段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

臺南二中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 3 題（15 分）、多選題 3 題（15 分）、填充題 10 格（60 分，每格 6 分）、綜合題 1 題組 3 小題（10 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對，19 題（格）全部相同

一、單選題：【15%】｜說明：每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請將答案寫在答案卷之「單選題答案區」。各題答對者得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

設

θ

與

40

弳為同界角，且

- 2 π < θ < 0

，求

θ

的值為下列何者？（選項照卷面原字；依題意，各選項裡的

θ

應為

40

，即

40 - 6 π

、

40 - 12 π

、

40 - 7 π

、

40 - 13 π

、

40 - 14 π

）

(A) $θ - 6 π$
(B) $θ - 12 π$
(C) $θ - 7 π$
(D) $θ - 13 π$
(E) $θ - 14 π$

點

P (cos 2, tan \frac{17 π}{3})

落在第幾象限？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 剛好在座標軸上

右圖可能為下列哪一個函數的圖形

(A) $2 sin (x + \frac{π}{6}) + 1$
(B) $- 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 1$
(C) $2 sin (3 x) + 1$
(D) $- 2 sin (3 x) + 1$
(E) $- 3 sin (2 x) + 1$

載入中...

二、多選題：【15%】｜說明：每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確或最適當的選項，請將答案寫在答案卷之「多選題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者得 5 分；答錯 1 個選項者得 3 分；答錯 2 個選項者得 1 分；答錯多於 2 選項者或所有選項均未作答者，該題以零分計算。（原卷題號 1～3，本頁編為第 4～6 題）

若

θ

為第三象限角，且

sin θ = - \frac{3}{4}

，選出正確的選項。

(A) $cos θ = - \frac{1}{4}$
(B) $cos (\frac{π}{2} + θ) = - \frac{3}{4}$
(C) $sin (π + θ) = \frac{3}{4}$
(D) $tan θ = \frac{39}{13}$
(E) $sin (π - θ) = - \frac{3}{4}$

將

y = sin x

的圖形往左平移

\frac{π}{3}

個單位後，再向上

2

個單位，得到

y = f (x)

的圖形。試問下列選項那些函數的圖形與

y = f (x)

的圖形相同。

(A) $y = sin (x + \frac{π}{3}) + 2$
(B) $y = sin (x - \frac{π}{3}) + 2$
(C) $y = sin (x + \frac{5 π}{3}) + 2$
(D) $y = sin (x - \frac{5 π}{3}) + 2$
(E) $y = sin (x + \frac{7 π}{3}) + 2$

關於函數

y = 2 sin (- 3 x + \frac{π}{3}) - 1

，下列敘述何者正確

(A) 週期為 $\frac{2 π}{3}$
(B) 最大值為 $2$
(C) 在 $x = - \frac{π}{12}$ 時有最小值
(D) 在 $0 \leq x \leq 2 π$ 的範圍中，與 $x$ 軸有 $6$ 個交點
(E) 將 $y = 2 sin (- 3 x + \frac{π}{3}) - 1$ 的圖形向左平移 $\frac{π}{9}$ 後可得 $y = - 2 sin (3 x) - 1$ 的圖形

三、填充題：【60%】｜說明：請將答案寫在答案卷之「填充題答案區」所標示的格號內。每格 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。（原卷題號 1～8 共 10 格，本頁編為第 7～16 題，依序為原卷的 1(1)、1(2)、2、3、4、5、6、7(1)、7(2)、8）

填充第 1 題（第 7～8 題）（第 7～8 題）　完成下列各題的角度與弳度的換算

(1)

- \frac{8}{15} π

弳度＝ ____ 度

(2)

11 7^{\circ} =

____ 弳度

sin \frac{5 π}{6} \times cos \frac{2 π}{3} - tan \frac{π}{4} \times sin \frac{π}{2} \times cos \frac{5 π}{3} =

____

若有一扇型半徑為

4

，面積為

24

，則此扇形的弧長為 ____

如圖，正六邊形

A B C D E F

的邊長為

4

公分，今以各頂點為圓心，邊長為半徑畫圓弧於正六邊形內部，試求塗色面積為 ____ 平方公分

載入中...

如右圖，今想用繩子從外圍將

4

個大小相同的圓罐以

2 \times 2

的方式綁在一起，已知圓罐半徑為

1

公分，若不計打結所需要的繩長，則繩長最少需要 ____ 公分

載入中...

已知

0 \leq θ \leq 6 π

，且滿足

sin θ \leq - \frac{3}{2}

的

θ

最小值為

a

，最大值為

b

，求

(a, b) =

____

填充第 7 題（第 14～15 題）（第 14～15 題）　設

\frac{2 π}{3} \leq θ \leq \frac{11 π}{6}

，求

4 sin^{2} θ - 12 sin θ + 11

之最大值為 (1) ，最小值為 (2)

(1) 最大值為 ____

(2) 最小值為 ____

右圖為

y = a sin (b x - c) + d

一個週期的圖形，且

a > 0

，

b > 0

，

0 < c < 2 π

，

d < 0

，求

(a, b, c, d) =

____

載入中...

