的橫坐標，且 0<α<β。f′(x)=3ax2+2bx+c，f(x) 在 x=α、x=β 有極值，所以 α、β 是 f′(x)=0 的兩根。
(A) 正確。 圖形最右邊往上升、沒有上限，x 很大時 f(x) 的正負由 ax3 決定，所以 a>0。
(B) 錯誤。 由根與係數的關係，α+β=−3a2b；α、β 都是正數，和為正，又 a>0，所以 b<0。
(C) 錯誤。 αβ=3ac>0，又 a>0，所以 c>0。
(D) 正確。 d=f(0) 是圖形與 y 軸交點的縱坐標，圖上交點在 x 軸下方，所以 d<0。
(E) 錯誤。 f′(x)=0 有兩個相異實根，判別式 (2b)2−4⋅3a⋅c=4(b2−3ac)>0，所以 b2−3ac>0。
先由圖形最右端定 a 的正負，再把兩個極值點當成 f′(x)=0 的兩根，用兩根和、兩根積判斷 b、c。
第 2 題答案 (B)(C)。f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)，f′′(x)=6x−6。
(A) 錯誤。 −1<x<3 時 f′(x)<0，f(x) 在這一段是遞減函數。
(B) 正確。 x>1 時 f′′(x)=6(x−1)>0，凹口向上。
(C) 正確。 f′′(x)=0 得 x=1，且 f′′(x) 在 x=1 的左右變號，反曲點是 (1,f(1))；f(1)=1−3−9+5=−6。三次函數的圖形對稱於反曲點，對稱中心是 (1,−6)。
(D) 錯誤。 極大值 f(−1)=−1−3+9+5=10>0，極小值 f(3)=27−27−27+5=−22<0，極大值與極小值異號，圖形與 x 軸有三個交點。
(E) 錯誤。 f(4)=64−48−36+5=−15<0，f(5)=125−75−45+5=10>0，由中間值定理，在 4 與 5 之間有一個交點，這個交點的 t>4。
三次函數與 x 軸的交點個數看極大值與極小值的正負：異號三個、有一個是 0 時兩個、同號一個。
第 3 題答案 (B)(D)。
(A) 錯誤。 卷面這個選項印作 f′(x)=0，依題意是指 f′(α)=0。反例：f(x)=x3，f′(0)=0，但 f′(x)=3x2≥0，f(x) 在 0 的左右都遞增，在 x=0 沒有極值。若照字面把 f′(x)=0 讀成 f′(x) 恆為 0，f(x) 是常數函數，依課本的定義每一點都算有極值，(A) 反而成立；學校答案 BD 表示是照 f′(α)=0 讀，本站與學校一致。
(B) 正確。 多項式函數處處可微分；若 f(α) 是極大值，在 α 附近 f(α+h)−f(α)≤0，h>0 時差商 ≤0、h<0 時差商 ≥0，兩邊的極限都等於 f′(α)，只能 f′(α)=0；極小值同理。
(C) 錯誤。 反例：f(x)=x4，f′′(x)=12x2，f′′(0)=0，但 f′′(x) 在 0 的左右都是正的，圖形一直凹口向上，x=0 不是反曲點。
(D) 正確。 反曲點是凹口方向改變的點，f′′(x) 在 α 的左右變號；f′′(x) 也是多項式，是連續函數，由中間值定理的想法，只能 f′′(α)=0。
(E) 錯誤。 f′(α)=0 且 f′′(α)>0 時，由二階檢定法，f(x) 在 x=α 處發生的是極小值，不是極大值。例如 f(x)=x2 在 x=0。
記法：極值點 ⇒f′(α)=0、反曲點 ⇒f′′(α)=0 都成立（對多項式），但反過來都不一定成立，要再看導數在 α 的左右是否變號。
由圖形判斷係數，用最右端定首項係數、用兩個極值點當 f′(x)=0 的兩根；極值與反曲點的必要條件反過來不一定成立，記住 x³ 與 x⁴ 兩個反例。
02填充 4～9（原卷填充 1～6）：導數的定義與微分公式
第 4 題依導數的定義，所求的極限就是 g′(x) 在 x=2 的導數，也就是 g′′(2)。g′(x)=3x2−4x，g′′(x)=6x−4，所以 g′′(2)=12−4=8。