四、綜合題：【10%】｜說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號區內作答。（原卷題號 1～3，本頁編為第 17～19 題）

1. 請繪出

y = sin \frac{π}{2} x

在

- 6 \leq x \leq 6

範圍內的圖形（2 分）

2. 求

sin \frac{π}{2} x = \frac{x}{6}

有幾個實數解（寫出答案即可）（3 分）

3. 試求

sin \frac{π}{2} x = \frac{x}{6}

的實數解的總和為多少（需寫出計算過程或理由）（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(C)

第 3 題(D)

第 4 題(C)(D)(E)

第 5 題(A)(D)(E)

第 6 題(A)(D)(E)

第 7 題

- 96

第 8 題

\frac{13}{20} π

第 9 題

- \frac{3}{4}

第 10 題

12

第 11 題

32 π - 483

第 12 題

8 + 2 π

第 13 題

(\frac{4}{3} π, \frac{17}{3} π)

第 14 題

27

第 15 題

14 - 63

第 16 題

(4, \frac{1}{2}, \frac{π}{2}, - 2)

第 17 題見詳解的圖（週期

4

，最大值

1

、最小值

- 1

，共

3

個週期）

第 18 題

7

個

第 19 題

0

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：同界角、象限、由圖形認函數

第 1 題同界角相差

2 π

的整數倍，所以

θ = 40 - 2 k π

（

k

為整數）。

2 π \approx 6.28

，

40 \div 6.28 \approx 6.37

，所以

40

介於

12 π \approx 37.70

與

14 π \approx 43.98

之間。要讓

- 2 π < θ < 0

，取

θ = 40 - 14 π \approx - 3.98

（

- 2 π \approx - 6.28

，在範圍內）。選 (E)。

原卷五個選項印作

θ - 6 π

、

θ - 12 π

、

θ - 7 π

、

θ - 13 π

、

θ - 14 π

，本頁照卷面原字；依題意應是

40 - 6 π

等，以下照這個意思判斷；學校答案為 (E)。其餘選項：

40 - 6 π

、

40 - 12 π

都是正的；

40 - 7 π

、

40 - 13 π

減的不是

2 π

的整數倍，不是同界角。

第 2 題

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2 < π \approx 3.14

，

2

弳是第二象限角，

cos 2 < 0

。

\frac{17 π}{3} = 4 π + \frac{5 π}{3}

，與

\frac{5 π}{3}

同界，是第四象限角，

tan \frac{17 π}{3} = tan \frac{5 π}{3} = - 3 < 0

。

x

坐標、

y

坐標都是負的，

P

在第三象限。選 (C)。

第 3 題圖形的最大值是

3

、最小值是

- 1

，所以振幅是

\frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

，(E) 的振幅是

3

，不合。最低點在

x = \frac{π}{6}

、下一個最高點在

x = \frac{π}{2}

，相鄰的最低點與最高點相差半個週期，所以週期是

2 \times (\frac{π}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3}

，

x

的係數是

3

，(A)(B) 的週期是

2 π

，不合。剩下 (C)(D)，代

x = \frac{π}{6}

：(C)

2 sin \frac{π}{2} + 1 = 3

，是最高點，不合；(D)

- 2 sin \frac{π}{2} + 1 = - 1

，是最低點，相符。選 (D)。

再驗 (D)：

x = \frac{π}{2}

時

- 2 sin \frac{3 π}{2} + 1 = 3

，

x = 0

時值為

1

且往右先下降，都與圖相符。

由圖形認函數：先用最大值、最小值定振幅與上下平移，再用相鄰最高點與最低點的距離（半個週期）定

x

的係數，最後代一個特徵點分辨正負號。

02多選題（第 4～6 題）：角的換算、圖形的平移、正弦型函數的性質

第 4 題

cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}

，第三象限角的餘弦是負的，所以

cos θ = - \frac{13}{4}

。(A) 不對，應是

- \frac{13}{4}

。(B)

cos (\frac{π}{2} + θ) = - sin θ = \frac{3}{4}

，不是

- \frac{3}{4}

，不對。(C)

sin (π + θ) = - sin θ = \frac{3}{4}

，正確。(D)

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{- \frac{3}{4}}{- \frac{13}{4}} = \frac{3}{13} = \frac{39}{13}

，正確。(E)

sin (π - θ) = sin θ = - \frac{3}{4}

，正確。選 (C)(D)(E)。

第 5 題往左平移

\frac{π}{3}

是把

x

換成

x + \frac{π}{3}

，再向上

2

個單位，所以

f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) + 2

。正弦函數的週期是

2 π

，角加減

2 π

函數值不變。(A) 就是

f (x)

，相同。(D)

x - \frac{5 π}{3} = (x + \frac{π}{3}) - 2 π

，相同。(E)

x + \frac{7 π}{3} = (x + \frac{π}{3}) + 2 π

，相同。(B) 代

x = 0

：

sin (- \frac{π}{3}) + 2 = 2 - \frac{3}{2}

，而

f (0) = 2 + \frac{3}{2}

，不同。(C)

x + \frac{5 π}{3} = (x - \frac{π}{3}) + 2 π

，與 (B) 是同一個函數，不同。選 (A)(D)(E)。

第 6 題利用

sin (- α) = - sin α

，

y = 2 sin (- 3 x + \frac{π}{3}) - 1 = - 2 sin (3 x - \frac{π}{3}) - 1

。(A)

x

的係數大小是

3

，週期

\frac{2 π}{3}

，正確。(B) 正弦值在

- 1

與

1

之間，

y

的最大值是

2 \times 1 - 1 = 1

、最小值是

- 3

，不對。(C) 代

x = - \frac{π}{12}

：

- 3 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + \frac{π}{3} = \frac{7 π}{12}