也可以直接算：x−2(3x2−4x)−4=x−2(x−2)(3x+2)=3x+2→8。
第 5 題設 f(x)=ax3+bx2+cx+d，f′(x)=3ax2+2bx+c。在 x=±1 有極值，所以 f′(1)=3a+2b+c=0、f′(−1)=3a−2b+c=0，相減得 b=0，再得 c=−3a。
又 f(1)=a+c+d=−2a+d=2，f(−1)=−a−c+d=2a+d=−1。兩式相加得 d=21，相減得 a=−43，所以 c=49。
f(x)=−43x3+49x+21。檢查：f′′(x)=−29x，f′′(−1)=29>0 為極小、f′′(1)=−29<0 為極大，符合題意。
第 6 題在 x=2 附近（例如 1<x<3）：x−1>0、x−3<0，所以 ∣x−1∣=x−1、∣x−3∣=3−x，f(x)=x2+(x−1)+(3−x)=x2+2。因此 f′(x)=2x，f′(2)=4。
含絕對值的函數先看那一點附近每個絕對值裡面的正負，去掉絕對值再微分。
第 7 題由乘法的微分公式：f′(x)=(2x+2)(x3−4x+5)+(x2+2x+2)(3x2−4)。代入 x=−1：第一項的 2x+2=0；第二項 (1−2+2)(3−4)=1⋅(−1)=−1。所以依卷面的題目，f′(−1)=−1。
學校答案印 15，依卷面題目無論如何都得不到，應為誤植；本站答案為 −1。也可以先展開檢查：f(x)=x5+2x4−2x3−3x2+2x+10，f′(x)=5x4+8x3−6x2−6x+2，f′(−1)=5−8−6+6+2=−1，結果相同。
第 8 題由除法的微分公式：f′(x)=(x2+3)2(8x+2)(x2+3)−(4x2+2x−5)⋅2x。代入 x=0：分子 =2⋅3−(−5)⋅0=6，分母 =9，所以 f′(0)=96=32。
第 9 題由乘法公式與連鎖律：f′(x)=20(2x−5)19⋅2⋅(x−1)10+(2x−5)20⋅10(x−1)9。代入 x=2：2x−5=−1、x−1=1，f′(2)=40⋅(−1)19⋅1+(−1)20⋅10⋅1=−40+10=−30。
(2x−5)20 微分時別忘了乘上內層 2x−5 的導數 2。
所求是某一點的導數時，先用公式寫出導函數再代值，代值時能是 0 的因式先找出來可以少算很多。
03填充 10～14（原卷填充 7～11）：一次近似、由極值與反曲點求函數
第 10 題f(−1)=1+1+1+3=6。f′(x)=12x11+6x5−1，f′(−1)=−12−6−1=−19。在 x=−1 附近的一次近似就是過 (−1,6) 的切線：y=6−19(x+1)=−19x−13。
第 11 題f′(x)=3ax2+2bx+c，x=1、x=2 有極值，所以 f′(1)=3a+2b+c=0、f′(2)=12a+4b+c=0，相減得 9a+2b=0，b=−29a，c=−3a−2b=6a。
f(1)−f(2)=6−5=1，而 f(1)−f(2)=(a+b+c)−(8a+4b+2c)=−7a−3b−c=−7a+227a−6a=21a，所以 a=2，b=−9，c=12。再由 f(1)=2−9+12+d=6 得 d=1。
檢查：f′′(x)=12x−18，f′′(1)=−6<0 為極大、f′′(2)=6>0 為極小，符合題意。序組為 (2,−9,12,1)。
第 12 題x→0limxf(x) 存在而分母趨近 0，分子也要趨近 0，所以 f(0)=0；這個極限又正好是 x→0limx−0f(x)−f(0)=f′(0)=−3。
設 f(x)=ax3+bx2+cx，f′(0)=c=−3。x=1 有極小值 −4：f′(1)=3a+2b−3=0、f(1)=a+b−3=−4，即 3a+2b=3、a+b=−1，解得 a=5、b=−6。
f(x)=5x3−6x2−3x。檢查：f′′(x)=30x−12，f′′(1)=18>0，x=1 確實是極小。