，是第二象限角，正弦值是正的，

y > - 1

，不是最小值

- 3

，不對。(D) 與

x

軸的交點要

y = 0

，即

sin (3 x - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}

。令

u = 3 x - \frac{π}{3}

，

0 \leq x \leq 2 π

時

- \frac{π}{3} \leq u \leq \frac{17 π}{3}

。正弦值為

- \frac{1}{2}

的角是

\frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

以及它們加減

2 π

的整數倍；落在這一段裡的有

- \frac{π}{6}

、

\frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

、

\frac{19 π}{6}

、

\frac{23 π}{6}

、

\frac{31 π}{6}

（下一個

\frac{35 π}{6}

已超過

\frac{17 π}{3} = \frac{34 π}{6}

），共

6

個，正確。(E) 向左平移

\frac{π}{9}

是把

x

換成

x + \frac{π}{9}

：

- 3 (x + \frac{π}{9}) + \frac{π}{3} = - 3 x

，得

y = 2 sin (- 3 x) - 1 = - 2 sin (3 x) - 1

，正確。選 (A)(D)(E)。

sin (- 3 x + \frac{π}{3}) = - 1

，例如

- 3 x + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2}

，即

x = \frac{5 π}{18}

。

x

的係數是負的時候，先用

sin (- α) = - sin α

把係數改成正的再判斷；在限定範圍內數解的個數，把整個角換成一個新的變數，連範圍一起換過去再數。

03填充第 1～3 題（第 7～10 題）：度與弳度互換、特殊角、扇形

第 7 題

π

弳＝

18 0^{\circ}

，所以

- \frac{8}{15} π

弳＝

- \frac{8}{15} \times 18 0^{\circ} = - 9 6^{\circ}

。

第 8 題

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，所以

11 7^{\circ} = \frac{117}{180} π = \frac{13}{20} π

弳（分子分母同除以

9

）。

第 9 題

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

、

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

、

tan \frac{π}{4} = 1

、

sin \frac{π}{2} = 1

、

cos \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2}

。原式＝

\frac{1}{2} \times (- \frac{1}{2}) - 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{3}{4}

。

第 10 題扇形面積＝

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長。設弧長為

s

，

\frac{1}{2} \times 4 \times s = 24

，

s = 12

。

此時圓心角是

\frac{12}{4} = 3

弳，小於

2 π

，這個扇形存在。

度與弳度互換只記一件事：

π

弳等於

18 0^{\circ}

。扇形的弧長

s = r θ

、面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r s

，

θ

要用弳度。

04填充第 4～5 題（第 11～12 題）：弓形面積、繩長

第 11 題圖中箭頭所指的

G

是正六邊形的中心（題幹沒有另外說明）。正六邊形可以切成

6

個邊長

4

的正三角形，所以中心到每個頂點的距離都是

4

，以任一頂點為圓心、半徑

4

的圓弧都會通過中心

G

與相鄰的兩個頂點。看

G

與

B

之間的那片花瓣：它由以

A

為圓心和以

C

為圓心的兩段圓弧圍成，被

\overline{GB}

分成兩個全等的弓形。以

A

為圓心的那個弓形＝扇形

A GB

-

正三角形

A GB

，圓心角

∠ G A B = \frac{π}{3}

：

\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{3}{4} \times 4^{2} = \frac{8 π}{3} - 43

。六片花瓣共

12

個這樣的弓形，塗色面積＝

12 \times (\frac{8 π}{3} - 43) = 32 π - 483

平方公分。

數值約

17.39

，小於正六邊形的面積

243 \approx 41.57

，合理。

第 12 題繩子拉緊時由

4

段直線與

4

段圓弧組成。每段直線與相鄰兩個圓罐相切，長度等於兩圓心的距離

2

，四段共

8

。四個圓心圍成邊長

2

的正方形，繩子在每個圓罐上轉過

\frac{π}{2}

，每段圓弧長

1 \times \frac{π}{2}

，四段合起來正好是一個圓的周長

2 π

。繩長最少需要

8 + 2 π

公分。

弓形面積＝扇形面積－三角形面積；由幾段圓弧圍成的區域，先找出每段弧的圓心與圓心角，再拆成弓形或扇形。

05填充第 6～8 題（第 13～16 題）：正弦不等式、正弦的二次式、由圖形求係數

第 13 題先看一個週期

0 \leq θ \leq 2 π

：

sin θ = - \frac{3}{2}

的角是

\frac{4 π}{3}

與

\frac{5 π}{3}

，由

y = sin θ

的圖形，兩者之間的正弦值更小，所以

sin θ \leq - \frac{3}{2}

的解是

\frac{4 π}{3} \leq θ \leq \frac{5 π}{3}

。

0 \leq θ \leq 6 π

共三個週期，解是這一段以及它加

2 π

、加

4 π

的兩段。最小的是第一段的左端

a = \frac{4 π}{3}

，最大的是第三段的右端

b = \frac{5 π}{3} + 4 π = \frac{17 π}{3}

。所以

(a, b) = (\frac{4}{3} π, \frac{17}{3} π)