第 13 題f′(x)=3x2+2kx−3k 是開口向上的二次函數。f(x) 沒有極值，表示 f′(x) 不會由正變負或由負變正，也就是 f′(x)≥0 恆成立，判別式 ≤0：(2k)2−4⋅3⋅(−3k)=4k2+36k=4k(k+9)≤0，得 −9≤k≤0。
判別式等於 0 時，f′(x) 只在一點等於 0、其他地方都是正的，f(x) 仍然一直遞增、沒有極值，所以端點要包含。
第 14 題設 f(x)=ax3+bx2+cx+d，f′′(x)=6ax+2b。(1,5) 為反曲點：f′′(1)=6a+2b=0，b=−3a；且 f(1)=a+b+c+d=5。又 f(0)=d=3，f(3)=27a+9b+3c+d=−3。
由 b=−3a、d=3：f(1)=−2a+c+3=5，即 c=2+2a；f(3)=27a−27a+3c+3=−3，得 c=−2，所以 a=−2、b=6。
f(x)=−2x3+6x2−2x+3。檢查：f(1)=−2+6−2+3=5，f(3)=−54+54−6+3=−3。
由極值或反曲點求函數：極值點給 f′＝0、反曲點給 f″＝0，再配上函數值列方程組，最後用二階導數檢查極大極小有沒有對。
04填充 15～18（原卷填充 12～15）：切線與導數的定義
第 15 題f(4)=16−16+1=1=−3，P 不在拋物線上，要先設切點。設切點 (t, t2−4t+1)，f′(x)=2x−4，切線為 y=(2t−4)(x−t)+t2−4t+1。
切線過 P(4,−3)：−3=(2t−4)(4−t)+t2−4t+1=−t2+8t−15，整理得 t2−8t+12=0，(t−2)(t−6)=0，t=2 或 t=6。
t=2：斜率 0，切點 (2,−3)，切線 y=−3。t=6：斜率 8，切點 (6,13)，切線 y=8(x−6)+13=8x−35。
過圖形外一點的切線通常不只一條，兩條都要寫。
第 16 題切線斜率 f′(x)=−3x2+6x+2=−3(x−1)2+5，在 x=1 時最大，最大值 5。切點 (1,f(1))=(1,4)，切線 y=5(x−1)+4=5x−1。
斜率最大的切線切在反曲點：f′′(x)=−6x+6=0 也得 x=1。
第 17 題拆成兩個導數的定義：hf(2+3h)−f(2−h)=3⋅3hf(2+3h)−f(2)+−hf(2−h)−f(2)。h→0 時第一項趨近 3f′(2)、第二項趨近 f′(2)，所以極限為 4f′(2)=16。
中間加減 f(2) 拆開，每一項把分母湊成和 f 裡面的增量一樣。
第 18 題f(1)=0。依導數的定義：f′(1)=x→1limx−1f(x)−f(1)=x→1limx−4(x−2)(x−3)(x−5)。代入 x=1：−3(−1)(−2)(−4)=−3−8=38。
用除法公式也可以，但分子是四個因式的乘積，用定義約掉 x−1 比較快。
過圖形外一點的切線先設切點；斜率最大的切線看 f′(x) 的最大值；極限式子看到 f(a＋□)－f(a＋△) 就拆成導數的定義。
同一次段考的其他學校
同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷常見問題
臺南二中 114 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
臺南二中 114 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？
最容易錯的是第 3 題（多項式函數的極值、反曲點與導數的關係，要分清楚哪個方向成立）、第 15 題（過圖形外一點的切線有兩條，只寫一條不給分）、第 13 題（沒有極值時判別式可以等於 0）和第 1 題（由三次函數的圖形判斷係數正負）。
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題目取自臺南二中 114 學年度上學期 高三第二次段考 數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。