。

第 14 題令

t = sin θ

。

θ

由

\frac{2 π}{3}

增加到

\frac{3 π}{2}

時，

t

由

\frac{3}{2}

下降到

- 1

；再增加到

\frac{11 π}{6}

時，

t

由

- 1

上升到

- \frac{1}{2}

。所以

- 1 \leq t \leq \frac{3}{2}

。配方：

4 t^{2} - 12 t + 11 = 4 (t - \frac{3}{2})^{2} + 2

，頂點在

t = \frac{3}{2}

，在

t

的範圍右邊，所以在

- 1 \leq t \leq \frac{3}{2}

上，

t

愈小值愈大。最大值在

t = - 1

（即

θ = \frac{3 π}{2}

）：

4 + 12 + 11 = 27

。

第 15 題承上題，最小值在

t = \frac{3}{2}

（即

θ = \frac{2 π}{3}

）：

4 \times \frac{3}{4} - 12 \times \frac{3}{2} + 11 = 3 - 63 + 11 = 14 - 63

。

t

到不了

\frac{3}{2}

，所以最小值不是頂點的

2

；

14 - 63 \approx 3.61

。

第 16 題由圖，最大值

2

、最小值

- 6

：

a + d = 2

、

- a + d = - 6

，解得

a = 4

、

d = - 2

。圖形是一個週期，由

x = π

到

x = 5 π

，週期

4 π

，所以

b = 2 π \div 4 π = \frac{1}{2}

。

x = π

時

y = - 2

正好是中間的高度，而且往右是上升的，這是正弦一個週期的起點，所以

\frac{1}{2} \times π - c = 0

（或再差

2 π

的整數倍），

c = \frac{π}{2} + 2 k π

；在

0 < c < 2 π

內只有

c = \frac{π}{2}

。所以

(a, b, c, d) = (4, \frac{1}{2}, \frac{π}{2}, - 2)

。

驗算：

y = 4 sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{2}) - 2

，

x = 2 π

時

y = 4 sin \frac{π}{2} - 2 = 2

（最高點），

x = 3 π

時

y = - 2

，

x = 4 π

時

y = 4 sin \frac{3 π}{2} - 2 = - 6

（最低點），與圖相符。

含

sin θ

的二次式，令

t = sin θ

之後一定要先由

θ

的範圍求出

t

的範圍，再看頂點有沒有落在範圍內。

06綜合題（第 17～19 題）：正弦圖形與直線的交點

第 17 題

y = sin \frac{π}{2} x

的週期是

\frac{2 π}{\frac{π}{2}} = 4

，最大值

1

、最小值

- 1

。

- 6 \leq x \leq 6

的寬度是

12

，正好

3

個週期。描出關鍵點：

x = - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 6

時

y = 0

；

x = - 3, 1, 5

時

y = 1

（最高點）；

x = - 5, - 1, 3

時

y = - 1

（最低點）。把這些點用平滑的波形連起來，圖形通過原點，由原點往右先上升。

載入中...

附圖為了看清楚波形，縱向畫得比橫向大。

第 18 題實數解的個數就是

y = sin \frac{π}{2} x

與直線

y = \frac{x}{6}

的交點個數。正弦值在

- 1

與

1

之間，

x > 6

時

\frac{x}{6} > 1

、

x < - 6

時

\frac{x}{6} < - 1

，所以只要看

- 6 \leq x \leq 6

，就是上一題畫的那一段。

x = 0

是一個解。

x > 0

：在

0 < x < 2

，正弦曲線由原點升到

1

再降回

0

，直線由

0

緩緩升到

\frac{1}{3}

，原點附近曲線在直線上方，到

x = 2

時曲線（

0

）在直線下方，有

1

個交點；在

2 \leq x \leq 4

，曲線不在

x

軸上方而直線在

x

軸上方，沒有交點；在

4 < x < 6

，曲線由

0

升到

x = 5

的

1

再降回

0

，直線在

x = 4

、

5

、

6

的高度是

\frac{2}{3}

、

\frac{5}{6}

、

1

，曲線在

x = 4

時在直線下方、

x = 5

時在上方（

1 > \frac{5}{6}

）、

x = 6

時又在下方，有

2

個交點。所以

x > 0

有

3

個解。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個解。合計

3 + 3 + 1 = 7

個。

載入中...

x = 6

時直線的高度是

1

，但曲線的高度是

sin 3 π = 0

，所以

x = 6

不是解。

第 19 題若

x = x_{1}

是一個解，即

sin \frac{π}{2} x_{1} = \frac{x _{1}}{6}

，把

- x_{1}

代入：左邊

sin (- \frac{π}{2} x_{1}) = - sin \frac{π}{2} x_{1} = - \frac{x _{1}}{6}

，右邊

\frac{- x _{1}}{6}

，兩邊相等，所以

- x_{1}

也是解。因此除了

x = 0

之外，解都是一正一負成對出現，每一對相加為

0

。

7

個解是

0

與三對

\pm x_{1}

、

\pm x_{2}

、

\pm x_{3}

，總和為

0

。

方程式的一邊是正弦、一邊是直線時，解的個數就是兩個圖形的交點個數；先用正弦值不超過

1

定出直線要看到哪裡，再一個波一個波數，最邊上的那個波要代數字確認直線切到幾次。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

臺南二中 113 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南二中 113 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題（本頁第 6 題）x 的係數是負的，數與 x 軸的交點時要把角的範圍整段換過去再數；填充第 4 題（第 11 題）要把每片花瓣拆成兩個弓形；填充第 7 題（第 14、15 題）要先求出正弦值的範圍再配方；綜合題第 2 題（第 18 題）要注意直線在 x 等於 6 時才升到 1，最右邊那個波峰會被直線切到兩次。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自臺南二中 113 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

臺南二中 113 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

設

θ

與

40

弳為同界角，且

- 2 π < θ < 0

，求

θ

的值為下列何者？（選項照卷面原字；依題意，各選項裡的

θ

應為

40

，即

40 - 6 π

、

40 - 12 π

、

40 - 7 π

、

40 - 13 π

、

40 - 14 π

）

(A) $θ - 6 π$
(B) $θ - 12 π$
(C) $θ - 7 π$
(D) $θ - 13 π$
(E) $θ - 14 π$

點

P (cos 2, tan \frac{17 π}{3})

落在第幾象限？

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 剛好在座標軸上

右圖可能為下列哪一個函數的圖形

(A) $2 sin (x + \frac{π}{6}) + 1$
(B) $- 2 sin (x + \frac{π}{6}) + 1$
(C) $2 sin (3 x) + 1$
(D) $- 2 sin (3 x) + 1$
(E) $- 3 sin (2 x) + 1$

載入中...

若

θ

為第三象限角，且

sin θ = - \frac{3}{4}

，選出正確的選項。

(A) $cos θ = - \frac{1}{4}$
(B) $cos (\frac{π}{2} + θ) = - \frac{3}{4}$
(C) $sin (π + θ) = \frac{3}{4}$
(D) $tan θ = \frac{39}{13}$
(E) $sin (π - θ) = - \frac{3}{4}$

將

y = sin x

的圖形往左平移

\frac{π}{3}

個單位後，再向上

2

個單位，得到

y = f (x)

的圖形。試問下列選項那些函數的圖形與

y = f (x)

的圖形相同。

(A) $y = sin (x + \frac{π}{3}) + 2$
(B) $y = sin (x - \frac{π}{3}) + 2$
(C) $y = sin (x + \frac{5 π}{3}) + 2$
(D) $y = sin (x - \frac{5 π}{3}) + 2$
(E) $y = sin (x + \frac{7 π}{3}) + 2$

關於函數

y = 2 sin (- 3 x + \frac{π}{3}) - 1

，下列敘述何者正確

(A) 週期為 $\frac{2 π}{3}$
(B) 最大值為 $2$
(C) 在 $x = - \frac{π}{12}$ 時有最小值
(D) 在 $0 \leq x \leq 2 π$ 的範圍中，與 $x$ 軸有 $6$ 個交點
(E) 將 $y = 2 sin (- 3 x + \frac{π}{3}) - 1$ 的圖形向左平移 $\frac{π}{9}$ 後可得 $y = - 2 sin (3 x) - 1$ 的圖形

填充第 1 題（第 7～8 題）（第 7～8 題）　完成下列各題的角度與弳度的換算

(1)

- \frac{8}{15} π

弳度＝ ____ 度

(2)

11 7^{\circ} =

____ 弳度

sin \frac{5 π}{6} \times cos \frac{2 π}{3} - tan \frac{π}{4} \times sin \frac{π}{2} \times cos \frac{5 π}{3} =

____

若有一扇型半徑為

4

，面積為

24

，則此扇形的弧長為 ____

如圖，正六邊形

A B C D E F

的邊長為

4

公分，今以各頂點為圓心，邊長為半徑畫圓弧於正六邊形內部，試求塗色面積為 ____ 平方公分

載入中...

如右圖，今想用繩子從外圍將

4

個大小相同的圓罐以

2 \times 2

的方式綁在一起，已知圓罐半徑為

1

公分，若不計打結所需要的繩長，則繩長最少需要 ____ 公分

載入中...

已知

0 \leq θ \leq 6 π

，且滿足

sin θ \leq - \frac{3}{2}

的

θ

最小值為

a

，最大值為

b

，求

(a, b) =

____

填充第 7 題（第 14～15 題）（第 14～15 題）　設

\frac{2 π}{3} \leq θ \leq \frac{11 π}{6}

，求

4 sin^{2} θ - 12 sin θ + 11

之最大值為 (1) ，最小值為 (2)

(1) 最大值為 ____

(2) 最小值為 ____

右圖為

y = a sin (b x - c) + d

一個週期的圖形，且

a > 0

，

b > 0

，

0 < c < 2 π

，

d < 0

，求

(a, b, c, d) =

____

載入中...

四、綜合題：【10%】｜說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號區內作答。（原卷題號 1～3，本頁編為第 17～19 題）

1. 請繪出

y = sin \frac{π}{2} x

在

- 6 \leq x \leq 6

範圍內的圖形（2 分）

2. 求

sin \frac{π}{2} x = \frac{x}{6}

有幾個實數解（寫出答案即可）（3 分）

3. 試求

sin \frac{π}{2} x = \frac{x}{6}

的實數解的總和為多少（需寫出計算過程或理由）（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(C)

第 3 題(D)

第 4 題(C)(D)(E)

第 5 題(A)(D)(E)

第 6 題(A)(D)(E)

第 7 題

- 96

第 8 題

\frac{13}{20} π

第 9 題

- \frac{3}{4}

第 10 題

12

第 11 題

32 π - 483

第 12 題

8 + 2 π

第 13 題

(\frac{4}{3} π, \frac{17}{3} π)

第 14 題

27

第 15 題

14 - 63

第 16 題

(4, \frac{1}{2}, \frac{π}{2}, - 2)

第 17 題見詳解的圖（週期

4

，最大值

1

、最小值

- 1

，共

3

個週期）

第 18 題

7

個

第 19 題

0

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：同界角、象限、由圖形認函數

第 1 題同界角相差

2 π

的整數倍，所以

θ = 40 - 2 k π

（

k

為整數）。

2 π \approx 6.28

，

40 \div 6.28 \approx 6.37

，所以

40

介於

12 π \approx 37.70

與

14 π \approx 43.98

之間。要讓

- 2 π < θ < 0

，取

θ = 40 - 14 π \approx - 3.98

（

- 2 π \approx - 6.28

，在範圍內）。選 (E)。

原卷五個選項印作

θ - 6 π

、

θ - 12 π

、

θ - 7 π

、

θ - 13 π

、

θ - 14 π

，本頁照卷面原字；依題意應是

40 - 6 π

等，以下照這個意思判斷；學校答案為 (E)。其餘選項：

40 - 6 π

、

40 - 12 π

都是正的；

40 - 7 π

、

40 - 13 π

減的不是

2 π

的整數倍，不是同界角。

第 2 題

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2 < π \approx 3.14

，

2

弳是第二象限角，

cos 2 < 0

。

\frac{17 π}{3} = 4 π + \frac{5 π}{3}

，與

\frac{5 π}{3}

同界，是第四象限角，

tan \frac{17 π}{3} = tan \frac{5 π}{3} = - 3 < 0

。

x

坐標、

y

坐標都是負的，

P

在第三象限。選 (C)。

第 3 題圖形的最大值是

3

、最小值是

- 1

，所以振幅是

\frac{3 - ( - 1 )}{2} = 2

，(E) 的振幅是

3

，不合。最低點在

x = \frac{π}{6}

、下一個最高點在

x = \frac{π}{2}

，相鄰的最低點與最高點相差半個週期，所以週期是

2 \times (\frac{π}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3}

，

x

的係數是

3

，(A)(B) 的週期是

2 π

，不合。剩下 (C)(D)，代

x = \frac{π}{6}

：(C)

2 sin \frac{π}{2} + 1 = 3

，是最高點，不合；(D)

- 2 sin \frac{π}{2} + 1 = - 1

，是最低點，相符。選 (D)。

再驗 (D)：

x = \frac{π}{2}

時

- 2 sin \frac{3 π}{2} + 1 = 3

，

x = 0

時值為

1

且往右先下降，都與圖相符。

由圖形認函數：先用最大值、最小值定振幅與上下平移，再用相鄰最高點與最低點的距離（半個週期）定

x

的係數，最後代一個特徵點分辨正負號。

02多選題（第 4～6 題）：角的換算、圖形的平移、正弦型函數的性質

第 4 題

cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}

，第三象限角的餘弦是負的，所以

cos θ = - \frac{13}{4}

。(A) 不對，應是

- \frac{13}{4}

。(B)

cos (\frac{π}{2} + θ) = - sin θ = \frac{3}{4}

，不是

- \frac{3}{4}

，不對。(C)

sin (π + θ) = - sin θ = \frac{3}{4}

，正確。(D)

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{- \frac{3}{4}}{- \frac{13}{4}} = \frac{3}{13} = \frac{39}{13}

，正確。(E)

sin (π - θ) = sin θ = - \frac{3}{4}

，正確。選 (C)(D)(E)。

第 5 題往左平移

\frac{π}{3}

是把

x

換成

x + \frac{π}{3}

，再向上

2

個單位，所以

f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) + 2

。正弦函數的週期是

2 π

，角加減

2 π

函數值不變。(A) 就是

f (x)

，相同。(D)

x - \frac{5 π}{3} = (x + \frac{π}{3}) - 2 π

，相同。(E)

x + \frac{7 π}{3} = (x + \frac{π}{3}) + 2 π

，相同。(B) 代

x = 0

：

sin (- \frac{π}{3}) + 2 = 2 - \frac{3}{2}

，而

f (0) = 2 + \frac{3}{2}

，不同。(C)

x + \frac{5 π}{3} = (x - \frac{π}{3}) + 2 π

，與 (B) 是同一個函數，不同。選 (A)(D)(E)。

第 6 題利用

sin (- α) = - sin α

，

y = 2 sin (- 3 x + \frac{π}{3}) - 1 = - 2 sin (3 x - \frac{π}{3}) - 1

。(A)

x

的係數大小是

3

，週期

\frac{2 π}{3}

，正確。(B) 正弦值在

- 1

與

1

之間，

y

的最大值是

2 \times 1 - 1 = 1

、最小值是

- 3

，不對。(C) 代

x = - \frac{π}{12}

：

- 3 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + \frac{π}{3} = \frac{7 π}{12}

，是第二象限角，正弦值是正的，

y > - 1

，不是最小值

- 3

，不對。(D) 與

x

軸的交點要

y = 0

，即

sin (3 x - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}

。令

u = 3 x - \frac{π}{3}

，

0 \leq x \leq 2 π

時

- \frac{π}{3} \leq u \leq \frac{17 π}{3}

。正弦值為

- \frac{1}{2}

的角是

\frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

以及它們加減

2 π

的整數倍；落在這一段裡的有

- \frac{π}{6}

、

\frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

、

\frac{19 π}{6}

、

\frac{23 π}{6}

、

\frac{31 π}{6}

（下一個

\frac{35 π}{6}

已超過

\frac{17 π}{3} = \frac{34 π}{6}

），共

6

個，正確。(E) 向左平移

\frac{π}{9}

是把

x

換成

x + \frac{π}{9}

：

- 3 (x + \frac{π}{9}) + \frac{π}{3} = - 3 x

，得

y = 2 sin (- 3 x) - 1 = - 2 sin (3 x) - 1

，正確。選 (A)(D)(E)。

sin (- 3 x + \frac{π}{3}) = - 1

，例如

- 3 x + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2}

，即

x = \frac{5 π}{18}

。

x

的係數是負的時候，先用

sin (- α) = - sin α

把係數改成正的再判斷；在限定範圍內數解的個數，把整個角換成一個新的變數，連範圍一起換過去再數。

03填充第 1～3 題（第 7～10 題）：度與弳度互換、特殊角、扇形

第 7 題

π

弳＝

18 0^{\circ}

，所以

- \frac{8}{15} π

弳＝

- \frac{8}{15} \times 18 0^{\circ} = - 9 6^{\circ}

。

第 8 題

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，所以

11 7^{\circ} = \frac{117}{180} π = \frac{13}{20} π

弳（分子分母同除以

9

）。

第 9 題

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

、

cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}

、

tan \frac{π}{4} = 1

、

sin \frac{π}{2} = 1

、

cos \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2}

。原式＝

\frac{1}{2} \times (- \frac{1}{2}) - 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{3}{4}

。

第 10 題扇形面積＝

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長。設弧長為

s

，

\frac{1}{2} \times 4 \times s = 24

，

s = 12

。

此時圓心角是

\frac{12}{4} = 3

弳，小於

2 π

，這個扇形存在。

度與弳度互換只記一件事：

π

弳等於

18 0^{\circ}

。扇形的弧長

s = r θ

、面積

\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r s

，

θ

要用弳度。

04填充第 4～5 題（第 11～12 題）：弓形面積、繩長

第 11 題圖中箭頭所指的

G

是正六邊形的中心（題幹沒有另外說明）。正六邊形可以切成

6

個邊長

4

的正三角形，所以中心到每個頂點的距離都是

4

，以任一頂點為圓心、半徑

4

的圓弧都會通過中心

G

與相鄰的兩個頂點。看

G

與

B

之間的那片花瓣：它由以

A

為圓心和以

C

為圓心的兩段圓弧圍成，被

\overline{GB}

分成兩個全等的弓形。以

A

為圓心的那個弓形＝扇形

A GB

-

正三角形

A GB

，圓心角

∠ G A B = \frac{π}{3}

：

\frac{1}{2} \times 4^{2} \times \frac{π}{3} - \frac{3}{4} \times 4^{2} = \frac{8 π}{3} - 43

。六片花瓣共

12

個這樣的弓形，塗色面積＝

12 \times (\frac{8 π}{3} - 43) = 32 π - 483

平方公分。

數值約

17.39

，小於正六邊形的面積

243 \approx 41.57

，合理。

第 12 題繩子拉緊時由

4

段直線與

4

段圓弧組成。每段直線與相鄰兩個圓罐相切，長度等於兩圓心的距離

2

，四段共

8

。四個圓心圍成邊長

2

的正方形，繩子在每個圓罐上轉過

\frac{π}{2}

，每段圓弧長

1 \times \frac{π}{2}

，四段合起來正好是一個圓的周長

2 π

。繩長最少需要

8 + 2 π

公分。

弓形面積＝扇形面積－三角形面積；由幾段圓弧圍成的區域，先找出每段弧的圓心與圓心角，再拆成弓形或扇形。

05填充第 6～8 題（第 13～16 題）：正弦不等式、正弦的二次式、由圖形求係數

第 13 題先看一個週期

0 \leq θ \leq 2 π

：

sin θ = - \frac{3}{2}

的角是

\frac{4 π}{3}

與

\frac{5 π}{3}

，由

y = sin θ

的圖形，兩者之間的正弦值更小，所以

sin θ \leq - \frac{3}{2}

的解是

\frac{4 π}{3} \leq θ \leq \frac{5 π}{3}

。

0 \leq θ \leq 6 π

共三個週期，解是這一段以及它加

2 π

、加

4 π

的兩段。最小的是第一段的左端

a = \frac{4 π}{3}

，最大的是第三段的右端

b = \frac{5 π}{3} + 4 π = \frac{17 π}{3}

。所以

(a, b) = (\frac{4}{3} π, \frac{17}{3} π)

。

第 14 題令

t = sin θ

。

θ

由

\frac{2 π}{3}

增加到

\frac{3 π}{2}

時，

t

由

\frac{3}{2}

下降到

- 1

；再增加到

\frac{11 π}{6}

時，

t

由

- 1

上升到

- \frac{1}{2}

。所以

- 1 \leq t \leq \frac{3}{2}

。配方：

4 t^{2} - 12 t + 11 = 4 (t - \frac{3}{2})^{2} + 2

，頂點在

t = \frac{3}{2}

，在

t

的範圍右邊，所以在

- 1 \leq t \leq \frac{3}{2}

上，

t

愈小值愈大。最大值在

t = - 1

（即

θ = \frac{3 π}{2}

）：

4 + 12 + 11 = 27

。

第 15 題承上題，最小值在

t = \frac{3}{2}

（即

θ = \frac{2 π}{3}

）：

4 \times \frac{3}{4} - 12 \times \frac{3}{2} + 11 = 3 - 63 + 11 = 14 - 63

。

t

到不了

\frac{3}{2}

，所以最小值不是頂點的

2

；

14 - 63 \approx 3.61

。

第 16 題由圖，最大值

2

、最小值

- 6

：

a + d = 2

、

- a + d = - 6

，解得

a = 4

、

d = - 2

。圖形是一個週期，由

x = π

到

x = 5 π

，週期

4 π

，所以

b = 2 π \div 4 π = \frac{1}{2}

。

x = π

時

y = - 2

正好是中間的高度，而且往右是上升的，這是正弦一個週期的起點，所以

\frac{1}{2} \times π - c = 0

（或再差

2 π

的整數倍），

c = \frac{π}{2} + 2 k π

；在

0 < c < 2 π

內只有

c = \frac{π}{2}

。所以

(a, b, c, d) = (4, \frac{1}{2}, \frac{π}{2}, - 2)

。

驗算：

y = 4 sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{2}) - 2

，

x = 2 π

時

y = 4 sin \frac{π}{2} - 2 = 2

（最高點），

x = 3 π

時

y = - 2

，

x = 4 π

時

y = 4 sin \frac{3 π}{2} - 2 = - 6

（最低點），與圖相符。

含

sin θ

的二次式，令

t = sin θ

之後一定要先由

θ

的範圍求出

t

的範圍，再看頂點有沒有落在範圍內。

06綜合題（第 17～19 題）：正弦圖形與直線的交點

第 17 題

y = sin \frac{π}{2} x

的週期是

\frac{2 π}{\frac{π}{2}} = 4

，最大值

1

、最小值

- 1

。

- 6 \leq x \leq 6

的寬度是

12

，正好

3

個週期。描出關鍵點：

x = - 6, - 4, - 2, 0, 2, 4, 6

時

y = 0

；

x = - 3, 1, 5

時

y = 1

（最高點）；

x = - 5, - 1, 3

時

y = - 1

（最低點）。把這些點用平滑的波形連起來，圖形通過原點，由原點往右先上升。

載入中...

附圖為了看清楚波形，縱向畫得比橫向大。

第 18 題實數解的個數就是

y = sin \frac{π}{2} x

與直線

y = \frac{x}{6}

的交點個數。正弦值在

- 1

與

1

之間，

x > 6

時

\frac{x}{6} > 1

、

x < - 6

時

\frac{x}{6} < - 1

，所以只要看

- 6 \leq x \leq 6

，就是上一題畫的那一段。

x = 0

是一個解。

x > 0

：在

0 < x < 2

，正弦曲線由原點升到

1

再降回

0

，直線由

0

緩緩升到

\frac{1}{3}

，原點附近曲線在直線上方，到

x = 2

時曲線（

0

）在直線下方，有

1

個交點；在

2 \leq x \leq 4

，曲線不在

x

軸上方而直線在

x

軸上方，沒有交點；在

4 < x < 6

，曲線由

0

升到

x = 5

的

1

再降回

0

，直線在

x = 4

、

5

、

6

的高度是

\frac{2}{3}

、

\frac{5}{6}

、

1

，曲線在

x = 4

時在直線下方、

x = 5

時在上方（

1 > \frac{5}{6}

）、

x = 6

時又在下方，有

2

個交點。所以

x > 0

有

3

個解。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個解。合計

3 + 3 + 1 = 7

個。

載入中...

x = 6

時直線的高度是

1

，但曲線的高度是

sin 3 π = 0

，所以

x = 6

不是解。

第 19 題若

x = x_{1}

是一個解，即

sin \frac{π}{2} x_{1} = \frac{x _{1}}{6}

，把

- x_{1}

代入：左邊

sin (- \frac{π}{2} x_{1}) = - sin \frac{π}{2} x_{1} = - \frac{x _{1}}{6}

，右邊

\frac{- x _{1}}{6}

，兩邊相等，所以

- x_{1}

也是解。因此除了

x = 0

之外，解都是一正一負成對出現，每一對相加為

0

。

7

個解是

0

與三對

\pm x_{1}

、

\pm x_{2}

、

\pm x_{3}

，總和為

0

。

方程式的一邊是正弦、一邊是直線時，解的個數就是兩個圖形的交點個數；先用正弦值不超過

1

定出直線要看到哪裡，再一個波一個波數，最邊上的那個波要代數字確認直線切到幾次。

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02多選題（第 4～6 題）：角的換算、圖形的平移、正弦型函數的性質

03填充第 1～3 題（第 7～10 題）：度與弳度互換、特殊角、扇形

04填充第 4～5 題（第 11～12 題）：弓形面積、繩長

05填充第 6～8 題（第 13～16 題）：正弦不等式、正弦的二次式、由圖形求係數

06綜合題（第 17～19 題）：正弦圖形與直線的交點

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